经济学中数学的应用

数学之美 2006年7月第1期

经济学中数学的应用

历史学院 历史系 左丰力0312706（双修）

我是历史系的本科生，双修经济学专业已近两年。两年间，学习并顺利通过了经济学专业的大部分专业课程和《高等数学3-1》，因此对经济学和数学有了一些认识。这学期又正在学习《高等数学3-2》和《概率论与数理统计》。所以，就想谈谈经济学与数学的关系，以及自己的一点学习体会。 一、历史上的数学与经济学（经济生活） 培根曾说过:“数学是通向科学大门的钥匙”。伟大的物理学家伽利略甚至说:“自然界中伟大的书都是用数学语言表示的”。经济学也是如此，从上古的埃及到当今的世界，经济从来与数学息息相关。 据考证，迄今最早的数学著作是埃及僧人阿墨士（Ahmose）在公元前1600~1800年之间写成的纸草书，即所谓“灵特纸草”。在这部数学著作中，记述了许多实际计算题目，比如有关土地测量，面包、啤酒的分配，粮堆体积等——它们都是当时要解决的经济问题。1 两河流域巴比伦尼亚（Babylonia）的数学比古埃及已先进多了，具有了一定的理性趋势，从现在流传的他们的数学教材中看，仍有大量的实际经济生活的计算题。 近代数学的诞生同样促进着经济学的发展。1614年英国数学家约翰•耐普尔（John Napier）发展了对数表，简化了当时的世界贸易计算，从而极大地促进了经济的发展。 到了20世纪，数学更广泛地应用在各行各业，形成专门的数学分支——应用数学。其中很多是直接与经济学相关的，如：数理统计、运筹学等。如今诺贝尔经济学获奖的学说，都是用数学分析而得出的，更是说明经济学离不开数学。 二、 经济学课程中数学的应用 我已经学习了西方经济学（微观、宏观）、统计学、财政学等课程。从中发现不少内容需要高等数学的知识，才能真正理解和运用。 （一）、微积分的应用 1、解决经济量的弹性分析问题 某种经济量的弹性大小是经济学中经常分析的重要指标，而要完成这一量化分析，只有依靠数学来实现。经济学中规定需求价格弹性为EQ/EP=一(dQ/dp)*(p/Q)它表示商品的需求量Q随价格P变化的灵敏度，即当商品价格变

1摘引自 李建珊等：《世界科技文化史》，华中科技大学出版社，1999年版。 数学之美 2006年7月第1期

化1%时，需求量将变化——(dQ/dp)*(p/Q)%。 以2004年我校经济学院“微观经济学”期末考试A卷计算题1为例： 假定需求函数为APQ（α0），（1）求需求的点价格弹性；（2）探讨在α的不同取值范围下，降低价格对销售收入的影响。

答案： （1）, 1APPAPQPdPdQEd

（2）1，降价提高销售收入；1，降价不影响销售收入；01，降价减少销售收入。

2、解决经济量的边际分析问题 边际分析所反应的是对存在关系的两个量来说，当一个量变化时，另一个量变化的快慢程度(即变化率)。我们知道成本是产量的函数，而边际成本所反应的就是成本随产量变化的快慢程度。 以2004年经济学院“微观经济学”期末考试A卷计算题3为例： 厂商的生产函数为6.04.0KLQ，两种生产要素L和K的价格分别为w=2，r=1,

写出厂商的总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。 厂商在生产函数的约束下追求成本最小化： min C= wLrK=K+2L s.t. 6.04.0KLQ，

一阶条件为： 1)(6.04.0K

L （1）

2)(4.06.0LK （2） 6.04.0KLQ （3） （1）/(2)可得： K=3L (4) (4)带入（3）可得： QL6.03 （5）

根据（4）， QK4.03 (6)

将（5）、(6)带入目标函数C=K+2L可得总成本函数： QC)323(6.04.0 数学之美 2006年7月第1期

平均成本函数为：6.04.0323QCAC 边际成本函数为：6.04.0323QCMC AC=MC 通过以上两道考题，可以看出，他们都是利用经济学原理，并结合数学计算完成。我在选修高等数学3-1前，完成上述题目就有些不理解。 3、解决经济量的未来预测问题 许多经济量的未来发展趋势是经济学家和决策者非常关心的一个问题，那么解决这类问题的工具就是回归分析法。回归分析法在统计学和计量经济学中有大量应用。 如统计中的最小平均法，要求： （Y Yc）最小, 规范方程联立为① Y na+bt ② Y  at+bt 以2005年经济学院“统计学”期末考试A卷计算题2为例 某地区1988-1992年某种产品的产量资料如下表： 年份 产量（万吨） 1988 20 1989 22 1990 24 1991 27 1992 30 要求：做出直线方程，并预测该地区1995年这种产品可能达到的产量。 答案：令t1990=0, t=0，列式 ① 123=5a ② 25=6*10 得到y=246+2.5t 带入预测1995产量为37.1（万吨） （二）概率论的应用 1、解决质量控制中，随时抽样检查，看生产是否正常。 当发现产量有下降趋势时，及时研究原因采取措施，以减少次品率，使生产正常进行.当然要完成抽样检查只有应用概率论的知识. 2、解决公用事业的设置。 各种公用事业如百货公司的零售点、电话亭等都可看成是服务单位，这些服

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务单位的数目总是有限制的，服务对象一般是随机地使用这些单位，如:如果设立的服务单位过多，就使成本提高，造成浪费。如果服务单位太少，又会使服务对象长期等待而产生拥挤现象。如何合理地确定这些服务单位的数目便是一个很重要的问题，要解决这些问题也要用到概率论的知识。 三、经济模型与数学 深入学习经济学，必然要大量阅读西方经济学家的著作，而他们的著作和论文中充满着数学推理，从而建立经济模型。如今诺贝尔经济学获奖的学说，都是用数学分析而得出的，更是说明经济学离不开数学。下面是经济学重要学派“新古典综合派”的著名的柯布-道格拉斯成产函数，要真正读懂和理解运用，我想是离不开较好的数学基础的。下面就做简要分析。 柯布-道格拉斯生产函数及其特点的数学分析 20世纪30年代，美国经济学家柯布—道格拉斯（Cobb—Dauglas）研究了1899—1922年美国有关资本、劳动和产量之间关系的统计资料，于1928年建立了这一期间的生产函数。公式如下： 1KALQ 柯布-道格拉斯生产函数有如下特点：第一，一阶齐次性：1KLAQ;第二，劳动和资本是可以相互替代的；第三，边际产量递减，ΔQ2>ΔQ3>ΔQ4；第四，技术水平不变，A为常数，对于确定的劳动和资本的投入量只对应着一个惟一的产量，即不存在技术进步因素的影响；第五，生产函数中的产量、劳动量和资本量都是总量概念，Q=GNP=Y，因此，生产函数也可表述为： 1

KALQ。

对上述函数取对数可得： tKtLAtYln1lnlnln。 两边再对时间求导，并注意到A为常数，则 dtdKKdtdLLdtdYY11

两边同时乘以dt，则有： KdKLdLYdY1

将上式中各增量以Δ表示，则变为： KKLLYY1。

公式中ΔY/Y就是收入增长率（经济增长率）；ΔL/L就是劳动力增长率（人口增长率）；ΔK/K即为资本增长率。 如果用GY表示收入增长率，用GL表示劳动力增长率，用GK表示资本增长率，则GY= a GL+(1–a)GK；这就是新古典经济增长模型的基本公式。在这个基数学之美 2006年7月第1期

本公式中，收入增长是由劳动力增长和资本增长两种因素所引起的。 a和1–a分别代表劳动和资本在总产量中所做出的贡献（以各自收入衡量）占国民收入的百分率。 将以上基本公式两端同时减去GL，则有： GY–GL=(1 – a)(GK–GL) 上式左边为收入增长率减去劳动力增长率，可得平均每人的收入增长率；右边GK–GL为资本增长率与劳动增长率之差，可看作是平均每个工人所使用的资本的增长率。所以公式意味着第一，人均资本装备率即平均每人所使用的资本量不变，则人均收入水平不变；第二，在资本的边际产品大于0的条件下，提高人均资本装备率可以提高人均收入水平。相反，如果劳动力增长率大于资本增长率，即人均资本装备率低，则人均收入水平将会下降。因此，要使人均国民收入逐年上升，就必须使资本增长率大于劳动增长率，即平均每个工人使用的资本数量增加。 著名数学家陈省身先生说过：“我们求二次方程就会出现虚根,这就要引进虚数,虚数复数在物理学上有很大的应用，如果没有复数，就不会有电学，量子力学，以及其它物理方面的飞跃”。 可见数学对其它科学有着巨大的促进作用。经济学，也应充分利用数学，来充实和发展自己。

参考文献： 1. 张效成、张阳等《经济类数学分析》，天津大学出版社，2006年版。 2. 李建珊等：《世界科技文化史》，华中科技大学出版社，1999年版。 3. 魏埙等：《西方经济学》，南开大学出版，2004年版。 4. 耿作石、张世晴：《现代西方经济学主要学派》，天津科学技术出版社，2005年版。 5. 张晓峒：《计量经济学基础》，南开大学出版，2005年版。 6.. 刘义、李文科：《经济领域中数学的应用》，《内蒙古统计》，1998年第1期。 7. 郭柏灵：《数学及其应用》，《绵阳师范学院学报》，2003年4月第2期。 8. 2004年我校经济学院“微观经济学”期末考试A、B卷试题。 2005年我校经济学院“统计学”期末考试A卷试题。

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