苏教版高中数学选修2-32.4 二项分布课件(38张)
【精编】苏教版高中数学选修(2-3)课件超几何分布-精心整理
例4、
5、
这两个问题的求解方法一样吗?
超几何分布：适用于不放回抽取
本小题第二问是二项分布这是我们 后面要研究的内容
作业：
1、从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机抽取 2 个球，则其中有一个红球的概率是
A 0.1
B 0.3
C
0.6
D 0.2
2、一批产品共 50 件，次品率为 4%，从中任取 10 件，则抽的 1 件次品的概率是
X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．
解：X的可能取值为 5，6，7，求明8，分k的9布，取列1值0一．范定并围要且！说
P X k
=—C—k41 k 5， 6， ， 10 .
C
5 10
具体写出，即可得X的分布列：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
超几何分布
一、复习
1)随机变量的分布列
设随机变量X的所有可能取值为
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X xn pn n 1, 2 ,
则称上式或 X
x1
x2 ， xn
P
p1
p2 ， pn
为随机变量X的分布列．
2)随机变量分布列的性质:
⑴ 对任意的自然数n，有 pn 0;
其中 N， M， n均为自然数．
则称随机变量 X 服从超几何分布．
记为：x H(n,M,N),
C CC P(X=k)=
k nk
M
N M n
, 记为 :
H
(k；n,
M
,
N
)
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-3)文档：第2章 2.4 二项分布 Word版含答案
2.4二项分布1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(重点)2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P63～P64“例1”以上部分，完成下列问题．1．n次独立重复试验(1)定义：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p>0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．(2)概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，那么在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率．P n(k)＝Ck n p k q n－k，k＝0,1,2，…，n.2．二项分布若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B (n，p)．1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是相同；④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38.【答案】 383．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于________.【导学号：29440050】【解析】 P (X ＝2)＝C26⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝80243.【答案】 80243[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93； ②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率；②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率．【自主解答】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.【答案】①②④(2)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C04p 0(1－p )4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k )＝Ck 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的分布列为1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝Ck n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (AB ＋A －B －)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (ξ＝k )＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．∴随机变量ξ的分布列为探究1王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C1323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为(2)用C 0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎣⎢⎡23×13×12＋13×23×⎦⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列． 【解】 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率． P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是法二：记第i D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，即P (ξ＝k )＝Ck 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k，k ＝0,1,2,3.故ξ的分布列是1．已知Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (Y ＝4)＝________.【解析】 由Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13可知，P (Y ＝4)＝C46⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝20243.【答案】 202432．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．【解析】 P (X ＝1)＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 493．下列说法正确的是________．(填序号) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】 ①②4．设X ～B (4，p )，且P (X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于________.【导学号：29440051】【解析】 P (X ＝2)＝C24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232， 解得p ＝13或p ＝23. 【答案】 13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【解】 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A ，B ”，则P (A )＝23，P (B )＝34. (1)甲射击4次，全击中目标的概率为C44P 4(A )[1－P (A )]0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为 1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为 C24P 2(A )·[1－P (A )]2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.乙恰好击中3次，概率为C34P 3(B )·[1－P (B )]1＝2764. 故所求概率为827×2764＝18.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学选修2-3课件2.4《正态分布》课件
重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的
特点
B
例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A. f (x)
1
(x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
B.
f (x)
2
x2
e2
2
C. f (x)
1
( x1)2
e4
2 2
D. f (x)
1
x2
e2
2
练习1、若标准正态总体的函数为
1
x2
数的最大值等于 的解析式。 4
1
2
，求该正态分布的概率密度函数
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
y
1
2
5 10 15 20 25 30 35 x
3、正态曲线的性质
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X 是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X服从正态分布..记作 X~ N（ μ，σ2）
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，
2019版高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． 跟踪训练3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p .若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p 与n 的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827.∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12.由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.162625 4.①②5．解 由题意知ξ～B (3，25)，则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。
高中数学苏教版选修2-3课件1.5二项式定理说课课件
计
式
定
1.必做题：课本110页习题10.4的1、2；
理
2.选做题：展开(a+b+c)n(n∈N*）；
3.拓展延伸:查阅书籍或登陆数学网站,了解杨
辉三角的有关数学史料、性质、应用.
板书设计
二项式定理
二项式定理： 二项展开式的结构特征： 1.项数： 2.指数： 3.系数： 通项公式：
(a b)n an an-1b an-2b2 an-3b3 bn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
①推陈出新 ②初步归纳 ③理性思考
杨 (a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
设 计
辉三
C
0
4
a4
C
1
4
a3b
C
2
4 首尾呼应
(a b)n Cn0an Cn1an-1b Cn2a b n-2 2 Cn3a b n-3 3 Cnran-rbr Cnnbn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
3、合作交流——深化认识
设
二 项
4、初步应用——不断领悟 5、归纳总结——画龙点睛
定
理
重视过程 突出方法
(a b)n Cn0an Cn1an-1b Cn2a b n-2 2 Cn3a b n-3 3 Cnran-rbr Cnnbn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
3、合作交流——深化认识
设
二
4、初步应用——不断领悟
计
项 例3.若今天是星期一，再过8100天后的那一天是星期几？ 式
角定
C1
苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理课件(31张)
1.5.1 二项式定理
11
跟踪训练 1 (1)展开(2 x＋ 1x)6； 解 (2 x＋ 1x)6＝x13(2x＋1)6 ＝x13[C60(2x)6＋C16(2x)5＋C26(2x)4＋C63(2x)3＋C46(2x)2＋C56(2x)＋C66] ＝64x3＋192x2＋240x＋160＋6x0＋1x22 ＋x13.
1.5.1 二项式定理
18
题型三 二项展开式通项的应用
例 3 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求： 24 x
(1)展开式中含 x 的一次项；
解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
1.5.1 二项式定理
19
Tr＋1＝Cr8(
解 C37＝C47＝35，所以第 4 项与第 5 项的二项式系数等于 35.
1.5.1 二项式定理
17
(2)x－1x9 的展开式中，含有 x6 项吗？若有，系数为多少？含
有 x5 项吗？若有，系数为多少？ 解 根据通项(－1)rCr9x9－2r，当 9－2r＝6 时，r 无整数解； 当9－2r＝5时，解得r＝2，所以系数为36. 所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36.
＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
1.5.1 二项式定理
9
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45 (x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
2020高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布教学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布1．定义一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p (0<p <1)，即P (A )＝p ，P (A )＝1－p ＝q ，则事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k ，k ＝0，1，2，…，n .它恰好是(q ＋p )n的二项展开式中的第k ＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i (i ＝1，2，3)表示第i 次出现6点这一事件，用B 1表示“仅出现一次6点”这一事件． 问题1：试用A i 表示B 1.提示：B 1＝(A 1A －2A －3)＋(A －1A 2A －3)＋(A －1A －2A 3)． 问题2：试求P (B 1)．提示：∵P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝16，且A 1A －2A －3，A －1A 2A －3和A －1A －2A 3互斥，∴P (B 1)＝P (A 1A －1A －2)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562 ＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562.问题3：用B k 表示出现k 次6点这一事件，试求P (B 0)，P (B 2)，P (B 3)． 提示：P (B 0)＝P (A －1A －2A －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563， P (B 2)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫56，P (B 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163.问题4：由以上结果你得出何结论？提示：P (B k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k ，k ＝0，1，2，3.若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k np k q n －k ，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验： (1)每次试验是在同样条件下进行的； (2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； (4)每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型． [精解详析] (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.[一点通] 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n 次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的和． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为________．解析：恰好成活4棵的概率为C 45×0.94×0.1≈0.33. 答案：0.332. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案：343．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在第一季度里停机维修率为14，已知2台以上(不包括2台)发电机组停机维修，将造成城市缺电，计算：(1)该城市在一个季度里停电的概率； (2)该城市在一个季度里缺电的概率．解：(1)若停电，则表示每台发电机组都不能工作，由于每台发电机组停机维修是互不影响的，故每台发电机组停机维修是相互独立的，该城市停电必须5台发电机组都停机维修，所以停电的概率为C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫145×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－140＝11 024.(2)当3台或4台发电机组停机维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率为 C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫143×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＋C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫144×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝10×143×942＋5×144×34＝1051 024.[例2] 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的概率分布； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的概率分布； (3)求这三名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出x ，y 的可能数值，再根据二项分布的公式求概率分布．(3)可用对立事件求解．[精解详析] (1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是p ＝13，且每次试验结果都是相互独立的，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13. ∴P (X ＝k )＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－k＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k ，k ＝0，1，2，…，6. ∴所求的概率分布为(2)由题意知，Y ＝k (k ＝0，1，2，…，5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，则其概率为P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13，Y ＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236. ∴所求Y 的概率分布为(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－64729＝665729. [一点通] 利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．4．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝________．解析：P (X ＝3)＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.5．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，求面试结束后通过人数X 的概率分布．解析：由题意可知，X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23， 则P (X ＝0)＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝19，P (X ＝1)＝C 12×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (X ＝2)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49.所以X 的概率分布为1．独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，一般有“恰好”“恰有”字样的问题时用独立重复试验的概率公式计算更简捷，要弄清n ，p ，k 的意义．3．二项分布实际上是对n 次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分布之一．课下能力提升(十四)一、填空题1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．解析：P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.2．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)； ②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )；③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②3．若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ≥2)＝________． 解析：P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝473729.答案：4737294．已知一个射手每次击中目标的概率都是35，他在4次射击中，击中两次目标的概率为________，刚好在第二、三这两次击中目标的概率为________．解析：刚好击中两次目标的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝216625. 在第二、三这两次击中目标的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝36625 . 答案：216625 366255．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1，0)的概率是________．解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243. 答案：80243二、解答题6．某一中学生心理咨询中心的服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该咨询中心，且每人只拨打一次，(1)求他们三人中恰有1人成功咨询的概率； (2)求他们三人中成功咨询的人数X 的概率分布．解：每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是34.(1)三人中恰有1人成功咨询的概率为P ＝C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.(2)由题意知，成功咨询的人数X 是一随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，34. 则P (X ＝k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k⎝ ⎛⎭⎪⎫143－k，k ＝0，1，2，3.因此X 的概率分布为7.某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X 的概率分布为(2)设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有4－件． 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.8．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的概率分布； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23， P (X ＝k )＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫23k⎝ ⎛⎭⎪⎫136－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)．X(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 1413⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝3281. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。
苏教版高中数学选修2-32.6 正态分布课件(33张)
第2章——
2.6 正态分布
[学习目标]
1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ －3σ，μ＋3σ)的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
解 P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝21[1－P(－3＜ξ＜5)] ＝12[1－P(1－4＜ξ＜1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023.
跟踪训练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，
由 于 交 通 拥 挤 ， 所 需 时 间 X( 单 位 ： 分 ) 近 似 服 从 正 态 分 布
知识点四 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约 为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为 95.4% ， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为 99.男性体重的正态曲线图，请写出其正 态分布密度函数，并求P(|X－72|<20).
4.在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为 1 .
知识点三 正态分布
1.若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰 好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形的 面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布， 简记为 X～N(μ，σ2) . 2.正态分布 N(0,1) 称为标准正态分布.
高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B 还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p与n的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星 跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827. ∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29， 解得13<p <23，故2<6p <4. 又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12. 由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.1626254.①② 5．解 由题意知ξ～B (3，25)， 则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125， P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。
2018版高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． 跟踪训练3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p .若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p 与n 的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827.∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12.由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.162625 4.①②5．解 由题意知ξ～B (3，25)，则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点二 二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ Cnkpkqn－k ，其中0＜p＜1， p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分 布，记作X～B(n，p).
思考 你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？ 答 两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1 时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布 的一般形式.
跟踪训练3 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作， 且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情 时，下列事件的概率： (1)3台都未报警； 解 令 X 为在发生险情时 3 台报警器中报警的台数，那么 X～ B(3,0.9)，则它的分布列为 P(X＝k)＝Ck30.9k(1－0.9)3－k(k＝ 1,2,3).
解 依题意，随机变量 ξ～B(5，16).
∴P(ξ＝4)＝C45(61)4·56＝7 27576，
P(ξ＝5)＝C55(16)5＝7
1 776.
∴P(ξ>3)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝3
13 888.
课堂小结
1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相 同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的； 第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么 不发生.
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标 的概率. 解 该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而其
他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击中
目标看成一个整体可得共有 C13种情况. 故所求概率为 P＝C13·(35)3·(1－53)2＝3312245.
反思与感悟 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下 几点： (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验； (2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若 干个互斥事件的并. (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.
(1)3台都未报警的概率为 P(X＝0)＝C03×0.90×0.13＝0.001；
(2)恰有1台报警； 解 恰有1台报警的概率为 P(X＝1)＝C13×0.91×0.12＝0.027；
(3)恰有2台报警； 解 恰有2台报警的概率为 P(X＝2)＝C23×0.92×0.1＝0.243；
(4)3台都报警； 解 3台都报警的概率为
解 甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则 P＝(32)2＋C12×32×31×32＝2207.
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解 甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或 甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P＝(32)3＋C23×(32)2×31×32＋C24(23)2×(13)2×23＝6841.
题型一 独立重复试验的判断
例1 判断下列试验是不是独立重复试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上.
解 由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复 试验.
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10 次，其中6次击中. 解 某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复 试验.
所以概率分布为
X0 1 2 3
P
1 64
9 64
27 64
27 64
反思与感悟 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在 实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次 独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中 某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分 布，否则就不服从二项分布.
第2章——
2.4 二项分布
[学习目标]
1.理解n次独立重复试验的模型. 2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布 解决一些简单的实际问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每 次试验的结果仅有 两种对立的状态 ， 即 A 与 A. 每 次 试 验 中 P(A)＝p＞0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称 为 伯努利试验 .
1234
3.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出 11
现的次数多的概率为___3_2____. 解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出
现 4 次、5 次或 6 次，所求概率 P＝C46(12)6＋C56(21)6＋C66(12)6 ＝3112.
1234
4.重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3).
题型二 相互独立重复事件的概率
解 该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次击中目标， 是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、四次没有 击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不 影响，故所求概率为 P＝53×(1－53)×53×(1－35)×35＝3110285.
(2)其中恰有3次击中目标的概率； 解 该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标.根据排列组 合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射击的 结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型.故所求 概率为 P＝C35×(53)3×(1－53)2＝261265.
1234
1.每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中 前7次都未成功，后3次都成功的概率为_p_3(_1_－__p_)_7.
1234
2.若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)＝_0_.9_9_1__4_4_. 解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2) ＝C050.10×0.95＋C150.1×0.94＋C250.12×0.93 ＝0.991 44.
P(X＝3)＝C33×0.93×0.10＝0.729；
(5)至少有2台报警； 解 至少有2台报警的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729 ＝0.972；
(6)至少有1台报警. 解 至少有1台报警的概率为 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽 取5个球，恰好抽出4个白球. 解 每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜 色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验.
反思与感悟 判断的依据要看该实验是不是在相同的条 件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响.
跟踪训练1 下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环” 与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中 10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在 相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复 试验的是____④____. 解析 ①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互 独立事件；④是独立重复试验.
(2)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概 率为Pn(k)＝Cnkpkqn－k，k＝0,1,2…，n，它恰好是(q＋p)n的二 项展开式中的第 k＋1项.
思考 在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响 吗？ 答 在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影 响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试 验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n).
2.如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cnkpk(1－
p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故
称该公式为二项分布公式.
题型三 二项分布问题
解 由题意可知：X～B(3，34)， 所以 P(X＝k)＝Ck3(34)k(14)3－k(k＝0,1,2,3).
P(X＝0)＝C03(43)0(14)3＝614， P(X＝1)＝C13·43 ·(14)2＝694， P(X＝2)＝C23(43)2·14＝2674， P(X＝3)＝C33(43)3＝2674.