运筹学 灵敏度分析目标规划

由于现代化企业内专业分工越来越细，组 织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围 绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种 先进的管理技术。目标规划是实行目标管理的 有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这 些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况， 分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标 的差距为最小。
CI
-2 -3 -4+Δ c3 0 0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
-2
X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
增加约束一个之后，应把最优解带 入新的约束，若满足则最优解不变，否则 填入最优单纯形表作为新的一行，引入一 个新的非负变量（原约束若是小于等于形 式可引入非负松弛变量，否则引入非负人 工变量），并通过矩阵行变换把对应基变 量的元素变为0，进一步用单纯形法或对 偶单纯形法求解。
3.灵敏度分析
例3.7:
3.灵敏度分析
对于表格单纯形法，通过计算得 到最优单纯形表。 应能够找到最优基
B 的逆矩阵 B-1 ， B-1b 以及 B-1N，
检验数 j 等。
ci , bj发生变化—— 本段重点
增加一约束或变量及A中元素发
生变化—通过例题学会处理
3.灵敏度分析
价值系数c发生变化：
m
考虑检验数 j = cj -∑ cri arij
例: Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
S.t. - x1 - 2x2 - x3 + x4
= -3
- 2x1 + x2 - 3x3
+ x5 = - 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
3.灵敏度分析
进一步理解最优单纯性表中各元素的含义 考虑问题
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
以下是初始单纯形表：
CB XB
c1 … cm cm+1 … cn x1 … xm xm+1 … xn θi
c1 x1 b1' 1 … 0 a'1m+1 … a'1n θ1
c2 x2 b2' 0 … 0 a'2m+1 … a'2n θ2
┇┇┇┇┇┇ ┇┇ ┇ ┇
cm xm bm' 0 … 1 a'mm+1 … a'mn θm
填入最优单纯形表，若 j ≤ 0 则最 优解不变；否则，进一步用单纯形法求解。 （例子从略）
Chapter5 目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解分析法 求解 方法 目标规划应用举例
目标规划问题及其数学模型
问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应 经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步 发展起来的一个分支。
a21x1 + a2...2x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
3、灵敏度分析
无防设，xj = 0 j = m+1, … , n ; xi = bi’ i = 1 , … , m 是基本可行解, 对 应的目标函数典式为：z = -f + m+1xm+1+…+ nxn
目标规划问题及其数学模型
例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些 产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。 按工艺文件A 规定，B 如表所C示。 D 单件利润
甲
1
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
最大负荷
12
8
16
12
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最大？
目标规划问题及其数学模型
j =1,2,……,n
i=1
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck k’= ck + ck -∑cri arik = k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续单
纯形法的表格计算。
3.灵敏度分析
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
例3.3:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
3.灵敏度分析
例：最优单纯形表
CI CB -3
-2
-2
XB
b
X1
X2 2/5 0
X1 11/5 1
σj
0
-3 -4 0 0 X2 X3 X4 X5 1 -1/5 -2/5 1/5 0 7/5 -1/5 -2/5 0 -9/5 -8/5 -1/5
3.灵敏度分析
右端项 b 发生变化
设分量 br 变化为 br + br ，根据
第1章的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b，
那么只要保持 B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优 基不变，即基变量保持，只有值的变化； 否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。 对于问题 (LP) Max z = cT x
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = -∑ ci bi’ j = cj -∑ ci aij’ 为检验数。 向量 b’ = B-1 b
i=1
i=1
A= [ p1, p2, …, pn ], pj’ = B-1 pj, pj’ = ( a1j’ , a2j’ , … , amj’ )T ， j = m+1, … , n
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
0
0
X5
4
0
0
-2
1/2
1
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cj-(c1×a1j+c5 × a5j+(c2+Δc2) ×a2j)j=3,4 可得到 -3≤Δc2≤1时，原最优解不变。
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
3.灵敏度分析
例3.4:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12
不加班。
要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
目标规划问题及其数学模型
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实 际问题中并非所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中， 目标和约束可以相互转化。
3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要 地位，但现实问题中，各目标的重要性即有 层次上的差别，同一层次中又可以有权重上 的区分。
0 0 -1.5 -1/8 0
0
经对偶单纯形法一步，可得最优解为（3.5, 2.25, 0,
0, 3, 2 )T，最优值为 13. 75
3.灵敏度分析
A中元素发生变化(只讨论 N 中某一列
变化情况）
与增加变量 xn+1 的情况类似，假设 pj
变化 。那么，重新计算出
B-1pj j = cj -∑ cri ari j
运筹学
灵敏度分析
2、线性规划问题的进一步研究（2.3）
价值系数C发生变化：
考虑检验数
m
j = cj -∑ ci r=i 1arij
j = 1,2,……,n
1、若 ck 是非基变量的系数： 设 ck 变化为 ck + ck k’= ck + ck -∑ cri arik = k+ ck 只要 k’≤ 0 ，即 ck ≤ - k ，则最优解不变；否则，将最优单纯形 表中的检验数 k 用 k’取代，继续单纯形法的表格计算。
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立 线性规划模型m：ax z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
4
x1 x1
2
x2
8 16
4 x 2 12
x 1 , x 2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及其数学模型
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能
例3.5:
上例最优单纯形表如下
Ci
23 0
CB XB B X1 X2 X3
2 X1 4 1 0
0
0 X5 4 0 0 -2
3 X2 2 0 1 1/2
σj
0 0 -1.5
00
X4
X5
1/4 0
1/2 1
-1/8 0
-1/8 0
3.灵敏度分析
0 0.25 0
这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
例3.4增加3x1+ 2x2≤15，原最优解不 满足这个约束。于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
wenku.baidu.com
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
1
σj
各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化 因此，设 b1 增加 4，则 x1 ,x5 ,x2
分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解，可得：
x* = ( 4, 3, 2, 0, 0 )T f* = 17
3.灵敏度分析
增加一个变量
增加变量 xn+1 则有相应的pn+1 ,cn+1
那么
计算出B-1pn+1 , n+1=cn+1-∑cri ari n+1
填入最优单纯形表,
若 n+1 ≤ 0 则 最优解不变；
否则，进一步用单纯形法求解。
3.灵敏度分析
例3.6: 例3.4增加x6 , p6=( 2, 6, 3 )T, c6=5
计算得到
Ci
2 3 000
5
CB XB b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2 X1 4
1
0
0 1/4 0
1.5
0 X5 4
0
0 -2 1/2 1
[2]
3 X2 2
0
1 1/2 -1/8 0 0.25
σj
0
0 -1.5 -1/8 0 1.25
用单纯形法进一步求解，可得：
x* = ( 1,1.5,0,0,0,2 )T f* = 16.5
3.灵敏度分析
增加一个约束
3.灵敏度分析
2、若 cs 是基变量的系数：
设 cs 变化为 cs + cs ，那么 j’= cj -∑cri arij - ( cs + cs ) asj = j - cs asj ，
i≠ s
对所有非基变量，只要对所有非基变量
j’≤ 0 ，即 j ≤ cs asj ，则最优解
不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
3.灵敏度分析
例: 下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0
s.t. Ax ≤ b x ≥0
3.灵敏度分析
最优单纯形表中含有
B-1=( aij ）i=1,…,m; j=n+1,…,n+m
那么
新的xi=(B-1b)i+brair i=1,…, m 。
由此可得，最优基不变的条件是
Max {-bi/airair>0}≤br≤ Min{-bi/airair<0}
3.灵敏度分析
4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中 只需找出满意解就可以。
目标规划问题及其数学模型
目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的 局限性？
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示： d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量