山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案_石油大学出版社

习题七

1. 已知总体X 的概率密度为(1),01,

(,)0,

x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其他. 其中1θ>-为未知参

数,n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一组样本,试求θ的最大似然估计量. 解 构造似然函数11

()(;)(1)()n n

n

j

j

j j L f x x θθθθ===

=+∏∏,

故1ln ()ln(1)ln()n

i j L n x θθθ==++∑， 令

1

ln ()ln 01n

j j d L n

x d θθθ==+=+∑， 所以θ的最大似然估计量为 1

ˆ 1.ln n

j

j n

x

θ

==--∑

2. 已知总体X 的概率密度为(1),,

(,)0,C x x C f x θθθθ-+⎧>=⎨⎩

其他. 其中0>C 为已知，1

>θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，试求θ的矩估计量与最大似然估计量. 解 (1)()()1

c

C E X xf x dx x C x dx θθθ

θθ∞

∞

-+-∞

=

==

-⎰

⎰， 由1-=

θθC X ,所以θ的矩估计量为C

X X -=θˆ. 构造似然函数(1)

1

()n

j

j L C x

θθθθ-+==

∏, 12,,,,n x x x C >L

1

ln ()ln ln (1)ln ,n

j j L n n c x θθθθ==+-+∑

令方程

1

ln ()ln ln 0,n

j j d L n

n C x d θθθ==+-=∑ 所以θ的最大似然估计量为1

ln ln n

j

j n

X

n C

θ==

-∑)

.

3. 设总体X 服从参数为n ，p 的二项分布,n 为已知,p 为未知,),,,(21n X X X Λ是总体X 的一个样本,),,,(21n x x x Λ为其样本观察值,试求

(1) 参数p 的矩估计量和最大似然估计量; (2) p 与()1p -之比的矩估计值.

解 (1)()E X np =，令()1,E X A X ==所以p 的矩估计量为ˆ.X

p n

=

构造似然函数()()

1

1,j

j j

n

n x x

x n j L p C p

p -==

-∏

取对数()()()1

ln ln ln ln 1,

j n

x n

j j j L p C

x p n x p =⎡⎤=

++--⎣⎦∑ ()()1

1

1

ln ln ln 1,j n

n

n

x n

j j j j j C

p x p n x ====

++--∑∑∑

令()()11

ln 110,1n n j j j j d L p x n x dp p p ===--=-∑∑ 所以p 最大似然估计量ˆ.X

p

n

= (2) 1p p -的矩估计值为.1X

X

n X n X

n

=

--

4. 设总体X 的概率密度为

1(1)(1),01,

(,)0,x x x f x θθθθ-⎧+-<<=⎨⎩

其它.

其中0>θ为未知参数,),,,(21n X X X Λ是总体X 的一个样本,试求

(1) 参数θ的矩估计量;

(2) 当样本观察值为（43.0,35.0,5.0,6.0,4.0,2.0）时,求未知参数θ的矩估计量; (3) 未知参数θ的最大似然估计量. 解 (1) ()()1

10

(1)(1)E X xf x dx x x x dx θθθ+∞--∞

==+-⎰⎰

()1

11

1

112000

1(1)(1)2

x dx x dx x x θθθθθθθθθθθθ++++=

+-+=-

+⎰

⎰

()122

θθθ

θθθ+=-

=++，

令()1,E X A X ==所以θ的矩估计量为2ˆ.1X

X

θ=

- (2) 0.20.40.60.50.350.43 1.24

63X +++++=

=

所以θ的矩估计量为 1.2423ˆ 1.409.1.2413

θ

⨯

==-

(3)

构造似然函数()1

1

(1)(1),n

j j j L x x θθθθ-==

+-∏

取对数 ()()()()1

ln ln ln 11ln ln 1n

j

j j L x

x θθθθ=⎡⎤=

+++-+-⎣⎦∑

()()

()1

1

ln ln 11ln ln 1,n n

j

j

j j n n x x θθθ===+++-+-∑∑

令()1

ln ln 0,1n

j j d L n n x d θθθθ==++=+∑得

()1211ln ,1n j j x c n θθθ=+=-=+∑ 即()(

)2

2210,

2c c c c

θθθ-±

+--==

由于0θ>

所以θ的最大似然估计量为(

)1

21ln .2n

j j c c x c

n θ=-=

=-∑)

5. 设总体X 的分布律为

2}1{θ==X p ，)1(2}2{θθ-==X p ，2)1(}3{θ-==X p

其中θ,)10(<<θ为未知参数,已知取得了样本值11=x ,22=x ,13=x ，试求未知参数θ的矩估计值和最大似然估计值.

解 ()2

2

22(1)3(1)32,E X θθθθθ=+⨯-+⨯-=-

令()132,E X A X θ===-所以θ的矩估计量为3ˆ,2X θ

-=又因为1214

,33

X ++== 所以4

353ˆ.26

θ

-

== 构造似然函数

()()()()()()()3

2251

,1,2,1,2121,j j L f x f f f θθθθθθθθθθθ====-=-∏