河北省石家庄市2019届高三一模考试数学(理)试卷(有答案)

石家庄市2019届高中毕业班模拟考试（一）数学（理）试卷（A卷）

石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）

理科数学答案

一、选择题

A 卷答案：1-5 CDAC

B 6-10BCCBD 11-12DA

B 卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB

二、填空题 13. 1 14. ()122y x =- 或()122

y x =--

16. 10

三、解答题

17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°

设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S =1sin 2

ac B 可得12ac =.……2分 ∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2,6a c ==. ……4分

△ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b=

即AC 的长为……6分

（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1()2

BD BC BA =+ ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅=221(2cos )4a c ac B ++=221()4

a c ac ++ 1(2)94ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥,即BD 长的最小值为3. ……12分

18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60o

PBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC = 222PC BC PB +=，PC BC ∴⊥，…………2分

,PC AB AB BC B ⊥⋂=又，

PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分

（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：

(0,0,0),(0,0,23),(2,0,0),(1,3,0)C P A B (1,0,3)F ，…………6分

设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m 则11130230

CB x y CP z ⎧•=+=⎪⎨•==⎪⎩m m 解得13x =，11y =-，10z =

即(3,1,0)=-m …………8分

设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n 则22223030

CB x y CF x z ⎧•=+=⎪⎨•=+=⎪⎩n n

解得23x =，21y =-，21z =-即(3,1,1)=--n …………10分

()()22310

25cos 5

2311,++<>===⨯+-+-m n

m n m n 由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角P BC F --的余弦值为

255

。……12分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ， 所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分

作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ，

作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥

∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分

点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点，

在Rt FMN ∆中，132

FM PC ==，32MN =， 152FN ∴=…………10分 25sin 5

FM FNM FN ∴∠==,所以二面角P BC F --的余弦值为255。…………12分

19. 解答：根据题意可得

P

A B

C z x y M

F P A B C

F M

N

111(30)5525

133(31)251025

12331(32)25510104

11327(33)2251010525

312211(34)210105550

212(35)251025

111(36)1010100

P P P P P P P ξξξξξξξ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ……..部分对给2分，全对给4分

ξ的分布列如下：

…………………………………5分

13171121()3031323334353632.825254255025100

E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……6分 （2）当购进32份时，利润为

()()2131324314830416107.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++=

……8分

当购进33份时，利润为

()()()591313343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525

⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=+++=……10分

125.6>124.68

可见，当购进32份时，利润更高！……12分

20. 解：（1） 由抛物线定义,得02

p PF x =+，由题意得： 0002224

0p x x px p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩

……2分

解得0

21p x =⎧⎨=⎩ 所以，抛物线的方程为24y x = ……4分

（2）由题意知，过P 引圆(

)2223(0x y r r -+=<≤的切线斜率存在，设切线PA 的方程为

1(1)2y k x =-+，则圆心M 到切线PA

的距离d r ==，整理得，22211(4)840r k k r --+-=. 设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得22222(4)840r k k r --+-=.

所以，12,k k 是方程222(4)840r k k r --+-=的两根，121228,14

k k k k r +==-. ……6分

设11(,)A x y ，22(,)B x y

由12(1)24y k x y x

=-+⎧⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以11211

424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. ……8分 设点D 的横坐标为0x ，则

222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分

设12t k k =+，则[)284,24

t r =

∈---， 所以，20223x t t =--，对称轴122

t =>-，所以0937x <≤ ……12分 21.解：（1）2211(1)(),0a x a f x x x x x ---'=-=>（） 当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；

……2分

当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '<⇒<<-，函数)(x f 在(0,1)a -上单调递减；

()0,1f x x a '>⇒>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；

()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小

综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；