第十一章(理) 第四节 正态分布、线性回归

走第二条路线及时赶到火车站的概率为 P(0<ξ≤70)≈Φ( )＝Φ(2.5)＝0.993 8.
因此在这种情况下应走第二条路线．
(2)走第一条路线及时赶到的概率为
P(0<ξ≤65)≈Φ( )＝Φ(1.5)＝0.933 2；
走第二条路线及时赶到的概率为
P(0<ξ≤65)≈Φ( )＝Φ(1.25)＝0.894 4.
4．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为 ＝
250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为
________．
解析：把x＝50代入
答案：450 kg
＝250＋4x可求得
＝450(kg)．
5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Φ(x)＝P(ξ<x)，给 出下列结论： ①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|<2)＝2Φ (2)－1. 则正确结论的序号是________．
(
)
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中，a，c是已知 常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别 式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩施用肥料量和粮食亩产量
解析：由函数关系和相关关系的定义可知，①中Δ＝b2－ 4ac，因为a、c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b 的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一 种确定的关系，是函数关系．②③④中两个变量之间的
(1)P(－2<ξ<7)； (2)若C的值使得P(ξ>C)≤P(ξ≤C)，试确定实数C的取值范围． [思路点拨]
[课堂笔记] (1)P(－2<ξ<7)＝Φ(
)－Φ(
)
＝Φ(2)－Φ(－2.5)＝Φ(2)－[1－Φ(2.5)]
＝0.977 2－(1－0.993 8)＝0.971 0.
(2)∵P(ξ>C)＝1－P(ξ≤C)， P(ξ>C)≤P(ξ≤C)，
C．①②③④
B．①②③④⑤
D．③④⑤
解析：①②③④显然正确，线性回归方程不一定可以近 似地表示所有相关关系，如它不可表示非线性的相关关 系，因此，⑤错误．
答案：C
3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率， 若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－ μ|<σ)等于 A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) C．Φ( ) B．Φ(1)－Φ(－1) D．2Φ(μ－σ) ( )
于是有b＝ a＝ －b ＝5－1.23×4＝0.08.
＝1.23；
(2)回归直线方程为＝1.23x＋0.08， 当x＝10(年)时， ＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元
以选择题或填空题的形式考查正态分布的有关计 算是高考对本节内容的常规考法，而线性回归分析更 贴近于实际生活，必然会成为高考命题的一个新方向.
在x＝0
时取最大值
，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一
定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高
瘦”，反之越“矮胖”．
答案：D
2．下列两个变量之间的关系哪个是相关关系
(
)
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和它的面积
C．正n边形的边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
解析：A、B、C中的两个变量都是函数关系，它们可以
解析：依题意，Φ(0)＝1－Φ(－0)，∴Φ(0)＝
，①正确；
Φ(x)＝P(ξ<x)＝P(ξ>－x)＝1－Φ(－x)，②正确；P(|ξ|<2)＝
P(－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1，
③正确． 答案：①②③
1.要熟记并理解：①P(x<x0)＝Φ(x0)；②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)； ③F(x)＝Φ( )这三个公式，在标准正态分布表中只给
标准正态分布
x轴 为渐近 ①曲线在 x轴 上方，与 x轴 不相交，以 x＝μ x＝0 线 x＝μ ②曲线关于直线 称 x<μ ③曲线在 x>μ 性 最高点
对
②曲线关于直线 x＝0 称
x<0 ③曲线在 x>0 点 ④当
对
时位于
时位于最高
质
④当
当
时，曲线上升， 矮胖 当 时，曲线下降 瘦高
时，曲线上升， 分散 集中 时，曲线下降
(1)若只有70 min可用，问应走哪条路线？ (2)若只有65 min可用，又应走哪条路线？
[思路点拨]
最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车
站的那条路线．
[课堂笔记] 设ξ为行车时间．
(1)走第一条路线，及时赶到火车站的概率为
P(0<ξ≤70)＝Φ( ≈Φ( )－Φ( )
)＝Φ(2)＝0.977 2，
解：(1)P(ξ<89)＝F(89)＝Φ(
)＝Φ(－2)＝1－Φ(2)＝
1－0.977 2＝0.022 8.
(2)由题可得P(ξ≥80)≥0.99， 即1－P(ξ<80)≥1－0.01，∴P(ξ<80)≤0.01， ∴Φ( )≤0.01＝Φ(－2.327)，∴ ≤－2.327，
关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．
答案：A
2．下列叙述中：
①变量间关系有函数关系，还有相关关系；
②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系； ③ ＝x1＋x2＋…＋xn； ，a＝
④线性回归方程 ＝bx＋a中，b＝ ；
⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其 中正确的有 ( )
A．①②③
6．将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器
设定在d℃，液体的温度ξ(单位：℃)是一个随机变量，且
ξ～N(d,0.52)． (1)若d＝90，求ξ<89的概率； (2)若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99， 问d至少是多少？(其中若η～N(0,1)，则Φ(2)＝P(η<2)
＝0.977 2，Φ(－2.327)＝P(η<－2.327)＝0.01)．
由表中数据得回归直线方程
＝bx＋a中b＝－2，
预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________度．
解析：
＝10， ＝40，回归直线方程过点(
)，
∴40＝－2×10＋a.
∴a＝60.∴ ＝－2x＋60. ＝(－2)×(－4)＋60＝68.
令x＝－4，∴ 答案：68
1．下列变量之间的关系是函数关系的是
关关系，其回归直线方程是 ＝－0.7x＋a，则a＝
________.
解析： ＝2.5， ＝3.5， ∴a＝ －b ＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25. 答案：5.25
5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内 取值的概率为________． 解析：根据正态分布的对称性可知ξ在(1,2)内取值的 概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案：0.8
[考题印证]
(2010· 深圳模拟)三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回 归方程为 A. C. ＝1.75x－5.75 ＝－1.75x＋5.75 B. D. ( ＝1.75x＋5.75 ＝－1.75x－5.75 )
【解析】
法一：设回归直线方程为 ＝bx＋a，则
＝1.75， a＝ ＝18－1.75×7＝5.75.
出了x0≥0，即P(x<x0)＝Φ(x0)的情形，对于其他情形可借 助上述三个公式转化为x0≥0的情形．
2．要注意标准正态分布与一般正态分布的关系及其转化方
法，即若ξ～N(μ，σ2)，则η＝
～N(0,1)．当
)
ξ～N (μ，σ2)时， P(a<ξ<b)＝F(b)－F(a)＝Φ( －Φ( )．
设随机变量ξ～N(3,22)，借助于标准正态分布表，求
系，也可能是伴随关系．
1．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线 N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是 ( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线φ(x)＝
不可信的．
2．进行线性回归分析时，要先画出散点图确定两变量具 有线性相关关系，然后利用公式求回归系数a，b，得 到回归直线方程，最后再进行有关的线性分析．
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y
(万元)，有如下的统计资料：
使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
解析：令η＝
，则η服从标准正态分布， |<1)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)
∴P(|ξ－μ|<σ)＝P(| ＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案：B
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据， 月份x 用水量y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5
由其散点图知，用水量y与月份x之间有较好的线性相
用函数关系式来表示，D中的两个变量之间的关系是相
关关系．
答案：D
3．已知x与y之间的几组数据如下表： x y 0 1 1 3 2 5 3 7 ( )
则y与x的线性回归方程 ＝bx＋a必过 A．点(2,2) C．点(1,2) B．点(1.5,0) D．点(1.5,4)
解析：
∴线性回归方程必过(1.5,4)． 答案：D
因此在这种情况下应走第一条路线.
源自文库
1.求线性回归方程的步骤
(1)先把数据制成表，从表中计算出， x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值； (2)计算回归系数a，b； (3)写出线性回归方程 ＝bx＋a. ，
[特别警示] 若题目条件没有告诉我们y与x间是呈线性相 关，应首先进行相关性检验．如果本身两个变量不具备线 性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求 出回归直线方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是
故 ＝1.75x＋5.75.
法二：∵
(3＋7＋11)＝7，
(10＋20＋24)＝18. 又回归直线方程必定过点( )，代入验证即可得
＝1.75x＋5.75.
【答案】 B
[自主体验] 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随 机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定
2．线性回归
(1)变量间的相关关系
①函数关系：函数关系是一种 确定的 关系．
②相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定 随机性 的两个变量之间的关系叫做相关关系．
③回归分析：对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析
的方法叫做回归分析．
(2)回归直线方程 对n个样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，其回归直
1.了解正态分布的意义及主要性质.
2.了解线性回归的方法和简单应用.
1．正态分布与标准正态分布 正态分布 标准正态分布
图象及 表示方法
正态分布
f(x)＝
标准正态分布
f(x)＝
x∈(－∞，＋∞)，其中μ是总
解析式
体的 平均数 ，σ是总体的
x∈(－∞，＋∞)， 其中μ＝ 0 ，σ＝1
标准差
正态分布
线方程为
其中b＝
＝bx＋a.
，a＝ ，
其中x 、 y分别为{xi}、{yi}的 平均数 ．
(3)样本相关系数
把r＝
＝
叫做变量y与x之间的样本相关系数(简称相关系数)，
可以证明|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度 越大 ，|r|越 接近于0，相关程度 越小 ．
[思考探究] 相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种 非确定的关系． ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关
∴1－P(ξ≤C)≤P(ξ≤C)， ∴P(ξ≤C)≥ 又∵P(ξ≤C)＝Φ( ∴Φ( )≥ )， ＝Φ(0)，
∴
≥0，∴C≥3.
某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有 两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通 拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二 条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时 间服从正态分布N(60,42)．
若由资料知y对x呈线性相关关系．
试求：(1)回归直线方程 ＝bx＋a的回归系数a、b；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)制表： i xi yi xiyi x 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 ＝4； ＝90； 4 5 6.5 32.5 25 ＝5； ＝112.3 5 6 7.0 42.0 36 合计 20 25 112.3 90