北京四中高考数学总复习 三角函数的最值与综合应用(基础)知识梳理教案

三角函数的最值与综合应用

【考纲要求】

1、能求三角函数的值域与最值；

2、能利用三角函数的图象与性质解题.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、三角函数的最值

求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：

涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理.

型，经过降次、整理，

得到，其中，再利用有界性处理.

形如或的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解.

形如，在关系式中时，可考虑换元法处理，如令，则，把三角问题化归为代数问题解决. 形如型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）.

形如型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解.

要点诠释：

三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法.

考点二、 (,)的性质

1. 定义域:,值域:y∈[-A,A].

2．周期性:

3. 奇偶性:时为偶函数；时为奇函数，.

4．单调性:单调增区间:[] ,

单调减区间:[] ,

5. 对称性:对称中心(,0)，；对称轴x= ，

6．最值:当即时，y取最大值A

当即时，y取最小值-A．().

要点诠释：

求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性.

考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题

三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】

类型一：三角函数的最值

例1．求函数的最大值.

【解析】原式

，

故所求函数最大值为.

【总结升华】运用三角函数公式化简成，通过二倍角降次，整理成

型，再利用有界性处理.

举一反三：

【变式1】求函数的值域.

【答案】

【解析】

∵，∴.

由正弦函数图象可知：

当即时，；当即时，.

所以函数值域为.

【变式2】函数在区间上的最大值是（）

A．1 B． C． D．1+

【答案】C

【解析】。

又，∴，

∴. 故选C.

【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例4】

【变式3】已知函数。

（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。

【答案】；

例2．求下列函数的值域.

（1）；（2）

【解析】(1) 由去分母得：,

移项整理，

由辅助角公式得：（）

∴,

∵, ∴, 即.

平方整理得:, 解出：，

所以函数值域为.

（2）由得

∴

令，则

∴,

当时，，当时，.

所以函数值域为.

【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.

举一反三：

【变式1】求下列函数的值域：

（1）；（22）；（3）.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）

∴当时，有最大值；

当时，有最小值－４.

∴值域为

（2）∵,∴，

即，解得，

∴值域为.

（3）∵，

∴值域为.

【变式2】对于函数，下列结论正确的是（）

A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值

C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

【答案】B

【解析】法一：，，得，是一个减函数，则只有最小值而无最大值.

法二：可通过，得出，由也可求出．故选B.

【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例5】

【变式3】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，求的取值范围.

【答案】

类型二：的图象和性质的综合应用

例3.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由对恒成立，可知的最大值为，从而有，即，即，，即，.

又，得，

故可取，即，由，，

得，，故选C.

【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.本例先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形的方法来求解.本例的关键之处就是确定的值.

举一反三：

【变式1】已知函数，若，则x的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由，得：

，，

化简得：. 故选B.

【变式2】已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________.

【答案】

【解析】由题意知直线为函数的一条对称轴，且，