一次函数和反比例函数结合(答案)

2017中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合

纵观近5年中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．

类型1 利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝m

x

(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．

【解析】(1)将点A (1，0)，B (0，－1)代入y ＝kx ＋b 即可．(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标，再代入y ＝m

x

中即可．

【学生解答】解：(1)由题意得?????k ＋b ＝0，b ＝－1.解得?

????k ＝1，

b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－

1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m

2，解得m ＝2.所以反比例函数的

解析式为y ＝2

x

.

针对练习

1．(2016重庆中考)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图形与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)的图象交于

第二、四象限内的A ，B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH ＝3，tan ∠AOH ＝4

3，点B

的坐标为(m ，－2)．

(1)求△AHO 的周长；

(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

解：(1)由OH ＝3，tan ∠AOH ＝4

3，得AH ＝4.即A (－4，3)．由勾股定理，得AO ＝OH 2＋AH 2＝5，△AHO 的

周长＝AO ＋AH ＋OH ＝3＋4＋5＝12；(2)将A 点坐标代入y ＝k

x

(k ≠0)，得k ＝－4×3＝－12，反比例函数的解析式为

y ＝－12x ；当y ＝－2时，－2＝－12

x ，解得x ＝6，即B (6，－2)．将A ，B 两点坐标代入y ＝ax ＋b ，得?

??

??－4a ＋b ＝3，6a ＋b ＝－2，解得?????a ＝－12，b ＝1，

一次函数的解析式为y ＝－12

x ＋1.

2．(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k

x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ????12，n . (1)求这两个函数解析式；

(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝k x

的图象有且

只有一个交点，求m 的值．

解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4

x .又∵点B ????12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴1

2n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为????12，8.由A (2，2)，B ????12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得?????2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得????

?a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个

单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4

x 有且只有一个交点，令－4x

＋10－m ＝4

x

，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.

类型2 与面积有关的问题

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x 相交于A (－1，a )，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足

为C ，△AOC 的面积是1.

(1)求m ，n 的值； (2)求直线AC 的解析式．

【解析】(1)因为A (－1，a )，所以B 的横坐标为1，即C (1，0)．再由S △AOC ＝1，得A (－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝n

x

即可．(2)将A 、C 坐标代入即可．

【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x 相交于A (－1，a )，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C (1，0)，

∵△AOC 的面积为1，∴A (－1，2)，将A (－1，2)代入y ＝mx ，y ＝n

x

可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式

为y ＝kx ＋b ，由题意得?

????－k ＋b ＝2，

k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.

针对练习

3．(2016宜宾中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m

x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ????12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C .

(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积．

解：(1)把A (2，－1)代入反比例解析式得：－1＝m 2，即m ＝－2，∴反比例解析式为y ＝－2

x ，把B ????12，n 代入反比例解析式得：n ＝－4，即B ????12，－4.把A 与B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：?????2k ＋b ＝－1，12k ＋b ＝－4，解得?????k ＝2，b ＝－5.则一次函数的解析式为y ＝2x －5；(2)设直线AB 与y 轴交于点E ，则点E 的坐标为(0，－5)，∵点C 的坐标为(0，2)，CE ＝2－(－5)＝7，∵点A 到y 轴的距离为2，点B 到y 轴的距离为12，∴S △ABC ＝S △ACE －S △BCE ＝12×7×2－12×7×12＝7－

74

＝214

. 4．(2016泸州中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b (k <0)与反比例函数y ＝m

x 的图象相交于A 、B 两点，一次函数的图

象与y 轴相交于点C ，已知点A (4，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB (O 是坐标原点)，若△BOC 的面积为3，求该一次函数的解析式．

解：(1)∵点A (4，1)在反比例函数y ＝m x 的图象上，∴m ＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4

x ；(2)将点A (4，

1)代入一次函数的解析式中，即1＝4k ＋b ，解得b ＝1－4k .∴y ＝kx ＋(1－4k )，令x ＝0，则y ＝1－4k ，∴C (0， 1－4k )．又?????y ＝4x ，y ＝kx ＋（1－4k ），?kx 2＋(1－4k )x －4＝0.x A ·x B ＝－4k ，x A ＝4.∴x B ＝－1k ，S △OBC ＝12OC ·x B ＝3，∴k ＝－1

2

，

∴y ＝－1

2

x ＋3.

类型3 与最小(大)值有关的问题

【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)在第一象限的图象交于A (1，n )和B (4，1)两点，过

点A 作y 轴的垂线，垂足为M .

(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；

(3)在y 轴上求一点P ，使P A ＋PB 最小．

【解析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．

【学生解答】解：(1)将B (4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4

x ，将B (4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5，

∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A (1，4)，∴S ＝1

2

×1×4＝2；(3)作点A 关于y 轴的

对称点N ，则N (－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由???

?

?4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，

解得???k ＝－3

5，b ＝17

5

，y ＝－35x ＋175，∴P ????0，17

5. 针对练习

5．(2016新疆中考)如图，直线y ＝2x ＋3与y 轴交于A 点，与反比例函数y ＝k

x (x >0)的图象交于点B ，过点B

作BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点D (a ，1)是反比例函数y ＝k

x (x >0)图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最小？若存在，求出

点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)，∴在直线y ＝2x ＋3中，当x ＝1时，y ＝2＋3＝5，∴点B

的坐标为(1，5)，又∵点B (1，5)在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为y ＝5

x ；(2)将点D (a ，

1)代入y ＝5

x

，得：a ＝5，∴点D 坐标为(5，1)，设点D (5，1)关于x 轴的对称点为D ′(5，－1)，过点B (1，5)、点D ′(5，

－1)的直线解析式为：y ＝kx ＋b ，可得：?????k ＋b ＝5，

5k ＋b ＝－1，

解得

???k ＝－32

，

b ＝132，

∴直线BD ′的解析式为：y ＝－32x ＋13

2，根据题意知，直线BD ′与x 轴的交点即为所求点P ，当y ＝0时，得－32x ＋132＝0，解得：x ＝13

3

，故点P 的坐标为????133，0. 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A (8，1)，B (0，－3)，反比例函数y ＝k

x (x >0)的图象经过点A ，动直线x

＝t (0

(1)求k 的值；

(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA ⊥AB ，求t 的值．

解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝k

x

得k ＝8；(2)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B 点坐

标(0，－3)代入得?????1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得??

???m ＝1

2，b ＝－3，

故直线AB 的解析式为y ＝1

2x －3，所以N ????t ，t 2－3，又M ????t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，△BMN 面积为S ＝12????8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋25

4，所以当t ＝3时，△BMN 面积的最大值为254；(3)如图，过A 作AQ ⊥y 轴于Q ，延长AM 交y 轴于P ，又AM ⊥AB .所以△ABQ ∽△P AQ ，故AQ BQ ＝PQ

AQ ，

即84＝PQ 8，所以PQ ＝16，所以P (0，17)．又A (8，1)．所以直线AP 的解析式为y ＝－2x ＋17.所以－2x ＋17＝8

x ，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)，所以t ＝12

.

类型4 与平移有关的问题

【例4】如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k >0，x >0)交于点A ，将直线y ＝1

2x 向上平移4个单位长度后与y 轴

交于点C ，与双曲线y ＝k

x

(k >0，x >0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．

【解析】分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A (3x ，32x )，可得B (x ，1

2x ＋4)．

【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的解析式为y ＝

1

2x ＋4，分别过点A ，B 作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ????3x ，3

2x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ????x ，12x ＋4，∵点A ，B 在双曲线y ＝k x (x >0)上，∴3x ×32x ＝x ×????12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝9

2

.

针对练习

7．如图，已知函数y ＝43x 与反比例函数y ＝k x (x >0)的图象交于点A ，将y ＝4

3x 的图象向下平移6个单位长度后

与双曲线y ＝k

x

交于点B ，与x 轴交于点C .

(1)求点C 的坐标；

(2)若OA

CB

＝2，求反比例函数的解析式．

解：(1)点C 坐标为????92，0；(2)作AE ⊥x 轴于E 点，BF ⊥x 轴于F 点，Rt △OAE ∽Rt △CBF ，∴OA CB ＝AE BF ＝OE CF ＝2，设A 点坐标为????a ，43a ，则OE ＝a ，AE ＝43a ，∴CF ＝12a ，BF ＝23a ，∴OF ＝OC ＋CF ＝92＋1

2a ，∴B 点坐标为????92＋12a ，23a ，∵点A 与点B 都在y ＝k x 的图象上，∴a ·43a ＝(92＋12a )·23a ，∴a ＝3，∴点A 的坐标为(3，4)，把A (3，4)代入y ＝k x 中，得k ＝3×4＝12.∴反比例函数的解析式为y ＝12

x

.

8．如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝k

x 相交于A ，B 两点，点A 的坐标为(1，2)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)根据图象直接写出当mx >k

x 时，x 的取值范围；

(3)计算线段AB 的长．

解：(1)把A (1，2)代入y ＝k x ，得k ＝2.即反比例函数的解析式是y ＝2

x ；(2)把A (1，2)代入y ＝mx ，得m ＝2.即直

线的解析式是y ＝2x .解方程组?????y ＝2x ，y ＝2x ，得点B 的坐标是(－1，－2)．∴当mx >k

x

时，x 的取值范围是－11；

(3)过点A 作AC ⊥x 轴于点C .∵A (1，2)，∴AC ＝2，OC ＝1.由勾股定理，得AO ＝22＋12＝ 5.同理求出OB ＝5，∴AB ＝2 5.