19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列

2.4 等比数列第1课时等比数列学习目标核心素养1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：a n＋1a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]不能．2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab．思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法．当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a na n －1＝a 1·q n －1.1．2＋3和2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________．①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0.② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________． 12 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，①a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝14，② 所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝12.]4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________． －729 [由等比数列定义知a 7a 6＝a 6a 5＝a 5a 4＝q .所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81， a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.]等比数列的通项公式及应用n (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . [解] (1)由等比数列的通项公式得， a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ， 那么⎩⎨⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1.1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.(2)因为⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.等比中项【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D ．14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． 思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.] (2)[证明] b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．2．若1，a ，3成等差数列，1，b ，4成等比数列，则ab 的值为( ) A ．±12 B ．12 C ．1 D ．±1 D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.由b 2＝4得b ＝±2， ∴a b ＝±1.]3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.]等比数列的判断与证明1．若数列{a n }是等比数列，易知有a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？[提示] 能．若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)都能说明{a n }是等比数列．2．若数列{a n}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为a n＝a1·q n－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{a n}是等比数列吗？[提示]能．根据等比数列的定义可知．【例3】已知数列的前n项和为S n＝2n＋a，试判断{a n}是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合a n＝S n－S n－1(n≥2)？需要检验吗？[解]a n＝S n－S n－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时a n＋1a n＝2n2n－1＝2；当n＝1时，a n＋1a n＝a2a1＝22＋a.故当a＝－1时，数列{a n}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{a n}不是等比数列．1．(变条件)将例题中的条件“S n＝2n＋a”变为“S n＝2－a n”．求证数列{a n}是等比数列．[证明]∵S n＝2－a n，∴S n＋1＝2－a n＋1，∴a n＋1＝S n＋1－S n＝(2－a n＋1)－(2－a n)＝a n－a n＋1，∴a n＋1＝12a n.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由a n＋1＝12a n知a n≠0，∴a n＋1a n＝12，∴{a n}是等比数列．2．(变条件，变结论)将例题中的条件“S n＝2n＋a”变为“a1＝1，a n＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n＋1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．[解]因为a n＋1＝2a n＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n－1＝2n ，即a n ＝2n －1.判断一个数列{a n }是等比数列的方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (q 为与n 无关的常数且不为零)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )(3)常数列一定为等比数列． ( ) (4)任何两个数都有等比中项． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( ) A ．±12 B ．±2 C.12 D ．－2 D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]3．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．4n －1 [由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4n －1.] 4．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b nb n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.课时分层作业(十三) 等比数列(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( ) A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列 A [由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)， ∴log 2b 2＝log 2ac ， 即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，∴log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．]2．等比数列{a n } 中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( ) A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29D [设公比为q ，则12q＋12q ＝30， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，∴a 10＝a 3·q 7＝12·27或12·⎝ ⎛⎭⎪⎫127， 即3×29或3×2－5.]3．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．±6D ．±12C [a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.]4．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－1312是此数列的( )A ．第2项B ．第4项C ．第6项D ．第8项 B [由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)解得x ＝－1(舍)或x ＝－4，∴首项为－4，公比为32.∴由－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，解得n ＝4.]5．在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1D ．1或2B [根据题意，代入公式⎩⎨⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2，解得：⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝1或⎩⎨⎧a 1＝－1，q ＝－2.]二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________．1 [设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4，∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.]7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 3×2n －3[由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2.所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.]8．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________． 27 [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9， ∴q 2＝9，∴q ＝3(q ＝－3舍)， ∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.] 三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？ [解] (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827， 所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负， 故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．[解] (1)[证明] ∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n ＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. [能力提升练]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于( )A ．2＋1B ．3＋2 2C ．3－2 2D ．22－3C [设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2.] 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1C ．12D ．18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．23－1 [∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.]4．设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 64 [设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（－3）＋（－2）＋…＋（n －4）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n （n －7） ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494，当n ＝3或4时， 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6， 此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.] 5．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p .[解] 因为数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，所以(c n ＋1－pc n )2＝(c n －pc n －1)(c n ＋2－pc n ＋1)，将c n ＝2n ＋3n 代入上式得，[2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)]，整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0，解得p ＝2或p ＝3.。