山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
概率论与数理统计(第三版)第三章课后答案
第三章随机向量X122C ；C ； 3c ； 53C ；C ； 25.4 (1) a=-95 12P{1<X < 乙 KYS 5张只2.5肝(1.3"仏5)—F(2.3 卜3 128<3)P{(X.r)eD}=f^『*6*必"制：［(6-〉”-討疗&T：(护-®+5討詁(护3+5”)|：=諾=善3.5 K： (1)y)工J： J：01 皿=f eP寸"血=(-<- UXr^ IS)=(1 -0X1 - 严)<2>P（rsx）= f：\f*如2严创;『dy =「2严（-八Qdx =J； 2宀（i十肚.j：（2宀》女肚=（・严3.6H： PC^ + JSa3.9B ： x 術加HK 昨通»斤（0为:饴X>1 或xvOirL /(xj) = Op斤0) = [4.8>・(2-如=4 83[2*4门：*8川卜2》+黑计Zr(x) = O y > 或 <00<><1A(x) = f>.8y(2 “妙=2 妒(2-纠；=2*(2-x)©SOSxMl 时，/t (x) = | 4.8y(2-x>A =2 4y :(2-x)|r =2 4工(2・兀)3・7參见课本后面P227的答案3.8 f x (x) = J ：/(x, >•>” J：訊如扌吟|：■专厶ox J ：討法訐£ 'X0SXS2AW= 2* 0苴它/iO)h3>20<> <1 0其它Zr(x)h [(沖0<x<l=V2工+3°"幻3其它0 其它0<> <23 60< v<2其它 b 其它Y的血利K率密度跚齐3为:® 当或<0时尸/(x f>) = 0, /}(>) = 0②当0 Sg 时，力3 = f 4.8>(2-x>ft = 4 8>[2x-lr]|； = 4.8口1 卜2)+ £y2] =2.4>(3-4y+>:)MO (1〉券见课本石面P227的答案3 J2聲见课本后面P228的答案313 (1) 6x(17 0<x<l 0 其它0^x<l其它0<y<l其它311參见课本后面P228的答案【3+卸对TO<x<irt, A(x)>o2 5 X 她缘分布 1 0.15 0.250350.75 30.050.18 0.02 0.2S布0.2 0.430.371由表格可知 P{X-l;Y-2b0.29/：P{X.l}P{Y-2)-0.3225对于0<y<2时，/；(i)>0?0<x<l6x 2+ln0<x<lTT3 6 0 ■其它o+y其它-3-咖2卄犒h=2<+兰30 »JiX X故p^X=x)P{Y=y)所以X与Y不独立由鮭僚件P {X二工;丫二)[} "{工=卫尸{ Y=y)则P{X =2;K=2} = P{X = 2}P{Y = 2}P(X=2；r = 3) = P{X= 2}P{Y = 3}y；P{x=?}=iCO""30<x<2, 时，几(力齐(>)=4冷—/(兀“当x>2或x<OH,当)〉1 或y<o时，A(x)/iO) = o=/(x?j) 所以，x与Y之硼互独立・(訐(2〉衽3・9中，f x(x) =‘2.4三(2-力»0<x<l其它A(J)=2.4r(3-4v +y2)b 0^ v<l 其它3.16 B (J 在 3.8 中f x M= 2Io OSxS2其它AO) = <3y2 0<j ^16其它Xr（或40）二2・4疋（2-力2・4丿（3-4，+护）“・7&?（2-如3-令+小*/Uy)，所以x与丫之冋不相5独NJ.17 解：二严=xe »)=匸心) f t(0=.匚fg 沁二 f* xe'(妇c以詁;芦希Z (x)/ o)=xe詁孑=fg >')故x与Y相歹檢立J・18聲见课本后面P228的答案。
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章知识题解析
习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,0,1 01第二次摸到白球第二次摸到红球，，第一次摸到白球；，第一次摸到红球，Y X 试求：（1）Y X 和的联合分布律；（2）{}.Y X P ≥解 （1） ),(Y X 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0. 第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1.因此由乘法定理得{}(,)}{(0,0)0P X Y P == {}11(,)(0,1)155P X Y ==⨯=第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为14. 第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为34.因此由乘法定理得{}433(,)(1,1)545P X Y ==⨯={}411(,)(1,0)545P X Y ==⨯=于是所求的分布律为Y 0 1X0 0151 15 35（2）{}.Y X P ≥={}{}{}4(0,0)(1,0)(1,1)5P P P ++=2. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。
试写出Y X 和的联合分布律.解 由X 表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3X -，所以(3)23Y X X X =--=-，X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为3,1,1,3，且(3,0.5)X b :于是{}{}311(,)(0,3)0()28P X Y P X ====={}{}123113(,)(1,1)1()228P X Y P X C ====={}{}223113(,)(2,1)2()228P X Y P X C ====={}{}311(,)(3,3)3()28P X Y P X =====而(,)(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),X Y =均为不可能事件.所求的Y X 和的联合分布律为 X 0 1 2 3Y1 038 38 0 3 18 0 0 183. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X 和的联合分布律.解 X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3Y0 0 0335 2351 0635 1235 235 2 135 635 3354. 设二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=. ,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f求:（1）常数k ； （2）{}3,1<<Y X P ； （3）{}5.1<X P ； （4）{}4≤+Y X P .解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得24220(,)(6)2(3)81f x y dxdy k x y dxdy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰,故18k =. 于是 6,02,24,(,)80, .x yx y f x y --⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它 {}{}1302(2) 1,3(,)6388DP P X Y f x y dxdyx y dydx <<=--==⎰⎰⎰⎰{} 1.5402627(3) 1.5832x y P X dydx --<==⎰⎰ (4）{}240262483x x y P X Y dydx ---+≤==⎰⎰.5. 设二维随机变量()Y X ,服从区域G 上的均匀分布，其中{}1,1≤≤=y x G ，试求关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实根的概率.解 二维随机变量),(Y X 在区域{}1,1≤≤=y x G 服从均匀分布，由G 的面积4A =，所以),(Y X 的概率密度为1, 1,1,(,)40, .x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它若关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根，则判别式240X Y ∆=-<t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根的概率为2112214111{40}{4}424x P X Y P X Y dydx --<=<==⎰⎰. 6. 设X 与Y 的联合概率密度为4, 01,01,(,)0, .xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 与Y 的联合分布函数(,)F x y解 22220,00,01,01(,)(,),01,1,1,011,1,1xyx y x y x y F x y ds f s t dt x x y y x y x y -∞-∞<<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪==≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩⎰⎰或7. 设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧∈=.,0,),( ,2),(其它G y x xy y x f 其中区域G 如图3-7所示，试求X 与Y 的边缘概率密度.解 3202, 02,()(,)40, .xx x xydy x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它23224(), 01,()(,)0, .y Y xydx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 8. 二维随机变量()Y X ,概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=. ,0,1 ,),(22其它y x y cx y x f图3-7试求:（1）确定常数c ；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得21112241114(,)(1)1221xf x y dxdy cx ydxdy cx x dx c +∞+∞-∞-∞--==-==⎰⎰⎰⎰⎰,故214c =. 于是2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(2) X 的边缘概率密度 212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它Y 的边缘概率密度5227, 01,()(,)20, .Y ydx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它 9. 设袋中有标记为14:的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X 表示首次抽到的卡片上的数字，Y 表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 . （1）求,X Y （）的概率分布； （2）给出X 与Y 的边缘分布；（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布和在Y=3下X 的条件概率分布.解 (1) X 的取值为1,2,3,4，Y 的取值为1,2,3,,X Y （）的概率分布为X 1 2 3 4Y1 1122122121122 1121121121123 1120 0112（2）给出X与Y的边缘分布X 1 2 3 4p1*******iY 1 2 3p12131iX下Y的条件概率分布（3）求在=4Y 1 2 3p131313i在Y=3下X的条件概率分布X 1 4ip121210. 在第8题中，试求（1）已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y发生时X的条件概率密度；（2）)/(xyfXY.解（1）2221,1,(,)40,.x y x yf x y⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它由5227, 01, ()(,)20,.Yydx y yf y f x y dx+∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它1()216Yf=已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y发生时X的条件概率密度21(,)1,2(/)212()0,2X YYf xxf xf⎧≤⎪==⎨⎪⎩其它（2）)/(xyfXY.由212242121(1), -11,()(,)480,.xxx ydy x x xf x f x y dy+∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它当-1<1x<时4221,1(,)(/)()0,Y XXy x x yf x yf y xf x⎧-≤≤==⎨⎩其它11. 设,X Y （）服从区域2:{(,)01}D x y y x ≤≤-上的均匀分布，设区域 2:{(,)}B x y y x ≥；（1）写出,X Y （）的联合密度函数； （2）给出X 与Y 的边缘密度函数； (3）求在1=-2X 时Y 的条件密度函数和在1Y=2时X 的条件密度函数；. （4）求概率P{(,)}X Y B ∈. 解 （1）区域D 的面积1214(1)3S x dx -=-=⎰. ,X Y （）的联合密度函数为 234,01(,)0,y x f x y ⎧≤≤-=⎨⎩其它 （2）X 与Y 的边缘密度函数；212033(1), -1<1,()(,)440, .x x dy x x f x f x y dy -+∞-∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它1,()(,)0, .Y y f y f x y dx +∞-∞⎧<⎪==⎨⎪⎩⎰其它 （3） 19()0216X f -=>，在1=2X -时Y 的条件密度函数 1(,)43,03412(/)10,2()2Y X X f y y f y f -<<⎧-==⎨⎩-其它1()02Y f => 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度1(,)1,2(/)2212()0,2X Y Y f x x f x f <⎪==⎨⎪⎩其它（4）概率2213P{(,)}(,)42x xBX Y B f x y dxdy dx dy -∈===⎰⎰⎰ 12. 二维随机变量()Y X ,概率密度为3, 01,0,(,)0, .x x y x f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其它求11P{}84Y X ≤= 解 2033, 01,()(,)0, .xx xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它从而 1,0(,)(/)0,()Y X X x y xf x y f y x f x ≤<⎧==⎨⎩其它于是 14,01(/)440,Y X y f y x ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其它从而18180111P{}(/)844142Y X Y X f y x dydy -∞≤=====⎰⎰13. Y X ,相互独立，()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 812x 81{}j j p y Y P ⋅==61完成上述表格中的空格.解. Y X ,相互独立，有的可能取值),(j i y x 有{}{}{}j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,，1,2;1,2,3.i j ==()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 12481112 14 2x 813814 34{}j j p y Y P ⋅== 61 121314. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 p41 21 41 p 2121 已知 {}01P XY ==.试求 （1）X 与Y 的联合分布律；（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？解 （1）由{}01P XY == 可知{}00P XY ≠=故 {}{}1,11,10P X Y P X Y =-===== 因而 {}{}11,014P X Y P X =-===-={}{}11,014P X Y P X ====={}{}{}{}0,001,01,0111()0244P X Y P Y P X Y P X Y ====-=-=-===-+=X 与Y 的联合分布律()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表Y X 1- 0 1 {}j j P Y y p ⋅==0 1414 12 1 0120 12{}i i P X x p ⋅== 141214由以上结果 {}0,00P X Y ===， {}10}{04P X P Y ===，于是X 与Y 不独立. 15. 二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0 ,2),()2(其它y x e y x f y x试求（1）X 与Y 是否相互独立？为什么？；(2）{}2,1><Y X P ，)1/(/x f Y X 与)/(/y x f Y X ，其中.0>y 解 （1）X 的边缘概率密度 (2)02, 0,()(,)0, .x y x x edy e x f x f x y dy +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 Y 的边缘概率密度(2)2022, y 0,()(,)0, .x y y Y edx e f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 对于任意的常数y x ,有)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=.所以X 与Y 是否相互独立（2）{}1(2)45021,2(,)2x y DP X Y f x y dxdy e dxdy e e +∞-+--<>===-⎰⎰⎰⎰(2)/2(,1)2(/1)(1)2x xX Y Y f x e f x e f e-+--=== 与 (2)0/2, 0,(/)()0, .x y x X Y X edy e x f x y f x +∞-+-⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰其它，其中.0>y 16. X 与Y 是相互独立的随机变量,X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY（1） 试求X 与Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率.解（1）X 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度21, 01,0,(,)()()20, .yX Y e x y f x y f x f y -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩其它 （2）含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根，则判别式2440X Y ∆=-≥a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根的概率为222221112220000{0}{}1(1)12yx x x P X Y P X Y dx e dy edx dx----≥=≥==-=-⎰⎰⎰1(1(0=））=0.144517. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于65”的概率.解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量X 与YX 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为1, 01,()0, .Y y f y <<⎧=⎨⎩其它 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度1, 01,01,(,)()()0, .X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其它 事件“两数之和小于65”的概率. 556600525{}672x P X Y dxdy -+<==⎰⎰ 18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 0.001的指数分布，即Y 的概率密度为0.0010.001,0,()0, .x e x f x -⎧>=⎨⎩其它现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率； (2)恰好用两根钻头的概率。
概率论~第三章习题参考答案与提示
第三章 习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
22．已知 X 、 Y 分别服从正态分布 N (0，32 ) 和 N (1，42 ) ，且 X 与Y 的相关系数 ρ XY = −1/ 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ； （2）Y 与 Z 的相关系数 ρYZ ； 答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态 分布的性质。
X
Y
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
求：（1） EX ， EY ， DX ， DY ；
（2）( X ， Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示： （1） EX = 0.7 ， DX = 0.21， EY = 0.6 ， DY = 0.24 。
（2） EXY = 0.4 ； Cov ( X ,Y ) = −0.02 ， ρXY = 0.089 ；
（1） X 的概率密度；
（2）Y = 1 − 2 X 的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的
几何意义及正态分布随机变量的性质。
（1） f (x) = 1 e−(x−1.7)2 /6 (−∞ < x < +∞) 6π
（2） f ( y) = 1 e−( y+2.4)2 / 24 2 6π
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
山东科技大学概率论卓相来岳嵘第一章习题解析
习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间：（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）{}10,11,;S = （2）{}1),(22<+=y x y x S ，（3）{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S .其中0表示次品，1表示正品.2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.”2.【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反 3.设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生，B 与C 不发生. （2）A 与B 都发生，而C 不发生. （3）C B A ,,中至少有一个发生. （4）C B A ,,都发生. （5）C B A ,,都不发生.（6）C B A ,,中不多于一个发生. （7）C B A ,,中不多于两个发生. （8）C B A ,,中至少有两个发生.3.【解】（1） A BC （2） AB C （3）A ∪B ∪C （4）ABC (5) C B A (6) C B C A B A ⋃⋃(7) A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8) AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC= AB ∪BC ∪CA .4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”.（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ； （3）什么时候关系式B C ⊆正确； （4）什么时候等式B A =成立.4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.5.盒中有10只晶体管. 令i A 表示“10只晶体管中恰有i 只次品”， B 表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C 表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件(0,1,2,3)i A i =，B ，C 之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？5. ,0,1,2,3i A B i ⊂=；0123,,,,A A A A C 两两互不相容，B 与C 互不相容；B 与C 互逆。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
概率论与数理统计第三章课后习题答案概率论与数理统计第三章课后习题答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3）P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===??得 A =12（2）由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=??(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--??-->>?==?? 其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈?5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==??故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=??130213(6)d d 88k x y y x =--=?? (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=?(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=??题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2）P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ?<而55e ,0,()0,.y Y y f y -?>=?其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --<<>?==??且其他.5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x-==-+≈7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?其他.8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤??求边缘概率密度.【解】()(,)d X fx f x y y+∞-∞=?x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ??--≤≤?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ?-?-+≤≤?=??其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度.【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--??>?=??其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --??>?=??其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1） (,)d d (,)d d Df x y x y f x y xy+∞+∞-∞-∞如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==??得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=?212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ??--≤≤??==其他()(,)d Y f y f x y x+∞-∞=?522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -??≤≤??==其他11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=?<<<.,0,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d Xf x f x y y +∞-∞=?1d 2,01,0,.x x y x x -?=<111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞=+-<<??其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ?<其他, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y<<?-?==-<<?+其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===?=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===?g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.XYX Y14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1）因1,01,()0,Xx fx <21e ,1,()20,yY y f y -?>?==其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ?=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=??21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x yx yπ-==-Φ-Φ=??15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2）当0<="" p="">）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==??33610231010=d 2z zy yzy +∞-=题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==??336231010101=d 12y yzy z +∞-=-即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ?-≥=<<??其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ?≥=<<??其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<="" p="">44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ?-=-<=-Φ=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-= ? ?-= ???-??= ???∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 (4)类似上述过程，有26 3 9 4 9 2 520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R+≤?=其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=> 0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r r R r r R θθ=??3/83;1/24==(2){0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=??21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===?（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x≤≤<≤?=其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x=≤≤?=其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余。
概率论与数理统计习题及答案 第三章
《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。
则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。
山东科技大学2011-2012学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷(A卷)
山东科技大学2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）一、计算题（共18分）1、(6分)设随机事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，计算 （1）)(AB P (2) )(B A P2、（6分）甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？3、（6分）甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 甲机器生产的零件是乙机器生产的两倍，今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率。
二、解答题（共64分）1、（8分）设连续性随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=其他,021,)(2x Kx x f ，计算（1）求常数K 的值； （2）求随机变量X 的分布函数； （3）计算)10(<<X P 。
2、（10分）二维随机变量),(Y X 的联合密度函数⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()23(y x Ke y x f y x ，求（1）常数K ； （2）Y X ,的边缘密度函数； （3）计算)(Y X P ≤。
3、（10分）设二维随机变量),(ηξ的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它11),(22y x y x p π问ξ与η是否独立？是否不相关？4、（8分）设X 与Y 独立同分布，且2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求Z X Y =+的概率密度。
5、（10分）用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X Y 和为随机变量，分布分别为211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为19,,x x 和16,,,y y 并算得99211370.80,15280.17,ii i i xx ====∑∑66211204.60,6978.93.ii i i yy ====∑∑（1） 检验X Y 和的方差有无明显差异（取0.05α=）. （2） 利用(1)的结果，求12μμ-的置信度为0.95的置信区间. 6、（10分）设是取自总体X 的一个样本，其中X 服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值求的矩估计值与最大似然估计值。
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习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,0,1 01第二次摸到白球第二次摸到红球，，第一次摸到白球；，第一次摸到红球，Y X 试求：（1）Y X 和的联合分布律；（2）{}.Y X P ≥解 （1） ),(Y X 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0. 第一次取到白球的概率为15，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1.因此由乘法定理得{}(,)}{(0,0)0P X Y P == {}11(,)(0,1)155P X Y ==⨯=第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为14. 第一次取到红球的概率为45，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为34.因此由乘法定理得{}433(,)(1,1)545P X Y ==⨯={}411(,)(1,0)545P X Y ==⨯=于是所求的分布律为Y 0 1X0 015 1 15 35（2）{}.Y X P ≥={}{}{}4(0,0)(1,0)(1,1)5P P P ++=2. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。
试写出Y X 和的联合分布律.解 由X 表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3X -，所以(3)23Y X X X =--=-，X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为3,1,1,3，且(3,0.5)X b于是{}{}311(,)(0,3)0()28P X Y P X ====={}{}123113(,)(1,1)1()228P X Y P X C ====={}{}223113(,)(2,1)2()228P X Y P X C ====={}{}311(,)(3,3)3()28P X Y P X =====而(,)(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),X Y =均为不可能事件.所求的Y X 和的联合分布律为 X 0 1 2 3Y1 038 38 0 3 18 0 0 183. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X 和的联合分布律.解 X 的取值为0,1,2,3，Y 的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3Y0 0 0335 235 1 0 635 1235 2352 135 635 3350 4. 设二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(),(其它y x y x k y x f求:（1）常数k ； （2）{}3,1<<Y X P ； （3）{}5.1<X P ； （4）{}4≤+Y X P .解 （1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得24220(,)(6)2(3)81f x y dxdy k x y dxdy k x dx k +∞+∞-∞-∞=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰,故18k =. 于是 6,02,24,(,)80, .x yx y f x y --⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它 {}{}132(2) 1,3(,)6388DP P X Y f x y dxdyx y dydx <<=--==⎰⎰⎰⎰{} 1.5402627(3) 1.5832x y P X dydx --<==⎰⎰ (4）{}240262483x x y P X Y dydx ---+≤==⎰⎰.5. 设二维随机变量()Y X ,服从区域G 上的均匀分布，其中{}1,1≤≤=y x G ，试求关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实根的概率.解 二维随机变量),(Y X 在区域{}1,1≤≤=y x G 服从均匀分布，由G 的面积4A =，所以),(Y X 的概率密度为1, 1,1,(,)40, .x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 若关于t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根，则判别式240X Y ∆=-<t 的一元二次方程02=++Y Xt t 无实数根的概率为2112214111{40}{4}424xP X Y P X Y dydx --<=<==⎰⎰. 6. 设X 与Y 的联合概率密度为 4, 01,01,(,)0, .xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 与Y 的联合分布函数(,)F x y解 22220,00,01,01(,)(,),01,1,1,011,1,1x yx y x y x y F x y ds f s t dt x x y y x y x y -∞-∞<<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪==≤≤>⎨⎪>≤≤⎪>>⎪⎩⎰⎰或7. 设X 与Y 的联合概率密度为 y⎩⎨⎧∈=.,0,),( ,2),(其它G y x xy y x f 02=-xy其中区域G 如图3-7所示，试求X 与Y 的边缘概率密度. 2 解 3202, 02,()(,)40, .x x x xydy x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 23224(), 01,()(,)0, .y Y xydx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 8. 二维随机变量()Y X ,概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=. ,0,1 ,),(22其它y x y cx y x f试求:（1）确定常数c ；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得21112241114(,)(1)1221xf x y dxdy cx ydxdy cx x dx c +∞+∞-∞-∞--==-==⎰⎰⎰⎰⎰,故214c =. 于是2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(2) X 的边缘概率密度 212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它Y 的边缘概率密度522217, 01,()(,)420, .y y Y x ydx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 9. 设袋中有标记为14的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X 表示首次抽到的卡片上的数字，Y 表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求,X Y （）的概率分布；（2）给出X 与Y 的边缘分布；（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布和在Y=3下X 的条件概率分布.图3-7 O解 (1) X 的取值为1,2,3,4，Y 的取值为1,2,3,,X Y （）的概率分布为X 1 2 3 4Y1 112 212 212 112 2 112 112 112 1123 112 0 0 112（2）给出X 与Y 的边缘分布X 1 2 3 4i p 14 14 14 14Y 1 2 3i p 12 13 16（3）求在=4X 下Y 的条件概率分布Y 1 2 3i p 13 13 13在Y=3下X 的条件概率分布X 1 4i p 12 1210. 在第8题中，试求（1）已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度；（2）)/(x y f X Y .解 （1）2221, 1,(,)40, .x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它由522217, 01,()(,)420, .y y Y x ydx y y f y f x y dx +∞--∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 172()216Y f = 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度212(,)132,2(/)212()0,2X Y Y f x x x f x f ⎧≤⎪==⎨⎪⎩其它（2）)/(x y f X Y .由212242121(1), -11,()(,)480, .x x x ydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它当-1<1x <时4221,1(,)(/)()0,Y X X y x x y f x y f y x f x ⎧-≤≤==⎨⎩其它11. 设,X Y （）服从区域2:{(,)01}D x y y x ≤≤-上的均匀分布，设区域 2:{(,)}B x y y x ≥；（1）写出,X Y （）的联合密度函数； （2）给出X 与Y 的边缘密度函数； (3）求在1=-2X 时Y 的条件密度函数和在1Y=2时X 的条件密度函数；. （4）求概率P{(,)}X Y B ∈. 解 （1）区域D 的面积1214(1)3S x dx -=-=⎰. ,X Y （）的联合密度函数为 234,01(,)0,y x f x y ⎧≤≤-=⎨⎩其它（2）X 与Y 的边缘密度函数；212033(1), -1<1,()(,)440, .x x dy x x f x f x y dy -+∞-∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 11331, 0<1,()(,)420, .y y Y dx y y f y f x y dx -+∞---∞⎧=-<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 （3） 19()0216X f -=>，在1=2X -时Y 的条件密度函数 1(,)43,03412(/)10,2()2Y X X f y y f y f -<<⎧-==⎨⎩-其它13()0222Y f => 已知事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21Y 发生时X 的条件概率密度122(,)1,2(/)2212()0,2X Y Y f x x f x f ⎧<⎪==⎨⎪⎩其它（4）概率221121232P{(,)}(,)42x xBX Y B f x y dxdy dx dy --∈===⎰⎰⎰⎰ 12. 二维随机变量()Y X ,概率密度为3, 01,0,(,)0, .x x y x f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其它求11P{}84Y X ≤= 解 2033, 01,()(,)0, .xx xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它从而 1,0(,)(/)0,()Y X X x y x f x y f y x f x ≤<⎧==⎨⎩其它于是 14,01(/)440,Y X y f y x ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其它从而18180111P{}(/)844142Y X Y X f y x dydy -∞≤=====⎰⎰13. Y X ,相互独立，()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 812x 81{}j j p y Y P ⋅== 61完成上述表格中的空格.解. Y X ,相互独立，有的可能取值),(j i y x 有{}{}{}j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,，1,2;1,2,3.i j ==()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表X Y 1y 2y 3y {}⋅==i i p x X P1x 1248111214 2x 813814 34{}j j p y Y P ⋅== 61 121314. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为X -1 0 1 Y 0 1 p41 21 41 p 2121已知 {}01P XY ==.试求 （1）X 与Y 的联合分布律；（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？解 （1）由{}01P XY == 可知{}00P XY ≠=故 {}{}1,11,10P X Y P X Y =-===== 因而 {}{}11,014P X Y P X =-===-={}{}11,014P X Y P X ====={}{}{}{}0,001,01,0111()0244P X Y P Y P X Y P X Y ====-=-=-===-+=X 与Y 的联合分布律()Y X ,的联合分布律及关于X ，关于Y 的边缘分布律部分数值如下表Y X 1- 0 1 {}j j P Y y p ⋅==0 141412 1 0120 12{}i i P X x p ⋅== 141214由以上结果 {}0,00P X Y ===， {}10}{04P X P Y ===，于是X 与Y 不独立. 15. 二维随机变量()Y X ,概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. ,0,0,0 ,2),()2(其它y x e y x f y x试求（1）X 与Y 是否相互独立？为什么？；(2）{}2,1><Y X P ，)1/(/x f Y X 与)/(/y x f Y X ，其中.0>y 解 （1）X 的边缘概率密度(2)02, 0,()(,)0, .x y x x edy e x f x f x y dy +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 Y 的边缘概率密度(2)2022, y 0,()(,)0, .x y y Y edx e f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 对于任意的常数y x ,有)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=.所以X 与Y 是否相互独立（2）{}1(2)45021,2(,)2x y DP X Y f x y dxdy e dxdy e e +∞-+--<>===-⎰⎰⎰⎰(2)/2(,1)2(/1)(1)2x xX Y Y f x e f x e f e-+--=== 与 (2)0/2, 0,(/)()0, .x y x X Y X edy e x f x y f x +∞-+-⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰其它，其中.0>y 16. X 与Y 是相互独立的随机变量,X 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY（1） 试求X 与Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率.解（1）X 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-. ,0,0 ,21)(2其它y e y f yY 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度21, 01,0,(,)()()20, .yX Y e x y f x y f x f y -⎧<<>⎪=⋅=⎨⎪⎩其它（2）含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根，则判别式2440X Y ∆=-≥a 的二次方程022=++Y Xa a ，若 a 有实根的概率为222221112220000{0}{}11(1)1222yx x x P X Y P X Y dx e dy edx e dxππ----≥=≥==-=-⎰⎰⎰⎰12(12(0ππ=-ΦΦ）+）=0.144517. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于65”的概率.解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量X 与YX 在（0,1）上服从均匀分布，X 的概率密度为1, 01,()0, .X x f x <<⎧=⎨⎩其它Y 在（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为1, 01,()0, .Y y f y <<⎧=⎨⎩其它 因为X 与Y 是相互独立的随机变量, X 与Y 的联合概率密度1, 01,01,(,)()()0, .X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其它 事件“两数之和小于65”的概率. 556600525{}672x P X Y dxdy -+<==⎰⎰18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 0.001的指数分布，即Y 的概率密度为0.0010.001,0,()0, .x e x f x -⎧>=⎨⎩其它现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率； (2)恰好用两根钻头的概率。