动量守恒定律

mu o 速度增量 ∆v = v − v0 cosϕ = M + mv sinϕ 增加的距离： 增加的距离： ∆s = ∆vt, 而 t = 0 g
故
mu v0 sinϕ ∆s = ⋅ M +m g
M +m
ϕ
x
已知： M 已知：车 、 N个人 , 开始时静止 m m m 每个人以相对车水平 速度 υr跳车 M 车 求: (1) 一齐跳后车速 υ车 =？ (2) 一个一个跳后车速 υ车 =？
2
r v2
y
r r
ω
r v1
θ
x
r r π 2ω r π 2ω r 2 = −m R ∫ cosωtdti + ∫ sinωtdtj =−m R(i + j ) ω ω 0 0
例;一重锤从 h =1.5m 处静止落下,与加工工件碰撞后 v = 0 , 处静止落下, 若打击时间为10 求冲击力与重力比值. 若打击时间为10-1和 10-4 秒,求冲击力与重力比值.
t1 t1 t2 t1 t2
t2
2
v t2 v v v I = ∫ F dt = p2 − p1
t1
冲击力下
t1
F
v t2 v v I = ∫ Fdt = F∆t
v v v v I p2 − p1 : F= = ∆t t2 −t1
∆t
力

F
0
t t1
∆t
t2
在光滑平面上， 的质点以角速度ω沿半径为 例 . 在光滑平面上，质量为 m 的质点以角速度 沿半径为 R 的圆周匀速运动。 试分别用积分法和动量定理，求出在θ从 的圆周匀速运动。 试分别用积分法和动量定理，求出在 从 0 到 π/2 过程中合力的冲量。 过程中合力的冲量。 y r 解： （1）用动量定理求冲量： ）用动量定理求冲量： v2 ω r r r
第三章
动量定理
动量守恒定律
动量定理只适 用于惯性系。 用于惯性系。
1
3.1 动量定理 一 冲量 质点的动量定理
v v 考虑力的时间积累效应 F dt = dp 外
冲量 r t2 v I = ∫ F dt 外
t1
t2 v v v ∫ F外dt = p2 − p1 t1
r v v I = p2 − p1
当 Fz = 0 则
pz =恒量
讨论 1. 当某一方向外力为零时该方向动量守恒 2. 当内力 >> 外力时，动量守恒 外力时，
的船头上， 例：质量为 m1的人站在质量为 m2 长为 l 的船头上，开始时船静 止，求当人走到船尾时船移动的距离。 求当人走到船尾时船移动的距离。 Y 根据动量守恒定律： 解：根据动量守恒定律：船人系统水平 方向不受外力，水平方向动量守恒。 方向不受外力，水平方向动量守恒。 其初动量为零，设任意时刻， 其初动量为零，设任意时刻，船、 人的速度分别为 v 和 v , 则 人 船
v F =0
分量式: 分量式 当 当
系统 动量守恒
Fx = 0 则 px = 恒量
m v1x + m2v2x +L+ mi vix +L= 恒量 1
m v1y + m2v2 y +L+ mi viy +L= 恒量 1 m v1z + m2v2z +L+ mi v3z +L= 恒量 1
Fy = 0 则 py =恒量
dt
与地面相碰, 紧靠地面的质元 dm 与地面相碰 动量由 vdm 变 为零. 设该质元受到的支持力为 f1 , 由动量定理有: 为零 由动量定理有
l −z
r f1
忽略二级小量
m ( f1 − gdm) dt =−vdm dm = λ(−dz) =− vdt l
dm m 1 mv z = 2mg 1− f1 =−v =−v −vdt = dt l dt l l m
r r ω ω I = mv2 − mv1 =−m Ri − m Rj r r = −m R(i + j ) ω
R
θ
r v1
x
（2）用积分法求冲量： ）用积分法求冲量：
r 2r f =−mω r
r r I = ∫ fdt
r r = −m R(cosθ i +sinθ j ) ω r r 2 =−m R(cosωti +sinωtj ) ω
对比
υ车 =
− Nm υr M + Nm
（一齐跳车） 一齐跳车）
m m m υ车 = −[ + +L+ ] r υ M + Nm M + Nm M + Nm N项 项 显然 υ（个跳）υ（齐跳） > 车 个跳） 车 齐跳）
19 如图，一个有四分之一圆弧滑槽的大物体质量为M， 例 如图，一个有四分之一圆弧滑槽的大物体质量为 ，置于光 滑的水平面上。另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑 的小物体自圆弧顶点由静止下滑。 滑的水平面上。另一质量为 的小物体自圆弧顶点由静止下滑。 滑到底时， 求： 当小物体 m 滑到底时， 大物体 M 在水平面上 移动的距离。 移动的距离。 解:
注意
内力不改变质点系的动量
11
v vg0 =vb0 = 0 mb = 2mg 则 p0 = 0 初始速度 v 推开后速度 vg = 2vb 且方向相反 则 p = 0
推开前后系统动量不变
v v p = p0
3-2
动量守恒定律
r dP =0 或 dt
r v P = ∑pi = 恒矢量
i
12
当系统所受的合外力为 0, 即
∫
质点的动量定理
t2
t1
v v v F dt = mv2 − mv1 外
{
矢量 过程量
质点受合外力的冲量等于同一时间内该质点动量的增量 质点受合外力的冲量等于同一时间内该质点动量的增量 冲量等于同一时间内该质点动量
分 量 式
{
v F
Ix = ∫ F dt = p2x − p1x x I y = ∫ Fydt = p2 y − p1y Iz = ∫ F dt = p2z − p1z z
v v v v f船对风 ⋅∆t = p2 − p1 =∆p
v ∆p
v' v f风对船 = − f船对风
v' f⊥ 与水的阻力相平衡 v' f// 为船的动力
∗ 推广到质点系
二
1
质点系动量守恒定律
若干质点组成体系， 若干质点组成体系，两两之间传递动量 第 i 个质点受力
将体系分为两部分, 一部分称为系统， 将体系分为两部分, 一部分称为系统， 另一部分叫外部环境或外界。 另一部分叫外部环境或外界。 这时第
v 2 = 2ax F = ρ gl +3ρa0l
a = a0
3、当 、
求绳端速度？ F = F 时，求绳端速度？ 0 dx dv (F − ρxg) = ρv + ρx dt dt dv dx 2 F − ρxg = ρv + ρx dx dt 2 dv 1 dv 2 2 F − ρxg = ρv + ρxv = ρv + ρx dx 2 dx
v v dpi v fi = = ∑ fij dt i≠ j
内 i
外
i 个质点受力： 个质点受力：
利用牛顿第三定律 系统内力之和
r v v F = ∑ fi内 = ∑∑ fij = 0 内
i i i≠ j
v v v v v fi = fi外 + fi内 fi内 = ∑ fij v v i≠ j fij = − f ji
（2） 同理，第一人跳车 ） 同理， [M +(N −1)m] 1 + m(υr +υ1 ) = 0 υ
−m υ1 = υr M + Nm
m m
M 车
N个人 个人 m ……………
无摩擦
同理， 同理，第二人跳车
[M +(N − 2)m] 2 + m(υr +υ2 ) =[M +(N −1)m] 1 υ υ
r v 将质点系统看成整体， 将质点系统看成整体，总动量 P = ∑pi
它受到的合力
r v i v dP n v v v i i≠ j = ∑F = F + F = F F= ij 外 外 内 dt i≠ j r i= 1 -------- 系统受到的合外力等 v dP 所以 F = 于系统动量对时间的变化率 外 dt 这就是质点系的 质点系的牛顿第二定律 这就是质点系的牛顿第二定律 r
N个人 个人 m ……………
无摩擦
相对同一惯性参考系“地面” 解： 相对同一惯性参考系“地面”列动量守恒式 υ人对地 =υr +υ车对地 （1） M 车对地 + Nmυ人对地 = 0 ） υ
M 车 + Nm(υr +υ车 = 0 υ ） (M + Nm)υ车 + Nmυr = 0
− Nm υ车 = υr M + Nm
2x(F − ρxg)dx = 2ρv xdx + ρx dv = ρd(xv)
2 2 2
2
2 3 2 Fx − ρx g = ρ(xv) + c 3 F 2 x =0 v =0 v= + ρxg ρ 3
2
一根质量均匀的绳子竖直地悬挂着, 例: 一根质量均匀的绳子竖直地悬挂着 其下端刚刚与地面接触 绳子从静止开始下落, 求下落所剩长度为z时 绳子从静止开始下落 求下落所剩长度为 时, 地面对这段绳 子的作用力 z dz =− 2g(l − z) 解: 绳子上端的下落速度 v =
m υ2 =υ1 − υr M +(N −1)m m m υ2 = −[ + ] r υ M + Nm M +( N −1)m