高数试题下
高数试题
一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.设直线1724
:121x y z l -+-==
-，26,:23,x y l y z -=??+=?
则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）
2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6
π. 2.函数 z = xe 2y
在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ].
2233
();();();().2222
A B C D -
- 3.函数2222
221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?
+≠?+=??+=?
在(0, 0)点[ ].
(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。 4.积分
1
1
220
x
dx x y x dy -=?
?[ ].
1
111()
()
()
()
3
4
12
24
A B C D 。 5.设是由x 2
+ y 2
+ z 2
= 1所围成的区域，则三重积分
||
z e
dv Ω
=???[ ].
3()
()()
()2.2
2
A B C D π
π
ππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是
2.设2224,:3,
x y z z ?++=?Γ?=??则2
x ds Γ
=?? 3. 满足微分方程初值问题20
d (1)d 1 x
x y y e
x y =?=+???=? 的解为y ＝ ．
4.设z = ln(1 + x 2
+ y 2
), 则(1,2)dz =
三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．
四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2
+ y 2
1上的最大值和最小值。.
五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为 = x 2 + y 2
, 求该物体的质量. 六、（9分）设直线0,:30,
x y b L x ay z ++=??
+--=?在平面 上，而平面 与曲面z = x 2 + y 2
相切于(1, 2, 5)，求
a ,
b 的值。.
七、（9分）计算曲面积分
333
()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑
++++++++?? 其中为由圆锥面x 2
+ y 2
= z 2
与上半球面x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
(R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)L
xydx Q x y dy +?与路径无
关，且对任意t ，有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+?
?
，求Q (x , y ).
九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足
01()()()d 01
x
f x f x f t t x '+-
=+?， (0)1f =. 1. 求()f x '；
2. 证明：当0x ≥时，()x
f x e -≥．
答案 一、；；；；.二、1. 24231x y z --==
-；2.1233dz dx dy =+；3. tan(1)4x
y e π=+-；4. 10(1)(2)3
n n n n x ∞
+=--∑； 三、1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、6
11245
a , 六、a = 5,
b = 2.
七、5
9
(22)5
R π.八、Q (x , y ) = x 2
+ 2y – 1.
高数试题
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；
(C) 00000
lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→?-?-?=，2
2
()()x y ρ=?+?；
(D) 00000
(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y x
ρρ
→?-?-?=.
2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].
(A) 4
4
()R r πμ-； (B) 441()2
R r πμ-；
(C) 441()4R r πμ-； (D) 44
1()6
R r πμ-.
3. 微分方程x
x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）
(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x
x e c x b ae y 32)(*++=；
（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x
x cxe e b ax y 32)(*++=
4. 设Ω是由球面2222
(0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则
222x y z dv Ω
++???
= [ ]
(A) 443
a π； (B) 44a π； (C) 4
a π； (D) 4
12
a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1. 已知3a =r
，26b =r ，72a b ?=r r ，则a b ?=r r
2．函数),(y x f 2
2
y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为
3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ
++?
=
4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22
z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面
1234x y z
++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑
++??=
6. 以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线
723
123
x y z ---==
的距离. 2．已知一平面通过球面x 2
+ y 2
+z 2
= 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L :0
0x y z =??+=?
, 求（1）该平面
的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y
x u
???2.
4．计算二重积分
D
x ydxdy ??
，其中D 是由两条抛物线y x =，2
y x =所围成的闭区域. 5求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0) 3
x y xy y y '''
?+=?'==?．
四、 (8分)计算积分2
22(cos cos cos )I x
y z dS αβγ∑
=
++??, 是抛物线z = x 2 + y 2被z = 4割下的有限部
分的下侧, cos , cos , cos 是上各点法线方向余弦.
五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且(1)2f =，对任一闭曲线L 有
34()0L
x ydx f x dy +=??。求曲线积分
3
4()L
x ydx f x dy +?
?的值.其中L 是圆周4)2()2(22=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧. 六、(8分)经过点1(2,1,)3
P 作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.
七、(6分) 设函数f (x )在[1, +)上连续，由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为
2()[()(1)]3
V t t f t f π
=
-，
又已知2
(2)9
f =，求f (x ).
答案 一、；；；.二、1.
30；2.(1, 1)；3；
；5. 461；6. y
+ 4y = 0. .
三、1. 33; 2.y + z = 0, 22241600.
x y x y z ?+-+=?=?; + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ; 4. 655; 5. y = x 3
+
3x + 1.四、
643π.五、68, 六、163x y z ++=.七 3
1x
y x
=+.
高数试题
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数2
22)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2
+ y 2
1上的最小值为[ ]
(A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。 2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=??
y
dx y x f dy 0
1
),( [ ].
(A)
?
?1
10
),(y
dx y x f dy ； (B) ??y
dx x y f dy 0
10
),(； (C) ??1
1
),(x
dy y x f dx ； (D) ??x
dy y x f dx 0
1
),(.
3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则???Ω
++dv z y x )(= [ ]
(A)
61； (B) 81； (C) 121； (D) 24
1. 4. 设y 1 , y 2是二阶线性方程y + P (x )y + Q (x )y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．
(A) 12210''+=y y y y ； (B) 12210''+≠y y y y ； (C) 12210''-=y y y y ； (D) 12210''-≠y y y y ．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1. 已知1||=a ρ
，2||=b ρ
，a ρ
与b ρ
的夹角为
4
π
，则=+||b a ρρ 2．设是由曲面221y x z --=与z = 0围成的立体，则的形心坐标为 3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分
?Γ
++ds z y x )(=
4. 设为锥面22y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=??∑
zdS ．
5. 若方程y
+ y tan x =
2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0
()
lim
→=x f x x
＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）
1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.
2．求函数u = x 2
+ 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2
+ 2y 2
+ 3z 2
= 6在该点的外法线方向的方向导数。 3．计算二重积分
??D
ydxdy ，其中D 是由y = x – 4与y 2
= 2x 所围成的闭区域. 4．如果y = f (x )满足2
1()2-?=
?+?-x y x o x x x
，且f (1) = 1, 求f (x )．
5．若 (x )连续，且满足方程0
()e ()()???=+-?
?x x
x
x t t dt x t dt ，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初
值问题；(2)求 (x ).
四、 (8分)一质点在力j y x i y x F ρρ)sin ()(2
2
+--=的作用下，由点O (0, 0)沿上半圆22x x y -=移到点
A (1, 1)，求力F ρ
所作的功.
五、(8分)计算曲面积分xydxdy zdzdx y xzdydz ++??
∑
，其中是由抛物面3z =x 2 + y 2
和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.
六、(8分)设函数f (x , y )有二阶连续偏导数，满足02=???y
x f
，且存在一元函数h (u )，使)(),(22y x h y x f +=，
求f (x , y ).
七、(5分)设F (x , y ) = (f 1(x , y ), f 2(x , y ))是(x 0, y 0)某邻域内定义的向量函数，定义
),(),(||),(),,((||222121y x f y x f y x f y x f +=
为
(f
1
(x , y ), f
2
(x , y ))的模， 如果
)(||),(),(),(||220000y x o y D x C y B x A y x F y y x x F ?+?=?+??+?--?+?+，其中A , B , C , D 是与x , y
无关而仅与x 0, y 0有关，)(22y x o ?+?是22y x ?+?的高阶无穷小，则称F (x , y )在(x 0, y 0)点可微，记为
),(|),(),(00y D x C y B x A y x dF y x ?+??+?=
设),(arctan ),(22y x x
y
y x F +=，求)1,1(|),(y x dF 。 答案 一、；；； .二、1. 5；2. 83 ；3. 146；4.
π23
2
；5. 2.
三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2.
14
17; ; 4. 22-x x ; 5..
四、2sin 4167+-
. 五、π2794. 六、2221)(2
1
C y x C ++. 七、),(2
1y x y x ?+??+?-.
高数试题 一、选择题
1．设=
),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].
（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 （C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在 2．设平面 的法向量为),,(C B A n =ρ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =ρ
，则
p
C
n B m A ==是平面 与直线L 的垂直的[ ].
(A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件.
3．设 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2
，则下列结果正确的是[ ]. (A) ??∑
=++0)(2
dS z y x ； (B) ??∑=334R dS π； (C) ??∑
=++0)(222dS z y x ； (D) ??∑
=++4
2224)(R dS z y x π. 4．
5．设曲线1),(:=y x f L （),(y x f 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是[ ]. （A ）?T
dx y x f ),( （B ）?T
dy y x f ),(
（C ）
?
T
ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y T
x ),(),('+'?
二、填空题
1．设3||=a ?
，1||=b ρ，6
),(π=∧b a ρρ，则b a ρρ+在b a ρρ-上的投影为
2.交换积分次序
?
?--2
222
1
),(x x x
dy y x f dx 为 ?
?-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy
3. 设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则?++L
ds y x 2||||1
= 4.
5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-?所确定，其中)(u ?有连续导数，则=??+??y
z
b x z a
三、计算题
1. 设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
???2。
2. 求曲面2
2
y x z +=的与直线?
??=+=+221
2z y z x 垂直的切平面。
3.计算二重积分??
-D
dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0=x 所围成的平面区域.
4.求
??∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，
是抛物面2
2
y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，法向
量与z 轴正向成锐角。
5. 求解初值问题32,
(1)1,(1)2,xy y x y y '''?-=?'==?
四、设球体占有闭区域z z y x 2:2
2
2
≤++Ω，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。
五、(8分)求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离． 六、5．设)(x f 是非负连续函数，且
1)(2
=?
dx x f ，计算曲线积分
?
+-L
x dx e y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.
七、求32sin y y y x '''-+=的通解.
答案
一、, , , , . 二、， 2. 2.
?
?
-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy , 3.
23
4
, 4. 2
+ 2, 5. 1。
三、1. 21f e f x
z y
+?=??，
23211311212f f xe f e f xe e f y x z y y y y ++++?=??? 2. 222=-+z y x 。 3. 154， 4.2
π
- 5. 421424x x y =
++ 四、
π35
32
。 五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为
221015+ 和 2
2
1015-． 六、2
3e -
七、21231
e e cos sin 1010
x
x
y C C x x =++
+
高数试题 一、选择题
1．设 (x )为任意一个x 的可微函数， (y ) 为任意一个y 的可微函数，若已知22F f
x y x y
??≠
????，则F (x , y )是[ ].
(A) f (x , y ) + (x )； (B) f (x , y ) + (y )；
(C) f (x , y ) + (x ) + (y )； (D) f (x , y ) + (x ) (y ).
2．在曲线x = t , y = t 2, z = t 3
的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线[ ]. (A)只有1条； (B)只有2条； (C)至少3条； (D)不存在。
3．设f (x , y )是连续函数，D 是由y = x 2
, y = 0, x = 1所围的区域，且f (x , y )满足恒等式 (,)(,)D
f x y xy f x y dxdy =+??
则f (x , y ) = [ ]. (A)xy + 1； (B)12xy +
； (C)14xy +； (D)1
8
xy +。 4．
二、填空题
1．过点(3, 1, 4)且与y 轴相交，又与平面y + 2z = 0平行的直线方程为_______________. 2．交换积分次序
?
??
?
--+x
x x dy y x f dx dy y x f dx 20
21
20
1
),(),(2
为__________________.
3．设L 为圆周x = acost , y = a sin t (0 t 2), 则223()L
x y ds +?= _______________.
4．
三、计算下列各题 1．已知(
)y
x e y x f u +-=,22，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x u
x u ?????2，。
2．计算
(23)x y z dv Ω
-+???
，是半球面22
2z x y =--和旋转抛物面22z x y =+围成的立体。 3．求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。
4．求解初值问题00|,
t dy
ky
dt y y =?=???=?。
5．求
()x y z dS ∑
++??
，式中是平面y + z = 5被柱面22
25x y +=所截得的有限部分。 四、(8分)计算积分32I x dydz y dzdx zdxdy ∑
=++??，
是柱面x 2 + y 2 = a 2
在0
z h 部分外侧。
五、(8分)在抛物线1:22++=∑y x z 上求一点),,(0000z y x M )1,0,0(202000≤+≥≥y x y x 使∑在0M 处
的切平面与柱面21x y -=及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。
六、(8分)已知L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x 2
+ y 2
= 2x 到点(2, 0), 再沿圆周x 2
+ y 2
= 4到点(0, 2)
的曲线段。计算曲线积分233(2)L
I x ydx x x y dy =
++-?
。
七、(8分)
八、(6分)设有一半径为R 的球体，P 0
是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0
距离成
正比(比例常数k > 0)，求球体对于P 0的转动惯量。 答案：一、1．D ； 2．B ；3．D ；A 二、1．
314
384
x y z -++==
-；2．?
?
---y
y dx y x f dy 2111
2
),(；3．2a 7；4．32
三、1．解
122e x y u
xf f x
+?''=+?， 122e x y u
yf f y
+?''=-+?。 21112221222[(2)e ]e e [(2)e ]x y x y x y x y u
x f y f f f y f x y
++++?'=-+++-+?? 22111222242()e
e e x y
x y x y xyf x y f f f +++=-+-++ 2．解
2
(23)x y z dv Ω
-+??? = zdv Ω??? =
2
2
21
20
r r
d rdr zdz π
θ-?
??
= 1
24
012[(2)]2
r r r dr π--? =
7
12
π。 3．解 ()x y z dS ∑
++?? = (5)x dS ∑
+??
=
22225
(5)1(1)x y x dxdy +≤++-??
= 1252π
4．解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D , 则
1||1666
D D D ??= |D | = 6
故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = 6。
5．
四、解 设1：z = 0 (x 2 + y 2 a 2
)下侧；
1：z = h (x 2 + y 2
a 2
)上侧 12
12
3232I x dydz y dzdx zdxdy x dydz y dzdx zdxdy ∑+∑+∑∑+∑=
++-
++??
??
222
222
2
(321)0x y a x y a x y dxdydz dxdy hdxdy Ω
+≤+≤=
+++-
?????
??
222
220
3h
x y a x dxdy dz dxdydz a h πΩ
+≤=
+-??????
222
2222
3()2x y a h x y dxdy a h a h ππ+≤=
++-?? 2340033
24
a h d r dr a h πθπ==??
五、解 过0M 点的切平面方程为
2x 0(x – x 0) + 2y 0(y – y 0) – (z – z 0) = 0
即 1222
02000-+=-+y x z y y x x
立体的体积为 22
0000(221)D
V x x y y x y dxdy =+--+?? 1,0,0:22≤+≥≥y x y x D 22
00002()(1)34V x y x y π=
+-+-。 002032x V x π'=-=，002032y V y π
'=-=，
故所求的点为44
(,)33ππ
。
六、解 补充L 1：x = 0, y 从2到0，由L 和L 1围成的平面区域记为D ，由格林公式 1
1
23233(2)3(2)L L L I x ydx x x y dy x ydx x x y dy +=++--++-?
?
2
(2)D
dxdy y dy =
--???
42π
π=--
42
π
=
-
七、解 由题设a n > a n + 1，若lim 0n n a →∞
=，则交错级数
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛，与题设矛盾，故
lim n n a l →∞
= (l > 0).
由根值法，有111n l =<+， 故级数收敛。
八、解 以P 0点为坐标原点，球心在z 轴上建立坐标系，则球面方程为x 2 + y 2 + z 2
= 2Rz . 转动惯量为 32
2
22
()I k x
y z dxdydz Ω
=
++???
22cos 3220
sin R k
d d r r dr ππ
?
θ??=??
??
6
20
12sin (2cos )6k R d ππ???=?
664
21
k R π=
高数试题
一、选择题
1．设(,,)x y z a a a a =r
，(,,)x y z b b b b =r ，则//a b r r 的充要条件是[ ].
(A) ,,x x y y z z a b a b a b ===； (B) 0x x y y z z a b a b a b ++=； (C)
y x z x y z
a a a
b b b ==
； (D)
x y z x y z a a a b b b ++=++. 2．设22(,)f x y x y =+，则函数f (x , y )在原点（0，0）处[ ]. (A)连续且(0,0),(0,0)x y f f ''存在； (B) 连续且(0,0),(0,0)x y f f ''不存在；
(C) 不连续且(0,0),(0,0)x y f f ''存在； (D) 不连续且(0,0),(0,0)x y f f ''不存在。 3．设是球面2222:x y z R ∑++=所围成的闭区域，则下列结果正确的是[ ]. (A) 2
()0x y z dv Ω
++=???； (B) 22254()3x y z dv R πΩ++=???； (C)
()0x y z dv Ω
++=???； (D) 2222()4x y z dS R π∑
++=??
ò。 4．微分方程y + y = sin x 的一个特解的形式为[ ]
(A) sin Ax x ；(B) cos sin A x B x +；(C) cos sin Ax x B x +；(D) cos sin Ax x Bx x +。
5．设f (u )连续可微，且4
0()0f u du k =≠?，其中L 为圆周22y x x =-上从原点到点（2，0）的部分，则
22()()L
f x y xdx ydy ++=?
[ ]
(A) 0； (B) 2
k
； (C) k ； (A) 2k .
二、填空题
1．函数z = f (x , y )由方程2sin(23)23x y z x y z +-=+-所确定，则d z = _______________.
2．交换积分次序
?
?
--y
y dx y x f dy 11
1
),(为__________________.
3．设L 为圆周x = acost , y = a sin t (0 t 2
), 则2()L
x y ds +?= _______________.
4．设平面薄板所占闭区域D 由直线 x + y = 2，x = 2和y = 2围成 ，它在点(x , y )处的面密度为2
y ，则平面薄板的质量为____________。
5．微分方程10250y y y '''-+=的通解是__________。 三、计算下列各题
1．已知(,)y z f xy x
=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,,z z z
x y x y ???????。
2．一平面通过两平行直线
32321x y z ++==-和341
321
x y z +++==
-，求此平面方程。 3．计算22()x y dv Ω
+???，其中是由yoz 面上曲线2
2y x =绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面z = 8所围成的
闭区域。 4．求
4(2)3x y z dS ∑
+
+??，式中是平面1234
x y z
++=在第一卦限 的部分。 四、(8分)计算积分222()()()I y xz dydz z xy dzdx x yz dxdy ∑
=-+-+-??，
是锥面22(0)
z x y z h =
+≤≤的下侧。
五、(8分)求球面2222x y z a ++=的内接长方体，使长方体的体积最大。 六、(8分)一个体积为V ，外表面积为S 的雪堆，融化的速度是
dV
aS dt
=-，其中a 是正常数，假设在融化过程中雪堆的形状保持为22
(0)x y z h z h
+=-≥，其中h = h (t ), 问一个高度等于0h 的雪堆全部融化消失需要多少时间。
七、(4分) 设函数f (x )满足方程2()3()6xf x f x x '-=-，且由曲线y = f (x )，直线x = 1与x 轴围成的
平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D 的面积。
高等数学（下）2014年7月
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1. 设向量(2,2,5)a =--r
的起点坐标为(2,1,7)，则[ ]
（A ）a r 的终点坐标为(4,2,1)-； （B ）a r
的长度为6； （C ）a r
与y 轴的夹角为33
； （D ）a r 在z 轴上的投影为5。 2．设平面区域22
:1D x y +≤；221:1,0,0D x y x y +≤≥≥则下列等式不成立的是[ ]
(A )
22
ln()0D x x y d σ+=??
(B ) 1
2222141D
D x y d x y d σσ--=-- (C)
1
||4D
D xy d xyd σσ=???? (D) 1
22
4D
D xy d xy d σσ=???? 3．
4．设函数22
e ()x z x y =+则1(,0)2
-是该函数的[ ]. （A ）驻点但非极值点； （B ）驻点且极小值点； （C ）驻点且极大值点； （D ）极值点但非驻点.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
5．曲线x t y t z t ===
23213,,在点(,,)121
3
处的切线方程是_________. 6．交换积分次序
11
142210
4
(,)(,)y
y
y
dy f x y dx dy f x y dx +?
?
??=__________
7. 设f (x )可微分,2(3)x z f y z -=-，则2
3z z
x y
??+??= ___________. 8．若二阶常系数线性非齐次方程 )('"x f qy py y =++ 的三个解是：
)(21x x e e x y --+=，x x e xe y 22--+=，x x e x xe y 23)1(--++=，
则q p 42
-＝__________________.
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1. 求平面方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250，平行于向量(1,2,25)s =-r
，并且过点(,,)501。 2. 求二重积分arctan
D
y
dxdy x
??，其中D 由圆221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限的闭区域。
3. 设2
(,)y
z x f xy x
=，f 具有二阶连续偏导数，求2,z z y x y ?????。 4. 计算曲面积分1
I dS z ∑
=
??，其中是球面2222x y z ++=在锥面22z x y =+上方的部分。 5. 计算曲线积分2()L
x y ds +?
，其中L 是由点O (0,0)到A (0,1)的直线段和21y x -上从A (0,1)到B (1,0)
的圆弧组成。
四、（8分）求解二阶初值问题：??
?
?
???
==+=+0)0('0)0()2cos (214"y y x x y y .
五、（8分）修建一座容积为V ，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。
六、（8分）计算曲面积分332
223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-??
，其中是曲面221z x y =-- （0z ≥）的上侧。
七、（8分）设f (u )连续可微，L 为由23,3A ?
? ???
到()1,2B 的直线段，求
22
21()[()1]L
y f xy x dx y f xy dy y y ++-? 八、（6分）
答案 （2014年7月）
一、1：C ； 2：D ； 3：B ； 4：B 。
二、1：121
223
x y z --==-； 2：21
20(,)x x dx f x y dy ??； 3：1； 4：0
三、1．求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250，平行于以152525
5
,,-为方向余弦的直线，并且过点(,,)501。
解 所求平面的法向量为
112(425,225,1)1225
i j
k
n =-=----，
平面方程为(425)(5)(225)(1)0x y z --+---=。 2．求二重积分arctan
D
y
dxdy x
??，其中D 由圆221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限的闭区域。
解 22
4
013arctan 64D
y dxdy d rdr x π
θθπ==????。
3．设2
(,)y
z x f xy x
=，f 具有二阶连续偏导数，求2,z z y x y ?????。 解
2312121
()z x xf f x f xf y x
?=+=+?
2231111222122223()()z y y
x f x f y f f x f y f x y x x
?=+-++-?? 231211223)y
x f f x yf f x
=++-
。 4．计算曲面积分1I dS z ∑
=
??，其中是球面2222x y z ++=在锥面22z x y =+上方的部分。
解 22:2z x y ∑=--，22:1xy D x y +≤， 2222222211
1121()()2x y x y z z I dS dxdy dxdy z z x y x y ∑+≤+≤??=
==++=??--?????? 21
2
02
2ln 22d rdr r π
θπ=
=-?
?
5．计算曲线积分2()L
x y ds +?
，
其中L 是由点O (0,0)到A (0,1)的直线段和21y x =-上从A (0,1)到B (1,0)的圆弧组成。
解
1
2
2
22220
()(cos sin )(sin )cos L
x y ds y dy d π
θθθθθ+=++-+?
??
1132
π
=
++。 四、
五、修建一座容积为V ，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。
解 设长、宽、高分别为x ，y ，z , 则V xyz =，设单位造价为k ，则 2(22)3444S xy xz yz xy xy xz yz =+++=++ 设444()L xy xz yz V xyz λ=+++- 440x L y z yz λ=+-= 440x L x z xz λ=+-= 440z L x y xy λ=+-= V xyz =
解得 3x y z V ===。 六、计算曲面积分332
223(1)I x dydz y dzdx z
dxdy ∑
=++-??，其中是曲面221z x y =-- （0z ≥）的
上侧。
解 设22
1:0,(1)z x y ∑=+≤下侧
221
1
221
6()(3)x y I x y z dxdydz dxdy ∑+∑∑Ω
+≤=
-=+++
-????
?????
2
21
1200
06()3r d rdr r z dz π
θπ-=+-?
??
2
21
120
6()3r d rdr r z dz π
θππ-=
+-=-?
??
七、设f (u )连续可微，L 为由23,3A ??
???到()1,2B 的直线段，求2221()[()1]L
y f xy x dx y f xy dy y y ++-?
解 2221(),[()1]y f xy x P Q y f xy y y +==-，21P Q
f xyf y y x
??'=-++=??，所以积分与路径无关， 2(1,2)2222(3,)31()1[()1]()()()L
y f xy x x
dx y f xy dy dx dy f xy ydx xdy y y y y ++-=-++??
(1,2)
(1,2)22(3,)(3,)3
3
[()][()]4x x
d F xy F xy y y =
+=+=-?
。 八、设函数f (x )在[,]a b 上满足()a f x b ≤≤，|()|1f x q '≤<，令1()n n u f u -=，01,2,3,,[,]n u a b =∈L ，证明：级数
1
1
()n n n u
u ∞
+=-∑绝对收敛。
证明 1111|||()()||()()|||n n n n n n n n n u u f u f u f u u q u u ξ+---'-=-=-≤-
2
1211212|()()||()()|||n n n n n n n q f u f u q f u u q u u ξ-------'=-=-≤- 10||n
q u u ≤≤-L
01q <<，从而
1
n
n q
∞
=∑收敛，由比较审敛法，级数
1
1
()n n n u
u ∞
+=-∑绝对收敛。
高等数学（下）2015年7月
一、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求点0(1,1,1)P 到直线的距离
723
123
x y z ---==
。 2. 求曲线2226
x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线与法平面方程。
3. 函数2
u xy z =在点(1,1,1)-沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
4. (,)u f x xy =具有二阶偏导数，求2u
x y
???。
5. 计算二重积分
22229
(7321)x y x y x y dxdy +≤+-++??
。
二、（16分）
1. 求解微分方程的初值问题221|1x x y xy y ='?+=?=?
2. 已知点(0,0)O 与()1,1A ，且曲线积分?
22
(cos sin )(cos sin )OA
I ax y y x dx by x x y dy =-+-?
与路径无关，试确定a,b 的值并求出I 。 三、（8分）求2
()y y '''=的通解
四、（8
分）设函数22
2222()sin ,0,(,)0,
0,
x y x y f x y x y ???
?++≠?=?
?+=??， （1）求偏导数(,),(,)x y f x y f x y ；（2）讨论(,),(,)x y f x y f x y 在点（0, 0）处是否连续 （3）讨论(,)f x y 在点（0, 0）处是否可微分？
五、（8分）设cos ,cos ,cos αβγ为球面2222(0)x y z a a ++=>在点(,,)x y z 处的外法线方向余弦，求
cos ,cos ,cos αβγ，并计算曲面积分4441()x y z dS a
∑++??ò，∑是球面2222x y z a ++=。 六、（8分） 已知∑是2
2
2
(0)x y a a +=>在0x ≥的一半中被0,(0)y y h h ==>所截下部分的外侧，计算
2xyzdxdy xzdydz z dzdx ∑
++??
。
九、（8分）（1）设()y x 满足微分方程25x
y y y xe '''-+=，曲线()y y x =过原点，且在原点处得切线垂直于直线210x y +-=，求此直线方程. （2）()f x 在[0, 1]上连续，证明1
1
()
()0
1f x f y e
dx e dy -≥??。
答案：一、（1
）（2）切线
121
101
x y z -+-==
，法平面0x z -=；（3
；（4）21222f xf xyf ++；（5）99
2
π。 二、（1）。（2）2,2,2cos1a b ==。 三、
五、5125
a π。
六、32
3
a h 。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下考试题库(附答案)复习过程
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高数下A试题及答案
高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π .
3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
大学高等数学下考试题库(附答案)
. 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题 一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .
A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明： （1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。