函数单调性之分类讨论

函数单调性之分类讨论本文介绍了含参函数单调性的分类讨论方法。

首先，根据函数的形式（一次函数、二次函数、分式函数、含ex函数）进行分类讨论。

对于一次函数，根据参数k的正负和零来标记数轴上的根，并确定单调区间；对于二次函数，先进行因式分解，然后根据参数a的正负和零以及判别式Δ的大小来确定单调区间；对于分式函数和含ex函数，需要进行通分或提取e 等操作，然后根据参数分类讨论。

接下来，通过两个例题来演示如何使用分类讨论方法讨论函数单调性。

第一个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调性；第二个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax+(a-1)x^2/2，先求导得到导数，然后根据判别式Δ的大小和根的位置确定函数在定义域上的单调性。

总的来说，分类讨论法是一种通用的方法，适用于各种含参函数单调性的讨论。

在具体操作时，需要根据函数的形式和参数的取值进行分类讨论，然后根据导数的正负、判别式的大小和根的位置等来确定函数在定义域上的单调性。

首先需要进行一些符号的修正和排版调整，然后再进行改写。

1.讨论函数$f(x)=ae^x$的单调性。

解析：定义域为$(-\infty。

+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=ae^x$。

当$a0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$单调递减，在$(1,+\infty)$单调递增。

2.讨论函数$f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x$的单调性。

解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x(x+1)}+(4a+2)x+2a+1$。

当$a\geq 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；当$a<0$时，令$f'(x)=0$得到$x_1=-\frac{1}{2a}$和$x_2=-1$，因此$f(x)$在$(0,x_1)$和$(x_2,+\infty)$单调递减，在$(x_1,x_2)$单调递增。

3.已知常数$a>0$，函数$f(x)=\ln(1+ax)-\frac{x}{x+2}$。

解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{a}{1+ax}-\frac{2}{(x+2)^2}$。

令$f'(x)=0$得到$x=\frac{2}{a}-2$，因此$f(x)$在$(0,\frac{2}{a}-2)$单调递增，在$(\frac{2}{a}-2,+\infty)$单调递减。

已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{ax}{x+a-1}$，其中$a$为常数。

1.当$a\geq 1$时，$f'(x)>0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。

2.当$0<a<1$时，令$f'(x)=0$，得$x=\dfrac{2}{1-a}$，$x=-\dfrac{2}{1-a}$，又$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ln(x+1)$，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\ln(-x+1)-\dfrac{ax}{x+a-1}$，则①当$x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，故$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$上单调递增；②当$x\in(-2,2)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-2,2)$上单调递减。

3.当$a=1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x}{x}=1-\dfrac{1}{x(x+1)}>0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。

综上所述：当$a\leq 1$时，$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增；当$a=1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$0<a<1$时，$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$上单调递增，在$(-2,2)$上单调递减。

已删除明显有问题的段落。

6、已知函数$f(x)=\frac{x-ax-\ln(x+1)}{2}$，$a\in R$，讨论$f(x)$的单调区间。

首先确定定义域为$(-1,+\infty)$，然后求导得到$f'(x)=\frac{-ax^2-ax+x(-ax-(a-1))}{(x+1)^2}$。

①当$a=0$时，$f(x)=\frac{x-\ln(x+1)}{2}$，故$f(x)$在$(-1,+\infty)$单调递减。

当$\Delta= (-a)^2-4(-a)(1)=a^2+4>0$时，解得两个根$x_1=\frac{-a+\sqrt{\Delta}}{2}$，$x_2=\frac{-a-\sqrt{\Delta}}{2}$，比较两根大小情况：②当$x_1>x_2$时，即$12$，故$f(x)$在$(-1,a-2a),(a^2-2a,+\infty)$上单调递增，在$(a-2a,+\infty)$上单调递减。

③当$x_12$或$a2$，故$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,a-2a),(a^2-2a,+\infty)$上单调递减。

④当$a=2$时，$f(x)=\frac{x-2x-\ln(x+1)}{2}=-\frac{\ln(x+1)}{2}-x$，故$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减。

⑤当$a=-\frac{2}{3}$时，$f(x)=\frac{x+\frac{2}{3}x-\ln(x+1)}{2}=\frac{x}{3}-\frac{\ln(x+1)}{2}$，由于$\frac{x}{3}-\frac{\ln(x+1)}{2}$的导数为$\frac{2-x}{6(x+1)^2}$，故$f(x)$在$(-1,2)$上单调递增，在$(2,+\infty)$上单调递减。

因此，$f(x)$的单调区间为：当$a=0$时，$(-1,+\infty)$单调递减；当$1<a<2$时，$(-1,a-2a)$单调递增，$(a^2-2a,+\infty)$单调递增，$(a-2a,+\infty)$单调递减；当$a>2$或$a<-\frac{2}{3}$时，$(-1,+\infty)$单调递增，$(-\infty,a-2a)$单调递减，$(a^2-2a,+\infty)$单调递减；当$a=2$时，$(-1,+\infty)$单调递减；当$a=-\frac{2}{3}$时，$(-1,2)$单调递增，$(2,+\infty)$单调递减。

7、已知函数$f(x)=\ln(x+1)-x+\frac{k}{2x}$，$k\geq0$，讨论$f(x)$的单调性。

首先确定定义域为$(-1,+\infty)$，然后求导得到$f'(x)=\frac{2x-(k-1)x^2-kx}{2x^2(x+1)^2}$。

①当$k=0$时，$f(x)=\ln(x+1)-x$，故$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增。

当$\Delta=(k-1)^2-4k<0$时，$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减。

②当$\Delta=0$时，即$k=1$时，$f(x)\geq0$，故$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增。

③当$\Delta>0$时，即$02$时，比较两个根$x_1=\frac{k-1+\sqrt{\Delta}}{2(k-1)}$，$x_2=\frac{k-1-\sqrt{\Delta}}{2(k-1)}$的大小情况：当$x_1>x_2$时，$f(x)>0$，故$f(x)$在$(-1,x_2),(x_1,+\infty)$上单调递减，在$(x_2,x_1)$上单调递增。

当$x_10$，故$f(x)$在$(-1,x_1),(x_2,+\infty)$上单调递减，在$(x_1,x_2)$上单调递增。

因此，$f(x)$的单调区间为：当$k=0$时，$(-1,+\infty)$单调递增；当$02$时，$(-1,x_2)$单调递减，$(x_1,+\infty)$单调递减，$(x_2,x_1)$单调递增；当$k=1$时，$(-1,+\infty)$单调递增；当$k=\frac{3}{2}$时，$f(x)=\ln(x+1)-x+\frac{3}{4x}$，$f'(x)=\frac{4x-3x^2-3}{4x^2(x+1)^2}$，$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,\frac{3}{2})$上单调递增，在$(\frac{3}{2},+\infty)$上单调递减；当$k=2$时，$f(x)=\ln(x+1)-x+\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2(x+1)^2}$，$f(x)$在$(-1,-1+\sqrt{2})$上单调递减，在$(-1+\sqrt{2},1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。

综上所述，$f(x)$的单调区间为：当$k=0$时，$(-1,+\infty)$单调递增；当$0<k<1$时，$(-1,x_2)$单调递减，$(x_1,+\infty)$单调递减，$(x_2,x_1)$单调递增；当$k=1$时，$(-1,+\infty)$单调递增；当$1<k<\frac{3}{2}$时，$(-1,x_2)$单调递减，$(x_1,+\infty)$单调递减，$(x_2,x_1)$单调递增；当$k=\frac{3}{2}$时，$(-1,0)$单调递减，$(0,\frac{3}{2})$单调递增，$(\frac{3}{2},+\infty)$单调递减；当$k>2$时，$(-1,x_2)$单调递减，$(x_1,+\infty)$单调递减，$(x_2,x_1)$单调递增；当$k=2$时，$(-1,-1+\sqrt{2})$单调递减，$(-1+\sqrt{2},1)$单调递增，$(1,+\infty)$单调递减。

aln(x)+ax(1-x)当x∈(0,1)时，x(1-x)>0，因此只需讨论aln(x)+a-1的符号即可。

①当a=1时，f(x)=-xln(x)-(1-x)ln(1-x)，f'(x)=-ln(x)+ln(1-x)，x∈(0,1)时，-ln(x)+ln(1-x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递增。