第十一章 一元线性回归分析

第十一章一元线性回归

11.1从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下：

企业编号产量（台）生产费用（万元）企业编号产量（台）生产费用（万元）

1 40 130 7 84 165

2 42 150 8 100 170

3 50 155 9 116 167

4 5

5 140 10 125 180

5 65 150 11 130 175

6 78 154 12 140 185

要求：

（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。

（2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。

（3）对相关系数的显著性进行检验（α = 0.05），并说明二者之间的关系强度。

解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：

从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。

（2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。

（3）计算t统计量，得到t = 7.435453，在α = 0.05的显著性水平下，临界值为2.6337，统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著

的正线性相关关系。r大于0.8，高度相关。

11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下：

复习时间x考试分数y

20 64

16 61

34 84

23 70

27 88

32 92

18 72

22 77

要求：

（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。

（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：

从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。

（2）r = 0.862109，大于0.8，高度相关。

11.3根据一组数据建立的线性回归方程为ˆ100.5

=-。

y x

要求：

ˆβ的意义。

（1）解释截距

ˆβ意义。

（2）解释斜率

1

（3）计算当x = 6时的E(y)。

解：（1）在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义。

ˆβ的意义为：当x增加1时，y减小0.5。

（2）斜率

1

（3）当x = 6时，E(y) = 10 – 0.5 * 6 = 7。

11.4 设SSR = 36，SSE = 4，n = 18。

要求：

（1）计算判定系数R2并解释其意义。

（2）计算估计标准误差s e并解释其意义。

解：SST = SSR+SSE = 36+4 = 40，

R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9，意义为自变量可解释因变量变异的90%，自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。

s== 0.5，这是随机项的标准误差的估计值。

（2）

e

11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系，因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天）的数据如下：

1215

5.0

要求：

（1）绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 解：

（1）利用Excel 绘制散点图，如下：

从散点图的形态来看，运送时间和运送距离之间存在正的线性相关关系。 （2）计算的相关系数为0.9489，这是一个很高的相关系数。

（3）用OLS 方法估计得到模型参数为0ˆβ= 0.118129，1ˆβ= 0.003585， 回归方程为：运送时间 = 0.118129 + 0.003*运送距离，意义为：运送距离每增加1km ，运送时间增加0.003383天，即0.086小时。

11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP ）和人均消费水平的统计数据：

地区 人均GDP （元）

人均消费水平（元）

北京

22460 7326 辽宁 11226 4490 上海 34547 11546 江西 4851 2396 河南 5444 2208 贵州

2662

1608

陕西 4549 2035

要求：

（1）人均GDP 作自变量，人均消费水平左因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。

（2）计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 （3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 （4）计算判定系数，并解释其意义。

（5）检验回归方程线性关系的显著性（α = 0.05）。

（6）如果某地区的人均GDP 为5000元，预测其人均消费水平。 （7）求人均GDP 为5000元时，人均消费水平95%的置信区间和预测区间。 解：

（1）利用Excel 绘制的散点图如下：

从散点图来看，人均消费水平与人均GDP 之间存在很强的正线性相关关系。 （2）r = 0.998，高度相关。

（3）用OLS 方法估计得到模型参数为0ˆβ= 734.69，1

ˆβ= 0.308，回归方程为：

人均消费水平 = 734.69 + 0.308*人均GDP ，

意义为：人均GDP 每增加1元，人均消费水平增加0.31元，此值即为经济学中的边际消费倾向。这里截距可解释为人均GDP 为0时，居民的消费支出为734元/年，即经济学中的自发支出。