初等数学研究答案1
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大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一
1答：原则：（1）A ⊂B
（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对
于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一
确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法
2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。Θa=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴，
假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，
由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a
，由，使得 则ac （3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即， ，由，使得 则ac>bc 。 3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。当a >b 时，由乘法 单调性知ac >bc. 当a （2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。当a >b 时，由 乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac a < b 。 （3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。当a 乘法单调性知ac 4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+ 763343='='+=+ 874353='='+=+ （2）313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅ 123333343=+⋅='⋅=⋅ 153434353=+⋅='⋅=⋅ 5证明：当n=1时，的倍数。是9181n 154n =-+ 假设当n=k 时的倍数。是91k 154k -+ 则当n=k+1时的倍数。是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++ 则对∀N n ∈，1n 154n -+是9的倍数. 6证明：当1n =时，141-=3-，n 21n 21-+=3-；则当1n =时成立。 假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k 21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241） （+-） =k 21k 21-+（21k 241） （+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。 7解：（1）01x 3x 1 32=---==+，则，αββαΘ （2）3311=-=---ββαα，Θ 13 1313A n 2n n 2n n n 2 n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++ 13 1311n 11n n n ） （）（-+-+---+-=βββαααβα 133131 n 1n n n ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+ （3）当n=1时，1013A 3 33=-=βα的倍数。是10 假设当n=k 时13A 3k 3k 3k βα-= 的倍数。是10 则当n=k+1时 131313 A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++ k 333k 3k 1013βαβα+-= 则对∀N n ∈，n 3A 是10的倍数. 8证明：；，，则，，使得，；，lar lc kaq kb ar c aq b Z r q c |a b |a ====∈∃∴Θ 。；）（lc kb |a a lr kq lc kb +∴+=+∴