因式分解
因式分解竖式
因式分解竖式因式分解是一种将一个多项式拆解成两个或多个因子相乘的方法，这在代数中非常重要。
因式分解的竖式法是一种直观易懂的方法，能够帮助我们更好地理解因式分解的过程。
首先，我们来看一个简单的例子：将多项式x^2 + 6x + 9进行因式分解。
我们可以通过竖式的方法将其因式分解为(x + 3)(x + 3)。
下面是具体的步骤：步骤1：找出多项式中的常数项和最高次项。
在这个例子中，常数项是9，最高次项是x^2。
步骤2：找出常数项的因数。
9的因数包括1、3和9本身。
步骤3：找出最高次项的因数。
最高次项的因数就是多项式中的每一项的指数。
在这个例子中，最高次项的因数就是1和2。
步骤4：将步骤2和步骤3中找到的因数进行组合。
根据多项式的结构，我们可以得知，常数项的因数应该与最高次项的因数进行组合，可以得到(x + 1)(x + 3)，(x + 2)(x + 3)和(x + 3)(x + 9)等。
3)，并与原多项式进行对比来验证。
展开后的结果是x^2 + 3x + 3x + 9，合并同类项得到x^2 + 6x + 9，与原多项式完全一样，因此可以确定因式分解是正确的。
上面的例子比较简单，现在我们来看一个稍微复杂一些的例子：将多项式x^3 - 3x^2 + 3x - 1进行因式分解。
我们可以使用竖式的方法将其因式分解为(x -1)(x - 1)(x - 1)。
下面是具体的步骤：步骤1：找出多项式中的常数项和最高次项。
在这个例子中，常数项是-1，最高次项是x^3。
步骤2：找出常数项的因数。
-1的因数包括-1和1。
步骤3：找出最高次项的因数。
最高次项的因数就是多项式中的每一项的指数。
在这个例子中，最高次项的因数就是1、2和3。
步骤4：将步骤2和步骤3中找到的因数进行组合。
根据多项式的结构，我们可以得知，常数项的因数应该与最高次项的因数进行组合，可以得到(x - 1)(x - 1)(x - 1)或者(-x + 1)(-x + 1)(-x + 1)等。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解8种方法
因式分解8种方法有很多方法可以用来因式分解一个多项式或数字。
在这篇文章中，我将向您介绍8种常见的因式分解方法，并提供每种方法的详细解释和示例。
让我们开始吧！1.相同因式的提取这是因式分解的最基本方法之一、它适用于多项式，其中所有项都具有相同的因式。
为了因式分解，我们只需要将相同的因式从每个项中提取出来。
例如，考虑多项式6x^2+9x+3、该多项式的所有项都可以被3整除。
因此，我们可以将其因式分解为3(2x^2+3x+1)。
2.公因式的提取如果一个多项式的每个项都可以被一个公共因子整除，那么我们可以将该因子提取出来并进行因式分解。
例如，考虑多项式2x^3-6x^2+8x。
所有的项都可以被2x整除，因此我们可以将其因式分解为2x(x^2-3x+4)。
3.分组方法分组方法适用于多项式，其中有四个或更多的项。
它的思想是将多项式中的项进行分组，然后在每个组中找到一个公共因子，最后提取出这些因子。
例如，考虑多项式x^3-2x^2+3x-6、我们可以将其分为两个组：(x^3-2x^2)和(3x-6)。
在第一组中，我们可以提取出一个公因子x^2，得到x^2(x-2)；在第二组中，我们可以提取出一个公因子3，得到3(x-2)。
因此，多项式的因式分解为(x^2+3)(x-2)。
4.凑整法凑整法适用于多项式，其中二次项的系数为1、它的核心思想是通过加减适当的数来凑成一个完全平方。
通过这种方法，我们可以将多项式因式分解为两个平方的差。
例如，考虑多项式x^2+4x+4、我们可以将其凑整为(x+2)^2、因此，多项式的因式分解为(x+2)(x+2)或简化为(x+2)^25.和差平方差公式如果一个多项式可以表示成两个完全平方的差，我们可以使用和差平方差公式进行因式分解。
公式如下：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，考虑多项式x^2-4、可以将其因式分解为(x+2)(x-2)。
6.加法公式和减法公式加法公式和减法公式适用于三角函数等特定的函数形式。
因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法分别为：
1. 提公因式法：将多项式中的公因子提取出来，化简成为一个公因式和一个多项式的乘积。
2. 公式法：利用已知的公式，将多项式化简成为一个已知形式的多项式进行因式分解。
3. 分组法：将多项式中的各项按照某种规则分组，化简成为几个因式的和或差。
4. 根据定理进行分解：利用多项式恒等式或定理进行分解，如差平方公式、和差化积公式等。
以上四种方法可根据不同情况选取，以便更快地得到多项式的因式分解形式。
因式分解的九种方法
因式分解的九种方法因式分解可是数学里的一门大学问呀！它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
今天咱就来聊聊因式分解的九种方法，让你在数学的海洋里畅游无阻！咱先来说说提公因式法，这可是最基础的啦！就好像从一堆水果里把相同的水果挑出来一样。
比如式子 ax+bx，那公因式 x 不就一下子被提出来啦，变成 x(a+b)，是不是很简单呀！然后是公式法，平方差公式和完全平方公式那可都是经典中的经典呀！就像是武林秘籍里的绝招，一用一个准。
遇到像a²-b²这样的式子，马上就能用平方差公式变成(a+b)(a-b)，这多厉害呀！再来讲讲分组分解法，这就像是把一群小伙伴分成小组来完成任务。
比如对于式子 ab+ac+bd+cd，可以把它分成两组，(ab+ac)和(bd+cd)，然后分别进行处理，最后就能成功分解啦！十字相乘法也很有意思哦！就像是在玩拼图游戏，要把合适的数字凑到一起。
比如 x²+5x+6，通过十字相乘就能变成(x+2)(x+3)，是不是很神奇呀！还有双十字相乘法，这可比十字相乘法复杂一点，但也难不倒咱呀！就像解开一个更复杂的谜题，需要多一些耐心和技巧。
换元法呢，就像是变个魔法，把一个复杂的式子用一个新的字母来代替，让问题变得简单明了。
等解决完了再变回来，是不是很有趣呀！拆项法就像是拆礼物，把一个式子拆成几个部分，然后再重新组合，说不定就能找到分解的方法啦！配方法可是个厉害的角色，就像给式子化个妆，让它变得更加漂亮和容易处理。
最后是主元法，这是个很特别的方法哦！把某个字母当成主要的，其他的都围绕着它来，就像众星捧月一样。
你看呀，这九种方法各有各的特点和用处，就像我们生活中的各种工具一样。
在遇到不同的数学问题时，我们要灵活运用这些方法，就像战士选择合适的武器去战斗一样。
别害怕遇到难题，只要我们掌握了这些方法，再难的式子也能被我们征服！因式分解的世界丰富多彩，充满了挑战和乐趣。
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解公式大全
因式分解公式大全因式分解在代数中是一个重要的概念。
它是将一个多项式表达式分解为更简单的乘积形式的过程。
在数学中，我们经常使用因式分解公式来解决各种问题，如求解方程、简化表达式等。
本文将介绍一些常用的因式分解公式，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、一次因式分解公式1. 单项式的因式分解对于形如ax的一次单项式，它的因式分解形式为a(x)。
2. 二次因式分解对于一次二次多项式ax^2+bx+c，如果可以因式分解为(a_1x+m)(a_2x+n)的形式，则有以下两个规律：- a_1*a_2=a；即二次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积。
- mn=c；即常数项等于两个括号中的常数项的乘积。
二、二次因式分解公式1. 平方差公式a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)是二次多项式的一个重要的因式分解公式。
例如，x^2-4 = (x+2)(x-2)。
2. 完全平方公式a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2是二次多项式的另一个常用的因式分解公式。
例如，x^2+4x+4 = (x+2)^2。
三、高次因式分解公式1. 三次因式分解公式对于三次多项式ax^3+bx^2+cx+d，如果可以因式分解为(a_1x+b_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)的形式，则有以下两个规律： - a_1*a_2=a；即三次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积。
- b_1*a_2 + a_1*b_2 = b；即二次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积之和。
2. 四次因式分解公式对于四次多项式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e，如果可以因式分解为(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)(a_3x^2+b_3x+c_3)的形式，则有以下两个规律： - a_1*a_2*a_3=a；即四次项系数等于三个括号中的一次项系数的乘积。
- b_1*a_2*a_3 + a_1*b_2*a_3 + a_1*a_2*b_3 = b；即三次项系数等于三个括号中的一次项系数的乘积之和。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳因式分解是代数运算中的重要内容，它可以将一个复杂的多项式化为几个简单因式的乘积形式，有助于解决各种数学问题。
下面为大家归纳总结因式分解的常用方法。
一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
例如，对于多项式$6x ＋ 9$，各项的公因式是 3，分解因式可得：＄6x ＋ 9 ＝ 3(2x ＋ 3)＄再比如，＄4x^2y 6xy^2$，公因式是$2xy$，分解因式为：＄4x^2y 6xy^2 ＝ 2xy(2x 3y)＄提公因式法是因式分解的基础，很多多项式都需要先通过提公因式来简化式子。
二、公式法常用的公式有平方差公式：＄a^2 b^2 ＝（a ＋ b)（a b)＄；完全平方公式：＄a^2 ± 2ab ＋ b^2 ＝（a ± b)＾2$例如，＄9 x^2$可以利用平方差公式分解为：＄（3 ＋ x)（3 x)＄而对于$x^2 ＋ 6x ＋ 9$，则可以使用完全平方公式分解为：＄（x＋ 3)＾2$三、十字相乘法对于二次三项式$ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$），如果能找到两个数$p$和$q$，使得$p ＋ q ＝ b$，＄pq ＝ ac$，那么就可以将式子分解为$（x ＋ p)（x ＋ q)＄例如，对于$x^2 ＋ 5x ＋ 6$，因为$2 ＋ 3 ＝ 5$，＄2×3 ＝ 6$，所以可以分解为：＄（x ＋ 2)（x ＋ 3)＄再看$2x^2 5x 3$，我们要找到两个数$m$和$n$，使得$m ＋ n ＝－5$，＄mn ＝－6$，可以得到$m ＝－6$，＄n ＝ 1$，分解因式为：＄（2x ＋ 1)（x 3)＄四、分组分解法当多项式不能直接运用上述方法分解时，可以将多项式适当分组，再分别对每一组进行分解，最后综合起来得到分解结果。
例如，＄am ＋ an ＋ bm ＋ bn$，可以分组为$（am ＋ an) ＋（bm＋ bn)＄，然后分别提公因式得到：＄a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ＝（m ＋n)（a ＋ b)＄又如，＄x^2 y^2 ＋ 2x ＋ 1$，可以分组为$（x^2 ＋ 2x ＋ 1) y^2$，先利用完全平方公式，再用平方差公式，分解为：＄（x ＋ 1)＾2 y^2＝（x ＋ 1 ＋ y)（x ＋ 1 y)＄五、拆项、添项法在多项式中添加或减去一项，使得式子可以运用上述方法进行分解。
因式分解8种方法
因式分解8种方法因式分解是数学中常见的一种运算方法，用于将一个多项式分解成其乘法因子的乘积形式。
以下介绍了8种常见的因式分解方法：1. 公因式提取法（公式法）公因式提取法是最常用的因式分解方法之一。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
我们需要找出多个项中共同的因子，并将其提取出来。
例如，对于多项式 `2x^2 + 4x`，我们可以提取出公因式 `2x`，然后将原多项式分解为 `2x(x + 2)`。
2. 平方差公式法平方差公式法适用于多项式形式为两个平方差的情况。
平方差公式包括两种情况，即二次平方差公式和三角平方差公式。
对于二次平方差公式 `(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2`，我们可以通过使用该公式将多项式分解成平方的差。
对于三角平方差公式 `(a+b)(a-b) = a^2 - b^2`，我们可以通过将多项式形式转化为平方差形式进行分解。
3. 完全平方公式法完全平方公式法适用于多项式形式为一个完全平方的情况。
完全平方公式是 `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`。
我们可以将多项式应用完全平方公式，然后利用该公式将其分解成平方的和。
4. 分组法分组法适用于多项式中存在相同的组合项的情况。
我们将多项式中的项进行分组，并在每个组内寻找公共因子。
例如，对于多项式 `ax + ay + bx + by`，我们可以将其分组为`(ax + ay) + (bx + by)`，然后提取每个组的公因式，即 `a(x + y) + b(x + y)`，最后再提取出公因式 `x + y`，将多项式分解为 `(x + y)(a + b)`。
5. 双线相乘法双线相乘法适用于多项式形式为两个二次型（一次项之积）相乘的情况。
我们需要寻找两个二次型，并将其相乘。
例如，对于多项式 `(ax + b)(cx + d)`，我们可以使用双线相乘法将其分解为 `acx^2 + (ad + bc)x + bd`。
因式分解的十二种原则
因式分解的十二种原则1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
例如，对于多项式3x + 6y，可以提取公因式3，得到3(x + 2y)。
2. 分解差的平方：对于形如a^2 - b^2的多项式，可以将其分解为(a + b)(a - b)的形式。
例如，x^2 - 4可以分解为(x + 2)(x - 2)。
3. 分解平方差：对于形如a^2 + 2ab + b^2的多项式，可以将其分解为(a + b)^2的形式。
例如，x^2 + 4x + 4可以分解为(x + 2)^2。
4. 分解立方和：对于形如a^3 + b^3的多项式，可以将其分解为(a + b)(a^2 - ab + b^2)的形式。
例如，x^3 + 8可以分解为(x +2)(x^2 - 2x + 4)。
5. 分解立方差：对于形如a^3 - b^3的多项式，可以将其分解为(a - b)(a^2 + ab + b^2)的形式。
例如，x^3 - 8可以分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
6. 分解四次和：对于形如a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4的多项式，可以将其分解为(a + b)^4的形式。
例如，x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1可以分解为(x + 1)^4。
7. 分解四次差：对于形如a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4的多项式，可以将其分解为(a - b)^4的形式。
例如，x^4 - 4x^3 +6x^2 - 4x + 1可以分解为(x - 1)^4。
8. 分解立方和差：对于形如a^3 + b^3 ± 3ab(a ± b)的多项式，可以将其分解为(a ± b)^3的形式。
例如，x^3 + 27分解为(x + 3)(x^2 - 3x + 9)。
9. 分解二次三项式：对于形如ax^2 + bx + c的多项式，可以使用两个因式的乘积等于c的形式将其分解。
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第13章 整式的乘除
13.5因式分解（1）
提公因式法
一、 尝试练习：
1、m（a + b + c）=
2、ma + mb + mc = （ ）（ ）
3、a（a + 2）=
4、aa22=（ ）（ ）
5、3)2(2xyx=
6、3263xyx = （ ）（ ）
二、 知识概括：
1、把一个多项式化为几个 的形式，叫做多项式的因式分解。
2、多项式ma + mb + mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之
为 。将m提出来，多项式ma + mb + mc就可以分解成两个因
式m和（a + b + c）和乘积了，这种方法，我们称之为 法。
三、 基础练习：
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A、222)2(2bbaababa B、222)(2bababa
C、m（a + b + c）=ma + mb + mc D、)11(1aaa
2、yxxyyx33322,6,4的公因式是
3、多项式cccbabca310522223中的公因式是（ ）
A、bca25 B、2bc C、c D、abc
4、2x2－4xy－2x = _______(x－2y－1)
5、4a3b2－10a2b3 = 2a2b2(____ ____)
6、xxx532（ ）
7、x2－2x3 8、3y3－6y2＋3y
9、baaa432432 10、yxyxyx234268
11、34239123baabba 12、mnmnnm1892722
13、5（a－2）+ x（a －2） 14、m（4x+y）－2mn（4x+y）
四、 提高拓展：
1、因式分解（2x－5）+y（5－2x）的结果是（ ）
A、（2x－5）（1+y） B、（2x－5）（1－y）
C、（5－2x）（1+y） D、（5－2x）（1－y）
2、(1－a)mn＋a－1=(________)
3、(mn－1)m(m－n)2－(n－m)2 =(__________)(__________)
4、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________)
5、（a+b）（a-b）-a-b 6、22)2(2)2(4xbxa
简便计算：7、0.75×125+0.75×25-0.75×50 8、74+10+16（取3.14）
9、已知a + b=-5，ab=7，求baabba22的值。
第13章 整式的乘除
13.5因式分解（2）公式法（1）
五、 尝试练习：
7、（a + b ）（a －b）=
8、 22ba= （ ）（ ）
9、（a + 2x）（a －2x）=
10、 224xa=（ ）（ ）
11、 3)3)(3(xyxy=
12、 22273xy = （ ）（ ）（ ）
六、 知识概括：
1、把一个多项式化为几个 的形式，叫做多项式的因式分解。
2、22ba=（a + b ）（a －b），实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行
因式分解的，这种因式分解的方法称之为 法。
三、基础练习：
1、x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y)
2、)32(9422xyxy（ ）
3、xx443 4x（ ）（ ）
4、1)(2xy 5、2323yaxa
6、24312xx 7、2294ba
8、161812x 9、53287mnnm
10、164m 11、4481mx
简便计算：12、221288 13、22)412()435(
14、某校打算在操场的圆形环形跑道上铺塑胶跑道，已知跑道外圆半径R=30.5m，
内圆半径r=24.5m，你能算出需要的塑胶跑道的总面积吗？（取3.14，结果精
确到0.1）
四、提高拓展：
1、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)
2、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)
3、22)()(cbacba 4、22)(225)(144baba
5、简便计算：73×1452-1052×73
6、已知xy=5，a - b=3，a + b=4，求22xybxya
第13章 整式的乘除
13.5因式分解（3）公式法（2）
七、 尝试练习：
13、 2)(ba=
14、 222baba= （ ）
15、 2)(ba=
16、 222baba= （ ）
17、 2)2(yx=
18、 2244yxyx=（ ）
19、 2)23(mn=
20、 412922mnnm = （ ）
21、 2)1(2xx=
10、xxx24223=（ ）（ ）
八、 知识概括：
1、把一个多项式化为几个 的形式，叫做多项式的因式分解。
2、222)(2bababa，222)(2bababa，实际上是将乘法公式反过
来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称之为 法。
九、 基础练习：
1、36122xx可因式分解为（ ）
A、2)6(x B、2)6(x C、)6)(6(xx D、)3)(12(xx
2、
42
961bb
=（1- ）2
3、若22)21(xmxx，则m=
4、29a（ ）+2b=2)3(ba
5、244xx（ ）=2(x ）2
6、22363yxyx 7、25m2－10mn＋n
2
8、aaxax22 9、
mnnmnm510523
10、xyyx44122 11、
22
168yxxy
12、
2
49114aa
13、)25(52xyyx
十、提高拓展：
1、 简便计算：2298196202202
2、如果多项式4142kaa是一个完全平方式，则k的值应是（ ）
A、-2 B、2 C、4 D、±2
3、如果多项式224)2(9yxykx是一个完全平方式，则k的值应是（ ）
A、10 B、10或-14 C、14或-14 D、-10
4、
25)2(10)2(2baba 5、22216)14(aa
6、222224)(yxyx 7、
9222baba