焦点三角形的性质(经典!必看).doc
椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状.
解：由
112
162
2=+y x 椭圆定义：
3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .
又4||21=F F ，故满足：,||||||2
12
212
2PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.
性质一：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =?。
θ
cos 2)2(212
2212
2
12PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121+=
+-=+-+=
∴b c a c PF PF PF PF 2
tan cos 1sin 2122212
1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2
12
2
121212cos PF PF F F PF PF -+=
θ2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122
222
--o
x e a b a x a ≤≤-0 22
a x o
≤∴
性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质四：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2
(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 （XXXX 年高考题）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在
一点,P 使得,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23???
?
??? 性质五：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得：
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
--
由等比定理得：
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而
)sin(2)sin(2
1βαβα+=+c F F ，β
αβαsin sin 2sin sin 21+=
++a PF PF
∴β
αβαsin sin )sin(++==
a c e 。 已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜
∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
椭圆的离心率2
1
=
e 则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o
o o ，
整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)
∴53cos 1sin =
+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525
3153
2=-?
．
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用 多年来，椭圆、双曲线相关的焦点?21F PF ,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是 高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型. 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 2 21θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF ==
双曲线中焦点三角形的探索
双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。 2：该三角形中由余弦定理得| |||2||||||cos 212 21222121PF PF F F PF PF PF F ?-+=∠结合定义，有 ()||||24||||2||||||||212 212 212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ?+=?+-=+ 性质一、设若双曲线方程为22 2 2x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0）， F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 若 12FPF ,∠=θ则 122F PF S b cot 2θ = ；特别地，当 12FPF 90∠= 时，有122F PF S b = 。 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得 . 4)(,2222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212221c r r r r =-+θ 配方得： .4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212c r r a =-+θ . cos 12cos 1)(22 2221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θ θθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . . 2cot 221θ b S PF F =∴? 特别地，当θ＝? 90时， 2cot θ ＝1，所以12 2 F PF S b = 同理可证，在双曲线122 2 2=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立 .
椭圆中焦点三角形的性质(含答案解析)
焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
双曲线焦点三角形的几个性质63740讲课讲稿
精品文档 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2 θ=V ；特别地，当12F PF 90∠=o 时，有122F PF S b =V 。
精品文档 222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θV 22 b 2sin cos 222sin 2 θθ=?θ2b cot 2θ= 易得90θ=o 时，有122F PF S b =V 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=Q ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴Q 在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几 何性质 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122 22=-b y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =?特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =? 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？ 性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122 22=-b y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A 所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A 性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =| ||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF
高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积
今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。12PF F ?由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211 sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠V V g g g 和。 例:已知双曲线2 2 1916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠?＝，则1F PF V 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32 解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：22 1212236PF PF PF PF ＋－＝ 由勾股定理有： 22 2 121212||10032 PF PF F F PF PF ∴Q ＋＝＝， ＝ 121 2S PF PF ∴=＝16 所以本题选B 。 整理： 焦点三角形的面积求法： 2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=； 12121sin 2PF F S r r θ=V g ；121 =2||2PF F P S c y V g g ；
注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。 再看一个例题，加深印象： 例：已知12F F ，为双曲线22 1C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠?＝，则P 到x 轴的距离为（ ） 解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF m n －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-). 4 m n mn m n mn mn =+? =+= 从而由三角形面积公式有：
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意 一点，θ=∠21PF F ，则2 cot 2 21θ ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ、 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2 sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . .2 cot 221θ ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 /
解：,145cot 2 cot 221=?=?=?θ b S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12 cot 2 cot 221==?=?θ θ b S PF F ?=∴ 452 θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2 cot 2221=?=?=?b b S PF F θ 得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212 =+ ∴a 从而.42 =a ∴所求的双曲线的标准方程为 112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 ` 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且 2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422 =-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12 2 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF ，
焦点三角形的性质
椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状. 解：由 112 162 2=+y x 椭圆定义： 3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F Θ，故满足：,||||||2 12 212 2PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功. 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 θ cos 2)2(212 2212 2 12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12)cos 1(244) cos 1(24)(2 222 22121+= +-=+-+= ∴b c a c PF PF PF PF 2 tan cos 1sin 2122212 1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 121212cos PF PF F F PF PF -+= θ2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二：圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题 【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 121212::=2:=2a ex;a ex; |AB |a e(x x );|AB |a e(x x ) ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦 【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (１) 单支焦点半径 112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦 （2) 双支焦点半径 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦 【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为 1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上:: 【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线（单支)于A ，Ｂ两点,则
２、过双曲线的焦点Ｆ的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为 )2 (πθ< 2 1122cos a cos |AF ||BF |p b θθ?+== 3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于Ａ,Ｂ两点，与焦点轴夹角为)2 (π θ< 112 |AF ||BF |p += 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与 的焦点所在的轴的夹角为θ，且。 （1） 当焦点内分弦时，有 （2） 当焦点外分弦 时(此时曲线为双曲线)，有 【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,，m,n 为弦长，α为弦夹角 【椭圆】22 212 2 ()S (a c )tan b tan α α =-= 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+- 【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长，α为弦夹角 212 b ()S tan α = 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-
双曲线焦点三角形的几个性质
双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 222 2 x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则1 2 2 F PF S b cot 2 θ= ；特别地，当12F PF 90∠= 时，有122 F PF S b = 。 22 2 1212122 2 121212122 2 12122 2 122 2 122 2PF PF cos |PF ||PF ||F F | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||F F |2PF PF cos (2a )2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )b b PF PF 2 1cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-== θ-θ , 12F PF 121S |P F ||P F |sin 2 ∴= θ 2 2b 2s i n c o s 22 2sin 2θθ= ?θ 2 b c o t 2θ= 易得90θ= 时，有122 F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线 222 2 x y 1a b - =的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双 曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -= ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A F F A x A ,A ∴ 在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则 |BA |e |AP | = 证明：由角平分线性质得 12121212|F B ||F B ||F B ||F B ||BA |2c e |AP | |F P | |F P | |F P ||F P | 2a -=== ==-
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一 点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
(完整版)圆锥曲线焦点三角形推导
椭圆焦点三角形 1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212(2)242a r r c r r --= 2212124()22a c r r r r --=212 122b rr r r -= ∴21212cos 2r r b r r α=- 即2 1221cos b r r α =+， ∴12 212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2 b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， 图1 F 1 x y O P F 2
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析 圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。 一、定值问题 例 1. 椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P ，两个焦点 )0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，求证：点P 到M 的切 线长为定值。 证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕． 点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解 题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。 二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆 x a y b a b 2 2 2 210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，试求圆心M 的轨迹方程 。 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定 义有||s i n ||s i n || s i n [()]PF PF F F 1212180βααβ== -+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin() sin sin sin() PF PF F F a c αβ αβαβ αβ+= ? = ++++，又由合分比定理知 tan tan 2 2 a c a c α β -?= +。由斜率公式知：1 2,(0),M F M F y y k k y x c x c == ≠+-由前述不难看出，不 论P 位于 椭圆上 （ 异 于长 轴两端点）何处，总有 12tan tan ,(0).2 2 M F M F y y a c k k y x c x c a c α β -?=-?∴ ?=- ≠+-+ 整理得(a －c)x 2 ＋(a ＋c)y 2 =(a －c)c 2 (y≠0)证毕． 点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论： 已知椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P 及两焦点F F 12、，若 ∠PF F 12=α，∠PF F 21=β，则椭圆的离心率为 sin()sin sin αβαβ ++。 三、方程问题 例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F P F 123 = π ，且△PF F 12的 面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 解析：设双曲线的方程为 x a y b a b 22 22 100- =>>()，，F c F c 1200()()-，，，，
椭圆中的焦点三角形(总结非常好)
学习任务单 椭圆焦点三角形的性质 班级_______________学号_______________姓名_______________ 任务一课前小测，知识回顾 1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3 A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=. (1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c . 3.(教材习题)如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________. 4.(教材习题)已知经过椭圆22 12516 x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结: ①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？ ②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？ 任务二抽丝剥茧，试题分析
学而不思则罔，思而不学则殆 5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =， 设点P 为椭圆C 上一点,123 F PF π∠= ，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结： ①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？ ②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！ ③你能想到什么方法求QT 的最小值？ 任务三方法感悟，素养提升
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程 一、椭圆中的焦点三角形面积公式 1、公式：)2 tan(221αb S F PF =?． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（0122 22>>=+b a b y a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则 在21F PF ?中，依椭圆的定义及余弦定理，有 ???????-+=+==+=α cos 222212 22 12 212222121PF PF PF PF F F c b a a PF PF c F F ? )cos 1(2)(212 21221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（? α α cos 12cos 1(222 221+=+-=b c a PF PF ） ) 2tan() 2(cos 22 cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221 sin 2122222 2121α α α ααα α αα b b b b PF PF S F PF =?=+?=?+?==? 即)2tan(221α b S F PF =?．
二、双曲线中的焦点三角形面积公式 1、公式：1-2)2 tan(21αb S F PF =?． 2、推导过程： 设双曲线的标准方程为：），（001-22 22>>=b a b y a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则 在21F PF ?中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ???????-+=+===α cos 22-2212 2212 212 222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c F F ? )cos 1(2)(212 21221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（? α α cos 12cos 1(222 221-=--=b a c PF PF ） 1 22222 21)2 (tan ) 2(sin 22 cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-?=?=-?=?-?==ααα ααα α αα b b b b PF PF S F PF 即1 -2)2tan(21αb S F PF =?．
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题 例1：椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。 （二）问题的分析 问题1. 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。 问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？ 解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系。 性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？ 问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？ 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 变式1：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200 21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 变式2：若椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使?=∠9021PF F ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
双曲线焦点三角形性质练习题
双曲线焦点三角形性质练习题 【例7】已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围． 【例8】已知椭圆19 42 2=+y x 的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个项点，21PF PF >，则21 PF PF 的值是 ． 【例9】已知P 是双曲线2 214 x y -=上的一点，1F 、2F 是两焦点,且021=?PF PF ,则21F PF ?的面积为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 【例10】设P 是双曲线22 1412 x y -=右支上的一个动点，1F 、2F 为左右两个焦点,在?PF 1F 2中,令α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则2tan 2tan β α ÷的值为（ ） A ．3 1 B ．223- C ．3 D ．与P 的位置有关 【例11】设1F 、2F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A B C D 【例12】双曲线1822=-y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线上的动点，当21·0PF PF <时，点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．（354- ，354） B ．(354-，22-]∪[22，354) C ．(7354- ，7354) D ．(7354- ，22-]∪[22，7354) 【例13】已知椭圆22162x y +=与双曲线2 213 x y -=共焦点，两个公共焦点分别为1F 、2F ，
焦点三角形问题(解析版)
第一篇圆锥曲线 专题01焦点三角形问题 焦点三角形的边角关系如下： 三条边：122F F c =122PF PF a +==22a c +三角形周长c e a =222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2 S ab c =面积和三边长有关系 一、与焦点三角形边长有关的问题 焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。 若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c -≤≤+例1椭圆22 221x y a b +=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.
例2.已知12,F F 是椭圆22 221x y a b +=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ， 则椭圆的离心率的取值范围是________. 【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。 题目中：2122PF F F c ==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。本题的定值为2 2a F H c c =-
在2RT PHF 中，2 22,2a PF F H c c c >≥-解得：313 e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214 x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ?∠=，则12PF F ?的面积是________.方法一： 方法二： 此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为22 20x y +=解得：2xy =，因此面积等于1. 上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。例4已知12,F F 是双曲线22 221x y a b -=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.
椭圆双曲线焦点三角形问题
椭圆、双曲线的焦点三角形问题 一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理 例1. 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是 直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12. y ＝－3(x －c)， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ???? 85 c ，－335c ， 所以|AB|＝1＋3·????85c －0＝165 c. 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB|·sin ∠F 1AB ＝12a·165c·32＝235a 2 ＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 方法二 设|AB|＝t.因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a. 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t)2＝a 2＋t 2－2atcos 60°可得，t ＝8 5a. 由S △AF 1B ＝12a·85a·32＝235a 2 ＝40 3知， a ＝10， b ＝5 3. 例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双 曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123 = π ，且△PF F 12的面积为2 3，双曲线的离心率 为2，求该双曲线的方程. 解析：设双曲线的方程为x a y b a b 222 2100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，， P x y ()00，.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 ||||||||||cos F F PF PF PF PF 12212221223 =+-··π=-+(||||)||||PF PF PF PF 122 12·，
双曲线焦点三角形的几个性质
双曲线焦点三角形的几个 性质 Prepared on 22 November 2020
双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 22 22 x y 1 a b -=，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若 12 F PF, ∠=θ则 12 2 F PF S b cot 2 θ =；特别地，当 12 F PF90 ∠=时，有12 2 F PF S b =。 222 121212 22 12121212 22 1212 22 12 22 12 2 2PF PF cos|PF||PF||FF| 2PF PF cos(|PF||PF|)2|PF||PF||FF| 2PF PF cos(2a)2|PF||PF|(2c) 2PF PF(cos1)4(a c) b b PF PF2 1cos sin 2 θ=+- θ=-+- θ=+- θ-=- == θ -θ , 12 F PF12 1 S|PF||PF|sin 2 ∴=θ 2 2 b 2sin cos 22 2sin 2 θθ =? θ 2 b cot 2 θ =
易得90θ=时，有122F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线2222x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长 线交F 1F 2的延长线于点B ，则|BA | e |AP |=