高中数学必修5课时作业：模块综合测试卷

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高中数学人教A版必修五模块综合测评2 Word版含答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()A.12 B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】 C7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，即381＝a 1(1－27)1－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA→＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA→＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】 316．若1a <1b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b <0， ∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC＝AE sin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x ，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C ，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．。

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1高中数学必修5综合测试(1)一、选择题：1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（） A ．4 B ．34C ．9D ．18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9D ．a =﹣1 b =2 4、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（） A ．第三项 B ．第四项 C ．第五项 D ．第六项 6、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a 等于（）A ．32B ．23C ．23或32D ．﹣32或﹣237、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（）A ．120oB ．60oC ．150oD ．30o8、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（）A ．2221a aB ．2322a aC ．2423a aD ．2524a a9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）A ．41.1B ．51.1 C ．610(1.11)⨯- D ． 511(1.11)⨯-10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（）A ．2B ．2-πC ．4D ．24-π 二、填空题：11、在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 12．函数2lg(12)y x x =+-的定义域是13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为15、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，1a =1-，41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列{}n a 、{}n b 的前k 项和（k 是正整数），若k S +'k S =0，则k k b a +的值为三、解答题：16、△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+ （1）求∠B 的大小；（2）若a =4，35=S ，求b 的值。

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最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：由已知得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案： C2．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－23 C ．⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x >－23，B ＝{x ∈R |x >3或x <－1}， ∴A ∩B ＝{x ∈R |x >3}．答案： D3．等差数列{a n }的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．－3D ．3解析： ∵a 1，a 2，a 4成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 4即(a 1＋1)2＝a 1·(a 1＋3) 解得：a 1＝1，∴a 3＝a 1＋2d ＝3. 答案： D4．已知t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 和s 的大小关系正确的是( ) A ．t ≤s B ．t ≥s C ．t ＜sD ．t >s 解析： ∵t －s ＝a ＋2b －a －b 2－1＝－(b －1)2≤0，∴t ≤s . 答案： A5．各项不为零的等差数列{a n }中，有a 27＝2(a 3＋a 11)，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析： b 6b 8＝b 27＝a 27，又a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16，故选D. 答案： D6．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2解析： ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理2R ＝bsin B ＝5 2.(R 为△ABC 外接圆的半径)答案： C7．在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若前n 项和S n 满足S n ＜a n (n ∈N *)，则n 的最小值是( )A ．60B ．63C ．70D ．72 解析： S n ＜a n ⇔120n ＋n (n －1)2×(－4)＜120＋(n －1)×(－4)，即n 2－63n ＋62＞0，解得n ＜1(舍去)或n ＞62，∴n 的最小值为63. 答案： B8．在R 上定义运算☆，a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2，1)，故选B.答案： B9．一艘客船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82海里，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．东偏南75°C ．北偏东75°或东偏南75°D ．以上方位都不对解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB ＝32×12＝16，BS ＝82，∠A ＝30°.在△ABS 中，由正弦定理得 AB sin S ＝BSsin A， sin S ＝AB sin A BS ＝16sin 30°82＝22，∴S ＝45°或135°， ∴B ＝105°或15°，即灯塔S 在B 处的北偏东75°或东偏南75°. 答案： C10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1.∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案： A11．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析：由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.答案： C12．在R 上定义运算⊕：x ⊕y ＝x2－y ，若关于x 的不等式x ⊕(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[－3,1]C ．[－3，－1)∪(－1,1]D ．[－1,1)∪(1,3]解析： x ⊕(x ＋1－a )＝x 2－x －1＋a ＝－xx －(a ＋1)>0⇒xx －(a ＋1)<0，(1)⎩⎪⎨⎪⎧a >－10<x <a ＋1≤2⇒－1<a ≤1； (2)⎩⎪⎨⎪⎧a <－1－2≤a ＋1<x <0⇒－3≤a <－1； (3)a ＝－1时，不等式为x x －0<0，x ∈∅显然成立，故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝____________. 解析：由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案： 7414．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．解析：由ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12得－2，－12为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根且a <0，∴⎩⎨⎧－2－12＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－12＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52a <0，c ＝a <0，∴不等式ax 2－bx ＋c >0等价于2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <215．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A. 所以AC ＝BC sin A ·sin B ＝12sin 60°sin 45°＝4 6.答案： 4 616．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案： [－3,0]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形， S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形， S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分13分)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2,3，…(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .解析： (1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1的前n 项和为T n ，则T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴S n ＝T n ＋n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋n ＝n ＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 22．(本小题满分13分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则 f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x.∵x ≥10，∴48x ＋10 800x ≥1 440，当且仅当x ＝15时，等号成立． ∴f (x )≥2 000.因此，当x ＝15时，f (x )取得最小值f (15)＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．23 B ．2 2 C ． 3D ． 2解析：由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.答案： D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析：由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案： B3．如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＞0 C ．ab ＜acD ．ac (a －c )＜0 解析：若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立．答案： A4．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( )A ．6B ．7C ．48D ．49解析：将通项公式变形得： a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，∴n ＝48. 答案： C5．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：由c ＝a cos B 得，c ＝a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a sin C ＝a ×ca ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形．答案： D6．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，解得x 1＝－12，x 2＝1.∴2x 2－x －1>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案： D7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－2B ．4C ．6D ．8解析：作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A (－1，0)，B (3,0)，C (1,2)，由可行域可知，z ＝2x ＋y 过点B (3,0)时，z 有最大值，且z max ＝6.答案： C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B ．22C ．12D ．－12解析：利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2， ∴cos C ≥12.答案： C9．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( ) A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析： z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝7.当且仅当3x ＝27y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．故选B.答案： B10．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B ．15C ．2D ．3解析： ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c ， ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 答案： A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t 1，t 2，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10(g)，即大于10 g.答案： B12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：因为(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，又不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，所以(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a ，2a,2a ，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ，由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a ＝－24.答案：－2414．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，∴B (－6,3)， ∴z min ＝－6＋3＝－3.答案：－315．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．解析：由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ① 由a ，b ，c 成等差数列得a ＋c ＝2b ， ②②2－①得2ac ＝2b ，即b 2＝ac ，①平方得a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2，将b 2＝ac 代入得a 2＋2ac ＋c 2＝4ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵a ＋c ＝2b ，∴2a ＝2b ， ∴a ＝b ，∴a ＝b ＝c . 答案：等边三角形16．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则xy 的取值范围是____________．解析：由已知得x ＋y ＝xy ，又x ＞0，y ＞0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案： [4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解析： (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.18．(本小题满分12分)(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解析： (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2. 19．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式．解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0， ∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解析： (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.答：sin α的值为3314.方法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.答：sin α的值为3314.22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析：设桌子、椅子各买x 张和y 张，则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007. 点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752，则前面的不等式组所表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0，得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时，亦即x ＝25，y ＝752时，z 取最大值．因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．。

【精品习题】高中数学人教A版必修五模块综合测评1 Word版含答案

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1bB.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－1＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x max，∵x ＋1x ≥52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( )A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋32＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n1·qn n －12＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×3＋2n －12＝－n n ＋12.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n n －12＋n 2＝n n ＋12.综上，第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1n n＋12.【答案】(－1)n＋1n n＋12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m ＝(a2＋c2－b2，－3a)，n＝(tan B，c)，且m⊥n，求∠B的值．【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tan B－3a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，得a2＋c2－b2＝3ac tan B，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝32tan B，即tan B cos B＝32，即sin B＝32，所以∠B＝π3或∠B＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7, 求b6. 【导学号：05920087】【解】∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.∴b26＝b5·b7＝a5·a7＝32.∴b6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. ①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

新版高中数学必修5习题：模块综合检测

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于().A答案:B2下列结论正确的是().A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若则答案:C3等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13的值是().A.130B.65C.70D.75解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.所以S13答案:A4已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于().A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos2A=0,得cos2A∵A∈A∵cos A-或b=舍).故选D.答案:D5若在等比数列{a n}中,a4=7,a6=21,则a8等于().A.35B.63C.26若在△ABC中,a=4,b=则角的度数等于A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°答案:D7在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,则角B的取值范围是().A答案:A8某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A 型车7辆,则租金最少为().A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,y∈N),则x,y需满足-∈∈设租金为z,则z=1600x+2400y,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36800.故选C.答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则().A.x+y≥2C.x+y≤≥2解析:∵xy=1+(x+y)≤∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0,∴x+y≥2当且仅当x=y时等号成立.10若数列{a n}满足a1=0,a n+1∈N*),则a20等于().A.0B.解析:由a1=0,a n+1∈N*),得a2=由此可知数列{a n}是周期数列,周期为3,所以a20=a2=答案:B11若在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为().A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x(x-2)+2x+(x-2)<0,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.答案:B12已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,关于x的不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,则x的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t≤2},设f(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由条件知f(t)在区间[-2,2]上恒为正值.于是有-即--解得x>3或x<-1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n--≥100.所以2n≥51,n≥6.答案:614已知点P(x,y)的坐标满足条件点为坐标原点则的最小值等于最大值等于答案:15在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c则与的大小关系是解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos120°.∵c即a2=b2+ab,a2-b2=ab>0.∴a2>b2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n}满足a1=t,a n+1-a n+2=0(t∈N*,n∈N*).记数列{a n}的前n项和的最大值为f(t),则f(t)=.为偶数答案:为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.解(1)由a n=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9,得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=11-2n.(2)由(1)知,S n=na1-因为S n=-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了1海里求船的速度解如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=1∠ABC=120°.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为小时),路程为BC=20海里,则有v海里/时),即B 船的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足-(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.解(1)因为-=,所以(2c-b)cos A=a cos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B,整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin(A+B)=sin C.在△ABC中,0<C<π,所以sin C≠0.所以cos A=.又0<A<π,故A=.(2)由(1)得A=,又a=2,则cos A=-=,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=bc sin A=bc sin=bc≤×20=5.所以△ABC面积的最大值为5.20(12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.-解(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得解得故数列{a n}的通项公式为a n=2-n.(2)设数列-的前n项和为S n,即S n=a1++…+-,则S1=a1=1,=++…+.∵当n>1时,=a1+-+…+----=1---=1---=,∴S n=-.当n=1时,S1=1也符合该公式.综上可知,数列-的前n项和S n=-.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解设片集甲播放x集,片集乙播放y集,则有∈∈要使收视率最高,则只要z=60x+20y最大即可.由得M(2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列的前n项和,若T n≤λa n+1对任意n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知得解得d=1或d=0(舍去),因此a1=2.故a n=n+1.(2)∵由(1)可知==-,∴T n=-+-+…+-=.-∵T n≤λa n+1对任意n∈N*恒成立,∴≤λ(n+2),即λ≥对任意n∈N*恒成立.又==,当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值为.。

【精品习题】高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于( )A.12B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3 .∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1.代入公式S n ＝a 11－q n 1－q ，即381＝a 11－271－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足 ⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tan B等于( )A.32B.3－1C．2 D．2－ 3【解析】由BC→·BA→＝12，得ac cos B＝12，∴2ac cos B＝1.又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－1，∴a2－b2＋c2＝1，∴tan B＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k＝b－3a－1，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．取B(－1,0)，C(－3,1)，则k AB＝32，k AC＝12，∴12≤b－3a－1≤32.故b－3a－1的最大值是32，最小值是12.19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：05920090】【解】(1)∵(2b－c)cos A－a cos C＝0，由余弦定理得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0<A<π，∴A＝π3.(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3. 当且仅当b＝c＝3时取等号．∴S△ABC＝12bc sin A≤12×3×32＝334.从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝ 3.∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n. 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB＝x，则BC＝4x，由已知得∠BAE＝30°，在△AEC中，由正弦定理得ECsin ∠EAC ＝AEsin C，即sin C＝AE sin ∠EACEC＝5sin 150°5x＝12x，在△ABC中，由正弦定理得BCsin ∠BAC ＝ABsin C，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．。

北师大版高中数学必修五模块综合测评.docx

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10×(2a1＋9d)2＝10×(－8＋27)2＝5×19＝95.【答案】 C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A，要使三角形有两解，则应该满足的条件是()A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时，有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b 时有一解．【答案】 D3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4【解析】欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.【答案】 A4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1，又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C.【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【解析】 (ax ＋b )(x －3)>0等价于 ⎩⎨⎧ ax ＋b >0，x －3>0或⎩⎨⎧ax ＋b <0，x －3<0， ∴⎩⎨⎧x >－1，x >3或⎩⎨⎧x <－1，x <3. ∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【答案】 A6．“神七”飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n 分钟内通过的路程为S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)．检验选项知，n ＝15时，S 15＝240 km.故选C.【答案】 C7．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154 B ．34 C.31510D ．1116【解析】由6sin A ＝4sin B ＝3sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k ＞0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(22＋42－32)k 22×2k ×4k ＝1116.【答案】 D8．(2015·四川高考)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252 B ．492 C ．12D ．16【解析】⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6表示的可行域如图中阴影部分所示．令S ＝xy ，不妨设在点M (x 0，y 0)处S 取得最大值，且由图象知点M (x 0，y 0)只可能在线段AD ，AB ，BC 上．(1)当M (x 0，y 0)在线段AD 上时，x 0∈[－2,0]，此时S ＝xy ≤0；(2)当M (x 0，y 0)在线段AB 上时，x 0∈[0,2]，S ＝xy ＝x ·14－x 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－x 2＝－x 22＋7x ＝－12(x －7)2＋492，当x 0＝2时，S max ＝－12(2－7)2＋492＝－252＋492＝12；(3)当M (x 0，y 0)在线段BC 上时，x 0∈[2,4]，S ＝xy ＝x ·(10－2x )＝－2x 2＋10x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋252，当x 0＝52时，S max ＝252. 综上所述，xy 的最大值为252. 【答案】 A9．y ＝3＋x ＋x 21＋x (x ＞0)的最小值是( )A ．2 3B ．－1＋2 3C ．1＋2 3D ．－2＋2 3【解析】 y ＝3＋x ＋x 21＋x ＝31＋x ＋x ＝31＋x ＋x ＋1－1≥23－1，当且仅当31＋x ＝1＋x ，即x ＝3－1时取等号，故y 有最小值23－1.【答案】 B10．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|的值是( )A.2 0142 015 B ．2 0162 015 C.2 0152 014D ．2 0152 016【解析】 |A n B n |＝|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝2 0152 016.【答案】 D11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15 B ．a ＜－1 C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15【解析】由于f (x )＝3ax －2a ＋1，故f (x )一定是一条直线，又由题意，存在x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，故直线y ＝3ax －2a ＋1在x ＝－1和x ＝1时的函数值异号，即f (－1)f (1)＜0，得(1－5a )(a ＋1)＜0，解得a ＜－1或a ＞15.【答案】 C12．(2014·福建高考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域的交点为A (6,1)，B (－2,1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝________.【解析】由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.【答案】 214．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．【解析】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得49＝a 2＋25－2×5a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5×sin120°＝1534. 【答案】153415．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0. 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32. 【答案】 3216．若a ＞0，b ＞0，且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】 a 1＋b 2＝12·2a 1＋b 2≤4a 2＋1＋b 24＝54，当且仅当⎩⎨⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即a ＝104，b ＝62时成立．【答案】 54三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的度数．【解】 (1)由题意△ABC 的周长为2＋1，∴AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.由正弦定理，得 BC ＋AC ＝2AB ，∴AB ＝1.(2)由△ABC 的面积为12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由(1)知BC ＋AC ＝2，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128，若b n ＝log 2a n ，数列{b n }前n 项的和为S n .(1)若S n ＝35，求n 的值；(2)求不等式S n ＜2b n 的解集. 【导学号：67940089】【解】 (1)由a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝128得q 3＝64， ∴q ＝4，a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12·4n －1＝22n －3， ∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －3＝2n －3. ∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，∴{b 1}是以b 1＝－1为首项，2为公差的等差数列， ∴S n ＝(－1＋2n －3)n 2＝35，n 2－2n －35＝0，(n －7)(n ＋5)＝0，即n ＝7.(2)∵S n －2b n ＝n 2－2n －2(2n －3)＝n 2－6n ＋6＜0， ∴3－3＜n ＜3＋3， ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．19．(本小题满分12分)如图1，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器图1人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？【解】设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上．连接FG .设FG ＝x cm.根据题意，得BG ＝2x cm.则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ，所以∠EAF ＝45°，AF ＝402cm ，于是∠F AG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理，得 FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠F AG ，所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos 45°，解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70 cm 或AG ＝－2303cm(不合题意，舍去)．即该机器人最快可在线段AB 上离A 点70 cm 处截住小球． 20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：67940090】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.21．(本小题满分12分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车运营的总利润y (单位：十万元)与运营年数x 满足二次函数的关系：y ＝－a (x －6)2＋11，且该二次函数图像过点(4,7)．问每辆客车运营多少年，运营的年平均利润最大？最大值为多少？(年平均利润＝总利润年数) 【解】设年平均利润为z 十万元，依题意， ∵二次函数y ＝－a (x －6)2＋11的图像过点(4,7)， ∴7＝－a (4－6)2＋11， ∴a ＝1，∴y ＝－(x －6)2＋11，z ＝y x ＝－(x －6)2＋11x＝－x 2＋12x －25x ＝－x －25x ＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12.∵x ＞0，∴x ＋25x ≥10， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤－10，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤2，∴z ≤2，当且仅当x ＝25x 即x ＝5时，z 有最大值为2十万元．即每辆客车运营5年，运营的年平均利润最大，最大值为2十万元．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N ＋)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n ；(3)若c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：67940091】【解】 (1)证明：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∵b n ＝3log 14a n －2，b 1＝3log 14a 1－2＝1，∴b n ＋1－b n ＝3log 14a n ＋1－3log 14a n ＝3log 14a n ＋1a n＝3log 14q ＝3， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列．(2)由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)， ∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ；于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)． (3)∵c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝9(1－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，c 2＝c 1＝14，当n≥2时，c n＋1＜c n，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞c n，∴当n＝1或2时，c n取得最大值是1 4.又c n≤14m2＋m－1对一切正整数n恒成立，∴14m2＋m－1≥14，即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.故实数m的取值范围为{m|m≥1或m≤－5}．。

(完整版)高中数学必修5综合测试题及答案

D． 27
D．最大值 144
re 5．一个等比数列的首项为 1，公比为 2，则 a12 a22 a32 ... an2 （）
g a A． (2n 1)2
B． 1 (2n 1) 3
C． 4n 1
D． 1 (4n 1) 3
ein 6．以 a 2 , b 2 2 为边作三角形，则 a 所对的角 A 的范围（）
in A．－1221
B．－21．5
C．－20．5
D．－20
ir be 6、设集合 A {(x, y) | x, y,1 x y 是三角形的三边长}，则 A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部
the 分）是( )
in y
y
y
y
ings 0.5
th o 0.5
x
0.5 0.5
0.5
o
0.5
x
o
0.5 x
thing 1、ΔABC 中，a=1，b= 3 , A=30°，则 B 等于 ( )
e A．60°
B．60°或 120° C．30°或 150°
D．120°
m 1 o 2、等差数列{an}中，已知 a1＝，a2+a5＝4，an＝33，则 n 为( )
s 3
r A．50
B．49
C．48
D．47
d fo 3、已知等比数列{an }的公比为 2，前 4 项的和是 1，则前 8 项的和为 ( )
D．1500
10、已知数列an的前 n 项和 Sn 2n n 1，则 a5 的值为( )
A．80 B．40 C．20 D．10
11、不等式 (2 a)x 2 2(a 2)x 4 0 对于一切实数都成立，则（）

答案高中数学必修5模块期末综合测试卷一(人教A版)

高中数学必修5模块期末综合测试卷一（答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．解析：设最小内角为α，则sin α，cos α，1成等比数列，所以1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝5－12或sin α＝－5－12(舍)．答案： B2．解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴a 5＝－3∴d ＝a 5－a 15－1＝2 ∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2 ＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值．答案： A3．解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎨⎧ －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.答案： C4．解析：由已知a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，a 4－a 3＝2×3，…，a n －a n －1＝2×(n －1)，以上各式两端分别相加得：a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n (n －1)，即a n ＝n (n －1)∴a 2 009＝2 008×2 009.答案： D5．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．由已知，得2ac cos B ·sin B cos B ＝3ac ，即sin B ＝32，又B 是三角形的内角，所以B ＝π3或2π3.故选D. 答案： D6．解析： a 7·a 8·a 9a 1·a 2·a 3＝q 18＝2， ∴q 9＝2，a 4·a 5·a 6＝(a 1·a 2·a 3)·q 9＝5 2.答案： A7．解析：作出可行域如图所示目标函数y ＝12x －12z 过点A (1，－1)时z max ＝3答案： B8．解析：易知X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列∴(Y －X )2＝X (Z －Y )化简可得Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案： D9．解析： a ＞|b |≥0，故a n ＞b n .答案： D10．解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4.∵sin A ＝32，∴A ＝120°. 又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1543.故选B. 答案： B11．解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 3＝a 12q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31. 答案： C12．解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0∴a ＝1答案： 114．解析：不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，则4x －3＞0，显然不恒成立；若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，42－4(a ＋2)(a －1)＜0，解得a ＞2.答案： (2，＋∞)15．解析：可行域如图所示目标函数y ＝－abx ＋z∵a ＞0，b ＞0∴斜率－ab ＜0∴直线过A (1,4)时z 取到最大值8∴ab ＝4∴a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)∴a ＋b 的最小值为4.答案： 416．解析：由3≤xy 2≤8得18≤1xy 2≤13①由4≤x 2y ≤9得16≤x 4y 2≤81②①×②得2≤x 3y 4≤27 ∴最大值为27 答案： 27 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析：在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，得AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝1 00042，而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m.18．解析：原不等式即(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0，适合不等式，故(0－a －1)(2a －3)<0，即(a ＋1)(2a －3)>0，∴a >32或a <－1.若a >32，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )<－54，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12；若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )>5，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a .综上，a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.当a >32时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12.当a <－1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a .19．解析： (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 20．解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝72，蔬菜的种植面积S ＝(a －4)(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝80－2(a ＋2b )≤80－42ab ＝32(m 2)当且仅当a ＝2b ，即a ＝12，b ＝6时，S max ＝32.答：矩形温室的边长为6 m,12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2.21．解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M (4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．22．解析： (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，由已知条件b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1. (2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝[1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1]．4T n ＝[1×4＋3×42＋5×42＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ]．两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n ＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5].友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

[最新]人教A版高中数学必修5同步辅导与检测：模块综合评价(一)WORD版含答案解析

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＞b，则下列正确的是()A．a2＞b2B．ac＞bcC．ac2＞bc2D．a－c＞b－c解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立；B选项不正确，c≤0时不成立；C选项不正确，c＝0时不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于() A．45°或135°B．135°C．45°D．30°解析：因为A＝60°，a＝43，b＝42，由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝42×3243＝22.因为a＞b，所以A＞B，所以B＝45°.答案：C3．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n . 若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，所以n ≥10.答案：D4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}．又3－x x ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( )A ．16B ．32C ．48D ．64解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D.答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：因为a sin A ＝b sin B＝2R ，即a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以a cos B ＝b cos A 变形得：sin A cos B ＝sin B cos A ，整理得：sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0.又A 和B 都为三角形的内角，所以A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 为等腰三角形．答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，整理得2a 1＋3d ＝0.①又因为S 8＝8a 1＋562d ＝32，整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，故选C. 答案：C9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1，2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －43 B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34 C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23 D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析：因为P n P n ＋1＝(1，2)，(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，a n ＋1－a n ＝2，公差为d ＝2.所以a 1＋2(a 1＋2)＝3，3a 1＋1＝0，a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋n （n －1）2·2 所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43. 答案：A10．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝22n －1D ．a n ＝6n －4解析：a n ＋1＝3a n ＋2⇒a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝3，公比为3的等比数列．所以a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，所以a n ＝3n －1.故选B.答案：B11．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若对任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)解析：由题意可知，(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )≤a ＋2对任意x >2都成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min 在(2，＋∞)上恒成立．由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥ 2（x －2）·4x －2＋3＝7(x >2)，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以a ≤7，故选C.答案：C12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是( ) A ．2 2 B ．3 3C ．4 3D ．4 2 解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号，所以S△ABC＝12bc sin A≤12×16×sinπ3＝8×32＝4 3.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若△ABC的内角A满足sin 2A＝23，则sin A＋cos A＝________．解析：由sin 2A＝2sin A cos A＞0，可知A是锐角，所以sin A＋cos A＞0，又(sin A＋cos A)2＝1＋sin 2A＝53，所以sin A＋cos A＝153.答案：15 314．已知a＜b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值为________．解析：因为ab＝50＞0，所以a与b同号，若二者均为正数，则|a＋2b|≥22ab＝20，只有a＝2b时等式成立，所以a＝10，b＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a＞0，－b＞0，|a＋2b|＝－(a＋2b)≥22ab＝20，只有a＝2b时等式成立，所以a＝－10，b＝－5符合题意．所以最小值为20.答案：2015．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案：1416．在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则角B 的大小为________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc ⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.再由sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ⇒a 2＋b 2＝c 2，所以C ＝90°，所以B ＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差d 不为零，首项a 1＝2且前n 项和为S n .(1)当S 9＝36时，在数列{a n }中找一项a m (m ∈N *)，使得a 3，a 9，a m 成为等比数列，求m 的值；(2)当a 3＝6时，若自然数n 1，n 2，…，n k ，…满足3＜n 1＜n 2＜…n k ＜…，并且a 1，a 3，an 1，…，an k ，…是等比数列，求n k .解：(1)数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝2，S 9＝36，所以36＝9×2＋12×9×8d ，所以d ＝12，所以a 3＝3，a 9＝6. 由a 3，a 9，a m 成等比数列，则a 29＝a 3·a m ，得a m ＝12，又12＝2＋(m －1)·12，所以m ＝21.(2)因为{a n }是等差数列，a 1＝2，a 3＝6，所以a n ＝2n .又a 1，a 3，an 1成等比数列，所以公比q ＝3.所以an k ＝a 1·q k ＋1＝2·3k ＋1.又an k 是等差数列中的项，所以an k ＝2n k ，所以2n k ＝2·3k ＋1，所以n k ＝3k ＋1(k ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n . 解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛1＋12－1n ＋1－ ⎭⎪⎫1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）.19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?解：(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x （x －1）2·2－50， (0＜x ≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x ≤10，x ∈N)，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52，而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x [y ＋(25－x )]＝1x(－x 2＋19x －25)＝ 19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2 x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20．(本小题满分12分)实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)，所以在下图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC |·h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率．因为k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2a －1＜k CD ，所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎪⎫14，1. (3)因为(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a －1)2＋(b －2)2∈(8，17)．21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项；(2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：因为x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3.所以f (x )＝(x ＋3)2.因为S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3.所以{S n }是以3为公差的等差数列．因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3. 所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n .所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n ，所以b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝ 118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝ 118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）. 22．(本小题满分12分)规定：max(a ，b ，c )与min(a ，b ，c )分别表示a ，b ，c 中的最大数与最小数，若正系数二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，试证：(1)max(a ，b ，c )≥49f (1)； (2)min(a ，b ，c )≤14f (1)．证明：由题意知a ，b ，c ＞0，f (1)＝a ＋b ＋c ，Δ＝b 2－4ac ≥0.(1)若b ≥49f (1)，结论显然成立；下面证明当b ＜49f (1)时，结论也成立．记f (1)＝a ＋b ＋c ＝d ，由b 2－4ac ≥0，可知ac ≤b 24＜481d 2，而a ＋c ＝d －b ＞59d ，所以a 2＋481d 2≥a 2＋ac ＝a (a ＋c )＞59ad ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －19d ⎝⎛⎭⎪⎫a －49d ＞0，解得a ＜19d 或a ＞49d .若a ＜19d ，则a ＋c ＞59d ，c ＞49d . 因此，必有a ＞49f (1)或b ＞49f (1)或c ＞49f (1)，于是max(a ，b ，c )＞49f (1)． (2)若a ≤14f (1)，结论显然成立；下面证明当a ＞14f (1)时，结论也成立．因为b ＋c ＝d －a ＜34d 且b 2≥4ac ＞cd ，所以c ＋cd ＜c ＋b ＜34d ，整理为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32d ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －12d ＜0，解得c ＜14d . 因此，必有a ≤14f (1)或c ＜14f (1)，于是min(a ，b ，c )≤14f (1)．。

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你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云模块综合测试卷

班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝( )

A．－12 B．－2 C．2 D.12 2．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是( ) A. a＋c>b＋d B. a－c>b－d C. ac>bd D. ad>bc 3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝45°，B＝60°，a＝6，则b等于( ) A. 36 B. 32 C. 33 D. 26

4．设变量x，y满足 x＋y≤1，x－y≤1，x≥0，则x＋2y的最大值和最小值分别为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 5．已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6．设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是( )

A．－22 B．－533 C．－3 D．－72 7．在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－ax＋a)<1对任意实数x成立，则( )

A．－18．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 9．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则C等于( ) 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 A．30° B．60° C．45°或135° D．120° 10．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( ) A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．112＋214＋318＋…＋101210＝________. 12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

13．已知△ABC的面积为12，sinA＝14，则1b＋2c的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35. (1)若b＝4，求sinA的值； (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

15．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m2，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元．集装箱的容积为24 m3，最多载重13吨．求用该集装箱托运甲、乙两种产品能获得的你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云最大利润．

16．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和的公式．

17．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 18．同学们对正弦定理的探索与研究中，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．请利用该结论，解决下列问题：

(1)现有一个破损的圆块如图1，只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计一种方案，求出这个圆块的直径的长度． (2)如图2，已知△ABC三个角满足(sin∠CBA)2＋(sin∠ACB)2－(sin∠CAB)2＝sin∠CBA·sin∠ACB，AD是△ABC外接圆直径，CD＝2，BD＝3，求∠CAB和直径的长．你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云一、选择题 1．D ∵a5＝a2q3，∴q3＝a5a2＝18，∴q＝12. 2．A 3．A

4．B 画出可行域如图，分析图可知当直线u＝x＋2y经过点A、C时分别对应u的最大值和最小值． 5．A 因数列{an}是等比数列，a2a4＝a23，a4a6＝a25，代入条件a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，得a23＋2a3a5＋a25＝25，(a3＋a5)2＝25，又an>0，所以a3＋a5＝5.

6．C 设a＋b＝t，则a＝t－b；代入a2＋2b2＝6中得，(t－b)2＋2b2＝6，整理得 3b2－2tb＋t2－6＝0，∵b∈R，∴Δ＝4t2－12(t2－6)≥0， ∴－3≤t≤3.即(a＋b)min＝－3. 7．C ∵运算满足xy＝x(1－y)，∴不等式(x－ax＋a)<1化为(x－a)(1－x－a)<0，整理得x2－x－a2＋a＋1>0，此不等式对任意实数x都成立，

∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－12

8．B x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·[x＋－x2]2＝3·(12)2＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时取得最大值．

9．C 由a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)可得(a2＋b2－c2)2＝2a2b2，∴cosC＝±22，∴C＝45°或135°. 10．D 取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，只有选项D满足．二、填空题

11．56－1210

解析：112＋214＋318＋…＋101210＝(1＋12)＋(2＋14)＋(3＋18)＋…＋(10＋1210)＝(1＋2＋3

＋…＋10)＋(12＋14＋18＋…＋1210)＝＋2＋12－12101－12＝55＋1－1210＝56－1210. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 12．20 解析：由题意知总运费与总存储费之和为400x·4＋4x≥160，当且仅当x＝20吨时，费用之和最小． 13.2

解析：由已知，△ABC的面积为12bcsinA，即12bcsinA＝12，所以bc＝4，1b＋2c≥21b·2c

＝2，即1b＋2c的最小值是2. 三、解答题 14．解：(1)∵cosB＝35>0，且0

∴sinA＝asinBb＝2×454＝25. (2)∵S△ABC＝12acsinB＝4，∴12×2×c×45＝4. ∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴b＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×35＝17.

15．解：设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，则 5x＋4y≤24，2x＋5y≤13，x≥0，

y≥0，

且z＝10x＋20y.作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l0

＝10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4,1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元． 16．解：(1)设数列{an}的公差为d，则由a1＋a2＋a3＝3a2＝12，得a2＝4，∴d＝a2－a1

＝4－2＝2，从而an＝2n.

(2)由bn＝an·3n＝2n·3n， ∴Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n. ① 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云又3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－4)·3n－1＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1， ② 由①－②，得－2Sn＝2(3＋32＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1.∴Sn＝－3n2＋n·3n＋1.

17．证明：∵a、b、c∈R＋，∴a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，a＋c2≥ac且a、b、c不全相等． ∴a＋b2·b＋c2·c＋a2>abc，又y＝lgx为增函数，

∴lga＋b2·b＋c2·c＋a2>lg(abc)， ∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc. 18．解：(1)方案：①在未破损的圆周上任取三点M，N，P. ②连结三点M，N，P得圆内接三角形(△MNP)． ③用直尺量得MN＝a，用量角器量得∠MPN＝α.

④由正弦定理得：asinα＝2R，即为所求圆块的直径．

(2)由asinA＝bsinB＝csinC＝2R，在△ABC中，等式(sin∠CBA)2＋(sin∠ACB)2－(sin∠CAB)2＝sin∠CBA·sin∠ACB，可化为b2＋c2－a2＝bc，即：cos∠CAB＝b2＋c2－a22bc＝12. ∴∠CAB＝60°，∴∠CDB＝120°. 在△CDB中，CD＝2，BD＝3，由余弦定理得： BC2＝CD2＋BD2－2CD·BD·cos120°＝19，

∴BC＝19. ∵AD是△ABC外接圆的直径，

∴AD＝BCsin∠CAB＝19sin60°＝2573.