第三章微分中值定理与导数的应用(1)

第三章微分中值定理与导数的应用

在第二章中，我们介绍了导数和微分两个有密切联系的概念，阐明了求导数和微分的方法．本章我们介绍微分中值定理，并在此基础上研究函数的单调性，讨论函数的极值、最大值和最小值的求法，解决未定式的定值和曲线的曲率计算等问题．

§ 3‐1 微分中值定理

一、罗尔定理

罗尔（Rolle）定理如果函数f (x)满足条件：

（1）在闭区间[a , b]上连续；

（2）在开区间(a , b)内可导；

（3）f (a) =f (b)，

那末在(a , b)内至少存在一点ξ，使得f /(ξ) = 0．

证因为函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，所以它在[b

a,]上必能取得最大值M和最小值m（§1-7定理14）．下面分两种情形讨论：

（1）如果M = m，那末f (x)在[a , b]上恒等于常数M．因此，在整个区间内恒有f /(x) = 0，区间（a , b）内每一点都可取作ξ，得f /(ξ) = 0；

（2）如果M >m，因为f (a)= f (b)，所以M与m这两个数中至少有一个不等于端点的函数值．设M≠f (a)（如果设m ≠f (a)，证法完全类似），那末在（a , b）内必有一点ξ，使 f (ξ) =M．下面证明f /(ξ) = 0．

因为ξ是开区间（a , b）内的点，根据假设可知f /(ξ)存在，即极限

x f

x

f

m

li

x∆-

∆

+→

∆

)

( )

( 0ξ

ξ

存在，而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此

=∆-∆+=+→∆x f x f m

li f x )

()()(0

/ξξξ

x f x f m li x ∆-∆+-→∆)

()(0ξξ．

由于f (ξ) = M 是f (x )在[a , b ]上的最大值，因此不论Δx 是

正的还是负的，只要ξ+Δx 在[a , b ]上，总有

f (ξ+Δx ) ≤ƒ(ξ)，

即 f (ξ+Δx )－ƒ(ξ)≤0．

当Δx >0时，

x

x f x f ∆-∆+)

()(ξ≤0，

从而，根据函数极限性质（§1-2定理4），有

x

f x f m

li f x ∆-∆+=→∆)

()()(0

/ξξξ≤0；

同理，当Δx < 0时,

x

f x f ∆-∆+)

()(ξξ≥0,

从而

x

f x f m

li f x ∆-∆+=-→∆)

()()(0

/ξξξ≥0,

因此必然有

f / (ξ) = 0． 这就证明了罗尔定理．

罗尔定理的几何意义是，如果连续曲线y = f (x )的弧⋂

AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，那末这弧上至

少有一点C ，使曲线在点C 的切线

平行于x 轴，如图3-1所示． 例1 设f (x ) =x 2

－2x －3，验

证罗尔定理对f ( x )在[－1，3]上的正确性．

证 显然f (x ) =x 2－2x －3在[－1，3]上连续，而 f / (x ) =2x －2, 所以)(x f 在区间（－1,3）内可导，又f (－1) = f (3) =0, 所以)

(x f 图3-1

在[－1，3]上满足罗尔定理的条件．

令f / (x ) =2x －2 = 0, 解得x =ξ= 1∈(－1, 3)，使

f / (ξ) = 0，

罗尔定理的结论成立．

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f 满足条件： （1）在闭区间[a , b ]上连续； （2）在开区间(a , b )内可导， 那末在(a , b )内至少存在一点ξ，使得

))(()()(/

a b f a f b f -=-ξ, (3-1) 或 a

b a f b f f --=

)

()()(/

ξ． （3-2）

从图3-2可以看出定理的正确性是显然的．

由定理条件（1）、（2）可知，弧⋂AB 是一条连续光滑（弧⋂

AB 内部每一点都有不垂直于x 轴的切线）的弧段，因此当我们把弦AB 平行移动时，

在弧⋂

AB 内部至少可以找到一点C ，过此点(ξ, f (ξ))的

曲线的切线平行弦AB ，即切

线斜率和弦AB 的斜率相

等． 故

a

b a f b f f --=

)

()()(/ξ,

即 ))(()()(/

a b f a f b f -=-ξ． 证 从图3-2可以看出弦AB 的方程为

)()

()()(a x a

b a f b f a f y ---+

=．

在同一横坐标x 处，我们用弧⋂

AB 的纵坐标减去弦AB 的纵

图3-2

坐标，得到辅助函数

)()

()()()()(a x a

b a f b f a f x f x ----

-=ϕ．

显然，ϕ(x )在[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导，即 a

b a f b f x f x ---=)

()()()(/

/

ϕ,

又0)()(==b a ϕϕ，故由罗尔定理知，在（a , b ）内至少存在一

点ξ，使得

a b a f b f f ---

=)

()()()(/

/

ξξϕ=0，

所以 a b a f b f f --=)()()(/

ξ，

即 ))(()()(/

a b f a f b f -=-ξ,

这就证明了拉格朗日中值定理．

公式（3-1）称为拉格朗日中值公式，显然当b < a 时，公式亦成立．

拉格朗日中值公式的其它形式：

由于a<ξ< b ，故知0 <ξ－a b a -<,即

10<--<

a

b a

ξ，

令a

b a

--=

ξθ，得 ξ= a +θ(b —a)，

因此公式（3-1）可以写成：

)]([)()(/a b a f a f b f -+=-θ)(a b - )10(<<θ． 如果设x 、x +Δx ∈[a , b ]，在以x 与x +Δx 为端点的闭区

间上应用拉格朗日中值定理，又有

x x x f x f x x f ∆∆+=-∆+)()()(/θ,

或 )10()(/

<<∆∆+=∆θθx

x x f y ． （3-3）

将公式（3-3）与近似公式x x f dy y ∆=≈∆)(/

作比较，可以看出，函数的微分x x f ∆)(/一般说来只是函数增量Δy 的近似表

达式，其误差当Δx 为有限时一般不为零，而公式（3-3）当Δx