第2课时 等比数列的性质
人教A版高中数学选择性必修第二册素养单元课后习题 第四章 数列 第2课时 等比数列的性质及应用
第2课时等比数列的性质及应用A级必备知识基础练1.在各项都为正数的等比数列{a n}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于( )A.33B.72C.84D.1892.在等比数列{a n}中,a4=24,a6=6,则a5=( )A.12B.-12C.±12D.153.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=( )A.6B.-6C.6.5D.±64.已知各项均为正数的等比数列{a n},a2a9=8,a5=2,则公比q为( )A.1B.22C.1D.445.(多选题)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为( )A.-36B.36C.-36√2D.36√26.在等比数列{a n}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6= .7.已知等比数列{a n}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17= .8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石(“石”为非国际通用单位),甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.B级关键能力提升练9.在正项等比数列{a n}中,a3=2,16a52=a2a6,则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是( )A.T3B.T4C.T5D.T610.两个公比均不为1的等比数列{a n},{b n},其前n项的乘积分别为A n,B n,若a5b5=2,则A9B9=( )A.512B.32C.8D.211.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数R0=3,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为( )(注:初始感染者传染R0个人为第一轮感染,这R0+1个人每个人再传染R0个人为第二轮感染)A.5B.6C.7D.812.在等比数列{a n}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,数列{b n}的前n项和为S n,当S11+S22+…+S nn取最大值时,求n的值.第2课时 等比数列的性质及应用1.C 设公比为q,则S 3=a 1(1+q+q 2)=21,且a 1=3,得q+q 2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=22·S 3=84.2.C 由等比数列{a n },可知a 52=a 4a 6=24×6=144,解得a 5=±12.3.A 由等比数列的性质可得,奇数项的符号相同,则a 5=√a 3a 7=√4×9=6.4.B a 2a 9=a 5a 6=8,而a 5=2,所以a 6=4,所以公比q=a 6a 5=2.5.CD 设{a n }的公比为q,则a 9+a 11=q 6(a 3+a 5),于是q 6=a 9+a 11a 3+a 5=14418=8,因此q 3=±2√2,所以a 6+a 8=q 3(a 3+a 5)=±36√2.故选CD.6.480 根据等比数列的性质可知a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列,即(a 3+a 4)2=(a 1+a 2)(a 5+a 6),故a 5+a 6=(a 3+a 4)·a 3+a 4a 1+a 2=120×12030=480.7.34 由a 2a 9a 16=64得a 93=64,即a 9=4.则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 17=log 2(a 1a 2…a 17)=log 2a 917=log 2417=34.8.12设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28q石、28石、28q 石,∴28q+28+28q=98,∴q=2或12.又0<q<1,∴q=12.9.A 依题意,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3q n-3=2·43-n =27-2n ,令a n >1,即27-2n >1,得n<72,因为n ∈N *,所以n≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A.10.A 因为A 9=a 1a 2a 3…a 9=a 59,B 9=b 1b 2b 3…b 9=b 59,所以A9B 9=a 5b 59=512.11.B 设经过第n 轮传染,感染人数为a n ,经过第一轮感染后,a 1=1+3=4,经过第二轮感染后,a 2=4+4×3=16,于是可以得知,每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,4为公比的等比数列,所以经过第n 轮传染,感染人数为a n =4n ,所以a 5=1024,a 6=4096,因此感染人数由1个初始感染者增加到人大约需要的传染轮数为6.12.解(1)∵a 1a 3+2a 2a 4+a 3a 5=25,由等比数列的性质可得a 22+2a 2a 4+a 42=25,∴(a 2+a 4)2=25.∵a 3=2,q ∈(0,1),则对任意的n ∈N *,可得出a n >0, ∴a 2+a 4=5.∴{a 3=a 1q 2=2,a 2+a 4=a 1q (1+q 2)=5,0<q <1,解得{a 1=8,q =12,因此,a n =a 1q n-1=8×12n-1=24-n .(2)b n =log 2a n =log 224-n=4-n,则数列{b n }为等差数列,可得S n =n (b 1+b n )2=n (3+4-n )2=7n -n 22,∴S n n=7n -n 22n=7-n 2,则S n+1n+1−S n n=7-(n+1)2−7-n 2=-12,∴数列S nn 为等差数列,则S11+S22+…+S nn=n(S11+S nn)2=n(3+7-n2)2=13n-n24=-14n-1322+16916,由n∈N*,可得n=6或n=7时,S11+S22+…+S nn取得最大值.。
18-19 第1章第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质学习目标：1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用．(重点)3.掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的单调性阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q ·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝12，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab .思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ [提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？ [提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.[基础自测]1．判断正误(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( )(3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( )[解析] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.[答案] (1)√ (2)× (3)×2．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．[解析] 因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1. [答案] (1，＋∞)3．4－23与4＋23的等比中项是________． [解析] 由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2. [答案] 2或－2[合 作 探 究·攻 重 难]且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列.【导学号：91022075】(1)解析：由已知得a ，b ，c 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2，c ＝8，故选D.[答案] D(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项，所以b 2＝ac ， (a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋acb 2＋acb 2＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋2acb 2＋b 2c 2 ＝(ab ＋bc )2.所以a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列． [规律方法] 应用等比中项解题的两个注意点：(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. [跟踪训练]1．(1)设x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，则x ＝________.(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则c a＋ac 的值为________．[解析] (1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4， 当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c 成等差数列，得⎩⎨⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c ，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋ac ＝1＋1＝2.[答案] (1)－4 (2)2n n 1n ＋1n 【导学号：91022076】(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[思路探究] (1)可借助a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ；(2)由题目条件列方程，得到等差数列{b n }的首项和公差，可求T n . [解] (1)因为a n ＋1＝2S n ＋1， ① 所以a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥1)， 又因为a 2＝2S 1＋1＝3，所以a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，可得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，并且a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 所以可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d ＞0，所以d ＝2，所以T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[规律方法] 求等差、等比数列的综合方法(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数的基本量a 1，d 或a 1，q 的作用，并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. [跟踪训练]2．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.【导学号：91022077】(1) 求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 故S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .[1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·q n －m .2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .(1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.[思路探究] 利用等比数列的性质求解． [解析] (1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2， a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128. (2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12 ＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝－128，a 8＝4， 因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2， 故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1. [答案] (1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n －1母题探究：1.(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10.[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7， 当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.母题探究：2.(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|.[解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229 ＝9.[规律方法] 等比数列的常用性质：性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N ＋).性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列. 性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列. 性质5：⎩⎨⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎨⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增；⎩⎨⎧ a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎨⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列.[当 堂 达 标·固 双 基]1．若数列{a n }是等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 10 C ．a 1a 9＝a 3a 7D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6C [根据等比数列的性质，知a 1a 9＝a 3a 7.]2．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( )【导学号：91022078】A ．4B ．32C ．169D ．3A [法一：因为a 6＝a 3·q 3， 所以a 3·q 3＝6. a 9＝a 6·q 3， 所以q 3＝96＝32. 所以a 3＝6q 3＝6×23＝4.法二：由a 3，a 6，a 9成等比数列，得a 26＝a 3·a 9， 所以36＝9a 3，所以a 3＝4.]3．数列{a n }为等比数列，它的前三项为m －1，m ＋1,2m ＋2，则m ＝________. [解析] 由题意知(m ＋1)2＝(m －1)(2m ＋2)，解得m ＝3. [答案] 34．在等比数列{a n }中，a 3＝2，公比q ＝2，b n ＝a 2n ，则b 10＝________. [解析] 由题意知a n ＝a 3q n －3＝2·2n －3＝2n －2， 则b n ＝22n －4，故b 10＝216. [答案] 2165．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：91022079】[解] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3， 所以a 1·a 2·a 3＝23＝8，因为a 22＝a 1·a 3，所以a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得 log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3.解得q ＝4或14，所以所求等比数列{a n }的通项公式为a n＝a2·q n－2＝22n－3或a n＝25－2n.。
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时 等比数列的性质 Word版含解析
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21， 解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？ 解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。
高中数学4-3-1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用新人教A版选择性必修第二册
琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八
度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最 初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 f2，第八个音的频率为 f8，则 ff82等于( A )
A． 2
B．3 2
C．4 2
D．6 2
[分析] 建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( C) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] (1)一年后的价格为：8 100×1－13＝5 400； 两年后的价格为：5 400×1－13＝3 600； 三年后的价格为：3 600×1－13＝2 400.
对点训练❸ 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分 别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 (D)
A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且 公比相同
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项
的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·____a_n_－_1____＝ ak·_____a_n－__k＋_1______＝a2n＋1(n 为正奇数)．
2
3．等比数列的运算的性质
第二课时等比数列的性质及应用
a4＝4， a4＝－2，
解得
或
a7＝－2 a7＝4，
所以 q3＝－12或 q3＝－2，故 a1＋a10＝qa34＋a7·q3＝－7. 答案：D
2．在等比数列{an}中，已知 a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比 为整数，则 a10＝________.
解析：由 a4·a7＝－512，得 a3·a8＝－512.
等比数列性质的应用
[例 1] (1)在 1 与 100 之间插入 n 个正数，使这 n＋2 个数成
等比数列，则插入的 n 个数的积为
()
A．10n
B．n10
C．100n
D．n100
(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则 a7 等于 ________．
[解析] (1)设这 n＋2 个数为 a1，a2，…，an＋1，an＋2， 则 a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)n2＝(100)n2＝10n. (2)因为 a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以 a3a8＝213， 又因为 a3＝16＝24，所以 a8＝29. 因为 a8＝a3·q5，所以 q＝2. 所以 a7＝aq8＝256. [答案] (1)A (2)256
[跟踪训练] 某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车 每年按 10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第 n(n∈N *)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到 多少钱？
解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2， a3，…，an， 由题意，得 a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项 a1＝13.5，公 比 q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. ∴第 n 年车的价值为 an＝13.5×(0.9)n－1 万元． (2)当他用满 4 年时，车的价值为 a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857. ∴用满 4 年时卖掉时，他大概能得到 8.857 万元．
等比数列第2课时等比数列的概念及通项公式
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
解答
反思与感悟
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，
可以顺利地解决问题.
跟踪训练2
在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 ， 若 a 3 a 5 ＝ 4 ， 则
2 2 ∴a2 ＝ a a 成立 . 同理 a ＝ a a 成立， a an＋2 也成立. 5 1 9 5 3 7 n＝an－2·
梳理
一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am· an＝as· at(m，
n，s，t∈N*).
*). 若m＋n＝2k，则am· an＝a 2 ( m ， n ， k ∈ N k
跟踪训练3
有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首
末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.
解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
2 y ＝x18－y， 则由题意得 218－y＝y＋21－x，
x＝75， 4 x＝3， 解得 或 45 y＝6 y＝ 4 .
a1a2a3a4a5a6a7＝____. 128
解析 ∵a3a5＝a2 4＝4，an>0，
∴a4＝2. ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)· (a2a6)· (a3a5)· a4 ＝43×2＝128.
解析
答案
命题角度2 未知量的设法技巧
例3 个数. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且
若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1 , ak2 , ak3 ,…, akn ,…是等比数列.
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
4.3.1 第二课时 等比数列的性质及应用(详细解析版)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4．3.1 第二课时 等比数列的性质及应用(习题课)[A 级 基础巩固]1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6,…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24详细解析:选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6),即x 2＋4x ＋3＝0,解得x ＝－3或x ＝－1(舍去),所以等比数列的前3项是－3,－6,－12,则第四项为－24.2．在正项等比数列{a n }中,a n ＋1<a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,则a 5a 7等于( )A.56 D ．65C.23D ．32详细解析:选D 法一:设公比为q ,则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1,由a 2·a 8＝6,得a 25＝6. ∴a 5＝6,a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26,∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32. 法二:设公比为q ,由a n ＞0,且a n ＋1＜a n 知0＜q ＜1. ∵a 2·a 8＝a 4·a 6＝6,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3，a 6＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 6＝3(舍)． ∴q 2＝a 6a 4＝23,∴a 5a 7＝1q 2＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中,lg(a 3a 8a 13)＝6,则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000详细解析:选C ∵a 3a 8a 13＝a 38,∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000,故选C.4．在等比数列{a n }中,T n 表示前n 项的积,若T 5＝1,则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1详细解析:选B 由题意,可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1,即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1,又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23,所以a 53＝1,得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中,a 3a 11＝4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7＝a 7,则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16详细解析:选C 等比数列{a n }中,a 3a 11＝a 27＝4a 7,解得a 7＝4,等差数列{b n }中,b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________．详细解析:设此三数为3,a ,b ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案:3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列,若a 4,a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根,则a 6＋a 7＝________. 详细解析:由题意得a 4＝12,a 5＝32,∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案:188．画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米．详细解析:这10个正方形的边长构成以2为首项,2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10,n ∈N *),则第10个正方形的面积S ＝a 210＝⎝⎛⎭⎫21122＝211＝2 048. 答案:2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中,a 3＋a 7＋a 11＝28,a 2·a 7·a 12＝512,求q . 解:法一:由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512,即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2,即q ＝±142或q ＝±42.法二:∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27, ∴a 37＝512,即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根,解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8,∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中,a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36,a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100,求数列{a n }的通项公式．解:∵a 1a 5＝a 23,a 3a 7＝a 25,∴由题意,得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36,同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .[B 级 综合运用]11．设各项为正数的等比数列{a n }中,公比q ＝2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( ) A ．230 B ．210 C ．220D ．215详细解析:选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230, ∴a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230, ∴a 1＝2－272,∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102 ＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 12．各项均为正数的等比数列{a n }满足:a 1＞1,a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,记数列{a n }的前n 项积为T n ,则满足T n ＞1的最大正整数n 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14详细解析:选B ∵a 6＋a 7＞a 6a 7＋1＞2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6a 7＞1，(a 6－1)(a 7－1)＜0， ∵a 1＞1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞1，a 7＜1，由a 6a 7＞1得a 1a 12＝a 2a 11＝…＝a 6a 7＞1,∴T 12＞1, ∵a 7＜1,∴a 1a 13＝a 2a 12＝…＝a 27＜1,∴T 13＜1, ∴n 的最大值为12,故选B.13．若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,则a 3a 18＝________,ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.详细解析:因为{a n }为等比数列,所以a 1a 20＝a 2a 19＝…＝a 9a 12＝a 10a 11.又a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5,所以a 3a 18＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5,所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50. 答案:e 5 5014．已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列ab 1,ab 2,…,ab n ,…为等比数列,其中b 1＝1,b 2＝5,b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解:依题意a 25＝a 1a 17,即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d ),所以a 1d ＝2d 2,因为d ≠0,所以a 1＝2d ,数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3, 所以ab n ＝a 13n －1,① 又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1,② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0,所以b n ＝2×3n －1－1.[C 级 拓展探究]15．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L,容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L,A ,B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b ),先将A 中农药的14倒入B 中,混合均匀后,再由B 倒入一部分到A 中,恰好使A 中保持m L,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n 次操作后,A 中农药的浓度为a n ,B 中农药的浓度为b n ,则a 0＝a %,b 0＝b %. b 1＝15(a 0＋4b 0),a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0);b 2＝15(a 1＋4b 1),a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1);…;b n ＝15(a n －1＋4b n －1),a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15,∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n<1%,n ∈N *,解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.。
等比数列(第二课)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等比数列的图象4
（1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
通项公式
an=(-1)n+1
(a1>0 ,q<0)
摆动数列
●
●
●
●
●
1
2
●
3
4
●
5
6
●
7
8
●
9
10
●
单调性
an=a1
n-1 q
q>1 0<q<1 q=1
a1>0 递增 a1<0 递减
练习2.一个等比数列的第2项是10，第3项是20， 则它的第4项是
40 ；
练习3.一个等比数列的第2项是10，第6项是160，
则它的第4项是
±40；
练习4.已知等比数列{ an }的a2=2， a5=54，则q= 3 ；
练习5.已知等比数列{ an }的a5=1， an=256，q=2，则n= 13.
a 例题： n 是等比数列，a3 a8 2011 .那么a4 a5 a6 a7 ?
a3 a8 a4 a7 a5 a6 , a4 a5 a6 a7 2011
练 1 已 等 数 习： 知 比 列 {an｝ , a2 a6 a10 1, 求a3 a9。 1 中
2a q －a＋aq＝16， 由条件得 a＋a＝12， q
a＝8， 解得 q＝2
a＝3， 或 1 q＝3.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当 a＝3，q＝ 时，所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
2018春高中数学必修五课件：2.4 第2课时 等比数列的性质3 精品
.
2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件 改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.
【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.
联立
a a
4 4a7
a7
2， 8.
可解得
a 4 a 7
4， 或
2.
a a
4 7
2， 4.
当
a a
4 7
时4，，q3=-
22
1 201 20 ln 2 105ln 2.
2
2
2.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12 =2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+ log3a10的值. 【解析】log3a1+log3a10 =log3(a1·a10)=log3(a3·a8)=log39=2.
【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.
解方程组
a3a8 512， a3 a8 124.
得
a3 a8
4， 或
128.
a a
3 8
128， 4.
因为q为整数，所以q=5
a8
=-2，
a3
所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124， 且公比为整数”改为“a7·a11=6，a4+a14=5”，则结果 又如何？
【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a62，又因
为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an>0，所以2 a5=a6
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第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并
能用相关性质简化计算.
一、自主学习
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1·qn-1 ①
＝am·qn-m ②
＝a1q·qn ③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m且n，m∈N＋)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或2kq)的等比数列；
(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}都是等比数列，且公比分别
是q，1q，q2.
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与anbn也都是等比数
列，公比分别为pq和pq.
1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn-1.( )
2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．( )
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( )
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．( )
二、题型探究
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 已知等比数列{an}中．
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于( )
A．38 B．39 C．9 D．7
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．42 B．6 C．7 D．52
反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为( )
A．32 B．64 C．128 D．256
（选做）题型四 等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数
列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
三、达标检测
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2．等比数列{an}中，若a2a6＋a24＝π，则a3a5等于( )
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.32 B.2 C．2 D．22
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，
求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
四、巩固训练
1．在等比数列{an}中，若a2 019＝8a2 016，则公比q的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000
3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1等于( )
A．2 B．4 C.2 D．22
4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于( )
A．64 B．128 C．256 D．512
5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q
为( ) A.13 B．3 C．±13 D．±3
6．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
7．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
8.设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7________
9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
11．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
12．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值________.
13．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an；
(3)试比较an与Sn的大小．