湖南长沙同升湖实验学校2015届高三文科数学提高系列3 Word版含答案
2015届高三模拟数学文试题 Word版含解析
高2015届“一诊”模拟考试数学试题（文科）一、选择题（每题5分，共50分）1．已知集合{}24B x x =≤，则集合=B C R （ ）A ．()2∞，+B ．[)2∞，+C ．()()2-∞⋃∞，-2，+D ．(][)22-∞⋃∞，-，+2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。
为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（ ）A ．9B ．10C ．12D ．133．已知a b ，均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（ ） A ．1 BC．2 D ．124．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（ ）A ．21B ．26C ．30D ．555．()()12221910log log 24⎛⎫-- ⎪⎝+⎭的值等于（ ） A ．2- B ．0 C ．8 D ．106．已知α是平面，,m n 是直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若,,m n m α∥∥则n α∥ B ．若,,m n αα⊥∥则m n ⊥ C ．若m m n α⊥⊥，，则n α⊥ D ．若m n αα，∥∥，则m n ∥7．如果实数x y ，满足等式()2232x y +=-，那么yx的最大值是（ ） A ．12 B C D 8．关于x 的方程2160mx x -+=在[]110x ∈，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]8，17 B ．(]1，8 C ．(][)88-∞-⋃+∞，， D ．5885⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．点12F F ，为椭圆()222210b x y a ba +>>=的左右焦点，若椭圆上存在点A 使21F AF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ） A ．2B ．12C ．14D 110．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（ ）A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<二、填空题（每题5分，共25分） 11．已知i 是虚数单位，则复数31ii+-的共轭复数是_________. 12．若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 13．若0+2=1m n m n >，，且，则11m n+的最小值为________. 14．直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00Q ，之间距离的最大值为 。
2015湖南高考数学(文)试题及答案
2015湖南高考数学（文）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共10小题）1.已知（为虚数单位），则复数=（）A．B．C．D．2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．63.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A．-1B．0C．1D．25.执行如图2所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．6.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7.若实数a,b满足，则ab的最小值为（）A．B．2C．D．48.设函数，则是（）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数9.已知点A，B，C在圆上运动，且．若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）A．6B．7C．8D．910.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率为=）（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）11.已知集合，，，则_______.12.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________.13.若直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则___________.14.若函数有两个零点，则实数b的取值范围是__________.15.已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则_________.三、解答题（共6小题）16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。
2015年高考预测金卷数学文(湖南卷)及答案
18. （本小题满分 12 分）在等差数列 { an} 中， a1 3 ，其前 n 项和为 Sn ，等比数列 {bn} 的各项均为
正数， b1 1，公比为 q，且 b2 S2 12 ， q S2 . b2
E
（ 1）求 an 与 bn ；
F
D
C
A
B
（ 2）设数列 { cn} 满足 cn
1 ，求 { cn } 的前 n 项和 Tn .[:.]19、（本小题满分 13 分）
2015 年高考预测金卷（湖南卷） 文科数学
一 . 选择题：本大题共 10 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。
1．在复平面上，复数 z ( 2 i)i 的对应点所在象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
2、四名同学根据各自的样本数据研究变量
下四个结论：
C ．第三象限
2a
.
ba
a2 b2
文科数学答案
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1、 C 2 、D 3 、 A 4 、 B 5 、 A 6 、 C 7 、 B 8 、 C 9 、 A 10 、 C 二、 填空题（每小题 5 分，共 25 分）
11、 3, 4 12、 (1,0) 13、 0.5 14、 4 15、①②④
21、（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x)
ax b
x2
在点 ( 1, f ( 1)) 的切线方程为 1
x
y3
0.
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；
（ 2）设 g( x) ln x ，求证： g( x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立；
（ 3）已知 0 a b ，求证： ln b ln a
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学湖南卷
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试〔卷〕数学〔文科〕本试卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共5页，时量120分钟，总分值150分。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.2(1)1i i z-=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z = A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如图1所示假设将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，那么其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是A.3B.4C.5D.6 3.设x R ∈，那么“1x >〞是“31x >〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.假设变量,x y 满足约束条件那么2z x y =-的最小值为A.-1B.0C.1D.25.执行如图2所示的程序框图，如果输入3n =，那么输出的S =A. B. C. D.6.假设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点〔3，-4〕，那么此双曲线的离心率为 A.73B.54C.43D.53 7.假设实数,a b 满足12ab a b+=，那么ab 的最小值为 A.2 B.2 C.22 D.48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，那么()f x 是A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数9.点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，假设点P 的坐标为〔2,0〕，那么||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.910.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面，那么原工件的利用率为〔材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积〕A.89πB.827πC.()32421π- D.()3821π-二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11.集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，那么()U A B =________12.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，假设曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，那么曲线C 的直角坐标方程为______13.假设直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠=〔O 为坐标原点〕，那么r =___________.14. 假设函数()|22|x f x b =--有两个零点，那么实数b 的取值围是____________15.0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。
湖南省长沙市2015年高考数学模拟试题 文
2015年某某市高考模拟试卷 数 学（文科）满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数iiz -+=151()i 为虚数单位在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,)a a b k →→=+=→，若a →∥b →，则实数k =A ．21B ．－2C ．－7D ．3 3．在△ABC 中，6,1,3π===B AC AB ，则△ABC 的面积等于A 32343234332或4．下列关于函数x xxx x f 22)(-⋅=,m n 和实数的结论中正确的是 A ．3,()()m n f m f n -<<<若则 B ．0,()()m n f m f n <<<若则C ．33()(),f m f n m n <<若则 D ．22()(),f m f n m n <<若则5．右图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图、侧（左）视图都是矩形，则该几何体的体积是A ．24B ．18C ．16D ．126．121m n+=已知0(>m ，)0>n ，mn 当取最小值时，2221x y m mn =-双曲线的离心率为3212327．已知()log (1)a f x x a =>的导函数是()f x '，(),A f a '=记(1)(),B f a f a =+-C =(1)f a '+ ，则有A ．ABC >>B ．A C B >>C ．B A C >>D ．C B A >>8．设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是A ．S=2,这5个数据的方差B ．S=2,这5个数据的平均数C ．S=10,这5个数据的方差D ．S=10,这5个数据的平均数 9.{}n n a n S 设等差数列的前项和为，已知388(1)2015(1)1,a a -+-= 320082008(1)2015(1)1a a -+-=- ，则下列结论中正确的是A ．2015200882015,S a a =<B ．2015200882015,S a a =>C ．2015200882015,S a a =-≤D ．2015200882015,S a a =-≥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10.函数23()log (32)f x x x =+-的定义域是11.已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）OP OA t AB =+.P x 若点在轴上，t 则实数的 值为.12. 已知区域02:02x M y ≤≤≤≤⎧⎨⎩，定点A （3，1），在M 内任取一点P ，使得2PA ≥13. 已知抛物线2:4C y x =,及直线:40.l x y P -+=是抛物线C 上的动点,P y 记到轴的距离为1,d p l 到的距离为2d ，则1d +2d 的最小值为14. 给出下列四个命题：①a β>的充分不必要条件是sin sin αβ>；②,,0,2b aa b R ab a b∈<+≤-若则; ③已知点(1,0),(1,0),A B -若2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；④若a b ≠，则3322a b a b ab +>+其中所有真命题的序号是 15.已知函数2342015()1,2342015x x x x f x x =+-+-++设()(4),F x f x =+且函数()F x 的零点均在区间[]a b a (,＜),,Z b a b ∈内， 则圆:a b y x -=+22的面积最小值三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年高考真题文科数学试题(湖南卷+陕西卷,含解析)
，所以
p
2
，
所以抛物线焦点坐标为 (1, 0) ，故答案选 B
考点：抛物线方程.
4.
设
f
(
x)
1
2x
x, ,x
x
0
0
，则
f
(f
(2)) （
）
1
1
3
A． 1 B． 4 C． 2 D． 2
【答案】 C
考点：1.分段函数；2.函数求值. 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
又 f (x) 的定义域为 R 是关于原点对称，所以 f (x) 是奇函数； f (x) 1 cos x 0 f (x) 是增函数.
故答案选 B
考点：函数的性质.
10. 设 f (x) ln x, 0 a b ，若 p f (
ab) ， q
f
(a b) 2
r
，
1( 2
f
(a)
f
(b))
A． 3 B． 4 C． 2 4 D． 3 4
【答案】 D
【解析】 试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，
1 2 1 12 2 2 2 3 4
所以该几何体的表面积为
2
，故答案选 D
考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.
6. “ sin cos ”是“ cos 2 0 ”的（ ）
考点：1.向量的模；2.数量积.
9. 设 f (x) x sin x ，则 f (x) （ ）
A．既是奇函数又是减函数 C．是有零点的减函数
B．既是奇函数又是增函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】 B
【解析】
试
2015湖南卷(文数)祥解
2015湖南卷(文数)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时间120分钟.满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考湖南卷,文1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( D )(A)1+i (B)1-i(C)-1+i (D)-1-i解析:z===-i(1-i)=-1-i,故选D.2.(2015高考湖南卷,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.130 0 3 4 5 6 6 8 8 8 914 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8150 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:第一组(130,130,133,134,135),第二组(136,136,138,138,138),第三组(139,141,141,141,142),第四组(142,142,143,143,144),第五组(144,145,145,145,146),第六组(146,147,148,150,151),第七组(152,152,153,153,153),故成绩在[139,151]上恰有4组,故有4人,选B.3.(2015高考湖南卷,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为x>1,所以x3>1,又x3-1>0,即(x-1)(x2+x+1)>0,解得x>1,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选C.4.(2015高考湖南卷,文4)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值为( A )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,平移参照直线2x-y=0,当直线2x-y=z经过x+y=1与y-x=1的交点(0,1)时,z取最小值为z min=2×0-1=-1,选A.5.(2015高考湖南卷,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:执行程序框图,S=,i=2;S=+,i=3;S=++=1-+-+-=,此时i=4>3,结束循环,输出S=,选B.6.(2015高考湖南卷,文6)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在一条渐近线上,所以=,又a2+b2=c2,所以c2=a2+a2=a2,所以e==,选D.7.(2015高考湖南卷,文7)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )(A)(B)2 (C)2(D)4解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.8.(2015高考湖南卷,文8)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( A )(A)奇函数,且在(0,1)上是增函数(B)奇函数,且在(0,1)上是减函数(C)偶函数,且在(0,1)上是增函数(D)偶函数,且在(0,1)上是减函数解析:由已知可得,f(x)的定义域为(-1,1),f(x)=ln=ln-1,又y=-1在(0,1)上为增函数,所以f(x)在(0,1)上为增函数,又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故选A.9.(2015高考湖南卷,文9)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:因为点A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆x2+y2=1的直径,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x1,-y1).又P(2,0),所以=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),=(-x1-2,-y1),所以++=(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以|++|===,又-1≤x2≤1,所以|++|的最大值为=7.故选B.10.(2015高考湖南卷,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=( A )(A)(B)(C)(D)解析:由三视图知,原工件为圆锥,要使正方体新工件的体积最大,则正方体下底面在圆锥底面上,上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形,过正方体的顶点作轴截面如图,且AB为上底面正方形的对角线,设正方体的棱长为a,则AB=a,又圆锥的高为=2,所以=,得a=,正方体体积为V=a3=,圆锥的体积为×π×12×2=,故原工件的材料利用率为=,选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015高考湖南卷,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)= .解析:∁U B={2},故A∪(∁U B)={1,3}∪{2}={1,2,3}.答案:{1,2,3}12.(2015高考湖南卷,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.解析:两边同乘以ρ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2=2y,故曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.答案:x2+y2-2y=013.(2015高考湖南卷,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .解析:圆x2+y2=r2的圆心为原点,则圆心到直线3x-4y+5=0的距离为=1,在△OAB中,点O到边AB的距离d=rsin 30°==1,所以r=2.答案:214.(2015高考湖南卷,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.解析:函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).答案:(0,2)15.(2015高考湖南卷,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω= .解析:由消去y,得sin ωx-cos ωx=0,即sinωx-=0,解得x=+,k∈Z.取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为,,,-,又两交点的距离为2,所以-2+(+)2=(2)2,解得ω=.答案:三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015高考湖南卷,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2}共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>,故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015高考湖南卷,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin Acos B=,且B为钝角,求A,B,C.(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A.(2)解:因为sin C-sin Acos B=sin[180°-(A+B)]-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B,所以cos Asin B=.由(1)知sin B=cos A,因此sin2B=.又B为钝角,所以sin B=,故B=120°.由cos A=sin B=知A=30°,从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015高考湖南卷,文18)如图,直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F AEC的体积.(1)证明:如图,因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC.因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解:设AB的中点为D,连接A1D,CD.因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB.又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1.因此CD⊥平面A1ABB1,于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.由题知∠CA1D=45°,所以A1D=CD=AB=.在Rt△AA1D中,AA1===,所以FC=AA1=.故三棱锥F AEC的体积V=S△AEC×FC=××AE×EC×FC=××=.19.(本小题满分13分)(2015高考湖南卷,文19)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n-S n+1+3,n∈N*.(1)证明:a n+2=3a n;(2)求S n.(1)证明:由条件,对任意n∈N*,有a n+2=3S n-S n+1+3,因而对任意n∈N*,n≥2,有a n+1=3S n-1-S n+3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n-a n+1,即a n+2=3a n,n≥2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切n∈N*,a n+2=3a n.(2)解:由(1)知,a n≠0,所以=3,于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=,从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1).综上所述,S n=20.(本小题满分13分)(2015高考湖南卷,文20)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(1)求C2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1,①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为±,,所以+=1,②联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-,⑤将④⑤代入③得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.21.(本小题满分13分)(2015高考湖南卷,文21)已知a>0,函数f(x)=ae x cos x(x∈[0,+∞)),记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.(1)证明:数列{f(x n)}是等比数列;(2)若对一切n∈N*,x n≤|f(x n)|恒成立,求a的取值范围.(1)证明:f'(x)=ae x cos x-ae x sin x=ae x cos x+.令f'(x)=0,由a>0,x≥0,得x+=mπ-,即x=mπ-,m∈N*.而对于cos x+,当k∈Z时,若2kπ-<x+<2kπ+,即2kπ-<x<2kπ+,则cos x+>0;若2kπ+<x+<2kπ+,即2kπ+<x<2kπ+,则cos x+<0.因此,在区间(m-1)π,mπ-与mπ-,mπ+上,f'(x)的符号总相反.于是当x=mπ-(m∈N*)时,f(x)取得极值,所以x n=nπ-(n∈N*).此时,f(x n)=a cos nπ-=(-1)n+1,易知f(x n)≠0,而==-eπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=,公比为-eπ的等比数列.(2)解:对一切n∈N*,x n≤|f(x n)|恒成立,即nπ-≤恒成立,亦即≤恒成立(因为a>0).设g(t)=(t>0),则g'(t)=,令g'(t)=0得t=1.当0<t<1时,g'(t)<0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减;当t>1时,g'(t)>0,所以g(t)在区间(1,+∞)上单调递增;因为x1∈(0,1)且当n≥2时,x n∈(1,+∞),x n<x n+1,所以[g(x n)]min=min{g(x1),g(x2)}=min g,g=g=,因此,x n≤|f(x n)|恒成立,当且仅当≤.解得a≥,故a的取值范围是,+∞.。
2015年全国高考文科数学试题和答案word精校版(新课标1卷)
2015年全国高考文科数学试题和答案word精校版(新课标1卷)2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文科一、选择题：每小题5分，共60分1.已知集合 $A=\{x|x=3n+2,n\in N\}$，$B=\{6,8,10,12,14\}$，则集合 $A$ 中的元素个数为（）A）5 （B）4 （C）3 （D）22.已知点 $A(0,1)$，$B(3,2)$，向量$\overrightarrow{AC}=(-4,-3)$，则向量$\overrightarrow{BC}$ 为（）A）$(-7,-4)$ （B）$(7,4)$ （C）$(-1,4)$ （D）$(1,4)$3.已知复数 $z$ 满足 $(z-1)i=1+i$，则 $z$ 等于（）A）$-2-i$ （B）$-2+i$ （C）$2-i$ （D）$2+i$5.已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，$E$ 的右焦点与抛物线$C:y=8x$ 的焦点重合，$A,B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $AB$ 的长度为（）A）3 （B）6 （C）9 （D）126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛7.已知 $\{a_n\}$ 是公差为1的等差数列，$S_n$ 为$\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_8=4S_4$，则 $a_{10}$ 等于（）A）17 （B）22 （C）10 （D）128.函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为（）A）$(k\pi-\frac{13}{4},k\pi+\frac{4}{4}),k\in Z$B）$(2k\pi-\frac{1}{4},2k\pi+\frac{3}{4}),k\in Z$C）$(k-\frac{1}{4},k+\frac{3}{4}),k\in Z$D）$(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}),k\in Z$9.执行右面的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的$n$ 等于（）A）5 （B）6 （C）7 （D）810.已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x-1-2,&x\le 1\\ -\log_2(x+1),&x>1 \end{cases}$，且 $f(a)=-3$，则 $f(6-a)$ 等于（）A）$-\frac{7}{4}$ （B）$-\frac{5}{4}$11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=()C）412、设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=()A）-113、数列{an}中a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=6.14.已知函数f(x)=ax+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=3.15.若x,y满足约束条件{x+y-2≤0.x-2y+1≤0.2x-y+2≥0}，则z=3x+y的最大值为5.16.已知F是双曲线C:x-8^2-y^2=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为24.17.（本小题满分12分）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sinB=2sinAsinC.I）若a=b，求cosB;II）若B=90，且a=2，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD。
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015湖南(文)数学高考真题精校解析版
2015·湖南卷(文数)1．L4[2015·湖南卷] 已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i1．D [解析] 由题得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.2．I1、I2[2015·湖南卷] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1-1所示．图1-1若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．B [解析] 将运动员按成绩由好到差分为七组，则第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在[139，151]内的恰有四组，故有4人，选B.3．A2[2015·湖南卷] 设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．C [解析] ∵x >1，∴x 3>1，由x 3－1>0得(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件，选C.4．E5[2015·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．A [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线2x －y ＝0，可知在直线x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点A (0，1)处z 取最小值，z min ＝0－1＝－1，选A.5．LI 、D4[2015·湖南卷] 执行如图12所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.495．B [解析] 第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×1－13＋13－15＋15－17＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37，选B.6．H6[2015·湖南卷] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.536．D [解析] 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故ba＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D. 7．E6[2015·湖南卷] 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．47．C [解析] 方法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，所以ab ≥2 2.方法二：ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立，选C.8．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数8．A [解析] 由已知可得，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 21－x －1，y ＝21－x－1在(0，1)上为增函数，故y ＝f (x )在(0，1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故y ＝f (x )为奇函数，选A.9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．B [解析] 方法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.方法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，且AB ⊥BC ，所以A ，C 为直径的端点，令A (cos x ，sin x )，B (cos (x ＋α)，sin (x ＋α))，C (－cos x ，－sin x )，0<α<π，则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))， |P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7，故选B. 10．G2、G7、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图1-3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )1-3A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A [解析] 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥． 设新正方体工件的棱长为x ，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x 1，得x＝223，故V 正＝x 3＝16227，又V 圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.11．A1[2015·湖南卷] 已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________．11．{1，2，3} [解析] ∁U B ＝{2}，故A ∪(∁U B )＝{1，3}∪{2}＝{1，2，3}． 12．N3[2015·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．12．x 2＋y 2－2y ＝0 [解析] 将曲线C 的极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘一个ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.13．H4[2015·湖南卷] 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．13．2 [解析] 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.14．B8[2015·湖南卷] 若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．14．(0，2) [解析] 令|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b ，令y ＝|2x －2|，y ＝b ，其函数图像有两个交点，结合函数图像可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．15．C4[2015·湖南卷] 已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．15.π2[解析] 设距离最短的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．根据正弦函数、余弦函数的性质，不妨设距离最短的两个交点的横坐标满足ωx 1＝π4，ωx 2＝5π4，即x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，此时y 1＝2，y 2＝－2，由两点间距离公式得5π4ω－π4ω2＋(2＋2)2＝12，解得ω＝π2.16．K2[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．16．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．17．C5、C8[2015·湖南卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B＝sin(A ＋B )－sin A cos B＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34，又B 为钝角，所以sin B ＝32，B ＝120°.由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°. 18．G1、G5[2015·湖南卷] 如图1-4，直三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F - AEC 的体积．18．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB . 又三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3.在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F - AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612.19．D3、D4[2015·湖南卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .19．解：(1)证明：因为对任意n ∈N *，有 a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，所以对任意n ∈N *，n ≥2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2×(1＋3＋…＋3n －1)＝3×(1＋3＋…＋3n －1) ＝3×（3n －1）2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3×（3n －1）2－2×3n －1＝32×(5×3n －2－1)．综上所述，S n ＝⎩⎨⎧32×5×3n －32－1，n 为奇数，32×3n2－1，n 为偶数.20．H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a2＋x2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.21.D3、B12[2015·湖南卷] 已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))，记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．(1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围． 21．解：(1)证明：f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e x cos x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2，m ∈N *，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2<x ＋π4<2k π＋π2，即2k π－3π4<x <2k π＋π4，则cos x ＋π4>0；若2k π＋π2<x ＋π4<2k π＋3π2，即2k π＋π4<x <2k π＋5π4，则cos x ＋π4<0.因此，在区间(m －1)π，m π－3π4与m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4，m ∈N *时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π，n ∈N *.此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos n π－3π4＝(－1)n ＋1·2a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，且f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列．(2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－34π恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a >0)．设g (t )＝e tt (t >0)，则g ′(t )＝e t （t －1）t 2.令g ′(t )＝0得t ＝1.当0<t <1时，g ′(t )<0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减； 当t >1时，g ′(t )>0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n <x n ＋1，所以 [g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g π4，g 5π4＝g π4＝4πe π4.因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4.故a 的取值范围是2π4e －π4，＋∞.。
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第 1 页 共 12 页 2015文科数学提高系列（三） 一、选择题 1．已知集合240,5MxxxNxmx，若3MNxxn，则mn
等于 A.9 B.8 C.7 D.6
2．已知平面向量,1),3,1(baa则b的取值范围是
A．1,0 B．3,1 C．4,2 D．4,3 3．如图，已知双曲线C：22221xyab0,0ba的右顶点为,AO为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点QP,.若60PAQ且3OQOP，则双曲线C的离心率为
A．233 B．72 C．396 D．3 4．已知角,均为锐角，且,31)tan(,53costan则 A．3 B．31 C．139 D．913 5．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A.83 B.43
C.86 D.46
6．若2210,1010mnxxaaa，其中1,2,3,4,5,6,7,0,1,2iai，并且636mn，则实数对(,)mn表示平面上不同点的个数为（ ）
A.60个 B.70个 C.90个 D.120个 二、填空题
7．设P是函数xyln图象上的动点，则点P到直线xy的距离的最小值为
8．已知数列112,(1)(1)2,,nnnaananannN满足：≥则13aa ，数列{an}的通项公式为 ． 第 2 页 共 12 页
9．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为4tytx（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4sin(24，则直线l和曲线C的公共点有 个． 三、解答题 10．如图，直三棱柱ABCABC—中，5ACBC，'6AAAB，D、E分别为AB
和BB上的点，且ADBEDBEB.
（1）求证：当=1时，ABCE； （2）当为何值时，三棱锥ACDE—的体积最小，并求出最小体积.
C'B'
BAC
A'
ED第 3 页 共 12 页
11．在单调递增数列}{na中，12a，24a，且12212,,nnnaaa成等差数列，22122,,nnnaaa成等比数列，,3,2,1n．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列}{2na为等差数列； （ⅱ）求数列}{na的通项公式. （Ⅱ）设数列}1{na的前n项和为nS，证明：43(3)nnSn，*nN．
12．已知动圆Q过定点1,0F，且与直线1:yl相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点2,0A在椭圆N上. （Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；
（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于CB,点，交轨迹M于ED,两点，设1S为ABC 的面
积，2S为ODE的面积，令21SSZ,试求Z的最小值. 第 4 页 共 12 页
13．已知函数23()4fxaxbx0a,4124)(bxgxx，且axfy41为偶函数．设集合11Axtxt≤≤． （Ⅰ）若abt2，记xf在A上的最大值与最小值分别为NM,,求NM; （Ⅱ）若对任意的实数t，总存在21,xxA，使得12()()()fxfxgx≥对1,0x恒成立，试求a的最小值. 第 5 页 共 12 页
参考答案 1．C
【解析】4,004|2xxxM， 5,mN，若nNM,3，则73nm，则7nm.
考点：集合的运算. 2．B 【解析】
试题分析：由于1ab，所以向量b对应的点在以(1,3)为圆心，1为半径的圆上，
由于圆心到原点的距离为2，所以b的取值范围是为[1,3] 考点：向量的几何意义 3．B 【解析】
试题分析：取PQ的中点D，连接AD，则ADPQ，且ADb，因为60PAQ，
APAQ
，则060PQA，03tan60,3bDQbDQ，由于3OQOP，则
APPD
DQ
，则233ODb，
22
2
33tan124233bbaDOAeabb，则27742ee，
选B. 考点：求离心率 4．A 【解析】
试题分析：由于,均为锐角，3cos5，则4sin5，4tan3，
tan[()]
tantan(-)1tantan()
4133=341133
考点：凑角求值 第 6 页 共 12 页
5．A. 【解析】
试题分析：直观图如图所示四棱锥PABCD，PABPADPBDABCSSSS 12222sin60232，故此棱锥的表面积为83，故选A.
考点：空间几何体的表面积计算. 6．C 【解析】 试题分析：记A={x|x=a0+a1•10+a2•100}，求实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A中的解的个数，按10进制位考察即可． 解：记A={x|x=a0+a1•10+a2•100}， 实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数， 按10进制位考察即可． 首先看个位，a0+a0=6，有5种可能． 再往前看：a1+a1=3且a2+a2=6，有2×5=10种可能， a1+a1=13且a2+a2=5，有2×4=8种可能， 所以一共有（10+8）×5=90个解， 对应于平面上90个不同的点． 故选C． 点评：本题考查排列、组合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，属于中档题．
7．22 【解析】
试题分析：设点P到直线xy的距离为2lnxxd，xxxd21211'，易得
2lnxxd在)1,0(上单调递减，在),1(上单调递增，所以222ln1minxxxd
考点：导数及其应用 8．16，4(1)nann 第 7 页 共 12 页
【解析】 试题分析：12,a当2n，211233aa，当3n时，321123aa，
31
1
6a
a；
2341123112312,,,,.....3451nnaaaanaaaaan
，利用累乘法得：
4(1)nann
考点：累乘法求数列通项公式； 9．1 【解析】
试题分析：将直线l的参数方程为4tytx转化为直角坐标方程4xy，将曲线C的
极坐标方程为)4sin(24两边同时乘以，可得)4sin(242，整理可得yxyx4422，即82()2(2)2yx由两点间距离公式圆心（2,2）到直线4xy的距离为22242-2，因而此时直线与圆相切，故只有一个公共点．
考点： 10．（1）详见解析；（2）1时，ACDEV有最小值为18. 【解析】 试题分析：（1）1时，平行四边形ABBA为正方形，'DEAB，由已知得CDAB，由此即可 证明ABCE；（2）设=BEx，则ADx，6DBx，6BEx，由已知可得C到面ADE距离 即为ABC的边AB，从而可得13ACDECADEAADDBEABEABBAVVSSSSh四边形，将其进一
步转化为关于x的函数，则只需求出函数最值，因此能求出当3x时，即1时，ACDEV
有最小值为18. 试题解析：（1）∵1，∴D，E分别为AB和BB的中点， 又∵AAAB，且三棱柱ABCABC—为直三棱柱， ∴平行四边形ABBA为正方形，∴DEAB， 2分 ∵ACBC，D为AB的中点，∴CDAB，且三棱柱ABCABC—为直三棱柱， 第 8 页 共 12 页
∴CD平面ABBA，∴CDAB， 4分 又∵CDDED， ∴AB平面CDE，
∵CEÜ平面CDE，∴ABCE； 6分 （2）设=BEx，则ADx，6DBx，6BEx，
由已知可得C到面ADE距离即为ABC的边AB，所对应的高22()42ABhAC， 8分 ∴13ACDECADEAADDBEABEABBAVVSSSSh四边形
11=[363(6)36]32xxxxh22(636)3xx22[(3)27]3x（06x），
10分 ∴当3x时，即1时，ACDEV有最小值为18. 12分 考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间几何体体积的计算；3.二次函数的最值.
11．（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当n为偶数时na21(2)4n，当n为奇数时
na(1)(3)4nn.（3）证明见解析
【解析】 试题分析：要证明数列}{2na为等差数列，只需证明2222nnaa22na成立，由于数列首项为正， 数列为单调递增，说以0na，由12212,,nnnaaa成等差数列，得221212nnnaaa……
（1），由因为2,na21na，22na成等比数列，则221222nnnaaa，21222,nnnaaa于是21222nnnaaa代入（1）式整理得：2222nnaa22na得证；先求3a，4a备
用，由于数列2{}na为等差数列，可借助等差数列通项公式求出2na，再由221222nnnaaa求出21na，最后分n为奇数和偶数两种情况表达na，由于数列的通项公式分n为奇数和偶数
两种情况表达的，所以需要合在一起，合成公式是11[1(1)]2nna 1()[1(1)]()2nfngn，合成后对na进行放缩，这里技巧很重要，