选修二：含参函数单调性的分类讨论解题技巧与专题训练
怎样讨论含参函数的单调性
如何解决与函数单调性相关的参数问题
陈今碧
函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。
在解答题里面，经常
看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。
学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。
本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统
和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：
综上…
列表得:
x
(1,+) （-) ) ()
x’y + 0 - 0 + +
y’y’
综上…
2.求含参函数的值域（最值）：
依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），
2°再讨论极值点与定义域的关系.
例6.求值域：
x -1 (-1,a) a (a,1) 1 y’ - 0 +
y ↘↗(1-a)e 综上所述：……
总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：
1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.。
含参型函数单调性求解技巧
含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。
当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。
要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。
下面介绍一些常见的求解技巧。
一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。
即 f'(x) > 0。
2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
即 f'(x) < 0。
判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。
根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。
二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。
1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。
当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。
2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。
例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。
其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。
三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。
专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>Y Y Y Y讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞Y )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a-为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a． 小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论．[典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)31,1(a a -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)1,31(aa -． 小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。
含参函数的单调性讨论
1
f，(x) + — +
+ —+
f (x)
综上：
( 1 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1, 1 a , ； 1 ,1 a 。
( 2 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1 a， 1， ； 1 a ,1 。
( 3 ) a 0， y f ( x ) 在 R ；
2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 是讨论 f ， ( x ) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) ln x a , (a R)
若函数
f
(x)
在
x
1，e上的最小值是
3Байду номын сангаас
，求
a
的值.
2
解： f ， ( x )
1 x
a x2
xa x2
xa 1 e1
a e1 e a
f，(x )
+
—+
—
f (x)
综上： a 1
f
(1)
a
3 2
a
1 a e
f
(a)
ln
作业布置 请同学们认真完成导学案的自主练习
谢谢！
x ln( 2 a ) 0 1 0 ln( 2 a ) 1 0 1 ln( 2 a )
f，(x )
+
—+
—
f (x)
含参的单调区间的讨论
含参函数的单调性讨论类型一：导函数可转化为一次函数或二次函数型分类讨论步骤： ① 求定义域.② 讨论导数的最高项系数.若最高项系数含有参数则需分大于零，小于零，等于零进行讨论； 若最高项系数不含参数则此步略. ③ 求极值点，即导函数的变号零点.首先讨论有无极值点：一次函数型有无极值点一目了然；二次函数型可用判别式、因式分解等方法判定. 然后讨论两极值点的大小，以及极值点与给定区间端点的大小关系，即极值点是否在给定区间内. ④总结例1：讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间变式1：已知函数()ln ()af x x a R x=+∈，试讨论其在[1,]e 上的单调性及最值.变式2：讨论x ax x f ln )(+=的单调性 例2：设函数aax x a x x f 244)1(31)(23+++-=讨论函数)(x f 的单调性.变式1：设函数x a x a x x f ln 4)1(221)(2++-=，讨论函数)(x f 单调性.变式2：设函数)0(ln 4)1(221)(2≥++-=a x x a ax x f ，讨论函数)(x f 单调性.例3：设函数a ax ax x x f 24431)(23++-=，讨论函数)(x f 单调性.变式1：讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间变式2：设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值例4：已知函数(),(0,1],f x x a x a R +=-+∈∈，讨论函数的单调区间类型二：导函数不可转化为多项式函数型分类讨论步骤：① 求定义域; ② 求导函数;③ 先讨论只有一种单调区间的（即()0f x '≥或()0f x '≤）的情况，再讨论有增有减的情况（即导函数存在变号零点）; ④ 总结例5：讨论函数()22xf x e ax =-+的单调区间变式1：讨论函数()22x f x e ax =-+在[0,1]上的单调区间变式2：讨论函数2()(2)2x a f x e x x ax =--+的单调区间例6:试讨论()ln 2f x x x ax =-的单调区间变式：试讨论()ln 2f x x x ax =-在(0,)e 的单调区间。
含参单调性的讨论
4a
2a
4a 4a
2a 2a
设g(x) ln x x 1,则g'(x) 1 1. x
当x (0,1)时，g'(x) 0;当x (1， )时，g'(x) 0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，在x 1处g(x)有最大值g(1) 0. 所以当x 0时，g(x) 0.
【2017】解：(1) f (x)的定义域为(0,), f '(x) 1 2ax 2a 1 (x 1)(2ax 1)
x
x
若a 0,则当x (0,)时，f '(x) 0,故f (x)在(0,)上单调递增；
若a 0，则当x (0, 1 )时，f '(x) 0；当x ( 1 ,)时，f '(x) 0.
令f
'(x)
0得x1
0,
x2
2 a
.
（1）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当0 x 2 时，f '(x) 0.
a
a
f (x)的增区间是(,0),( 2 ,);减区间是(0, 2).
a
a
（2）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当 2 x 0时，f '(x) 0.
2
2
所以f (x)在(0, a )递增，在( a ,)递减。
2
2
例2 讨论f (x) (a 1) ln x x a 的单调性。 x
不要只顾着比较两根1与-a大小,而要注意定义域大于0 的限制！
思考题2 f (x) 1 x2 ax (a 1) ln x 2
解：x 0. f '(x) x a a 1 x2 ax (a 1) (x 1)[x (a 1)]
人教A版选修2-2导数应用：含参函数的单调性讨论(二).docx
导数应用：含参函数的单调性讨论(二)对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。
一、典型例题例1、已知函数32()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。
而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('<x f 的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。
解： 因为32()331,f x ax x x a R =+++∈， 所以/2()3(21)f x ax x =++(1) 当0a =时，/()3(21)f x x =+，当1,2x ≤-时，/()0f x ≤；当1,2x ≥-时，/()0f x ≥；所以函数()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2-+∞上单调递减； (2) 当0a >时，/2()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ∆=-I) 当136(1)0,a a ≥∆=-≤时，时，/()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <<∆=->时，时，方程/()0f x =的两个根分别为12x x ==且12,x x <所以函数()f x 在1(,a --∞，1()a-++∞上单调递增，在11()a a---+上单调递减； (3) 当0a <时，/2()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ∆=->方程/()0f x =的两个根分别为12x x ==且12,x x >所以函数()f x 在(-∞，)+∞上单调递减，在11(a a-+--上单调递增。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第二册) 拓展三 含参函数单调性的分类讨论(精练
拓展三 含参函数单调性的分类讨论(精练)【题组一 导函数有一根】1．(2021·全国高二专题练习)已知函数f (x )=12x 2+a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．2．(2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试)已知函数()ln 1f x ax x =++．讨论函数()f x 的单调性；3．(2021·重庆市万州清泉中学高二月考)已知函数()2ln a f x x x =-．讨论()f x 的单调性；4．(2021·全国)已知函数2()ln f x a x x =+(a ∈R 且a ≠0)，讨论函数()f x 的单调性．【题组二 导函数有两根】1．(2021·全国高二课时练习)已知函数()()1ln 1x x a f x e a x x a e--=+-<，试讨论()f x 的单调性.2．(2021·全国高二课时练习)已知函数2()(2)x x f x ae a e x =-++，若0a >，求()f x 的单调递增区间.3．(2021·肇庆市高要区第二中学高二月考)已知函数()()21e x f x x ax =--(e 是自然对数的底数，a R ∈)，4(2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考)已知函数2()(2)ln (0)a f x x a x a x=-+->． (1)若()f x 在点(1,(1))f 处的切线l 与10x y -+=平行，求切线l 的方程；(2)讨论函数()f x 的单调性．5(2021·全国高二单元测试)已知函数22e ()lnf x a x ax x =+-，讨论函数()f x 的单调性；6．(2021·安徽镜湖·芜湖一中高二期中(理))已知函数2()(2)(3)x f x a x e x =+-+(a R ∈，e 为自然对数的底数).讨论函数()f x 的单调性.7(2021·河南洛阳·(理))已知函数()()21ln 12f x a x x a x =---，(a ∈R )，讨论函数()f x 的单调性；8(2021·威海市第一中学)已知函数()21(1)2x f x x e ax a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，讨论()f x 单调性；9．(2021·北京日坛中学)已知函数()()2ln 12x f x a x a x =+-+，求其单调区间.10．(2021·湖北十堰·高二期末)已知函数()32f x x ax =-.讨论()f x 的单调性；11．(2021·无锡市第一中学高二期中)已知函数321()32m m f x x x x +=-+，其中m 为正实数，试讨论函数()f x 的单调性；12．(2021·广西南宁三中)函数()ln(1)(1).=+->+ax f x x a x a讨论()f x 的单调性；13．(2021·河南)已知函数()221x x f x x x a e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，讨论()f x 的单调性14．(2021·黑龙江大庆·铁人中学高二期末(理))已知函数()()()211ln 02=+++≠f x ax a x x a ，讨论()f x 的单调性；【题组三导函数利用判别式求根】1．(2021·全国高二课时练习)设函数f(x)＝a ln x＋11xx-+，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.2(2021·全国湖北)设函数1()ln()f x x a x a Rx=--∈讨论()f x的单调性；3(2021·广东湛江)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈. (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性；4．(2021福建)已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；。
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
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高中数学选修二：含参函数单调性的分类讨论解题技巧【思维导图】考点一 导函数为一根【例1】．已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；【一隅三反】1．已知函数()()22e xx x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性；3．已知函数，1()ln ()f x a x a R x=+∈.讨论()f x 的单调性；考点二 导函数为两根【例2】．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【一隅三反】1．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+．判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；2．已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性；若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.3．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；考点三 不能因式分解 【例3】．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性；【一隅三反】1．已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；答案解析考点一 导函数为一根【例1】．已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >.令()0f x '<，解得x <<，则()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减.【一隅三反】1．已知函数()()22e xx x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；【答案】答案见解析【解析】()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e xxxx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.2．已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性； 【答案】具体见解析【解析】函数()ln 21f x x ax =-+，定义域为()0,∞+，()12f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x '>.故()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间.当0a >时，令()120f x a x'=-=，得102x a =>； 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增； 当1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间； 当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.3．已知函数，1()ln ()f x a x a R x=+∈.讨论()f x 的单调性； 【答案】当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【解析】因为1()ln =+f x a x x ，所以2211()(0)'-=-=>a ax f x x x x x. 当0a 时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，由()0f x '<，得10x a <<；由()0f x '>，得1x a>. 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.考点二 导函数为两根【例2】．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数, 当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 是增函数；【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞）又()()()()()2/221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数 当a ＞0时，由f′（x ）=0得：1x a =或12x =-（舍） 所以：在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数 【一隅三反】1．已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+．判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得2113()()()ln (1)222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，(0,)x ∈+∞； ∴21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x F x ax x a x x-+-+-++'=-+-==． 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，有10x a <<：()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0F x '<，有1x a >：()F x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．2．已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】答案见解析 【解析】()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增.3．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；【答案】见解析 【解析】因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .考点三 不能因式分解 【例3】．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 【答案】答案见解析【解析】()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x ax f x x x x -+=+-=， 令()221,4g x x ax a =-+∆=-，①当22a -≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当2a <-时，>0∆，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，>0∆，()0g x =的两根为12,22a a x x +==，当10x x <<时，()'0f x >；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >； 故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 【一隅三反】1．已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（Ⅰ）3k =；（Ⅱ）答案见解析； 【解析】（Ⅰ）()1()0f x x k x x'=+->，∵曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，∴(1)1f '=-，即21k -=-，故3k =； （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当k 2≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；② 当2k >时，211()x kx f x x k x x-+'=+-=，令()0f x '=，得210x kx -+=.∵240k ∆=->，∴方程()0f x '=有两不等实根12x x ==. ∵120x x k +=>，1210x x =>，∴210x x >>.令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<. 综上所述，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.另法（常规方法）：讨论24k ∆=-的符号.当240k ∆=-≤，即22k -≤≤时，210-+≥x kx 恒成立，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增；② 当240k ∆=->，即2k <-或2k >时，方程()0f x '=有两不等实根12,x x . （i ）当2k <-时，由12120,10x x k x x +=<=>知120x x <<，则12()()()0x x x x f x x--'=>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增；（ii ）当2k >时，由12120,10x x k x x +=>=>知210x x >>， 令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<. 故()f x 在1(0,)x 、2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减.综上，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 2．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x=-- 21()2f x x '=+2221a x ax x x -+-=，对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得0x <<x >，令()0f x '<，得44a a x <<，所以()f x 在(0,4a ，()4a +∞上是增函数，在上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在，)+∞上是增函数，在上是减函数.《含参函数单调性的分类讨论》专题训练【题组一 导函数为一根】1．设函数()1ln f x ax x =--．讨论函数()f x 的单调性；2．已知函数2()2ln 2f x x m x m =--，m R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极小值，求该极小值的取值范围．3．已知函数(),()ln x f x e g x x a x ==+．讨论()g x 的单调性；4．已知a R ∈，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.5．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1ee xx -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.讨论f （x ）的单调性；【题组二 导函数为两根】1．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.讨论()f x 的单调性；2．已知函数22()ln f x a x a x x=++，实数0a >. 讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；3．设函数()()2122xf x x e ax ax =-+-，讨论()f x 的单调性；4.已知函数22()ln f x x ax a x =+-()a ∈R ，求函数()f x 的单调区间【题组三 不能因式分解】1．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；2．已知函数()()4ln 02x af x ax a x=-+>，讨论()f x 的单调性；3．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >，讨论函数()f x 的单调性；答案解析【题组一 导函数为一根】1．设函数()1ln f x ax x =--．讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）133,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】()()10ax f x x x-'=> 当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， ∴当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2．已知函数2()2ln 2f x x m x m =--，m R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极小值，求该极小值的取值范围．【答案】（Ⅰ）：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(；（Ⅱ）(2,e -⎤-∞⎦【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2222x m m f x x x x-=-='， ①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，②当0m >时，令()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述：当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(.（Ⅱ）①当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞内单调递增，没有极值；②当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(,所以()()ln 1f x fm m ==-+极小值，记()()()ln 1,0h m m m m =-+>，则()()2ln h m m '=-+，由()0h m '=得2m e -=， 所以()()()22222ln h m h eee e e -----≤=-+=，所以函数()f x 的极小值的取值范围是(2,e -⎤-∞⎦3．已知函数(),()ln xf x eg x x a x ==+．讨论()g x 的单调性； 【答案】分类讨论，详见解析 【解析】()g x 定义域为(0,)+∞， 因为()1a x ag x x x+'=+=， 若0a ，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，若0a <，则当(0,)x a ∈-时，()0g x '<，当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增． 4．已知a R ∈，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）()()ln 0f x x a x x =->，则()1a x a f x x x'-=-=. 当0a ≤时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增； 当0a >时，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增， 当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞；（2）()()()21ln 2h x g x f x x ax x a x =-=--+，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()()()()2111x a x a x a x a h x x a x x x-++--'=--+==. ①当1a ≥时，对任意的1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0h x '>，函数()y h x =单调递增， 所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a ⎛⎫==---⎪⎝⎭； ②若12a ≤，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，函数()y h x =单调递减，所以，函数()y h x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--； ③若112a <<时，当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，当(),1x a ∈时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减， 又因为13ln 2282a h a ⎛⎫=---⎪⎝⎭，()112h a =--， ()13111ln 2ln 2282282a a h h a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（i ）当1ln 2082a a +-≥时，即当1128ln 24a <≤-时，()112h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()min 112h x h a ==--；（ii ）当1ln 2082a a +-<时，即当118ln 24a <<-时，()112h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 此时，函数()y h x =在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()min 13ln 2282ah x h a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.综上所述，()min31ln 2,828ln 2411,28ln 24aa a h x a a ⎧--->⎪⎪-=⎨⎪--≤⎪-⎩.5．设函数f （x ）=ax 2–a –lnx ，g （x ）=1ee xx -，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.讨论f （x ）的单调性；【答案】当x∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x∈+)∞时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；【解析】2121()2(0).ax f x ax x x x --=>'=0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+（，）∞内单调递减. 0a >当时，由()f x '=0有x =当x∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增. 【题组二 导函数为两根】1．已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】f （x ）的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=.若a≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当x ∈’)(0f x ＞时，’)(0f x ＞；当x ∈1()2a∞-+，时，’)(0f x <.故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减.2．已知函数22()ln f x a x a x x=++，实数0a >. 讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性； 【答案】见解析；【解析】由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)(1)()a ax ax f x a x x x'+-=-++=. ∵0a >，20ax +>，∴由()0f x '=可得1x a=. （i ）当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 110a，当(0,10)x ∈时，()0,()f x f x '<单递减； （ii ）当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，110a <，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,10)上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 在区间1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.3．设函数()()2122xf x x e ax ax =-+-，讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析【解析】（1）由题意得()()(),1xx R f x x e a ∈=-+'，当0a ≥时，当()(),1,0x f x '∈-∞<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当0a <时，令()0f x '=得()1,ln x x a ==-，当a e <-时，()(),1,0x f x '∈-∞>；当()()1,ln x a ∈-时，()0f x '<； 当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>；所以()f x 在()()(),1,ln ,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln a -单调递减； ②当a e =-时，()0f x '≥，所以()f x 在R 单调递增， ③当0e a -<<时，()()(),ln ,0x a f x ∈-∞->'；当()()ln ,1x a ∈-时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>； ∴()f x 在()()(),ln ,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln ,1a -单调递减；4.已知函数22()ln f x x ax a x =+-()a ∈R ，求函数()f x 的单调区间【答案】见解析【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+．222121()2a x ax f x a a x x x-++'=+-=．若0a =，1()0f x x'=>．所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 若0a >，令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==，解得112x a =-，21x a=．当0a >时，()f x '，()f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，()f x '，()f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．综上所述：0a =，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；0a >，单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <，单调递增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【题组三 不能因式分解】1．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x=-- 21()2f x x '=+2221a x ax x x -+-=，对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得04a x <<或4a x >，令()0f x '<x <<，所以()f x 在(0,4a ，()4a +∞上是增函数，在(44a a 上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在(0,)4a -，()4a ++∞上是增函数，在上是减函数.2．已知函数()()4ln 02x af x ax a x=-+>，讨论()f x 的单调性； 【答案】见解析 【解析】()()4ln02x af x ax a x-+＝>, ()()222214402a ax x af x a x x x x-+-'⋅--==>. 令()24g x ax x a +＝--.2116a ∆=-.若21160a ∆≤=-，即14a ≥，则()0g x ≤，即()0f x '≤， ∴()f x 在()0+∞，上单调递减； 若21160a ∆＝->，即104a <<. 由()240g x ax x a +＝--＝，解得10x =>，20x >.∴当12(0,)(,)x x x ∈+∞时， ()0g x <，即()0f x <′，()f x 在)0+∞(上单调递减；当12(,)x x x ∈时， ()0g x >，即()0f x >′，()f x在上单调递增；3．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >，讨论函数()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-， 令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<， 当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增， 在⎝⎭上单调递减.。