2019江苏省高二上学期数学期末考试试卷
2019-2020学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷+详解
2019-2020学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1A =，2}，{B a =，3}a -，若{1}A B = ，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．4D ．1或42．（5分）已知复数z 满足(12)5z i +=，则复数(z =)A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i+3．（5分）已知3log 4a =，1331log ,45b c -==，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>4．（5分）如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈，则2(λμ+=)A ．1B ．32C ．43D ．25．（5分）函数()cos f x x x =的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知两圆的方程分别是22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=，则这两圆的位置关系是()A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切7．（5分）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo )、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹“三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu )、埙(x ūn )“2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋“3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有()A ．24种B ．72种C ．144种D ．288种8．（5分）已知22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，直线11A B 与直线2B F 相交于点T ．若2A T 垂直于x 轴，则椭圆的离心率(e =)A ．13B C ．12D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2019年上学期高二期末考试试卷 文科数学
31B．5C．15D．b c(3B．3C．6D．不考第Ⅰ卷3⎭B．(-∞,0)C．⎢0,⎪D． -∞,⎪A． 0,⎪⎝a<1”的（n，a=4，S=15，则数列⎨a a⎩n准2．[2018·东城期末]已知双曲线x2-只个焦点的距离等于（15=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一A．20182019B．2018C．2017D．b2=1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个端点，若11．[2018·银川一中]已知椭圆2B．2C．3D．名⎧x-2y+2≥0姓4．[2018·重庆调研]已知实数x，y满足⎨x+3y-3≥0，则z=x+2y的最大值为（）3D．4⎩上学期高二期末考试A．203823文科数学6．[2018·陕西四校联考]在△ABC中，a，，分别是角A，B，C的对边，a+b+c)(a+c-b)=3ac，则角B=（）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形A．2ππ5ππ6号码粘贴在答题卡上的指定位置。
位封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草7．[2018·济南一中]在△ABC中，“A<B”是“sin A<sin B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．设[2018·银川一中]抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，密稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A为垂足．如果直线AF的斜率为-3，那么PF=（）号场一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符订合题目要求的．A．43B．8C．83D．169．[2018·赣州期中]已知函数f(x)=ax3-2x2+x+c在R上有极值点，则a的取值范围是（）⎛4⎫⎡4⎫⎛4⎫⎝⎣3⎭3⎭1．[2018·浙江学考]对于实数a，b，则“a<b<0”是“bA．充分不必要条件B．必要不充分条件）10．[2018·清华附中]已知等差数列{an}的前n项和为S45⎧1⎫装号C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件项和为（）证考）y2A．2B．4C．5D．6P，使得∠APB=120︒，则该椭圆的离心率的最小值为（）3．[2018·屯昌中学]曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为（）A．23634卷A．y=x-1B．y=-x+1C．y=2x-2D．y=-2x+212．[2018·石嘴山三中]已知函数y=f(x)在R上存在导函数f'(x)，∀x∈R都有f'(x)<x，⎪此⎪x+y-3≤0A．2B．3C．145．[2018·静宁县一中]古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五级班尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）若f(4-m)-f(m)≥8-4m，则实数m取值范围是（）A．[-2,2]B．[2,+∞) C．[0,+∞)D．(-∞,-2][2,+∞)16．[2018· 天津期末]设椭圆 + = 1 与双曲线 - y 2 = 1 有公共焦点 F ， F ， P 是两条曲线的一6 2 3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．[2018· 海安中学]若不等式 x 2 + px + 2 < 0 的解集为 (1,2 ) ，则 p 的值为______． 14．[2018· 福州期中]在 △ABC 中， ab = 2 ， tanC = 3 ，则 △ABC 的面积为_______．15．[2018· 镇江期中]已知 e 为自然对数的底数，函数 y = e x - lnx 在 [1,e ]的最小值为_______．x 2 y 2 x 21 2个公共点，则 cos ∠F PF 等于__________．12三、解答题：本大题共6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）[2018· 重庆八中]已知等比数列 {a }中， a = 2 ， a = 16 ．n1418．（12 分）[2018· 宜昌期中]已知三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，2a cos A = b cos C + c cos B ．（1）求 A ；（2）若 a = 3 ， b = 1 ，求 c ．（1）求数列 {a n }的通项公式；（2）若 a ， a 分别是等差数列{b }的第 8 项和第 20 项，试求数列{b }的通项公式及前 n 项和 S ．35nnn19．（12分）[2018·吉林实验中学]已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l:y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求弦长AB．20．（12分）[2018·邢台模拟]已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+8．（1）求f(x)函数的单调区间；（2）若x∈[-2,3]，求函数f(x)的值域．= 1(a > b > 0)的右焦点为 F (1,0 ) ，离心率为 ．21．（12 分）[2018· 天津七校联考]已知椭圆 x 2 y 2 1+a 2b 2 2 22．（12 分）[2018· 华师琼中附中]已知函数 f (x ) = x 2 + alnx ．（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l : y = kx + m 与椭圆有且只有一个交点 P ，且与直线 x = 4 交于点 Q ，设 M (t,0 )(t ∈ R ) ，且满足 MP ⋅ MQ = 0 恒成立，求 t 的值．（1）当 a = -2 时，求函数 f (x ) 的单调递减区间；（2）若函数 g (x ) = f (x ) + 2 在 [1,+∞ ) 上单调，求实数 a 的取值范围．xmax3+2⨯3．故选C．．1-2=31a=5，∴a=31，∴a=31，【解析】若“a<b<0”，即a>b，则“ba<1”，故“a<b<0”是“a<1”的充分条件．31．故选A．．a<1”，假设a=-1，b=3，则“a<1”，得a<b且a<0，b>0，故“a<b<0”是“a<1”的a<1”充分不必要条件，故选A．2ac=2，∵B∈(0,π)，∴B=3．故应选B．．2R，sin B=2R，∴2R，则a<b，⎪y=-3(x-2)(⎧⎪x=-2)( x=4，得⎨3，所以A,⎪．⎧x-2y+2=0⎪⎛45⎫⎪y=5⎝33⎭作直线l:x+2y=0，平移直线l:x+2y=0．当直线l:x+2y=0经过点A ,⎪时，4时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>14时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减．∴4为函数的极大值点．符合题意．⎩．．文科数学答案z=x+2y取最大值．所以z=45143=第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符5【答案】A【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，设首项为a，前n项和为S，1n合题目要求的．1．【答案】A则由题意得S=5a(1-25)1115352031⨯22=a=b b即该女子第3天所织布的尺数为206【答案】B若“b b b【解析】由(a+b+c)(a+c-b)=3ac，可得a2+c2-b2=ac，不必要条件；对于实数a，b，则“a<b<0”是“b根据余弦定理得cosB=a2+c2-b27【答案】C1π2．【答案】D【解析】由题意得PF-4=2，∴PF=6，负值舍去，所以选D．3．【答案】A 【解析】在△ABC中，A<B，三角形中大边对大角，则a<b，由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin B，∴2R sin A<2R sin B，∴sin A<sin B，充分性成立，【解析】验证知，点(1,0)在曲线上，y=x3-2x+1，y'=3x2-2，sin A<sin B，由正弦定理可得s in A=a b a b2R<所以k=y'|=1，得切线的斜率为1，所以k=1，x=1所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=1⨯(x-1)，即y=x-1．故选A．4．【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域为△ABC边界及其内部，如图，⎧由⎨⎩x+y-3=0⎪3⎛45⎫⎝33⎭三角形中大边对大角，则A<B，必要性也成立，故选C．8【答案】B【解析】∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=-2，∵直线AF的斜率为-3，直线AF的方程为y=-3(x-2)，由⎨，可得A点坐标为-2,43，∵P A⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为43，代入抛物线方程，得P点坐标为6,43，∴PF=P A=6-(-2)=8．故选B．9【答案】D【解析】∵f(x)=ax3-2x2+x+c，∴f'(x)=3ax2-4x+1．①当a=0时，f'(x)=-4x+1，故当x<113 ，此时导函数有两个不同的零点，函数有一个极大值综上可得 a < 4 3 ，∴实数 a 的取值范围是 -∞, ⎪．故选 D ． 【解析】因为数列 {a }是等差数列，所以 S = 5 (a + a 2 = 5a ，⎪⎩5 (a 1 + 2d ) = 15 ⎩ d = 1 【解析】tan C = 3 ，则 ⎨ c os C = 3，解得 sin C = 3 ，2，故答案为 2 ． 2 ab sin C = 2 ⨯ 2 ⨯ △SABC =2 = ⎩a a = 1， 可得 y ' = e - 1e ， x ∈ [1,e ] 时， y ' > 0 ，x ，令 e - x = 0 ，可得 x = 2018 1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 + ⋅⋅⋅ + 2017 ⨯ 2018 + = 1 - + 1 = 1 - 1 2019 ，所以选 A ． ⎧⎪ PF + PF = 2 6 【解析】由题意得 F F = 4 ．设 P 是两条曲线在第一象限内的交点，则 ⎨ ⎪⎩ PF 1 - PF 2 = 2 3因为 tan ∠OM A = a≥ tan60︒ = 3 ，∴ a ≥ 3b ， a 2 ≥ 3(a 2 - c 2 )，b ，所以 ∴ 2a 2 ≤ 3c 2 ， e 2 ≥ 2 3 ， e ≥3，故选 C ． ⎧⎪ PF = 6 + 3 ⎪⎩ PF 2 = 6 - 3( 6 + 3 ) + ( 6 - 3 ) - 4PF+ PF - F F 2 ( 6 + 3 )( 6 - 3 )cos ∠F PF ==2 PF PF= 1 3 ．答案 ．2 x 2 ， ∀x ∈ R ，都有 f ' (x ) < x ，即 g '(x ) = f '(x ) - x < 0 ，∴ f (4 - m ) - f (m ) = g (4 - m ) + 1(4 - m )2 - g (m )- m 2 = g (4 - m )- g (m )+ 8 - 4m ≥ 8 - 4m ，（（②当 a ≠ 0 时， f ' (x ) = 3ax 2 - 4x + 1 ， Δ = 16 - 12a ，若 a < 0 ，则 Δ = 16 - 12a > 0 恒成立，所以 f ' (x ) = 3ax 2 - 4x + 1 有两个不同的零点，函数有一个极大 值点和一个极小值点，符合题意．若 a > 0 ，则由 Δ = 16 - 12a > 0 ，解得 0 < a <4点和一个极小值点．第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．【答案】 -3【解析】∵不等式 x 2 + px + 2 < 0 的解集是 {x 1 < x < 2}，∴1 和 2 是一元二次方程 x 2 + px + 2 = 0 的两个实数根，∴1 + 2 = - p ，∴ p = -3 ，故答案为 -3 ．⎛4 ⎫ ⎝ 3 ⎭10．【答案】A)1 5n 5 3⎧⎪a + 3d = 4 ⎧a = 1 因为 a = 4 ， S = 15 ，所以 ⎨ 1 ，解方程组得 ⎨ 1 4 5， 14．【答案】 32⎧ sin C ⎪ ⎪sin 2 C + cos 2 C = 1 21 1 3 3 3 ∴15．【答案】 e所以数列 {a }的通项公式为 a = 1 + (n - 1)⨯1 = n ，所以1nnn n +1n ⨯ (n + 1)【解析】 e 为自然对数的底数，函数 y = e x - ln x ，1 1则 S = +1 1 1 1 12018⨯ 2019 所以函数 y = e x - ln x 在 [1,e ]上是增函数，所以函数的最小值为 e ．故答案为 e ．1 1 1 12 2 -3 + 3 -4 + ⋅⋅⋅ + 1 1 1 12017 - 2018 + 2018 -201916．【答案】 132018 2019 =11．【答案】C1 21 2 ，【解析】设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得 ∠AMB ≥ ∠APB = 120︒ ，即 ∠AMO ≥ 60︒ ，a b61 212 1 212．【答案】B【解析】令 g (x ) = f (x ) - 1故函数 g (x ) 在 (-∞, +∞ ) 上是减函数，22∴ g (4 - m ) ≥ g (m ) ， 4 - m ≤ m ，解得 m ≥ 2 ，∴ 实数 m 的取值范围是 [ 2, +∞ ) ，故选 B ．1三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】 1） a = 2n ；（2） b = 2n - 8 ， S = n 2 - 7n ． nn n【解析】 1）设等比数列{a }的公比为 q ，则 a = a q 3 = 2 ⨯ q 3 = 16 ，解得： q = 2 ，n 4 1所以数列 {a }的通项公式 a = a q n -1 = 2n ．n n 1（2）设等差数列{b }的公差为 d ，依题意由： b = a = 8 ， b = a = 32 ，n 8 3 20 5所以12d = b - b = 24 ，解得： d = 2 ，又 b = b + 7d = b + 14 = 8 ，所以 b = -6 ，20 8 8 1 1 12= n 2 - 7n ．3 + 4k 2 =- m ， y = kx + m = - m ，即 P - m m ⎭ ⎪ ．4k4k 2 3 ⎛ 4k 3 ⎫ m + m = ⎝ （ 因为 Q (4,4 k + m ) ，所以 MP = - ⎪， MQ = (4 - t, 4k + m ) ， m - t, m ⎭（ 由 MP ⋅ MQ = 0 恒成立可得，即 - m - t,m ⎭ ⋅ 4 - t,4 k + m ) = t 2 - 4t + 3 +4k (3 ⎫ ( t - 1) = 0 恒m ⎩t 2 - 4t + 3 = 0 ，所以 t = 1 ．⎩ x 2 = 4 y ，消 y 得 x 2 - 8x - 4 = 0 ，∴ x + x = 8 ，联立 ⎨当 a = -2 时， f '(x ) = 2x - 2 （ （ ． （ （ x -x 2 ，【 [】 （ x - 2x 2 在 [1,+∞ ) 上恒成立，x - 2x 2 ，（ 21．【答案】（1） x 2 3 = 1；（2） t = 1 ． 【解析】 1）设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 c = 1， = c 1 2，又由 a 2 = b 2 + c 2 ，得 a = 2 ，b = 3 ，c = 1， 4 + 3 = 1 ．（2）由 ⎨ x 2 y 2 ，消去 y 得 (3 + 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 - 12 = 0 ， ⎩ 4 + 3 = 1所以数列 {b }的通项公式 b = b + (n - 1)d = 2n - 8 ，前 n 项和公式 S =nn 1 n18．【答案】 1） 60︒ ；（2） c = 2 ． (b 1+ b )nn设 P (x , y 0 0) ，则 x 0=- 4km0 0,【解析】 1）三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，2a cos A = b cos C + c cos B ，由正弦定理可知 2sin A c os A = sin B cos C + sin C cos B ，⎛ 4k 3 ⎫ ⎝可得 sin 2 A = sin (B + C ) ，∴ 2 A = B + C ，又 A + B + C = 180︒ ，得 A = 60︒ ． ⎛ 4k ⎝ ⎪（2）由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，可得 3 = c 2 - c + 1 ，解得 c = 2 ．19．【答案】 1） x 2 = 4 y ；（2） AB = 20 ． 【解析】 1） p = 2 ，∴ 抛物线的方程为 x 2 = 4 y ．（2）直线 l 过抛物线的焦点 F (0,1) ，设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，1122⎧ y = 2x + 11 2⎧ t = 1故 ⎨22 【答案】 1） (0,1) ；（2） [0, +∞ ) ． 【解析】 1）由题意知，函数的定义域为 (0, +∞) ，2 (x + 1)(x - 1) x = x ，当 f ' (x ) < 0 时， x ∈ (0,1)，故 f (x ) 的单调递减区间是 (0,1) ．∴ AB = y + y + 2 = 2x + 1 + 2x + 1 + 2 = 2 (x + x ) + 4 = 20 或 AB = 1 + k 2 x - x = 20 ．12 1 2 1 2 1 220．答案（1）函数 f (x ) 的单调递增区间为 (-∞, -1) 和 (2, +∞ ) ，单调递减区间为 (-1,2 ) ；2）-12,15] ．（2）由题意得 g '(x ) = 2x +a2【解析】 1） f '(x ) = 6x 2 - 6x - 12 ，当 f ' (x ) > 0 时， x > 2 或 x < -1 ；当 f ' (x ) < 0 时， -1 < x < 2 ．所以函数 f (x ) 的单调递增区间为 (-∞, -1) 和 (2, +∞ ) ，单调递减区间为 (-1,2 ) ．（2）由（1）知， f (x ) = f (-1) = -2 - 3 + 12 + 8 = 15 ，函数 g (x ) 在 [1,+∞ ) 上是单调函数．①若 g (x ) 为 [1,+∞ ) 上的单调增函数，则 g '(x ) ≥ 0 在 [1,+∞ ) 上恒成立，即 a ≥ 2设 ϕ (x ) = 2极大值ϕ (x ) 在 [1,+∞ ) 上单调递减，∴ϕ (x )= ϕ (1) = 0 ，∴ a ≥ 0 ．f (x )极小值= f (2) = 16 - 12 - 24 + 8 = -12 ．max②若 g (x ) 为 [1,+∞ ) 上的单调减函数， 又因为 f (-2) = 4 ， f (3) = -1 ，所以函数 f (x ) 在区间 [-2,3 ]上的值域为 [-12,15] ．y 24 +（ a则 g '(x ) ≤ 0 在 [1,+∞ ) 上恒成立，不可能．∴ 实数 a 的取值范围为 [0, +∞ ) ．故椭圆 C 的标准方程为 x 2 y 2⎧ y = kx + m⎪⎪所以 Δ= 64k 2m 2 - 4 (3 + 4k 2 )(4m 2 - 12)= 0 ，即 m 2 = 3 + 4k 2 ．。
2018-2019学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝8x的焦点坐标为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则OP的最小值为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为．7．（5分）函数f（x）＝e x﹣x的单调递增区间为．8．（5分）已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）9．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为cm3．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为．11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若m⊂β，α∥β，则m∥α．正确命题的序号是．12．（5分）已知y＝kx+b是函数f（x）＝lnx+x的切线，则2k+b的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2和点A（0，），B（0，），若在圆C上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r的取值范围是．14．（5分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC ＝4，AB＝8，DC＝6．以A，B为焦点的双曲线（a＞0，b＞0）过C，D两点．（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．16．（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM＝MC，DN＝NF．（1）证明：MN∥平面BCF；（2）证明：MN⊥DC．17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM＝PO，求点P的坐标．18．（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内．M 为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．①若直线l经过原点，且k1﹣k2＝，求点A的坐标；②若直线l过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．（1）当b＝1时，若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的值；（2）当a＝1时．①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b的取值范围．2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．2．【解答】解：抛物线y2＝8x的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．3．【解答】解：由题意得：＝，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．4．【解答】解：若方程表示的曲线为双曲线，则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，解得k＜1，或k＞2，即k∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．5．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：d＝＝2．故答案为：2．6．【解答】解：A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r＝|AB|＝×＝，∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．7．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x的导数为f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0，即e x﹣1＞0，e x＞1＝e0，解得x＞0，故答案为：（0，+∞）．8．【解答】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l ⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件9．【解答】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：＝，∵B﹣A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC﹣A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．10．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，可得：•＝﹣1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e＝．故答案为：．11．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．故答案为：③．12．【解答】解：根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）＝+1，则f′（m）＝+1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（+1）（x﹣m），变形可得y＝（+1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k＝+1，b＝lnm﹣1，则2k+b＝+2+lnm﹣1＝lnm++1，设g（m）＝lnm++1，其导数g′（m）＝﹣＝，在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm++1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm++1为增函数，则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．13．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），B（0，），使得∠APB＝60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：＝2，则P的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，或：（x+1）2+y2＝22，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C上存在点P和，使得∠APB＝60°，就是两个圆有公共点，可得：≤r+2，并且解得r∈[﹣2，4+2]．故答案为：[﹣2，4+2]．14．【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）令f′（x）＝0，解得x＝a或x＝，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（）＜0，即（﹣a+1）[（﹣1）（﹣a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0，解得a＜1﹣或a＞1+故答案为：（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6，等腰梯形的高为＝，可得A（﹣4，0），B（4，0），C（3，），D（﹣3，），则CA＝＝8，CB＝＝4，由2a＝CA﹣CB＝4，即a＝2，又AB＝8，即c＝4，b＝＝2，则双曲线的方程为﹣＝1；（2）双曲线的离心率e＝＝2；渐近线方程为y＝±x．16．【解答】解：（1）证明：取DC的三等分点P，使DP＝，∵，∴MP∥AD，∴MP∥BC，∴MP∥平面FBC，∵，∴NP∥FC，∴NP∥平面FBC，∴平面MNP∥平面FBC，∴MN∥平面FBC；（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC17．【解答】解：（1）根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），又圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，其圆心C（﹣1，2），半径r＝，则有＝，解可得：a＝﹣1或a＝3，故所求切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2＝PC2﹣MC2，又由PM＝PO，则2PO2＝PC2﹣MC2，若点P（x1，y1），O（0，0），MC＝r＝，则（x1+2）2+（y1﹣2）2﹣2＝2（x12+y12），变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6上一点，则y1＝2x1﹣6，②联立①②可得：，变形可得：5x12﹣18x1+9＝0，解可得x1＝或x1＝3；当x1＝时，y1＝﹣，此时P的坐标为（，﹣），当x1＝3时，y1＝0，此时P的坐标为（3，0）则P的坐标为（，﹣）或（3，0）．18．【解答】解：（1）若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10﹣x，∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0＜x＜10，∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：，P点受B光源的照度为：，故问题P收到A，B两光源的总照度y＝+，x∈（0，10）；（2）∵f（x）＝+，x∈（0，10），∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，当＜x＜10时，f′（x）＞0，故f（x）在（，10）递增，故当x＝时，f（x）取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为处，物体P受到A，B两光源的总照度最小．19．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，右准线方程为x＝，∴，解得．又∵，∴椭圆C的标准方程为；（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），M为椭圆的上顶点，则M（0，1），∵直线l经过原点，由椭圆对称性可知，B（﹣x1，﹣y1），∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴，即．∵，＝．∴．∴，解得或．∵点A在第三象限角，∴k1＞，则k1＝1．则直线MA的方程为y＝x+1．联立，解得或，∴A（）．②直线l过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2）．联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．当△＞0时，由韦达定理可知，，．∴＝＝＝＝2k+（1﹣2k）＝1．20．【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝alnx+（x﹣1）（x﹣2），f′（x）＝+2x﹣3，∵f（x）在x＝2处取极小值，故f′（2）＝0，解得：a＝﹣2，此时，f′（x）＝，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在x＝2处取极小值，故a＝﹣2符合题意；（2）当a＝1时，∵f（x）＝lnx+b（x﹣1）（x﹣2），∴f′（x）＝，令g（x）＝2bx2﹣3bx+1，①∵f（x）在（1，2）递增，∴f′（x）≥0在（1，2）恒成立，即g（x）≥0在（1，2）恒成立，1°当b＝0时，则g（x）＝1，满足题意，2°当b≠0时，g（x）的对称轴是x＝＜1，故，解得：﹣≤b＜0或0＜b≤1，综上，实数b的范围是[﹣，1]；②1°当b＝0时，f（x）＝lnx，与题意不符，2°当b＜0时，取x0＝3﹣，则x0＞1，令h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，故f（x0）＝lnx0+b（x0﹣1）（x0﹣2）≤（x0﹣1）+b（x0﹣1）（x0﹣2）＝2b﹣1＜0，故b＜0符合题意；3°当0＜b≤1时，∵g（x）＝2bx2﹣3bx+1在（1，+∞）递增且g（1）＝1﹣b≥0，故f′（x）＝≥0在（1，+∞）恒成立，故f（x）在（1，+∞）递增，故f（x）≥f（1）＝0恒成立，与题意不符；4°当b＞1时，∵g（1）＝1﹣b＜0，g（2）＝2b+1＞0，由零点存在性原理可知，存在x1∈（1，2），使得g（x1）＝0，故当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，取x0＝x1＞1，则f（x0）＜f（1）＝0，符合题意，综上，实数b的范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab
2019年江苏省苏州市南麻中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019年江苏省苏州市南麻中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数满足：（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．参考答案：D2. 若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C． +i D．﹣i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．3. 给出以下四个问题,①, 输出它的相反数②求面积为的正方形的周长③求三个数中输入一个数的最大数④求函数的函数值其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )A 个B 个C 个D 个参考答案：A略4. 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()A．10个 B．9个 C．8个D．1个参考答案：A5. 已知复数满足,则复数的对应点在复平面上的集合是（）A．线段 B．椭圆 C．双曲线D．双曲线的一支参考答案：D略6. 两个数 1与5的等差中项是( )A．1 B． 3 C．2D．参考答案：B7. 已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4}D．{x|x≥﹣2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．8. 如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆的离心率等于( ) A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知命题p:x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则非p是（）A．x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B．x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C．x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D．x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0参考答案：C略10. 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若，则”类比推出“若，则”；②“若，则复数”类比推出“若，则”；③“若，则”类比推出“若，则”.其中类比结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C因为复数不能比较大小，所以命题③是不正确的；命题①，②都是正确的，应选答案C。
2019-2019学年江苏省常州市高二上学期期末考试数学理试卷版精品文档10页
PABCEF(第9题理科图）2019-2019学年江苏省常州市高二上学期期末考试数学（理）试卷 2019年1月注意事项：1．本试卷满分160分，考试用时120分钟．本试卷部分试题设置文科及理科选做题，请考生根据选科类别答题．2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题卡．3．本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等． 参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 表示底面积，h 表示高． 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若点)2,1(A 在直线053=-+y ax 上，则实数a 的值为 ▲ ． 2．抛物线y x 22=的焦点到准线的距离为 ▲ ． 3．命题“若α是锐角，则0sin >α”的逆否命题．．．．为 ▲ ． 4．若直线062=++y ax 与直线02)1(=+-+y a x 垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 5．（文科做）当函数xx f x e )(=取到极值时，实数x 的值为 ▲ ．（理科做）已知空间向量(1,,1),(3,2,)a k b k =-=-，且a b ⊥，则实数k 的值为 ▲ ． 6．已知双曲线16422=-x y 上一点M 到一个焦点的距离等于2，则点M 到另一个焦点的 距离为 ▲ ．7．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为23，则该棱锥的体积为 ▲ ． 8．若两条直线012)1(,03=+++-=++a y x a ay x 互相平行， 则这两条直线之间的距离为 ▲ ．9．（文科做）已知曲线()y f x =在点(2,(2))M f 处的切线方程 是23y x =+，则(2)(2)f f '+的值为 ▲ ．（理科做）如图，在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ， π2BAC ∠=,PA AB AC ==，F E ,分别为棱PC PB ,的中点， 则异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值为 ▲ ．10．已知集合{}0652<+-=x x x A ，{}a x a x B +<<-=31．若“A x ∈”是“B x ∈”的充 分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．已知圆221:20C x x y -+=，圆222:(3)(4)1C x y ++-=，若过点1C 的直线被圆2C 所 截得的弦长为65，则直线的方程为 ▲ ． 12．已知椭圆22:198x y C +=与定点(1,2)A ，F 是椭圆C 的右焦点，点M 是椭圆C 上的动点， 则当3AMMF +取最小值时，点M 的坐标为 ▲ ． 13．给出下列四个命题:①“直线,a b 没有公共点”是“直线,a b 为异面直线”的必要不充分条件； ②“直线,a b 和平面α所成的角相等”是“直线,a b 平行”的充分不必要条件；③“直线l 平行于两个相交平面βα，”是“直线l 与平面βα，的交线平行”的充要条件； ④“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l α⊥平面”的必要不充分条件． 其中，所有真命题的序号是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A ,B ,P 是椭圆2213x y +=上的三个动点，且0OA OB ⋅=．动点Q 在线段AB 上，且0OQ AB ⋅=，则PQ 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数12)(2+-=x x x f ，R ∈a ．p ：[]20，∈∃x ，a x f <)(； （1）若p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 为真命题，求a 的取值范围；（3）若“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题，求a 的取值范围．A BCA 1B 1C 1 DEFG H（第17题图）在平面直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，且双曲线C 与斜率为2的直线有一个公共点(2,0)P -． （1）求双曲线C 的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程． 17．(本小题满分15分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C A AA 11=，F E D ,,分别为111,,AA C A AB 的中点， 平面⊥C C AA 11平面ABC ．H G ,分别在AC AD ,上，且,4AG AD = GH∥CD ．求证： （1）CE AB ⊥；（2）平面FGH ∥平面CDE ． 18．（本小题满分15分）双曲线C 设M 是椭圆2214xy +=上的点，过M 作x 轴的垂线l ，垂足为N ，P 为直线l 上一点，且2PN MN =，当点M 在椭圆上运动时，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，上顶点为A ，求AP FP ⋅的取值范围．PABCD MN（第19题理科图）（文科做）已知函数2()(2)ln af x x a x x=--+)0(>x ，其中实数0a ≥． （1）若0=a ，求函数()f x 在[]1,3x ∈上的最值； （2）若0>a ，讨论函数()f x 的单调性．（理科做）如图，正四棱锥ABCD P -中，BD PA =， 点M 为BD AC ,的交点，点N 为AP 中点． （1）求证：MN PBC ∥平面；（2）求MN PAD 与平面所成角的正弦值；（3）求PBC PAD 平面与平面所成的二面角的余弦值． 20．（本小题满分16分）本题有A 、B 两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.A 组．在平面直角坐标系xOy 中，若直线10x y -+=与椭圆22:1C mx ny +=(0,m >0)n >相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为13-．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若OA OB ⊥，求：①椭圆C 的方程；②三角形OAB 的面积．B 组．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M 过定点(A，且与定圆 22:(16B x y +=相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知P ,Q 是曲线C 上的动点，且满足直线OP ，OQ 的斜率乘积等于λλ（为常数）．设动点00(,)N x y 满足(,)ON mOP nOQ m n =+∈R ． ①若1,2m n ==，14λ=-，求证：22004x y +为定值；②是否存在定值λ，使得点N 也在曲线C 上，若存在，求出λ的值以及,m n 满足的条 件；若不存在，说明理由．常州市教育学会学生学业水平监测高二数学答案 2019年1月一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1- 2．1 3．“若sin α≤0，则α不是锐角” 4．325．（文科做）1 （理科做）36．10 7．3168．223 9．（文科做）9（理科做）63 10．0a ≥11．0434=-+y x 或0343=-+y x 12．)2,223( 13．①④ 14．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-233,231二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）若p 为真命题，由题意，a x f <min )(． ………………………………2分 ∵ 22)1(12)(-=+-=x x x x f 的图象为开口向上，对称轴为1=x 的抛物线，∴当[]20，∈x 时，[]10)(，∈x f ． ………………………………4分 ∴0)(min =x f ．∴0>a ． ………………………………6分 （2）若q 为真命题，[]20，∈∀x ，)(x f a -<，∴min ))((x f a -<． ……………………8分 ∵1))((min -=-x f ，∴1-<a ． ………………………………10分 （3）若“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题，∴p 为真命题，q 为假命题．………12分∴0,1,a a >⎧⎨-⎩≥ ∴． ………………………………14分16.（本小题满分14分）解：（1）由题意，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>．……………………………2分∵点(2,0)P -在双曲线上，∴2=a ．∵双曲线C 的离心率为2，∴22=c ．∵222c a b =+，∴2=b ．∴双曲线的方程为：22144x y -=， …………………………………4分 其渐近线方程为：y x =±． ………………………………6分 （2）由题意，直线的方程为2(2)y x =+，即24y x =+，………………………………8分 直线与坐标轴交点分别为12(2,0),(0,4)F F -． ………………………………10分 ∴以1(2,0)F -为焦点的抛物线的标准方程为28y x =-； ………………………………12分ABCA 1B 1C 1D EFGHP（第17题图）以2(0,4)F 为焦点的抛物线的标准方程为216x y =． ………………………………14分 17.（本小题满分15分）证明：（1）取AC 的中点P ,连接P A 1．∵C A AA 11=，∴AC P A ⊥1． ……………2分 ∵平面⊥C C AA 11平面ABC ， 平面C C AA 11∩平面ABC AC =， ⊂P A 1平面C C AA 11，∴⊥P A 1平面ABC ． …………………4分 ∵⊂AB 平面ABC ，∴AB P A ⊥1． ……………6分 在三棱柱111C B A ABC -中，P E ,分别为AC C A ,11的中点， ∴E A 1∥CP 且21ACCP E A ==，∴四边形ECP A 1是平行四边形，∴P A 1∥CE ． 又∵AB P A ⊥1，∴CE AB ⊥． …………………………………8分 （2）∵GH ∥CD ，CDE CD 平面⊂，CDE GH 平面⊄，∴GH ∥平面CDE ．………10分 又∵F 为1AA 的中点，∴FH ∥P A 1． 又∵CDE CE 平面⊂，CDE FH 平面⊄，∴FH ∥平面CDE ． ……………………………13分 ∵FGH GH 平面⊂，FGH FH 平面⊂，GH ∩FH H =，且GH ∥平面CDE ，FH ∥平面CDE ，∴平面FGH ∥平面CDE ． ……………………………15分 18．（本小题满分15分）（1）设00(,),(,)P x y M x y ，∵2PN MN =， ∴2,00yy x x ==， ………………………………3分 ∵点M 在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=， ………………………………5分即22()142x y+=， 整理得224x y +=． ∴曲线C 的方程为224x y +=．………………7分 （2）∵椭圆的右焦点F ()0,3，上顶点A ()1,0， ………………………………9分………………………………11分 设y x t +=3，即03=-+t y x ，∵2d =， ∴t -4≤≤4， ………………………………13分∴08AP FP ⋅≤≤，∴AP FP ⋅的取值范围为[]8,0． ………………………………15分C（第19题理科图）19.（本小题满分16分）(文科做）（1）∵x x x f ln 2)(-=，∴xx x x f 221)(-=-='， ……………………………2分 令0)(='x f ，∴2=x ．列表如下，从上表可知，∵03ln 22)1()3(<-=-f f ，∴)3()1(f f >，函数()f x 在区间[]31，上的最大值是1，最小值为2ln 22-. ……………………………7分（2）2222))(2(2)2(221)(x a x x x a x a x x a x a x f --=++-=+-+='．……………………………9分 ①当2>a 时，()()+∞∈,2,0a x 时，0)(>'x f ；当()a x ,2∈时，0)(<'x f ．∴()f x 的单调增区间为()2,0，()+∞,a ，单调减区间为()a ,2． …………………………11分 ②当2=a 时，∵)2(0)2()(22≠>-='x x x x f ．∴()f x 的单调增区间为()+∞,0．…………13分③当20<<a 时，()()+∞∈,2,0 a x 时，0)(>'x f ；当()2,a x ∈时，0)(<'x f∴()f x 的单调增区间为()a ,0，()+∞,2，单调减区间为()2,a ． …………………………15分 综上，当2>a 时，()f x 的单调增区间为()2,0，()+∞,a ，单调减区间为()a ,2； 当2=a 时，()f x 的单调增区间为()+∞,0；当20<<a 时，()f x 的单调增区间为()a ,0，()+∞,2，单调减区间为()2,a ………………………16（理科做）（1）以{},,xyz M -，设2==BD PA ，则3=MP ，各点的坐标为： P ． ………………………2分 由题意得1(2N ，则1(2MN =．∴(1,0,3)2PC MN =--=-，∴MN ∥PC ， ………4分 又∵PBC PC 平面⊂，PBC MN 平面⊄，∴MN PBC ∥平面． ……………………………………6分 （2）设平面PAD 的法向量为1(,,)n x y z =,由题意得(1,1,0),(0,1,AD PD =--=-，∵110,0,AD n x y PD n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩∴,,x y z y =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得到1(1,1,n =-，……………………………………8分∴111(,0,2cos,MN n MN n MN n ⋅<>===．……………………10分 ∴AM DEF 与平面．……………………………………11分 （3）设平面PBC 的法向量为2(,,)n x y z =，由题意得(1,1,0),(0,1,BC PB =--=，∵220,0,BC n x y PB n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩∴,,xy z y =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得到2(n =-， …………………13分∵平面PAD 的法向量1(1,1,n =-，平面PBC的法向量2(n =-， ∴121212553cos ,=773n n n n n n ⋅<>===． ………………………………15分∴PBC PAD 平面与平面所成的二面角的余弦值为75． ………………………………16分 20．（本小题满分16分） A 组．(1)由⎩⎨⎧=+=+-1,0122ny mx y x 消去y 化简得012)(2=-+++n nx x n m ． 当0)(4)1)((442>-+=-+-=∆mn n m n n m n 时， 设),,(),,(2211y x B y x A 则nm n x x n m n x x +-=+-=+1,22121， ………………………………2分 弦AB 的中点M 的坐标为),(nm m n m n ++-， ∴ 直线OM 的斜率为13m n -=-，∴m n 3=， ………………………………4分 ∴椭圆C 的方程为131122=+my m x ，即,31,122m b m a ==∴b a 3=，∴b c 2=，∴椭圆C 的离心率36=e ． ………………………………6分（2）①∵OA OB ⊥，∴0=⋅OB OA ，∴02121=+y y x x ． 而)1)(1(21212121+++=+x x x x y y x x 1)(22121+++=x x x x 012)1(2=++-+-=nm nn m n ， ∴2=+n m ， ………………………………8分 又∵m n 3=，∴23,21==n m ，且满足0)(4>-+=∆mn n m ，…………………………10分 ∴椭圆C 的方程为123222=+y x ． ………………………………11分)4)((221221x x x x -+=210)1)23((22=--=， ………………………………13分 原点O 到AB 的距离2211100=++-=d ， ………………………………15分 ∴三角形OAB 的面积为4521=⋅d AB ． ………………………………16分 B 组．（1）设圆M 的半径为R ，∵点(A在圆22:(16B x y +=内，∴圆心M 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………………2分 ∴曲线C 的方程为1422=+y x ． ………………………………4分（2）①设),(),,(2211y x Q y x P ，∵2,ON OP OQ =+∴0120122,2x x x y y y =+=+． ………6分 ∵,P Q 在曲线C 上，∴44,4422222121=+=+y x y x ．又∵12121=4OP OQ y y k k x x ⋅⋅=-，∴121240x x y y +=． ………………………………8分于是22222200112211224(44)4(44)x y x x x x y y y y +=+++++故22004x y +为定值． ………………………………10分 ②假设存在定值λ，使得点N 也在曲线C 上． ∵,P Q 在曲线C 上，∴44,4422222121=+=+y x y x ．又=OP OQ k k λ⋅，∴12120x x y y λ-=． ………………………………12分 于是222222222200112211224(2)4(2)x y m x mnx x n x m y mny y n y +=+++++)4(2)4212122y y x x mn n m +++=（． ………………………………14分∵点N 也在曲线C 上，故22004=4x y +为定值， ∴存在定值41-=λ，实数,m n 满足的条件为122=+n m ． ……………………………16分。
江苏省高二上学期期末数学试卷(理科)
江苏省高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）已知集合,则A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·榕城月考) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）设复数z满足， i为虚数单位，则z=（）A . 2-iB . 1+2iC . -1+2iD . -1-2i4. （2分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）A . i＜10B . i≤10C . i≤9D . i＜95. （2分）一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）与的等比中项是（）A . 1B . -1C .D .7. （2分） (2016高一上·越秀期中) 函数的单调增区间是（）．A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·广东月考) 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A . 或B . 或C .D .9. （2分） (2016高三上·宝清期中) 已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A .B .C .D . 110. （2分） (2019高一上·九龙坡月考) 定义在上的函数若满足：①对任意，且，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的最小值为（）A . 2B .C .D .11. （2分） (2017高一下·正定期中) 如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于（）A . 2B . 3C . 3D . 912. （2分） (2016高一下·周口期末) 已知向量 =（cosθ，sinθ），向量 =（，﹣1）则|2 ﹣ |的最大值，最小值分别是（）A . 4 ，0B . 4，4C . 16，0D . 4，013. （2分）(2014·浙江理) 设函数f1（x）=x2 ， f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，3，则（）A . I1＜I2＜I3B . I2＜I1＜I3C . I1＜I3＜I2D . I3＜I2＜I114. （2分）已知a= ，b= ，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . b＞c＞aC . a＞b＞cD . c＞b＞a二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分）(2020·南通模拟) 已知函数，若，则的值为________.16. （1分）抛物线y2=2x的准线方程是________17. （1分） (2017高二下·保定期末) （ +xcosx）dx=________．18. （1分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于________ ．19. （1分） (2017高三下·重庆模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为________三、解答题 (共7题；共65分)20. （10分） (2018高二下·辽源月考) 从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40根据以上数据回答下面的问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？21. （10分） (2020高一下·武汉期中) 已知的内角所对应的边分别为，（其中为的外接圆的半径）且的面积 .（1）求的值；（2）求的面积S的最大值.22. （5分）(2019·延安模拟) 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值.23. （10分）已知函数f（x）=4 sinxcosx﹣4sin2x+1．（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求的最大值．24. （10分）(2018·广元模拟) 设为数列的前项和，已知，对任意，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明： ..25. （10分）(2017·襄阳模拟) 已知椭圆C：的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x2+y2=12上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．26. （10分）已知函数．（1）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（2）函数既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共5题；共5分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共7题；共65分)20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。
江苏高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．B ．3C ．5D ．52152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到的值，从而得a a 到结果.【详解】由题意设中间的边为，则三边依次为 a 2,,2-+a a a 由勾股定理可得，解得或（舍） ()()22222a a a +=-+8a =0a =即斜边为，所以外接圆的半径为 210a +=1052=故选:C3．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）P 22:133x y C -=22y x =P A ．3 B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，，则由解得220x y =≥22223y x x y ⎧=⎨-=⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点的横坐标为3. P 故选：A4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ） 340x y m ++=2220x y y +-=m A ． B ． C ． D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D6．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结111ABC A B C -CA CB =P 1A B Q 1CC 论不正确的是（ ）A ．B ．//平面 1PQ A B ⊥AC 1A BQ C ．D ．//平面1PQ CC ⊥PQ ABC 【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，.2h AC CB x ==B 选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移11A C AC 11A C ⋂11A BQ A =AC 1A BQ 直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；AC 1A BQA 选项，计算可得，为的中点，故（三线合一），A 选项1QA QB ==P 1A B 1PQ A B ⊥正确；C 选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，11,,QB QA AB 1AB P 1QA QB =为的中点，故（三线合一），结合A 选项，，，P 1AB 1PQ AB ⊥1PQ A B ⊥11AB A B P = 11,AB A B ⊂平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，11ABB A PQ ⊥11ABB A 1AA ⊂11ABB A PQ ⊥1AA 1AA 1CC 故，C 选项正确；1PQ CC ⊥D 选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//AB E ,PE CE P 1A B PE 1ABA △PE ，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由1AA 112PE AA =PE CQ PE CQ =PECQ PQ CE 平面，平面，故//平面，D 选项正确.PQ ⊄ABC CE ⊂ABC PQ ABC 故选：B7．在数列中，若存在不小于2的正整数使得且，则称数列为“数列”.{}n a k 1k k a a -<1k k a a +<{}n a k -下列数列中为“数列”的是（ ） k -A ． B ．n b n =2nn b =C ． D ． 9n b n n=+123n b n =-【答案】C【分析】利用“数列”定义逐项判断可得答案.k -【详解】对于A ，，，，数列是单调递增数列， n b n =11n b n +=+1110+=+-=>-n n b b n n {}n b 所以数列不是“数列”，故A 错误；{}n b k -对于B ， ，，，数列是单调递增数列，2n n b =112++=n n b 112220++-=-=>n n nn n b b {}n b 所以数列不是“数列”，故B 错误；{}n b k -对于C ，对于函数，令，， ()()90f x x x x=+>123x x >>()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以， 123x x >>12120,9->>x x x x ()12121290-->x x x x x x ()()12f x f x >在上为单调递增函数， ()f x ()3,x ∈+∞令，， 2103<<<x x ()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以，在2103<<<x x 12120,09-><<x x x x ()12121290x x x x x x --<()()12f x f x <()f x 上为单调递减函数， ()0,3x ∈所以对于，当时，有，当时，有，存在使得数列9n b n n=+23n ≤≤1n n b b -<3n ≥1n n b b +<3k ={}n b 是“数列”，故C 正确；k -对于D ，，时，因为的单调递增数列，是单调递减数列，所以不存在11b =-2n ≥{}23n -123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n不小于2的正整数使得且，所以数列不是“数列”，故D 错误. k 1k k a a -<1k k a a +<{}n b k -故选：C.8．已知为坐标原点，点坐标为，是抛物线在第一象限内图象上一点，O A ()2,0P 21:2C y x =M 是线段的中点，则斜率的取值范围是（ ） AP OM A ．B ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞C ．D ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦⎛ ⎝【答案】A【分析】设，可得，再利用基本不等式可得答案.()()22,0>P y y y ()221=+OM y k y 【详解】设，所以，()()22,0>P y y y 21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y 所以，()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y 当且仅当即时等号成立， 1y y=1y =则斜率的取值范围是.OM 10,4⎛⎤⎥⎝⎦故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A．0 B ．C ．2D 12【答案】AB【分析】由，排除C 、D ；取，求出[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- ,a AD b BC ==；取，求出.即可判断A 、B.0a b ⋅=,a AD b AC == 12a b ⋅= 【详解】在正四面体中，棱长均为1.ABCD任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任取两个向量，则.,a b1a b == 所以.故C 、D 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- 取.设中点为,连接. ,a AD b BC ==BC E ,AE DE 因为为正四面体，所以. ABCD ,AE BC DE BC ⊥⊥因为,面，面， AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 所以面.BC ⊥ADE 因为面，所以，所以. AD ⊂ADE BC AD ⊥,90a b =︒ 所以.故A 正确； cos ,cos900a b a b ⋅==︒=取，则.,a AD b AC ==,60a b =︒ 所以.故B 正确. 1cos ,cos 602a b a b ⋅==︒= 故选：AB10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点()2222:10x y C a b a b+=>>121F 2F P （异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（ ） 12PF F △A ．椭圆的焦距为1B ．椭圆的短轴长为C C C ．D ．椭圆上存在点，使得12PF F △C P 1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据，解得可判断AB ；设，由知当12e =226a c +=,,a b c ()00,P x y 1212012PF F S F F y =V P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆上存在点，设C P，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.12,PF m PF n ==m n +mn ,m n 2460x x -+=∆【详解】由已知得，，解得，， 12c e a ==226a c +=2,1a c ==2223b a c =-=对于A ，椭圆的焦距为，故A 错误； C 22c =对于B ，椭圆的短轴长为B 正确； C 2b =对于C ，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，()00,P x y 12120012==A PF F S F F y c y P此时C 正确；0==y b 12PF F △对于D ，假设椭圆上存在点，使得，设，C P 1290F PF ∠=12,PF m PF n ==所以，，，24m n a +==22216244m n mn c +=-==6mn =所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D 错,m n 2460x x -+=16240∆=-<误. 故选：BC.11．在棱长为的正方体中，下列结论正确的是（ ） 21111ABCD A B C D -A ．异面直线与所成角的为 1AB CD 45 B ．异面直线与所成角的为 11A B 1AC 45C ．直线与平面 1AC 11ABB AD ．二面角的大小为 1C AD B --45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，，则与所成的角为，A 对；//CD AB 1AB CD 145BAB ∠=对于B 选项，，所以，与所成角为或其补角，11//AB A B 1AC 11A B 1BAC ∠因为，，，2AB=1BC ==1AC ==22211AB BC AC ∴+=则，所以，，B 错； 1AB BC ⊥11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠ 对于C 选项，平面，故直线与平面所成角为，11B C ⊥ 11AA B B 1AC 11ABB A 11B AC ∠平面，则，所以，1AB ⊂ 11AA B B 111B C AB ⊥11111sin B CB AC AC ∠==因此，直线与平面C 对； 1AC 11ABB A 对于D 选项，平面，、平面，则，， AD ⊥ 11CC D D CD 1C D ⊂11CC D D AD CD ⊥1AD C D ⊥所以，二面角的平面角为，D 对. 1C AD B --145CDC ∠=o故选：ACD.12．已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和{}n a n 2n S n ={}n b {}n a 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（ ）{}n b {}n c A ． B ．数列中与之间共有项 1216c ={}n c n b 1n b +12n -C ． D ．22n n b a =121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，然{}n a 1221n a n =-2nn b =后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；{}n a n 2n S n =1n =111a S ==当时，；经检验，当时也满足，所以；2n ≥121n n n a S S n -=-=-1n =21n a n =-又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.{}n b 2nn b =则数列为：， {}n c 1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23, 所以，故选项正确；1216c =A 数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为{}n a 1,n n b b +n b 1n b +，故选项正确； 112222n nn +--=B 因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；2n n b =222nn b =1222121n n n a +=⨯-=-22n n b a ≠C 因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，2n n b =21n -2121nk a k =-=-12n k -=所以数列从1到共有，也即，故选项错误，{}n c 2n 12n n -+122n nn n c b -+==D 故选：AB三、填空题13．已知等差数列前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. {}n a 【答案】78【分析】先求得等差数列的首项和公差，然后求得前项和. {}n a 12【详解】设等差数列的公差为，d 则，解得，1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩11a d ==所以前项的和为. 121126678a d +=故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为______. 3C【分析】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据双曲线的离心率公式可得C 2a 2b 2c出，进而可求得双曲线的共轭双曲线的离心率.b =C 【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则，可得C 2a 2b 2c 3c a==，b =所以，双曲线的共轭双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，C 2b 2a 2c =因此，双曲线的共轭双曲线的离心率为.C c b===15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】## 9320.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形，ABC 设球心为，圆锥底面圆心为，球的半径为，O 1O R 则圆锥的高为，1322R R R +=. 932=故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为1的动圆内P O ()2220x y R R +=>M 切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为______；若O P (),0R 4R =PO ，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______.2R =MP N 【答案】 2 2219144x y +=【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当时，的最小值为.4R =PO 21422R -⨯=-=当时，初始位置为， 2R =N 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的四分之一弧长为， O 12π2π4⨯⨯=圆的半周长为， M 12π1π2⨯⨯=所以的轨迹过点， N 10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭所以，椭圆焦点在轴上， 31,22a b ==x 所以椭圆方程为. 2219144x y +=故答案为：； 22219144x y +=五、解答题17．如图，是三棱锥的高，线段的中点为，且，.PA -P ABC BC M AB AC ⊥2ABAC PA ===(1)证明：平面；BC ⊥PAM (2)求到平面的距离.A PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件证明，，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. BC AM ⊥PA BC ⊥（2）法一：在平面中，过点作，证明平面，再求值即可；法二：PAM A AH PM ⊥AH ⊥PBC A 到平面的距离，是三棱锥的高，利用等体积法求解.PBC A PBC -【详解】（1）因为，线段的中点为，所以.AB AC =BC M BC AM ⊥因为是三棱锥的高，所以平面，PA -P ABC PA ⊥ABC 因为平面，所以.BC ⊂ABC PA BC ⊥因为平面，平面，，所以平面PA ⊂PAM AM ⊂PAM PA AM A = BC ⊥PAM （2）法一：（综合法）在平面中，过点作，如图所示，PAM A AH PM ⊥因为平面，平面，所以.BC ⊥PAM AH ⊂PAM BC AH ⊥因为，平面，平面，，所以平面. AH PM ⊥BC ⊂PBC PM ⊂PBC PM BC M = AH ⊥PBC在中，Rt BAC A 1122AM BC ====所以在中，Rt PAM A PM ===所以到平面PA AM AH PM ⨯===A PBC 法二：（等体积法）设到平面的距离为，则在中，A PBC d Rt BAC A 1122AM BC ====在中，Rt PAM A PM ===因为是三棱锥的高，所以， PA -P ABC 11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得， 11143323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△d =所以到平面A PBC 18．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.{}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和.{}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2n n b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得， ()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+19．已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. ()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 32x =12(1)求双曲线的方程；C (2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.1y x =-C M N MNF A 【答案】(1) 2213y x -=(2) 32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可1a =F 32x =122c =求得双曲线的方程；C （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积.M N MNF A 【详解】（1）设双曲线的焦距为，C ()20c c >因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. C 22a =1a =因为右焦点到的距离为，所以，解得或. F 32x =123122c -=1c =2c =因为，所以.可得，c a >2c =222413b c a =-=-=所以双曲线的方程为. C 2213y x -=（2）设，，()11,M x y ()22,N x y 联立直线和双曲线可得， 22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()223130x x ---=即，或220x x +-=1x =2x =-不妨设，，所以.11x =22x =-2130,y y ==-所以. 2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△即的面积为MNF A 3220．已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.{}n a n n S ①，；②；③.22a =22n n a a +-=()21n n S n a =+()12n n nS n S +=+从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求；n a (2)求数列的前项和. 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)n a n =(2) 13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据与n n S na 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到是常数数列，从而得到结果； ()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选① 因为，所以当为奇数时，； 22n n a a +-=n 1122n n a a n -=+⨯=同理，当为偶数时，. n 2222n n a a n -=+⨯=所以.n a n =选②因为，（*）所以当时，，（**） ()21n n S n a =+2n ≥112n n S na --=（*）-（**），得，即， ()11n n n a na --=11n n a a n n -=-所以数列是首项为1的常数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以.n a n =选③因为，所以，所以数列是首项为的常数列， ()12n n nS n S +=+()()()1211n n S S n n n n +=+++()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭12所以，所以当时，. ()12n n n S +=2n ≥()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=当时，也符合上式.所以. 1n =n a n =（2）由（1）得，， ()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以 111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM ⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P BC =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面； AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC（2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以； 11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面；AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系， A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y =11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>A B C ，且.225a b +=(1)求椭圆的方程；E (2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线P E AC BP Q CP y R 过定点.RQ 【答案】(1) 2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 22,a b E （2）设出直线的方程，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点坐BP Q BP E P 标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，由此求得直线的方程并确定定点坐标. PC R RQ【详解】（1）因为为椭圆上一点，所以. P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>221314a b +=因为，所以，整理得，解得或. 225a b +=2213154b b +=-42419150b b -+=21b =2154b =当时，，与矛盾.所以，. 2154b =254a =a b >21b =24a =椭圆的方程为. E 2214x y +=（2）设直线的斜率为，则.BP k :1BP l y kx =-因为， 1:12AC l y x =-+由解得，. 1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩421Q x k =+2121Q k y k -=+因为，所以，整理得， 22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()224140x kx +--=()221480k x kx +-=所以，. 2841P k x k =+224141P k y k -=+所以，所以. 2222241412141888242241PC k k k k k k k k k k --++===--+---+()21:242PC k l y x k +=---令，得. 0x =2121R k y k +=-所以， ()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++所以. 221:2121RQ k k l y x k k +=-+--所以. ()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----所以直线过定点. RQ ()2,1-。
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高二数学第一学期期末调研测试试题（全卷满分160 分，考试时间120 分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“x (0,2)，sin x 1”的否定是▲．2. 已知直线l过点A 11,、B2,0,则直线l的斜率为▲．3. 一质点的运动方程为S t210（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t 3时的瞬时速度为▲m/s．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、12、8,若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取Read x的城市数为▲个.5. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x的准线方程为▲．x 3Then Ify 2x Else6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值y x21是▲．End If7.若a R, 则“a 3”是“直线l：ax y 10与l ：12a 1x2ay40垂直”的▲条件．（注：在“充要”、“既不Print y第6题）充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）8. 函数f x x 33x2的单调递减区间为▲．9. 已知椭圆x2y21a b 0左焦点为F，左准线为l，若过F且垂直于xa2b2轴的弦的长等于点F到l的距离，则椭圆的离心率是▲1．10.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为▲．x2y21m m 1的一个焦点为3,0，则双曲线（11．．．3 12. 已知可导函数 f x 的定义域为R ， f 12，其导函数 f等式 f 2x 8x 1的解集为 ▲ ．x 满足fx3x2,则不13. 已知圆C : x 2y 126， AB 为圆C 上的两个动点，且 AB2 2， G 为弦 AB的中点.直线 l : x y 2 0 上有两个动点 PQ ，且 PQ 2 .当 AB 在圆 C 上运动时，PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．函数f ( x ) x exa 在 (1,2) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是▲．二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）15.（本小题满分 14 分）已知 m 为实数 . 命题 p ：方程x 2 y 21 3m 1 m 3表示双曲线；命题 q ：对任意 x R ，x 2 (m 2) x9 4 0恒成立.（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“ p 或 q ”为真命题、“ p 且 q ”为假命题，求实数 m的取值范围．16．（本小题满分 14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。
在进行资产清算时发现有 3000 名客户办理 的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了 300 名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为500,600，600,700，700,800，800,900，900,1000，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求 a 的值； （2）求余额不低于900 元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？ (用组中值代替各组数据的平均值)．17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l:kx y 42k 0，k R(1)直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点A(2,0),B(1,0)，若直线l上存在点P满足条件PA 2P B，求实数k的取值范围.18.（本小题满分16分）2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O、O之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四12个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O O A B于点M．设?AO M q，122p(1当)q=时,求喷泉ABCD的面积S;4(2)求c os 为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大?.19．（本小题满分16分）已知椭圆C:x2y21(a b 0)a2b2的长轴长为222，离心率为.2(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0,m)(m 0)的直线交x轴于点N，交椭圆C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q，延长Q M交椭圆C于点B.①设直线PM、Q M的斜率分别为k,k'，证明kk为定值;②求直线AB斜率取最小值时，直线PA的方程.20．（本小题满分16分）已知函数f(x)ln xx 1,(x)m(x 1)f(x)x(m R)(1)求f(x)在x 1处的切线方程；(2)当m 0时，求(x)在1,2上的最大值；(3)求证：f(x)的极大值小于1.高二 数 学 参 考 答 案一、填空题：1.x (0, 2)， sin x 12．-1 3．64. 2 .5. x 26. 37 ． 充 分 不 必 要8.1,1(写成1,11,1,1,也1算对)9 ．1210．14.11． y5 2x1 12． ,13.,0U 3,14,e U3e 2,.．二、解答题：15．解：（1）若命题 p为真命题，则3m 1m 30，即m 的取值范围是1 3m 3 .…………………………………………………………………4 分（ 2 ） 若命题 q为真命题，则，解 得1 m 5 ． 即 m1,5． …………7 分∵ 命题“ p 或 q ”为真命题、“ p 且 q ”为假命题，∴ p和 q中 有 且 仅 有 一 个 正 确 ．若 p 真 q 假，则1 3m 3，解 得 m； ………………………………10 分m 1或m 5若 p 假 q 真，则1 m 或m 33 1m 5， 解 得 1 m1 3 或 3 m 5． ………………13 分所以，综上所述： m 的 取 值 范 围 为1, 1 33, 5． ………………………………14 分16. 解：（1）由100 0.0005 0.002 a 0.004 0.001 1，解得a 0.0025 ……4 分（2 ）余额在900,1000之间的频率为 0.1 ，故可估计余额不低于 900 元的客户大约为3000 0.1 300 (人)………………………………………………………………………8 分（3） 客户人均损失的估计值为：550 0.05 650 0.2 750 0.4 850 0.25 950 0.1 765 (元)…………………14 分(注:若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣 1 分)17．解：(1) 解：假设直线 l过定点(a , b )，则2ka b42k0,即k(a2)b40关于k R恒成立，………2分a 20b 40a 2，b4，………4分所以直线l过定点，定点坐标为(2,4)………6分(2)已知点A(2,0),B(1,0)，设点P(x,y)，则PA2(x 2)2y2,PB2(x 1)2y2，PA 2P B ，PA 4P B2，(x 2)2y24[(x 1)2y2]所以点P(x,y)的轨迹方程为圆(x 2)2y24，………10分又点P(x,y)在直线l:kx y 42k 0上，所以直线l:kx y 42k 0与圆(x 2)2y24有公共点，………12分设圆心到直线的距离为d，则d|2k 042k|k21r 2，解得实数k的范围为k 3或k 3.………14 分18．解:(1)在直角ΔAO M中，AM 12sin24=62，O M 12cos =12cos24=62，则AD 12212 ，A B 2AM=122………2分所以S AB AD=122(122+12)=288+1442（平方米）………3分答：矩形ABCD的面积S为288+1442平方米.………4分(2)在直角ΔAO M 中，AM 12sin ，O M 12cos ，则AD 24cos 12，22所以矩形ABCD的面积S 24sin (24cos 12)288(2sin cos sin )，………8分0<q?p3………10分令f ()2sin cos sin ，0<q?p3，则f '()2cos2cos 4cos 2cos2，………12分令f '()0，得cos 331331p80832．设cos ，且0<q?，列表如下：0,00(,)03f '()0f ()↗极大值↘所以当时,f ()最大,即S最大．0此时cos03318………………15分答：当c os 为3318时，喷泉ABCD的面积S最大………………16分19.解：(1)由题意得:2a 22,c2 a2所以a 2,c 1,b a2c2211………2分故椭圆方程为x22y21，………4分(2)①设P(x,y),(x 0,y 0)0000，由M(0,m)，可得P(x,2m),Q(x,2m)00所以直线PM的斜率k 2m m mx x00，直线QM的斜率2m m3mk'x x00.……6分此时k1k，所以为定值k 3k13.………8分②设A(x,y),B(x,y)1122，直线PA的方程为y kx m，直线Q B的方程为y 3kx m.联立y kx mx2y212，整理得（2k+1）x24kmx 2m220，16k2m28(m由2m22 x x2k2121)(2k21))0，可得2m22x（2k21）x，2m22y kx m k（2k21）xm同理2m22x（18k21）x，2m22y 3kx m 3k（18k21）xm.………10分2011 11222所以x x12(2k232k2(m21)(18k1)21）x，2my y 3k（18k2222m22k1）x（2k21）x00，y y 2k(m21)(2k224k241)(18k21）x8k(m21)(2k26k211)(18k21）x，所以kAB y y6k211112(6k )x x4k4k12，………12分由m 0,x 0，可知k 0，所以6k01k266，当且仅当k 时取得等号.6由P(x,2m)0，m 0,x 0在椭圆C:x22y21上得x 28m2，m mk28m2此时m28m267，即m ，………14分67由0得，m22k21，所以k67，m 符号题意. 67所以直线AB的斜率的最小值，直线PA的方程为y67x67.………16分②法2：同上可得2m222m22x ；x（2k21）x（18k21）x00………10分因为kAB y y12,y kx m,y 3kx m112212所以kAB kx m13kxm2x x122m222m22k 3kx 3kx（2k21）x（18k21）x1200x x2m 22m 212（2k21）x（18k21）x0（2k （2k k2123k1）（18k211）（18k26k2111(6k )4k4k1）………12分1212x12x x221）下面同解法 1.20. 解：（Ⅰ）f(x )1 1( x 1) ln x 1 ln x x x ( x 1)2 ( x 1)2，…………2 分f(1)1 2， f ( x ) 在 x 11处的切线方程为 y f (1) ( x 1) 2, 即 x 2 y 1 0 …………4 分（2）(x ) m ln x x ,(m 0),令(x )m x10 ，得 x m ，在区间 (0, m ) 上，(x ) 0 ，函数x 是增函数；在区间(m , )上，(x )0，函数x是减函数;…………6 分故当 0<m1时, (x)在1,2上递减,(x ) max(1) 1.当1<m 2时,(x )先增后减,故(x )max(m ) m ln m m .当 m2时,(x )在 1,2上递增,此时(x )max(2) mln2-2.…………10 分(3)f (x )1 1 ln x x( x 1)2，令 1 g ( x ) 1 ln x x，g 1 1 1(x )0 ，则函数 g ( x ) 1 ln x 在 (0, ) 上单调递减，g (1) 2 0 ，x 2 x xg (e 2 )1 e 21 0 ，所以存在唯一的 x (1, e2 ) ，…………12 分0 当 x (0, x ) 时， f (x ) 0 ，当 x ( x , )时， f (x ) 0 ，所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, x ) ，单调递减区 0间是 ( x ,) ，其中 x(1, e 02 ) ，所以函数 f ( x ) 有极大值.…………14 分ln x 1 函数 f ( x ) 的极大值是 f ( x ) 0 ，由 f (x )0 ，得1 ln x 0 ， x 1 x 0 01 1ln x x 1 1所以 f ( x ) 0 0 ，因为 x (1, e 2 ) ，所以 1 ，即 f ( x ) 1 ，x 1 x 1 x x 0 0 0 0所以 f ( x ) 的极大值小于 1. …………16 分0 00 0 0。