中考数学知识点总结完整版
中考数学总复习资料
代数部分
第一章：实数
基础知识点：
一、实数的分类：
??????
???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 、有理数：任何一个有理数总可以写成
q
p 的形式，其中、是互质的整数，这是有理数的重要特征。 、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特
定结构的不限环无限小数，如……；特定意义的数，如π、45sin °等。
、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才
下结论。
二、实数中的几个概念
、相反数：只有 的两个数叫做互为相反数。
（）实数的相反数是 ； （）和互为相反数?
、倒数：
（）实数（≠）的倒数是 ；（）和 互为倒数? ；（）注意
没有倒数
、绝对值：
（）一个数 的绝对值有以下三种情况：
（）实数的绝对值是一个 ，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是
数轴上表示这个数的点到 的距离。
（）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、
负）确认，再去掉绝对值符号。
、次方根
（）平方根，算术平方根：设≥，称叫的平方根，叫的算术平方根。
（）正数的平方根有两个，它们互为；的平方根是；负数平方根。
（）立方根：叫实数的立方根。
（）一个正数有立方根；的立方根是；一个负数有一个负的立方根。
三、实数及数轴
、数轴：规定了、、的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较
、在数轴上表示两个数，的数总比的数大。
、正数；负数；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的。
五、实数的运算
、加法：
（）同号两数相加，取的符号，并把它们的；
（）异号两数相加，取的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。、减法：
减去一个数等于。
、乘法：
（）两数相乘，，，并把绝对值相乘。（）个实数相乘，有一个因数为，积就为；若个非的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
、除法：
（）两数相除，，，并把绝对值相除。（）除以一个数等于乘以。
（）除以任何数都等于，不能做被除数。
、乘方及开方：乘方及开方互为逆运算。
、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减
是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同
级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
六、科学记数法
、科学记数法：设＞，则 （其中≤＜，为整数）。
例题： 例、已知实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，且b a 。 化简：a b b a a --+-
例、若333)4
3(,)43(,
)43(--=-=-=c b a ，比较、、的大小。
例、若22+-b a 与互为相反数，求的值
例、已知及互为相反数，及互为倒数，的绝对值是，求的值。
例、计算：（）199********.08
反思
代数部分
第二章：代数式
基础知识点：
一、代数式
、代数式：用运算符号把 或 连结而成的式子，叫代数式。
单独一个数或者一个字母也是代数式。
、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代
数式的值。
、代数式的分类：
???
????????????无理式分式
多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算
、概念
（）单项式：像、、y x 2
2，这种 叫做单项式。单独一个数
或字母也是单项式。
单项式的次数：一个单项式中， 叫做这个单项式的
次数。
单项式的系数：单项式中的 叫单项式的系数。
（）多项式： 叫做多项式。
多项式的项：多项式中 叫多项式的项。一个多项式含有几
项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的
次数。不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大
（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
（）同类项：所含字母 ，并且相同字母 的项叫做同
类项。
、运算
（）整式的加减：
合并同类项： 。
去括号法则：括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括
号里各项 ；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，
括号里的各项 。
添括号法则：括号前面是“”号，括到括号里的各项都 ；括号前面
是“–”号，括到括号里的各项都 。
整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去
括号，再合并同类项。
（）整式的乘除：
幂的运算法则：其中、都是正整数
同底数幂相乘：m n a a ?= ；同底数幂相除：m n
a a ÷= ；
幂的乘方：()m n a = 积的乘方：()n ab = 。 单项式乘以单项式：用它们 作为积的系数，对于相同的字母，用
它们的 作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的
积 。
多项式乘以多项式：先用 乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积 。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只
在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得
的商相加。
乘法公式：
平方差公式： ；
完全平方公式： ，
三、因式分解
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 形式，叫因式分解。
、常用的因式分解方法：
（）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++
（）运用公式法：
平方差公式：))((2
2b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±
、因式分解的一般步骤：
（）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式；
四、分式
、分式定义：形如B
A 的式子叫分式，其中、是整式，且中含有字母。 （）分式无意义：时，分式无意义； ≠时，分式有意义。
（）分式的值为：，≠时，分式的值等于。
（）分式的约分：把一个分式的分子及分母的公因式约去叫做分式的
约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（）最简分式：一个分式的分子及分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（）通分：把几个异分母的分式分别化成及原来分式相等的同分母分
式的过程，叫做分式的通分。
（）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（）有理式：整式和分式统称有理式。
、分式的基本性质：
（）)0(的整式是≠??=M M B M A B A ；（）
)0(的整式是≠÷÷=M M
B M A B A （）分式的变号法则：分式的分子，分母及分式本身的符号，改变其
中任何两个，分式的值不变。
、分式的运算：
（）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母
的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，
分母乘以分母。
（）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
、二次根式的概念：式子)0(≥a a 叫做二次根式。
（）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数
中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
（）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根
式，叫做同类二次根式。
（）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积
不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 及a ；d c b a +及d c b a -）
、二次根式的性质：
（） )0()(2≥=a a a ；（）???<-≥==)0()0(2a a a a a a ；（）
b a ab ?=（≥，≥）；（）)0,0(≥≥=b a b
a b a 、运算：
（）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类
二次根式。
（）二次根式的乘法：ab b a =?（≥，≥）。
（）二次根式的除法：
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
例题：
一、因式分解：
、提公因式法：
例、)(6)(2422x y b y x a -+-
、十字相乘法：
例、（）36524--x x ；
二、式的运算
巧用公式 例、计算：22)11()11(b
a b a -+---
、化简求值：
例、先化简，再求值：)74()53(52222xy y x x x +++-，其中 – 21-
、分式的计算：
例、化简)33
16(625---÷--a a a a
、根式计算 例、已知最简二次根式12+b 和b -7是同类二次根式，求的值。
反思：
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含
有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程
的增根。
二、一元方程
、一元一次方程
（）一元一次方程的标准形式：（其中是未知数，、是已知数，≠）
（）一玩一次方程的最简形式：（其中是未知数，、是已知数，≠）
（）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类
项和系数化为。
（）一元一次方程有唯一的一个解。
、一元二次方程
（）一元二次方程的一般形式：02
=++c bx ax （其中是未知数，、、
是已知数，≠）
（）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分
解法
（）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，
一般不用配方法。
（）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=?
当Δ＞时?方程有两个不相等的实数根；
当Δ时?方程有两个相等的实数根；
当Δ< 时?方程没有实数根，无解；
当Δ≥时?方程有两个实数根
（）一元二次方程根及系数的关系：
若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：，
（）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为）是：0)(21212=++-x x x x x x
三、分式方程
（）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公
分母不为的就是原方程的根；使得最简公分母为的就是原方程的增根，增
根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
、一次方程组：
（）二元一次方程组：
一般形式：（212121,,,,,c c b b a a 不全为）
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
（）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法
、二元二次方程组：
（）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以
及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。
（）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一
次方程组。
考点及命题趋向分析
例题：
一、一元二次方程的解法
例、解下列方程：
（）；（）1322=+x x ；（）22)2(25)3(4-=+x x
分析：（）用直接开方法解；（）用公式法；（）用因式分解法
解：略
[规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2
≥=+n n m x ，就可以用直接开
方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法
解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。
例、解下列方程：
（）)(0)23(2为未知数x b a x a x =+--；（）08222=-+a ax x 分析：（）先化为一般形式，再用公式法解；（）直接可以十字相乘法因式
分解后可求解。
解：略
[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用
公式法时要注意判断△的正负。
二、分式方程的解法：
例、解下列方程：
（）；（）
分析：（）用去分母的方法；（）用换元法
解：略
[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平
方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。
三、根的判别式及根及系数的关系
例、已知关于的方程：032)1(2
=+++-p px x p 有两个相等的实数根，
求的值。
分析：由题意可得?，把各系数代入?中就可求出，但要先化为一般形式。
解：略
[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项
系数不能为 例、已知、是方程0122=--x x 的两个根，求下列各式的值：
（）22b a +；（）
分析：先算出和的值，再代入把（）（）变形后的式子就可求出解。
[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变
形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方
程是否有解。
例、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052=--x x 的
两个根小
分析：先出求原方程的两根之和21x x +和两根之积21x x 再代入求出)2()3(21-+-x x 和)3)(3(21--x x 的值，所求的方程也就容易写出来。
解：略
[规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，
用根及系数的关系就比较简单。
三、方程组
例、解下列方程组：
（） ； （）
分析：（）用加减消元法消较简单；（）应该先用加减消元法消去，变成二
元一次方程组，较易求解。
解：略
[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最
简单就先消那个未知数。
例、解下列方程组：
（） ； （）?????=+=+---25
043432222y x y x y xy x
分析：（）可用代入消远法，也可用根及系数的关系来求解；（）要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再及第二个方程分别组成两个方程组来解。
解：略
[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。
代数部分
第四章：列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
、审题：
、设未知数；
、找出相等关系，列方程（组）；
、解方程（组）；
、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
、工程问题
（）基本工作量的关系：工作量工作效率×工作时间
（）常见的等量关系：甲的工作量乙的工作量甲、乙合作的工作总量（）注意：工程问题常把总工程看作“”，水池注水问题属于工程问题、行程问题
（）基本量之间的关系：路程速度×时间
（）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程乙走的路程全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间乙的时间；甲走的路程–乙走的路程原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间乙的时间–时间差；甲的路程乙的路程
、水中航行问题：
顺流速度船在静水中的速度水流速度；
逆流速度船在静水中的速度–水流速度
、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量原来的量增长的量；增长的量原来的量×
（增长率）；
、数字问题：
基本量之间的关系：三位数个位上的数十位上的数×百位上的数×
三、列方程解应用题的常用方法
、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成
代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后
根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种
量之间的关系。
、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量及量之间的
关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
例题：
例、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作天后，甲组另有任
务，由乙组再单独工作天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用
天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？
分析：设工作总量为，设甲组单独完成工程需要天，则乙组完成工程
需要()天，等量关系是甲组天的工作量乙组天的工作量工作总量
解：略
例、某部队奉命派甲连跑步前往千米外的地，小时分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快千米，恰好在全程的
3
1处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间 分析：设乙连的速度为千米小时，追上甲连的时间为小时，则甲连的
速度为（–）千米小时，这时乙连行了小时，其等量关系为：甲走的路程乙
走的路程
解：略
例、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备台支援抗洪，由于改进
了操作技术；每天生产的台数比原计划多，结果提前天完成任务，求改进
操作技术后每天生产通讯设备多少台？
分析：设原计划每天生产通讯设备台，则改进操作技术后每天生产（）
台，等量关系为：原计划所用时间–改进技术后所用时间天
解：略
例、某商厦今年一月份销售额为万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
分析：设三、四月份平均每月增长率为，二月份的销售额为（–）万元，三月份的销售额为二月份的（）倍，四月份的销售额又是三月份的（）倍，所以四月份的销售额为二月份的（）倍，等量关系为：四月份销售额为万元。
解：略
例、一年期定期储蓄年利率为，所得利息要交纳的利息税，例如存入一年期元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税后利息
.2
25
%
100
100-
?
-
?
?
=
?
.2
25
1
20
%)
25
%(
.2
20
%
100
%
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是元，问该储户存入了多少本金？
分析：设存入元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为()元，方程容易得出。
例、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件。若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应该降价元，则每件衬衫的利润为（）元，平均每天的销售量为（）件，由关系式：
总利润每件的利润×售出商品的叫量，可列出方程
解：略
代数部分
第五章：不等式及不等式组
知识点：
一、不等式及不等式的性质
、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。
、不等式的性质：
（）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，
如＞ ， 为实数?＋＞＋
（）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如
＞， ＞?＞。
（）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如
＞，＜?＜.
注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的
习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否
改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
、任意两个实数，的大小关系（三种）：
（） – ＞? ＞
（） – ?
（）–＜?＜
、（）＞＞?
b a > （）＞＞?22b a <
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）
的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。
三、不等式（组）的类型及解法
、一元一次不等式：
（）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，
叫做一元一次不等式。
（）解法：及解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同
乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。
、一元一次不等式组：
（）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，
叫做一元一次不等式组。
（）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
例题：
方法：利用不等式的基本性质
、判断正误：
（）若＞，为实数，则2ac ＞2bc ；
（）若2ac ＞2bc ，则＞
分析：在（）中，若，则2ac 2bc ； 在（）中，因为”＞”，所以。
≠，否则应有2ac 2bc 故＞
解：略
［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，
不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。
方法：特殊值法
例、若＜＜，那么下列各式成立的是（ ）
、 、＜ 、1 a 、 分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立， 当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。 解：根据＜＜的条件，可取 –， –，代入检验，易知，所以选 [规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答 时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。 方法：类比法 例、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。 （）–（＋）＜–；（） 分析：解一元一次不等式的步骤及解一元一次方程类似，主要步骤有 去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成，需要注意的是，不等 式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。 解：略 [规律总结］解一元一次不等式及解一元一次方程的步骤类似，但要注 意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变， 类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。 方法：数形结合法 例、求不等式组：?????<+-+--≤+13762 1)3(410)8(2x x x x 的非负整数解 分析：要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集， 再从解集中找出其中的非负整数解。 解：略 方法：逆向思考法 例、已知关于的不等式a x a ->-10)2(的解集是＞，求的值。 分析：因为关于的不等式的解集为＞，及原不等式的不等号同向，所 以有 – >，即原不等式的解集为，解此方程求出的值。 解：略 [规律总结]此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条 件，此种类型题都采用逆向思考法来解。 代数部分 第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。 在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 、不同位置点的坐标的特征： （）各象限内点的坐标有如下特征： 点（, ）在第一象限? ＞，＞； 点（, ）在第二象限?＜，＞； 点（, ）在第三象限?＜，＜； 点（, ）在第四象限?＞，＜。 （）坐标轴上的点有如下特征： 点（, ）在轴上?为，为任意实数。 点（，）在轴上?为，为任意实数。 ．点（, ）坐标的几何意义： （）点（, ）到轴的距离是 ； （）点（, ）到袖的距离是 ； （）点（, ）到原点的距离是2 2y x + ．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （）点（, ）关于轴的对称点是),(1b a P -； （）点（, ）关于轴的对称点是),(2b a P -； （）点（, ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保 持数值不变的量叫做常量。 、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量和，如果对于的每 一个值，都有唯一的值及它对应，那么就说是自变量，是的函数。 （）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体 实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分 母不为的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是 使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必 须使实际问题有意义。 （）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点； ③连线 三、几种特殊的函数 、一次函数 直线位置及，的关系： （）＞直线向上的方向及轴的正方向所形成的夹角为锐角；（）＜直线向上的方向及轴的正方向所形成的夹角为钝角；（）＞直线及轴交点在轴的上方； （）＝直线过原点； （）＜直线及轴交点在轴的下方； 、二次函数 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距 离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +；外切（图2）? 有一个交点?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B :从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r 圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称 轴，圆心是它的对称中心（p110） 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。(逆定理： 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相 等。 10.定理3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧（优弧） 相等，相等的劣弧（优弧）所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆（P117） 12.顶点在圆上，并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理：（p119-120）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角；对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r 2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个) 圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)： P在⊙O外，POP在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO 2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB 初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0； （6）两根异号 ? a c ＜0 ? a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a c ＜0且a b -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号； A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD = 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系： 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R． (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d 初中数学——《圆》 【知识结构】 ????? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? ?? ????????? ?? ??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含 内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆 一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性 （1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。 三、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 知2推3定理：①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 知1推3定理： ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④弧BA=弧BD 五、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论： 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧是等弧； 2 对的弦是直径。 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形。 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内 对角。 七、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d r ?点A在圆外； 八、三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 九、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r 《圆》题型分类资料 一．圆的有关概念： 1.下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列命题是假命题的是（） A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是（） A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧 C．一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) A．B．C．D． 二．和圆有关的角： 1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为 A 图3 图4 4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝_________度． 5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝． A 图5 图6 6. 如图6，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°． 7.圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ，则∠AOB＝ . 9.如图7，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________ A 图7 图8 10.如图8，△ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OABα ∠=，Cβ ∠=（1）当35 α=时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系为 11.已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E，求证：∠A+∠B C D=180°，∠DCE=∠A； 如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧，试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系； 《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： 内角的一半：(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素,、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读！ 初中圆的知识点归纳 Prepared on 24 November 2020 《圆》章节知识点复习 一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 三、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 四、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相 B A D 等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 六、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? B A B A O 圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； A 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D 2017年中考数学圆知识点总结 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 dr 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离dR+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(Rr) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 初三圆的知识点总结 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) （1）（2）（3） （4） 几何表达式举例： （1）∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… （2）∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° （3）∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 （4）∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例：∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1）∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2）∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例： A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线中考数学圆知识点归纳
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