二次函数常用公式、结论及训练.doc
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
(word完整版)二次函数知识点总结,推荐文档
二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可a≠，而b c 以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax c=+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；。
二次函数的相关公式
二次函数的相关公式二次函数可是中学数学里的一个重要角色呀！咱先来说说二次函数的一般式，那就是 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）。
这里面的 a、b、c 都有着自己独特的作用。
a 决定了抛物线的开口方向和大小，要是 a 大于 0，抛物线开口向上，像个开心的笑脸；要是 a 小于 0，抛物线开口向下，就像个愁眉苦脸。
b 呢，它和 a 一起影响着抛物线的对称轴，对称轴的公式是 x = -b / （2a）。
c 就是抛物线和 y 轴的交点纵坐标啦，当 x = 0 时，y = c 。
顶点式 y = a（x - h）² + k 也很常用。
这个公式里，（h，k）就是抛物线的顶点坐标。
通过这个式子，咱们能一下子就找到抛物线的顶点，多方便！还有一个交点式 y = a（x - x₁）（x - x₂），这里的 x₁和 x₂是抛物线和 x 轴交点的横坐标。
记得我当年上学的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于二次函数的。
题目给出了一个二次函数的一般式，让我们求出它的顶点坐标和对称轴，还问这个函数有没有最大值或者最小值。
当时我一看这题，心里有点小紧张，不过很快就冷静下来了。
我先把对称轴的公式写出来，算出对称轴，再把对称轴的值代入函数求出顶点的纵坐标，一步步稳稳地做下来。
最后得出答案的时候，心里那叫一个踏实。
咱们在学习二次函数的时候，一定要多做练习题，这样才能熟练掌握这些公式。
比如说，给定一个抛物线的顶点和另一个点的坐标，让我们写出它的顶点式。
这时候就得灵活运用顶点式的特点来解题。
还有啊，实际生活中二次函数也有很多用处呢。
比如说投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用二次函数来描述。
建筑师在设计桥梁的时候，也会用到二次函数的知识来确定桥梁的形状和受力情况。
总之，二次函数的这些公式就像是我们解决数学问题的法宝，只要我们用心去学，用心去用，就能在数学的世界里畅游无阻！所以，同学们，加油吧，把这些公式牢牢地装在我们的脑袋里，让它们为我们的学习和生活服务！。
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全
初中数学二次函数公式大全包括以下方面:
1. 一般式:y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，称 y 为x 的二次函数。
顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
2. 顶点式:y = a(x-h)^2 + k，其中 a、h、k 为常数，称 y 为x 的二次函数。
顶点坐标为 (h,k)。
3. 交点式 (和 x 轴):y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，和 x 轴交点坐标为 x = -b/2a。
4. 两根式:y = a(x-x1)(x-x2),其中 a、x1、x2 为常数，称 y 为x 的二次函数。
和 x 轴交点坐标为 x1 = -b/2a,x2 = -b/2a。
5. 抛物线的特性:1) 抛物线是轴对称图型，对称轴为直线x = -b/2a。
2)抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
3)二次项系数a决定抛物线的开口方位与大小,a > 0 时，抛物线进取开口;a < 0 时，抛物线往下开口。
a 越大，则抛物线的开口越小。
4) 一次项系数 b 与二次项系数 a 一同决定对称轴的位置。
在 a 和
b 同号时，对称轴在 y 轴左;在 a 和 b 异号时，对称轴在 y 轴右。
5) 常数项 c 决定抛物线和 y 轴交点。
抛物线和 y 轴交于 (0,c)。
以上是初中数学二次函数公式大全的主要内容，这些内容是考生必做的课程之一，了解和记忆数学科目公式与定律，是考生备考的重要部分。
二次函数知识点总结及基础训练
二次函数复习资料第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =； ②k ax y +=2； ③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2； ⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
二次函数的性质与定理
二次函数的性质与定理一、引言二次函数是数学中一个重要的概念，也是数学中的一条经典曲线。
在本文中，我们将介绍二次函数的性质与定理，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。
二、基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
三、顶点坐标二次函数的顶点坐标可通过以下公式计算得出：顶点横坐标为：x = -b / 2a顶点纵坐标为：y = c - b^2/4a四、对称轴二次函数的对称轴可通过以下公式计算得出：对称轴方程为：x = -b / 2a五、开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负确定：当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
六、零点二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以通过以下公式计算得出：首先，使用求根公式Δ = b^2 - 4ac 计算判别式。
若Δ > 0，则二次函数有两个不同的实数根；若Δ = 0，则二次函数有一个重根；若Δ < 0，则二次函数没有实数根。
七、抛物线二次函数的图像为一条抛物线，其凹凸性由二次项系数a的正负确定：当a > 0时，抛物线开口向上，为一条凹向上的抛物线；当a < 0时，抛物线开口向下，为一条凹向下的抛物线。
八、最值对于开口朝上的二次函数，最小值为函数的顶点纵坐标；对于开口朝下的二次函数，最大值为函数的顶点纵坐标。
九、图像平移对二次函数进行平移操作时，可以通过改变顶点坐标达到不同的平移效果：将二次函数沿x轴正方向平移h个单位，顶点坐标变为(x-h, y)；将二次函数沿x轴负方向平移h个单位，顶点坐标变为(x+h, y)；将二次函数沿y轴正方向平移k个单位，顶点坐标变为(x, y-k)；将二次函数沿y轴负方向平移k个单位，顶点坐标变为(x, y+k)。
十、总结通过本文的介绍，我们了解了二次函数的性质与定理，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、零点、抛物线、最值以及图像平移。
二次函数解法公式法
二次函数解法公式法二次函数是数学中的一种函数形式，其一般表达式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用来描述抛物线、开口方向等各种现象。
二次函数的解法有多种，其中一种常用的解法是使用二次函数的解法公式。
二次函数的解法公式可以帮助我们快速求解二次函数的解，并且可以通过解析解的方式得到准确的结果。
二次函数的解法公式主要包括两个公式，分别是求根公式和顶点公式。
下面我们来详细介绍这两个公式的求解方法。
1. 求根公式：求根公式是用来求解二次函数的x的解的公式，其表达式为：x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a其中，±表示两个解，√表示开方，b^2-4ac称为判别式。
求根公式的推导过程较为复杂，这里我们不再详细展开，只介绍如何使用求根公式求解二次函数的解。
我们需要确定二次函数的系数a、b、c的值，然后代入求根公式中即可求得解。
需要注意的是，判别式b^2-4ac必须大于等于0，否则二次函数没有实数解。
2. 顶点公式：顶点公式是用来求解二次函数的顶点坐标的公式，其表达式为：x=-b/2ay=f(x)=f(-b/2a)顶点公式的求解比较简单，只需要将二次函数的系数a、b代入公式中即可得到顶点坐标。
顶点公式可以帮助我们确定二次函数的最值，即抛物线的最高点或最低点。
通过求解顶点坐标，我们可以得到二次函数的凹凸性和开口方向。
除了使用求根公式和顶点公式，我们还可以通过图像法、配方法等方式来解二次函数的方程。
图像法是通过绘制二次函数的图像来寻找函数的零点、最值和凹凸性等特征。
通过观察抛物线的形状和位置，可以直观地得到二次函数的解。
配方法是一种通过将二次函数转化为完全平方式来求解的方法。
通过配方，我们可以将二次函数转化为一次函数相乘的形式，从而更容易求解。
总结起来，二次函数解法公式法是一种快速求解二次函数的解的方法。
通过求根公式和顶点公式，我们可以准确地求解二次函数方程的解和顶点坐标。
二次函数知识点总结及典型例题和练习
二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】 已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2） 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
二次函数知识归纳与总结
二次函数知识归纳与总结二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
二 次 函 数 规 律 总 结
二次函数规律总结解析式y=ax²a为常数，a≠0y=ax² +ca，c为常数，a≠0一般式：y=ax²+bx+ca，b，c为常数，a≠0顶点式：y=a（x-h）2a，h为常数，a≠0顶点式：y=a(x-h)2+ka，b，c为常数，a≠0交点式：y=a(x-x₁)(x-x2)a，b，c为常数，a≠0图像形状注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x₁,x₂=(-b±√b2-4ac)/2a开口方向及大小a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
顶点坐标-b/2a,(4ac-b2)/4a(0,0)-b/2a, (4ac-b2)/4a(0,c)-b/2a, (4ac-b2)/4a(h, k) （h，k）与x轴交点A（x₁，0）.B（x₂，0）对称轴X=-b/2aX=0X=-b/2aX=0X=-b/2a X=h x=h 两焦点距离的一半：(/x2-x1/)/2这类问题一般是给出方程的两根，可以设二次函数“两点式”，再根据所得的条件一步一步推出结论a，b决定对称轴位置，a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
c决定抛物线与y轴交点。
交于（0，c），c是纵截距。
增减性先找到对称轴X=-b/2a，再找开口方向a，画出简图就可以找到增减性。
最值a>0时，开口方向向上有最小值ymin=(4ac-b2)/4aa<0时，开口方向向下有最大值ymax=(4ac-b2)/4a平移规律以y=ax²为例，左加右减，（改变X），上加下减（改变C）变为顶点式。
有要求再化成一般式。
轴对称y=ax²+bx+cy=a(x-h)2+k 关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bx-c；关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c；关于x轴对称的解析式为：y= -a(x-h)2-k；关于y轴对称的解析式为：y= a(x+h)2+k；图像与轴交点y=ax²+bx+c与y轴的交点（0，c），与x轴交点的横坐标为方程ax²+bx+c=0的根函数小结正比例函数一次函数反比例函数解析式y = k x ( k≠0 )ｙ=k x + b（k,b为常数，且k ≠0）y=k/x或y=kx-1 (K为常数，K不等于0）图像k>0 k<0 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0, b>0 k<0 b<0 k>0 k<0 增减性X y X y平移规律对称规律以y=kx为例，左加右减，（改变X），上加下减（改变b）,有要求再化成一般式。
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初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、 常用公式或结论（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。
纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。
（2）点轴距离：点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。
（3）两点间的距离公式：若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离：点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022Ax By Cd A B++=+（5）中点坐标公式:若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）（6）直线的斜率公式：若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。
（8）两直线垂直的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1•k 2 =-1；②若k 1•k 2 =-1，则l 1┴l 2（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -•+=2122124)(1x x x x k -+•+证明如下：设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -•+=2122124)(1x x x x k -+•+而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1•x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。
（10）由特殊数据得到或联想的结论：①已知点的坐标或线段的长度中若含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。
②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决了。
③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若3K=±，则直线3与X轴的夹角为0±，则直线30；若K=1±；则直线与X轴的夹角为045；若K=3与X轴的夹角为060教学建议：在八年级下册讲一次函数与反比例函数时，就引入上述绝大多数公式，然后再强化练习，为后续学习打下基础。
二、基本公式或结论训练--------破解函数难题的基石（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=-】。
x x大小（1）若A（2,0），B（10,0），则AB=————————。
（2）若A（-2,0），B（-4,0），则AB=——————————。
（3）若M（-3,0），N（10,0），则MN=——————————。
（4）若O（0,0），A（6,0），则OA=————————。
（5）若O（0,0），A（-4,0），则OA=——————————。
（6）若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=———。
（7）若O（0,0），A(t,0),且A在O的左端，则OA=———。
（8）若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=————。
（9）若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左端，则AB=——————。
（10）若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在M的右端，则PM=————————。
注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。
】。
（二）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=-y y大小（1）若A(0,5)，B（0,7），则AB=——————————。
（2）若A（0，-4），B（0，-8),,则AB=——————。
（3）若A（0,2），B（0，-6），则AB=————————。
（4）若A（0,0），B（0，-9),则AB=————————。
（5）若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=————————。
（6）若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=————————。
（7）若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=——————————。
（8）若A（6，-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB=————————。
（9）若M （m,1-2t),N(m,3-4t),且M 在N 的下端，则MN=————————。
（10）若P （t,3n+2),M(t,1-2n),且P 在M 的上端，则PM=————————。
注意：纵线段上任意两点的x 标是相等的，反之x 标相等的任意两个点都在纵线段上。
（三）点轴距离：一个点(x y 标标，）到x 轴的的距离等于该点的y 标的绝对值（即y 标），到y 轴的距离等于该点的x 标的绝对值（即x 标）。
（1）点（-4,-3)到x 轴的距离为————————，到y 轴的距离为————————。
（2）若点A （1-2t,223t t +-)在第一象限，则点A 到x 轴的距离为————，到y 轴的距离为__________。
（3）若点M （t,243t t ++)在第二象限，则点M 到x 轴的距离为 ;到y 轴的距离为———。
（4）若点A （-t,2t-1)在第三象限，则点A 到x 轴的距离为—，到y 轴的距离为 。
（5）若点N （t ，-t 2+2t-3)点在第四象限，则点N 到x 轴的距离为——————，到y 轴的距离为_________。
（6）若点P （t ,t 2+2t-3)在x 轴上方，则点P 到ｘ轴的距离为____________。
（7）若点Q（ｔ，t2-2t-6）在ｘ轴下方，则点Q到ｘ轴的距离为_____________。
（8）若点D（ｔ，t2+4t-5）在ｙ轴左侧，则点D到ｙ轴的距离为____________。
（9）若点E（ｎ，２ｎ＋６）在ｙ轴的右侧，则点E到ｙ轴的距离为_______________。
（10）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的左侧，则点P到ｘ轴的距离为_________________，到ｙ轴的距离为——————————。
（11）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴上方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为————————————。
（12）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的左侧，则点Pｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。
（13）若动点P（ｔ，t2-2t+3）在ｘ轴下方，且在ｙ轴的右侧，则点P到ｘ轴的距离为———————，到ｙ轴的距离为——————————。
注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点Ｐ在抛物线ｙ＝x2-2x+3上位于ｘ轴下方，ｙ轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应x（或y）的相反数，标标还是其本身。
（四）中点坐标的计算：若【A （x 1,y 1），B(x 2,y 2),，则线段AB 的中点坐标为（1212,22x xy y ++）】（1）若A （－4，３），B （6，7），则AB 中点为————————————。
（2）若M （0，-6），N （6，-4），则MN 的中点坐标为————————————。
（3）若P （1-32，），Q （1132，），则PQ 的中点坐标为————————。
（4）若A(1,2),B(-3,4),且B 为AM 的中点，则M 点的坐标为——————————。
（5）若A(-1,3),B(0,2),且A 为BP 中点，则P 点坐标为————————————。
（6）点P （－5,0）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。
（7）点P （6,0）关于直线ｘ＝1的对称点的坐标为————————————。
（8）点P （6,2）关于直线ｘ＝3的对称点的坐标为___________。
（9）点Q （－4,3）关于直线ｘ＝－3的对称点的坐标为——————————。
（10）点M （－4，－2）关于直线ｘ＝2的对称点的坐标为————————————。
（11）点P （4，－3）关于直线ｘ＝－1的对称点的坐标为————————————。
（12）点M （－4,2）关于直线ｙ＝－1的对称点的坐标为——————————。
（13）点T （4，－3）关于直线ｙ＝1的对称点的坐标为——————————。
（14）点Q （0，－3）关于ｘ轴的对称点的坐标为————————————。
(15）点N （4,0）关于ｙ轴的对称点的坐标为——————。
（五）由两直线平行或垂直，求直线解析式。
【两直线平行，则两个k 值相等；两直线垂直，则两个k 值之积为-1.】（1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。
（2）某直线与直线y=12-x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。
（3）某直线与直线y=253x --平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。
（4）某直线与y 轴交于点P （0,3），且与直线y=112x -平行,求此直线的解析式。
（5）某直线与x 轴交于点P （-2,0），且与直线y=142x -+平行，求此直线的解析式。