八年级数学下册19一次函数192一次函数1922一次函数第1课时导学案新人教版

19.2.2一次函数(第1课时)学习目标：1.在列函数解析式的基础上认识什么是一次函数.2.弄清正比例函数和一次函数间的关系.3.树立学生应用数学知识解决实际问题的意识.认识一次函数学习重点：一次函数解析式的特点学习难点：1.一次函数解析式的特点.2.一次函数与正比例函数关系的正确理解一、自主学习1.函数的概念是2.正比例函数的概念是3.正比例函数图象性质是：4.某登山队大本营所在地的气温为15°,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处的位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系：这个函数是正比例函数吗?它与正比例函数有什么不同?这种形式的函数叫函数.二、合作探究1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，请写出函数解析式.(注意范围)(1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关，即C•的值约是t的7倍与35的差.(2)有一种计算成年人标准体重G(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105,所得差是G的值.(3)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费(按0．1元/分收取).(4)把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y(单位：cm2)随x的值而变化.上面这些函数的形式都是自变量x的k(常数)倍与一个常数的．如果我们用b来表示这个常数的话．这些函数形式就可以写成：三、数学概念一次函数的概念：一般地，形如的函数叫一次函数.(1)自变量系数(常数)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)当b=0时，y=kx+b即y=kx，故正比例函数是一次函数.一次函数与正比例函数的辨证关系可以用下图来表示:一次例函数四、例题讲解完成下面各题.1.下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？(1)y=–x –4；(2) y=5x 2+6；(3) y=–8x ；(4) y=–8x ；(5)y+x=6；(6)y=kx 2.下列说法不正确的是( )(A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数(C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数3.在一次函数y=kx+b 中，当x=3时，y=3；当x=1,y=–1.(1)求此函数；(2)求当x=4时y 的值；(3)求当y=7时x 的值.五、反馈练习练习第90页、91页第1、2、3题.六、能力提升已知函数223(3)(2)1m y p x m x m n -=-+-++-：(1)当m 、n 、p 满足 ，此函数是正比例函数.(2)当m 、n 、p 满足 ，此函数是一次函数.注意：一次函数和正比例函数的联系与区别.七、检测验收1.在一次函数y=–3x –5中，k =_______，b =_______2.下列函数中，是一次函数的有_______，是正比例函数的有__________(1) y=–2x ；(2) y=2x；(3)y=2x 2+3x –1； (4)y=–0.5x –1 (5)y=x ；(6)y=2(x+3)；(7)y=4–3x3.若函数y=(b –1)x+b 2–9是正比例函数，则b = _________4.若函数y=(m –3)x+2–m 是一次函数，则m__________5.下列说法正确的是( )A.y=kx+b 是一次函数B.一次函数是正比例函数C.正比例函数是一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数6.仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，则仓库内余下的粉笔盒Q与星期数t 之间的函数关系式是________________，它是__________函数.(1)请写出一个正比例函数，且x=2时，y=–6 .(2)请写出一个一次函数，且x=–6时，y=2.7.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米.据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，则树高x 815y 与年数x 之间的函数关系式是_____________，它是_______函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高________米. 8.梯形的上底长x,下底长15,高8； (1)写出梯形的面积S 与上底x 的关系式,是一次函数吗?(2)当x 每增加1时, S 是如何变化的? (3)当x=0时, S 等于多少？此时S 的意义是什么?2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．要得到函数y =2x +3的图象，只需将函数y =2x 的图象（ ）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向下平移3个单位D ．向上平移3个单位2．下列各图象中，不是y 关于x 的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，直角三角形ABO 的周长为100，在其内部有个小直角三角形周长之和为（ ）A ．90B ．100C ．110D ．1204．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD AC ⊥于点D ，某班学生在一次数学活动课中，探索出如下结论，其中错误的是（ ）A ．EF BE CF =+B ．点O 到ABC ∆各边的距离相等 C ．90BOC A ∠=+∠D ．设OD m =，AE AF n +=，则12AEF S mn ∆= 5．下列几红数中，是勾股数的有（ ）. ①5、12、13；②13、14、15；③3k 、4k 、5k （k 为正整数）；④23、2、73. A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组6．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．经过路口，恰好遇到红灯；B ．四个人分成三组，三组中有一组必有2人；C ．打开电视，正在播放动画片；D ．抛一枚硬币，正面朝上；7．如图，在ABC ∆中，4AB =，5BC =，8AC =．点D ，E ，F 分别是相应边上的中点，则四边形DFEB的周长等于（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8． 如果解关于x 的方程+1＝（m 为常数）时产生增根，那么m 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣29．若3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．3x ≥B ．3x ≤C ．3x ≠D ．x <310．下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）二、填空题 11．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC,E 是AB 的中点，若AC=6，则DE 的长为 _____________12．在平面直角坐标系中，已知点()()2,7,9,6A B ，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点A （2，4），B （4，0），以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为_____．14．若2-是关于x 的一元二次方程()221240k x kx -++=的一个根，则k =____.15．已知点（2，7）在函数y=ax+3的图象上，则a 的值为____．16．如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE ＝5，折痕为 PQ ，则 PQ 的长为_________cm ．17．如图，已知在△ABC 中，BC 边上的高AD 与AC 边上的高BE 交于点F ，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC 的面积为_____．三、解答题18．6月18日，四川宜宾长宁县发生6.0级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______人，扇形统计图中m =______.（2）将条形统计图补充完整.（3）本次调查获取的样本数据的众数是______，中位数是______；（4）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为10元的学生有多少人. 19．（6分）如图正比例函数y=2x 的图像与一次函数 y kx b =+的图像交于点A （m,2）,一次函数的图象经过点B （-2，-1）与y 轴交点为C 与x 轴交点为D ．（1）求一次函数的解析式；（2）求AOD ∆的面积．20．（6分）先化简，再求值：（x ﹣1+331x x -+）÷21x x x -+，其中x 的值从不等式组23241x x -≤⎧⎨-<⎩的整数解中选取． 21．（6分）解分式方程：（1）22124x x =--； （2）211323x x x-=+--. 22．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE=CF ，求证：AF=CE ．23．（8分）如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于N ，若3AC =，2MB MC =，求AB 的长．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴，y 轴的交点分别为,A B ，直线212y x =-+交x 轴于点C ，两条直线的交点为D ，点P 是线段DC 上的一个动点，过点P 作PE x ⊥轴，交x 轴于点E ，连接BP .()1求DAC △的面积；()2在线段DC上是否存在一点P，使四边形BOEP为矩形，若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由；()3若四边形BOEP的面积为S，设P点的坐标为(),x y，求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25．（10分）阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝+++-+-+-a b c a b c a c b b c a()()()()．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD ＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】平移后相当于x不变y增加了3个单位，由此可得出答案．【详解】解：由题意得x值不变y增加3个单位应向上平移3个单位．故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象的几何变换，注意平移k值不变的性质．2．B【解析】【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【详解】解:由函数的定义可知，每一个给定的x，都有唯一确定的y值与其对应的才是函数，故选项A、C、D中的函数图象都是y关于x的函数，B中的不是，故选：B．【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．3．B【解析】过小直角三角形的直角定点作AO，BO的平行线，则四边形DEFG和四边形EFOH是矩形．∴DE=GF，DG=EF=OH，∴小直角三角形的与AO平行的边的和等于AO，与BO平行的边的和等于BO．∴小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长．∴这n个小直角三角形的周长为1．故选B．4．C【解析】利用角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质逐一判定即可.【详解】∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°+12∠A ，故C 错误； ∵∠EBO=∠CBO ，∠FCO=∠BCO ，//EF BC∴∠EBO=∠EOB ，∠FCO=∠FOC ，∴BE=OE ，CF=OF∴EF=EO+OF=BE+CF ，故A 正确；由已知，得点O 是ABC ∆的内心，到ABC ∆各边的距离相等，故B 正确；作OM ⊥AB ，交AB 于M ，连接OA ，如图所示：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O∴OM=OD m =∴()11112222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn =+=⋅+⋅=⋅+=△△△，故D 选项正确； 故选：C.【点睛】此题主要考查运用角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是注意数形结合思想的运用. 5．B【解析】【分析】勾股数是满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，据此进行判断即可．【详解】解：∵满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数，∴是勾股数的有①5、12、13；③3k 、4k 、5k （k 为正整数）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 6．B【解析】分析：必然事件就是一定能发生的事件，根据定义即可作出判断．详解：A 、经过路口，恰好遇到红灯是随机事件，选项错误；B 、4个人分成三组，其中一组必有2人，是必然事件，选项正确；C 、打开电视，正在播放动画片是随机事件，选项错误；D 、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，选项错误．故选B ．点睛：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．B【解析】【分析】根据三角形中位线的性质及线段的中点性质求解即可.【详解】 解：点D ，E ，F 分别是相应边上的中点EF DF ∴、是三角形ABC 的中位线112222EF AB AB ∴====，BD 同理可得，15152222DF BC BC ∴====，BE ∴四边形DFEB 的周长5522922EF BD DF BE =+++=+++= 故答案为：B【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练运用三角形中位线的性质求线段长是解题的关键.8．A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣5=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以x﹣5，得：x﹣6+x﹣5=m．∵方程有增根，∴x=5，将x=5代入x﹣6+x﹣5=m，得：m=﹣1．故选A．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，3-x≥0，解得，x≤3，故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．10．B【解析】分析：函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可判断．详解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项B中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．故B中曲线不能表示y是x的函数.故选：B．点睛：考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．二、填空题11．3【解析】∵AB=A C，AD平分∠BAC,∴D 是BC 中点.∵E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， 116322DE AC ∴==⨯= . 12．2732k ≤≤ 【解析】【分析】要使直线()0y kx k =≠与线段AB 交点，则首先当直线()0y kx k =≠过A 是求得k 的最大值，当直线过B 点时，k 取得最小值.因此代入计算即可.【详解】解：当直线过A 点时，72k = 解得72k =当直线过B 点时，69k = 解得6293k == 所以要使直线与线段AB 有交点，则2732k ≤≤ 故答案为：2732k ≤≤ 【点睛】本题主要考查正比例函数的与直线相交求解参数的问题，这类题型是考试的热点，应当熟练掌握. 13．（1，2）【解析】【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．【详解】点B 的坐标为（4，0），以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0）， ∴以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小，得到△OA'B'，∵点A 的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案是：（1，2）．【点睛】考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14．0【解析】【分析】根据一元二次方程的解即可计算求解.【详解】把x=-2代入方程得()241440k k --+=，解得k=1或0，∵k 2-1≠0，k ≠±1，∴k=0【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程二次项系数不为0.15．1．【解析】【分析】利用待定系数法即可解决问题；【详解】∵点（1，7）在函数y=ax+3的图象上，∴7=1a+3，∴a=1，故答案为:1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型． 16．13【解析】【分析】先过点P 作PM ⊥BC 于点M ，利用三角形全等的判定得到△PQM ≌△ADE ，从而求出PQ=AE ．【详解】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴13=故答案是：13.【点睛】本题主要考查正方形中的折叠问题, 正方形的性质.解决本题的关键是能利用折叠得出PQ⊥AE从而推理出∠AED=∠APQ=∠PQM，为证明三角形全等提供了关键的条件.17．1【解析】分析：首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出AD BDDC DF=，构建方程求出x即可解决问题；详解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，∵∠BAC=45°，∴AE=EB，∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBE，∴△AEF≌△BEC，∴AF=BC=10，设DF=x．∵△ADC∽△BDF，∴AD BD DC DF=，∴1064xx+=，整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12（舍弃），∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=12•BC•AD=12×10×12=1．故答案为1．点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三、解答题18．（1）50，32；（2）图略；（3）10元，15元；（4）全校本次活动捐款金额为10元的学生约有576人．【解析】【分析】（1）根据捐款5元的人数与占比即可求出本次被调查的学生人数，再利用捐款10元的人数即可求出m 的值；（2）求出捐款15元的人数即可补全统计图；（3）根据众数与平均数的定义即可求解；（4）利用学校总人数乘以捐款10元的占比即可求解.【详解】解：（1）本次被调查的学生有4÷8%=50人 ，16÷50=32%，故m=32；（2）本次被调查中捐款15元的人数为50-4-16-10-8=12人故补全统计图如下：（3）由条形统计图可知，本次调查获取的样本数据的众数是10元，中位数是15元；（4）180032%576⨯=（人）答：全校本次活动捐款金额为10元的学生约有576人．【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据扇形统计图与直方图求出本次被调查的学生总数. 19．（1）一次函数的解析式为1y x =+；（2）1.【解析】【分析】（1）首先根据正比例函数解析式求得m 的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）根据（1）中的解析式，令y=0求得点C 的坐标，从而求得三角形的面积.【详解】解：（1）由题可得，把点A （m,2）代入正比例函数y=2x 得2＝2mm=1所以点A （1,2）因为一次函数图象又经过点B （-2,-1），所以221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解方程组得11k b =⎧⎨=⎩ 这个一次函数的解析式为1y x =+（2）因为一次函数图象与x 轴的交点为D ，所以点D 的坐标为（-1,0）因为AOD ∆的底为OD=1,高为A 点的纵坐标2 所以1212AOD S ∆⨯== 【点睛】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m 的值.20．原式=20x x-= 【解析】试题分析：先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求出不等式组的整数解，由分式有意义得出符合条件的x 的值，代入求解可得．试题解析：原式=2133(1)()111x x x x x x x ---+÷+++ =23211(1)x x x x x x -++⋅+-=(1)(2)11(1)x x x x x x --+⋅+-=2x x - 解不等式组23241x x -≤⎧⎨-<⎩得：﹣1≤x ＜52，∴不等式组的整数解有﹣1、1、1、2，∵不等式有意义时x≠±1、1，∴x=2，则原式=222-=1． 点睛：本题主要考查分式的化简求值及解一元一次不等式组的能力，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及解不等式组的能力、分式有意义的条件是解题的关键．21．（1）32x =-；（2）原方程无解. 【解析】【分析】 （1）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可；（2）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可。