数学实验报告

高等数学数学实验报告实验人员：院（系） __ __学号____姓名_ __实验地点：计算机中心机房实验一 空间曲线与曲面的绘制一、实验题目：（实验习题1-2）利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1)x y x y x z =+--=2222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z二、实验目的和意义1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。

三、程序设计空间曲面的绘制作参数方程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项](1)(2)四、程序运行结果(1)（2）五、结果的讨论和分析1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形。

2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。

3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。

4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。

实验一 空间曲线与曲面的绘制一、实验题目：（实验习题1-3）观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。

特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。

二、实验目的和意义1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。

2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。

三、程序设计这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+=输入代码：ParametricPlot3D[{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]},{t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30]式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。

四、程序运行结果k=4：k=3：k=2：k=1:k=0:k=-1:k=-2:k=-3:k=-4:五、结果的讨论和分析k 取不同值，得到不同的图形。

我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。

实验二 无穷级数与函数逼近一、实验题目：（实验习题2-2）改变例2中m 及0x 的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况。

二、实验目的和意义1.利用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势。

2.学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。

三、程序设计若函数()(1)m f x x =+能展开成x-0x 的幂级数（这里不验证），则根据函数展开为幂级数的展开公式，其展开式为()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑。

因此首先定义()f x 的n 阶导数的函数g(n, 0x )，最后再构成和式即得()f x 的幂级数展开式。

用Mathematica 观察幂级数部分和逼近函数的情况。

m=–2，0x =2时输入如下命令：m =-2;f [x _]:=(1+x )^m ;x 0=2;g [n _,x 0_]:=D [f [x ],{x ,n }]/.x →x 0;s [n _,x _]:=S u m [[,0]!g k x k *(x -x 0)^k ,{k ,0,n }]; t =T a b l e [s [n ,x ],{n ,20}];p 1=P l o t [E v a l u a t e [t ],{x ,-1/2,1/2}];p 2=P l o t [(1+x )^m ,{x ,-1/2,1/2},P l o t S t y l e →R G B C o l o r [0,0,1]];S h o w [p 1,p 2]四、程序运行结果从输出的图形观察()f x 展开的幂级数的部分和逼近函数()f x 的情况：五、结果的讨论和分析从图中可以看到，当n 越大时，幂级数越逼近函数。

实验二 无穷级数与函数逼近一、实验题目：（实验习题2-3） 观察函数⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 0,10,)(展成的傅里叶级数的部分和逼近)(x f 的情况。

二、实验目的和意义1.利用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势。

2. 学会展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。

三、计算公式)(x f 可以展开成傅里叶级数：∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，其中 ⎰-⋅⋅⋅==πππ),2,1,0(cos )(1k kxdx x f a k ，⎰-⋅⋅⋅==πππ),2,1,0(sin )(1k kxdx x f b k四、程序设计输入代码：f[x_] := Which[-Pi <= x < 0, -x, 0 <= x < Pi, 1];a[n_] := Integrate[-x*Cos[n*x], {x, -Pi, 0}]/Pi +Integrate[Cos[n*x], {x, 0, Pi}]/Pi;b[n_] := Integrate[-x*Sin[n*x], {x, -Pi, 0}]/Pi +Integrate[Sin[n*x], {x, 0, Pi}]/Pi;s[x_, n_] :=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x] + b[k]*Sin[k*x], {k, 1, n}]; g1 = Plot[f[x], {x, -2Pi, 2Pi}, PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1], DisplayFunction -> Identity]; m = 18;For[i = 1, i <= m, i += 2,g2 = Plot[Evaluate[s[x, i]], {x, -Pi, Pi}, DisplayFunction -> Identity];Show[g1, g2, DisplayFunction -> $DisplayFunction]]五、程序运行结果六、结果的讨论和分析从图表可以看出，n 越大逼近函数的效果越好，还可以注意到傅里叶级数的逼近是整体性的。

实验三 最小二乘法一、实验题目：(实验习题3-2)一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据：已知函数y 与x 的关系适合模型：2cx bx a y ++=，试用最小二乘法确定系数a ，b ，c ，并求出拟合曲线。

二、实验目的和意义1. 学会利用最小二乘法求拟合曲线。

2. 学会画数据点的散点图及拟合函数的图形，并将两个图画在同一坐标下。

三、计算公式根据最小二乘法，要求221])[(),,(i i n i i y cx bx a c b a Q -++=∑=取最小值，令此函数对各个参数的偏导等于0，解n+1元的方程组便可求得这些参数的最小二乘解。

四、程序设计输入代码：x = Table[10.0 + 5.0*i, {i, 0, 4}];y = {27.0, 26.8, 26.5, 26.3, 26.1};xy = Table[{x[[i]], y[[i]]}, {i, 1, 5}];q[a_, b_, c_] := Sum[(a + b*x[[i]] + c*x[[i]]^2 - y[[i]])^2, {i, 1, 5}] NSolve[{D[q[a, b, c], a] == 0, D[q[a, b, c], b] == 0,D[q[a, b, c], c] == 0}, {a, b, c}]t1 = ListPlot[xy, PlotStyle -> PointSize[0.02],DisplayFunction -> Identity];f[x_] := 27.56 + -0.0574286*x + 0.000285714*x^2;t2 = Plot[f[x], {x, 5, 35}, AxesOrigin -> {5, 25},DisplayFunction -> Identity];Show[t1, t2, DisplayFunction -> $DisplayFunction]五、程序运行结果首先得到a，b，c三个值：{{a -> 27.56, b -> -0.0574286, c -> 0.000285714}}然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形：六、结果的讨论和分析观察a，b，c的值以及图像可以发现，二次方项的系数非常小，而所得的图像也非常接近于直线。

实验三最小二乘法一、实验题目：(实验习题3-3)在研究化学反应速度时，得到下列数据：其中x表示实验中作记录的时间，i y表示在相应时刻反应混合物中物质的量，试根据i这些数据建立经验公式。

二、实验目的和意义1. 学会利用最小二乘法求拟合曲线。

2. 学会由实际经验或相关的学科理论，能够提供拟合函数的可取类型，通过适当的变量代换将拟合函数线性化，建立经验公式。

三、计算公式在许多场合下，拟合函数不具有线性形式，但是由实际经验或相关的学科理论，能够提供拟合函数的可取类型，而且可以通过适当的变量代换将拟合函数线性化，同样可以建立经验公式。

模型bxaey=可以用变量替换x=,ln将函数化为线性函数：bXyY=X=ln。

Y+a四、程序设计输入代码：（1）生成数据并作图观察t1={3,6,9,12,15,18,21,24};y1={57.6,41.9,31.0,22.7,16.6,12.2,8.9,6.5};data1=Transpose[{t1,y1}];d2=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.02]}];（2）确定回归函数的类型logy=Log[y1];data2=Transpose[{t1,logy}];d3=ListPlot[data2,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize [0.02] }];（3）对Lny数据进行最小二乘线性拟合ly=Fit[data2,{1,x},x]y=Exp[ly]//Factor（4）绘图观察回归曲线的拟合效果g=Plot[y,{x,1,25},PlotStyle->RGBColor[1.000,0.000,0.502]];Show[g, d2];五、程序运行结果六、结果的讨论和分析在实际应用中，可以根据实际背景、理论分析、型值点形态等因素选择适当的拟合曲线。