数学实验报告

重庆大学

学生实验报告

实验课程名称数学实验

开课实验室DS1407

学院自动化年级2013 专业班自动化02班学生姓名侯刚学号20134615

开课时间2014 至2015 学年第二学期

数学与统计学院制

开课学院、实验室：数统学院DS1407实验时间：2014年4月3日

课程

名称数学实验

实验项目

名称

种群数量得状态转移——

微分方程

实验项目类型

验证演示综合设计其她指导

教师

龚劬

成绩√

实验目得

[1] 归纳与学习求解常微分方程(组)得基本原理与方法；

[2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解得形态与进行解得定性分析；

[3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解得各种命令；

[4] 通过范例学习建立微分方程方面得数学模型以及求解全过程；

基础实验

一、实验内容

1.微分方程及方程组得解析求解法；

2.微分方程及方程组得数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3.直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；

4.利用图形对解得特征作定性分析；

5.建立微分方程方面得数学模型，并了解建立数学模型得全过程。

二、实验过程

1．求微分方程得解析解, 并画出它们得图形，

y’= y + 2x, y(0) = 1, 0

（1）求解：

输入：dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')

输出：ans=-2*x-2+3*exp(x)

（3）作图：

输入：>> x=0:0、1:1;

>> y2=-2*x-2+3*exp(x);

>> plot(x,y2)

输出：

图表 1 方程特解图形

分析：注意dsolve得用法。

2．用向前欧拉公式与改进得欧拉公式求方程y’= y - 2x/y, y(0) = 1 (0≤x≤1,h = 0、1) 得数值解，要求编写程序，并比较两种方法得计算结果，说明了什么问题？

（1）求解析解

输入： dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')

输出： ans =(2*x+1)^(1/2)

（2）用向前欧拉公式与改进得欧拉公式求方程得数值解并与解析解作图比较

程序：

x1(1)=0;

y1(1)=1;

y2(1)=1;

h=0、1;

for k=1:10

x1(k+1)=x1(k)+h;

y1(k+1)=y1(k)+h*(y1(k)-2*x1(k)/y1(k));

k1=y2(k)-2*x1(k)/y2(k);

k2=y2(k)+h*k1-2*x1(k+1)/(y2(k)+h*k1);

y2(k+1)=y2(k)+h*(k1+k2)/2;

end

x1,y1,y2

x=0:0、1:1;

y=(2*x+1)、^(1/2);

plot(x,y,x,y1,'o',x,y2,'+')

结果：

x1 =0 0、1000 0、2000 0、3000 0、4000 0、5000 0、6000 0、7000 0、8000 0、9000 1、0000

y1 =1、0000 1、1000 1、1918 1、2774 1、3582 1、4351 1、5090 1、5803 1、6498 1、7178 1、7848

y2 =1、0000 1、0959 1、1841 1、2662 1、3434 1、4164 1、4860 1、5525 1、6165 1、6782 1、7379

图表 2 向前欧拉公式与改进得欧拉公式所求方程数值解与解析解得比较

由图可得，改进后得欧拉公式求得得数值解更贴合解析解。

分析：注意向前欧拉与改进后得欧拉公式得不同。

3．Rossler微分方程组：当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0、65))而方程解得变化情况。

程序：

rossler、m:

function xdot=rossler(t,x)

xdot=[0,-1,-1;1,0、1,0;x(3),0,-4]*x+[0,0,2]';

fangchengzu、m:

x0=[0 0 0、1];

[t,x]=ode45('rossler',[0,10],x0);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'、',t,x(:,3),'+')

pause

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

grid on

结果：

a=0、1时：

a=0、25时：

a=0、5时：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

-

+

=

+

=

-

-

=

)

(

'

'

'

c

x

z

b

z

ay

x

y

z

y

x

a=0、6时：

上述图形表示了a由小到大变化时方程解得变化。

分析：注意xdot得书写以及ode45得运用。

4、Apollo卫星得运动轨迹得绘制

程序：

apollo、m:

function yp=apollo(t,x)

u=1/82、45;

u1=1-u;

r1=sqrt((x(1)+u)^2+x(3)^2);

r2=sqrt((x(1)-u1)^2+x(3)^2);

yp=[x(2);2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/r1^3-u*(x(1)-u1)/r2^3;x(4);-2*x(2)+x(3)-u1*x(3)/r1^3-u*x(3)/r2^3];

weixing、m:

x0=[1、2;0;0;-1、04935751];

[t,x]=ode45('apollo',[0,20],x0);

plot(x(:,1),x(:,3))

xlabel('x')

11

33

12

1

33

12

1

2222

121

()()

2,

2,

1/82.45,1,

(),()

(0) 1.2,(0)0,(0)0,(0) 1.04935751

x x

x y x

r r

y y

y x y

r r

r x y r x y

x x y y

μμμμ

μμ

μμμ

μμ

+-

=+--

=-+--

==-

=++=-+

====-

&&&

&&&

&&