北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
北京市海淀区2014-2015学年高二第一学期期末数学理科试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83C. 163D. 64. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（）A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（）A.a,b,cB. a,b,dC. a,c,dD.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__. 12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF ，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号） ①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. ( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ； ( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A . ( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.OAx PQ海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =-------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y x y x t ⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -=12t <. -------------6分 （II）因为||AB ==4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =所以AFB △的周长为 -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分 又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB m OB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分 所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQx x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+, 所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市延庆县2014-2015学年高二上学期期末考试数学文
延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试 高二数学（文科） 2015.1本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 把答案填在答题卡内） 1. 点)2,1(-P 到直线052=+-y x 的距离=d .2. 双曲线1162522=-y x 的渐近线方程是 . 3. 已知函数xx f 1)(=，则=')1(f . 4. 已知三点)1,1(-A ，)3,(x B ，)5,4(C 共线，则实数=x .5. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是 .注：24R S π=球（R 为球的半径）6. 抛物线x y 42=上一点P 和焦点F 的距离等于5， 则点P 的坐标是 .7. 某几何体的三视图如右图所示， 则它的体积是 ．8. 设R b a ∈,，若直线0=-+b y ax 与直线013=+-y x 垂直，则实数=a . 9. 过点)3,3(与圆03422=+-+x y x 相切的直线方程为 . 10. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点F E ,，且1=EF ， 则四面体EFB A -的体积=V .二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上. 11.下列命题错误．．的是 A ．已知直线b a //，且c b //，则c a //B ．已知直线//a 平面α，且直线//b 平面α，则b a //C ．已知直线//a 平面α，过平面α内一点作a b //，则α⊂bD ．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内 12.已知两圆0422=-+x y x 和08622=+-+x y x ，则两圆的位置关系为 A.相交 B. 外切 C. 内切 D.相离13.从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为右焦点2F ,A 是椭圆与x轴负半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是A ．4B ．12C D ．214.设点),(y x P ,则“0=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的导函数)(x f y '=的图像如图所示，给出下列三个结论：○1)(x f 的单调递减区间是)3,1(；○2函数)(x f 在1=x 处取得极小值； ○39,6=-=b a . 正确的结论是 A. ○1○3 B. ○1○2 C.○2○3 D.○1○2○3 16.曲线x x y 33-=过点)2,1(-的切线条数为A.1条B.2条C.3条D.4条三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知函数4431)(3+-=x x x f . （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间]4,3[-上的最大值和最小值.18. （本小题满分10分）已知在空间四边形ABCD 中，BD BC AD AC ==,， 且F E ,分别是AD CD ,的中点. （Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB CD ⊥.19. （本小题满分12分）已知以点P 为圆心的圆经过点)1,1(-A 和)3,1(B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且4||=CD .（Ⅰ）求直线CD 的方程； （Ⅱ）求圆P 的方程.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥DCBE A -中，BC AC ⊥， 底面DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ACD ； （Ⅱ）若30=∠ABC ，2AB =,3=EB ，求三棱锥ACE B -的体积；（Ⅲ）设平面 ADE 平面=ABC 直线l ，求证：l BC //.21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点为)0,2(-和)0,2(，椭圆上一点到两焦点的距离之和为24. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线)(:R m m x y l ∈+=与椭圆C 交于B A ,两点.当m 变化时，求AOB ∆面积的最A BCDE大值（O 为坐标原点）.22. （本小题满分12分）已知函数)()1(ln )(R m xm x m x f ∈-+=．（Ⅰ）当2=m 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论)(x f 的单调性.延庆县2014—2015学年度第一学期期末考试 高二数学答案及评分标准（文科） 2015.1一、填空题：（05105'=⨯'） 1.552. x y 54±=3. 1-4. 35. π126. )4,4(，)4,4(-7. 128. 39. x y 33=，3=x 10. 122二、选择题：（0365'=⨯'）11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.B 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分12分） 已知函数4431)(3+-=x x x f . （Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间]4,3[-上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）4)(2-='x x f ， ……………2分解方程 042=-x ， 得21-=x ， 22=x ……………3分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 变化状态如下表：……………7分从表上看出，当2-=x 时，函数有极大值，且 3194)2(4)2(31)2(3=+-⨯--⨯=-f . ……………8分 当2=x 时，函数有极小值，且 311424231)2(3-=+⨯-⨯=f . ……………9分 （Ⅱ）74)3(4)3(31)3(3=+-⨯--⨯=-f ， ……………10分 319444431)4(3=+⨯-⨯=f . ……………11分与极值点的函数值比较，得已知函数在区间]4,3[-上 的最大值是319，最小值是311-. ……………12分 18. （本小题满分10分）已知在空间四边形ABCD 中，BD BC AD AC ==,， 且F E ,分别是AD CD ,的中点. （Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB CD ⊥.（Ⅰ）证明：因为F E ,分别是AD CD ,的中点，所以，EF 为ACD ∆的中位线，所以AC EF //.………2分 又因为⊂AC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC , 所以，//EF 平面ABC . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结BE AE ,，在ACD ∆中，因为,AD AC =E 是CD 中点，所以CD AE ⊥.……………6分 同理可证，CD BE ⊥. ……………7分 又因为，E BE AE = ，⊂AE 平面ABE ，⊂BE 平面ABE ，所以，⊥CD 平面ABE . ……………9分 又因为，⊂AB 平面ABE ，所以AB CD ⊥. ……………10分19. （本小题满分12分）已知以点P 为圆心的圆经过点)1,1(-A 和)3,1(B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且4||=CD .（Ⅰ）求直线CD 的方程； （Ⅱ）求圆P 的方程.解：（Ⅰ）直线AB 的斜率1=k ，AB 中点坐标为)2,0(， ∴直线CD 的斜率为1-，∴直线CD 方程为x y -=-2，即02=-+y x ……………4分 （Ⅱ）设圆心),(b a P ，则由P 在CD 上,得02=-+b a ① ……………6分又直径4||=CD ,2||=∴PA , 4)1()1(22=-++b a ② ……………8分由①②解得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧=-=31b a∴圆心)1,1(P 或)3,1(-P ……………10分 ∴圆P 的方程为4)1()1(22=-+-y x和4)3()1(22=-++y x ……………12分20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥DCBE A -中，BC AC ⊥， 底面DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ACD ； （Ⅱ）若30=∠ABC ，2AB =,3=EB ，求三棱锥ACE B -的体积；（Ⅲ）设平面 ADE 平面=ABC 直线l ，求证：l BC //. （Ⅰ）证明： 因为DC⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以DC BC ⊥. ……1分又因为，BC AC ⊥，⊂AC 平面ACD ，⊂CD 平面ACD ，C CD AC = ，ABCDE所以，⊥BC 平面ACD . ………3分 因为，底面DCBE 为平行四边形，所以ED BC //.所以⊥DE 平面ACD . ………5分（Ⅱ）解：因为，底面DCBE 为平行四边形，DC⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC . 所以ABC E ACE B V V --=213312131=⨯⨯⨯⨯=. ………8分 （Ⅲ）证明：因为底面DCBE 为平行四边形，所以ED BC //. ………9分因为⊄BC 平面ADE ，⊂ED 平面ADE ，所以//BC 平面ADE . ………10分因为，平面 ADE 平面l ABC =，⊂BC 平面ABC ，所以l BC //. ………12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点为)0,2(-和)0,2(，椭圆上一点到两焦点的距离之和为24. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线)(:R m m x y l ∈+=与椭圆C 交于B A ,两点.当m 变化时，求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.（Ⅰ）设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，长轴长242=a ，22=a ，半焦距2=c ，4222=-=c a b . ………2分椭圆C 的标准方程为14822=+y x . ………3分（Ⅱ）⎩⎨⎧+==+mx y y x 8222，消去y 并整理，得0824322=-++m mx x . ………5分判别式0)82(34)4(22>-⨯⨯-=∆m m ，解得3232<<-m .由题意，知0≠m . ………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理，得3421m x x -=+，382221-=m x x . ………7分设直线l 与y 轴的交点为E ，则),0(m E . 所以AOB ∆面积||||2121x x m S -⋅⋅=. ………9分 22122)(41x x m S -=]4)[(41212212x x x x m -+=]3824)34[(41222-⋅--=m m m )12(9224m m +-= 8)6(9222+--=m )120(2<<m ………11分所以，当62=m ，即6±=m 时，AOB ∆面积取得最大值22. ………12分22. （本小题满分12分）已知函数)()1(ln )(R m xm x m x f ∈-+=．（Ⅰ）当2=m 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论)(x f 的单调性.（Ⅰ）当2=m 时，x x x f +=ln 2)(，12)(+='x x f ，3112)1(=+='f ， ………2分 111ln 2)1(=+=f………3分所以，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1(31-=-x y ，即023=--y x . ………4分（Ⅱ）函数)(x f 的定义域为}0|{>x x ， ………5分12)(-+='m x m x f xxm m )1(2-+=. ………6分 （1）当1≥m 时，0)(>'x f ，)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增； ………7分（2）当1<m 时，令0)(='x f ，解得mmx -=12. ………8分 ○1当0≤m 时，0)(<'x f ，)(x f 在定义域),0(+∞上单调递减； ………9分 ○2当10<<m 时，当x 变化时，)(x f '，)(x f 变化状态如下表：)(x f 在)12,0(m m -单调递增，在),12(+∞-mm单调递减. ………12分。
2014-2015学年北京市海淀区高一(上)数学期末试卷和 解析
2014-2015学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜2}，则集合A∪B=（）A．∅B．R C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x≤2}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若向量=（0，1），=（2，﹣1），=（1，1），则（）A．（﹣）∥B．（﹣）⊥C．（﹣）•＞1 D．|﹣|=||4．（4分）下列函数中，既是奇函数又是（﹣1，1）上的增函数的是（）A．y=2x B．y=tanx C．y=x﹣1D．y=cosx5．（4分）函数的值域是（）A．R B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）6．（4分）若直线x=a是函数f（x）=sinx的一条对称轴，则f（a）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣17．（4分）设，其中e≈2.71828，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（4分）已知集合M={|=λ（+），λ∈R}，N={|=+μ，μ∈R}，其中，是一组不共线的向量，则M∩N中元素的个数为（）A．0 B．1 C．大于1但有限D．无穷多9．（4分）已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象可能是（）A．B．C． D．10．（4分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（4分）已知α∈（﹣π，π），且sinα=﹣cos，则α=（）A．或B．或 C．或 D．或12．（4分）图中有五个函数的图象，依据图象用“＜”表示出以下五个量a，b，c，d，1的大小关系，正确的是（）A．a＜c＜1＜b＜d B．a＜1＜d＜c＜b C．a＜1＜c＜b＜d D．a＜1＜c＜d＜b二．填空题：本大题共5小题，每空3分，共27分.把答案填写在题中横线上. 13．（3分）函数y=x2﹣2x在区间[﹣1，2）上的值域为．14．（6分）方程x3+2x=21的解的个数为，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是．16．（3分）已知函数：y=x2，y=log2x，y=2x，y=sinx，y=cosx，y=tanx．从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）=f（x）+g（x）的图象如图所示，则F （x）=．17．（12分）已知函数y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图1所示，它刻画了质点P做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y（|y|是质点与直线l的距离（米），质点在直线l上方时，y为正，反之y为负）随时间t（秒）的变化过程．则（1）质点P运动的圆形轨道的半径为米；（2）质点P旋转一圈所需的时间T=秒；（3）函数f（t）的解析式为：；（4）图2中，质点P首次出现在直线l上的时刻t=秒．三．解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（13分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）求f（x）在上的取值范围．19．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：“对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立”．（Ⅰ）求f（0）的值，并指出f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）用增函数的定义证明：函数f（x）是（﹣∞，0）上的增函数；（Ⅲ）判断f（x）是否为R上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．2014-2015学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜2}，则集合A∪B=（）A．∅B．R C．{x|1＜x＜2}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：∵A={x|x＞1}，B={x|x＜2}，∴A∪B=R，故选：B．2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=sin（）=﹣sin=故选：D．3．（4分）若向量=（0，1），=（2，﹣1），=（1，1），则（）A．（﹣）∥B．（﹣）⊥C．（﹣）•＞1 D．|﹣|=||【解答】解：向量=（0，1），=（2，﹣1），=（1，1），则=（﹣2，2），由于﹣2×1≠2×1，则和不共线．||=2，||=．且（）=﹣2+2=0，则有（）⊥．故A，C，D均错，故选：B．4．（4分）下列函数中，既是奇函数又是（﹣1，1）上的增函数的是（）A．y=2x B．y=tanx C．y=x﹣1D．y=cosx【解答】解：对于A，y=2x，在定义域R上是非奇非偶的函数，∴不满足条件；对于B，y=tanx是定义域（﹣+kπ，+kπ），k∈Z上的奇函数，且在每一个区间上是增函数，∴满足题意；对于C，y=x﹣1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于D，y=cosx，在区间[2kπ，π+2kπ]，k∈Z上是减函数，∴在（﹣1，1）上是减函数，不满足条件．故选：B．5．（4分）函数的值域是（）A．R B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：当x≥0时，y=x﹣1≥﹣1；当x＜0时，y=1﹣x＞1；故函数的值域是[﹣1，+∞）；故选：C．6．（4分）若直线x=a是函数f（x）=sinx的一条对称轴，则f（a）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1【解答】解：根据正弦函数图象的基本性质，易知x=是对称轴方程．故f（）=sin（）=±1故选：D．7．（4分）设，其中e≈2.71828，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a=2﹣1=，c=，根据指数函数y=（）x为减函数，∴0＜2﹣1＜＜1∵b=e0.5＞1，∴b＞c＞a，故选：D．8．（4分）已知集合M={|=λ（+），λ∈R}，N={|=+μ，μ∈R}，其中，是一组不共线的向量，则M∩N中元素的个数为（）A．0 B．1 C．大于1但有限D．无穷多【解答】解：由M={|，λ∈R}，N={|，μ∈R}，则当λ=μ=1时，，∴M∩N中元素的个数为1．故选：B．9．（4分）已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象可能是（）A．B．C． D．【解答】解：由图象可得b＜﹣1，a+b＞0，所以a＞1，b＜﹣1，故选：B．10．（4分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．11．（4分）已知α∈（﹣π，π），且sinα=﹣cos，则α=（）A．或B．或 C．或 D．或【解答】解：∵α∈（﹣π，π），∵sinα=﹣cos=cos=cos（）=sin（﹣），∴α=﹣∵sinα=﹣cos=cos=cos（﹣）=sin（﹣），∴α=﹣故选：A．12．（4分）图中有五个函数的图象，依据图象用“＜”表示出以下五个量a，b，c，d，1的大小关系，正确的是（）A．a＜c＜1＜b＜d B．a＜1＜d＜c＜b C．a＜1＜c＜b＜d D．a＜1＜c＜d＜b 【解答】解：如图：根据指数函数的图象和性质y=a x，为减函数，y=b x，y=c x为增函数，故0＜a＜1＜c＜b，根据反函数的定义，可知y=b x的图象和y=log2x的图象关于y=x对称，故b=2，根据对数函数图象和性质，当x＞1时，y=log2x的图象，总是在y=log d x的上方，故2＜d，故a，b，c，d，1的大小关系a＜1＜c＜b＜d二．填空题：本大题共5小题，每空3分，共27分.把答案填写在题中横线上. 13．（3分）函数y=x2﹣2x在区间[﹣1，2）上的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，在区间[﹣1，2）上，当x=1时，函数取得最小值为﹣1，当x=﹣1时，函数取得最大值为3，故答案为：[﹣1，3]．14．（6分）方程x3+2x=21的解的个数为1，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为3．【解答】解：方程x3+2x=21的解的个数，即函数y=x3的图象和直线y=21﹣2x的交点个数，数形结合可得函数y=x3的图象和直线y=21﹣2x的交点个数为1．令f（x）=x3+2x﹣21，则由f（2.5）=﹣0.375，f（3）=12，f（2.5）f（3）＜0，可得f（x）的零点所在的区间为（2.5，3），故函数零点的近似值按四舍五入精确到个位为3，故答案为：1，3．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则的取值范围是[0，4] ．【解答】解：建立平面直角坐标系A﹣xy，正方形ABCD的边长为2，P是线段DC上的动点（含端点），则A（0，0），B（2，0），C（2，2），P（x，2），（0≤x≤2）所以=（x﹣2，2），=（2，2），所以=2（x﹣2）+4=2x，所以2x∈[0，4]．故答案为：[0，4]．16．（3分）已知函数：y=x2，y=log2x，y=2x，y=sinx，y=cosx，y=tanx．从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）=f（x）+g（x）的图象如图所示，则F （x）=2x+sinx．【解答】解：由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x＞0时，F（x）＞1，为增函数，当x＜0时，F（x）＞0或，F（x）＜0交替出现，因为y=2x的图象经过点（0，1），且当当x＞0时，y＞1，当x＜0时，0＜y＜1，若为y=cosx，当x=0时，y=1，2x+cosx不满足过点（0，1），所以只有当F（x）=2x+sinx才满足条件故答案为：2x+sinx17．（12分）已知函数y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图1所示，它刻画了质点P做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y（|y|是质点与直线l的距离（米），质点在直线l上方时，y为正，反之y为负）随时间t（秒）的变化过程．则（1）质点P运动的圆形轨道的半径为2米；（2）质点P旋转一圈所需的时间T=2秒；（3）函数f（t）的解析式为：f（t）=2sin（πt﹣）；（4）图2中，质点P首次出现在直线l上的时刻t=秒．【解答】解：（1）由图1可得A=2，故质点P运动的圆形轨道的半径为2，故答案为：2．（2）质点P旋转一圈所需的时间T，即函数y=Asin（ωt+φ）的周期，把点（0，﹣1）代入函数的解析式可得2sinφ=﹣1，可得sinφ=﹣，再结合|φ|＜，可得φ=﹣．再把点（，2）代入函数的解析式可得2sin（ω•﹣）=2，即sin（ω•﹣）=1，（ω•﹣）=，求得ω=π，故函数的周期为=2，故答案为：2．（3）由（2）可得f（t）=，故答案为：f（t）=2sin（πt﹣）．（4）令f（t）=2sin（πt﹣）=0，求得πt﹣=kπ，k∈z，可得t的最小正值为，故答案为：．三．解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（13分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）求f（x）在上的取值范围．【解答】本题满分（13分）解：（Ⅰ）函数的周期T=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）列表如下：描点画图如图所示．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数y=sinx的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由，得．所以f（x）单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）因为，所以，所以所以，即f（x）在上的取值范围是[﹣1，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）说明：（Ⅱ）（Ⅲ）问，如果最终结果错误，可细化解题步骤给过程分；如果仅有最终正确结果，无步骤每问各扣（1分）．19．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：“对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立”．（Ⅰ）求f（0）的值，并指出f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）用增函数的定义证明：函数f（x）是（﹣∞，0）上的增函数；（Ⅲ）判断f（x）是否为R上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=﹣f（﹣0），即f（0）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）法1：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且△x=x1﹣x2＞0，则﹣x1＞0，﹣x2＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，所以f（﹣x2）=f（﹣x1+△x）＞f（﹣x1），即f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以△y=f（x 1）﹣f（x2）=f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以函数f（x）是（﹣∞，0）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）法2：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，且x2﹣x1＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，所以f[﹣x2+（x2﹣x1）]＞f（﹣x2），即f（﹣x1）＞f（﹣x2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以﹣f（x1）＞﹣f（x2），即f（x1）＜f（x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以函数f（x）是（﹣∞，0）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）f（x）不一定是R上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）反例如下：令或者﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）学生用画图方式举反例也可以．。
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学(理)试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ；( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.OAx PQ二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB =4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为. -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB mOB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQ x x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分 所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)(Word版含解析)
北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．12．（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣13．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（4分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab5．（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣1和1 D．7．（4分）“a=﹣3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm9．（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．B D与CF成60°角B．B D与EF成60°角C．A B与CD成60°角D．A B与EF成60°角10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为棱AB、A1D1的中点，M、N分别为面BCC1B1和DCC1D1上的点，一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q，则三条线段PM、MN、NQ的长度之和为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是．12．（5分）空间向量=（﹣1，1，﹣2），=（1，﹣2，﹣1），=（x，y，﹣2），且∥．则•=．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．14．（5分）已知F为双曲线C：﹣y2=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．15．（5分）由直线y=x上一点向圆（x﹣4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为．16．（5分）已知点M（3，0）和点N（﹣3，0），直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C，给出以下几个命题：①存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离之和为定值；②存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；③不存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．18．（13分）已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20．（14分）已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O 为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．21．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣D的余弦值．22．（13分）如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）与椭圆弧E2：+=1（≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r1，|FB|=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a=2，即可得到双曲线的实轴长2a．解答：解：双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查实轴的概念，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以：=1，∴准线方程y=﹣1，故选D．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；故选C．点评：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．4．（4分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab考点：四种命题．分析：根据命题若p，则q的否命题是若￢p，则￢q，写出它的否命题即可．解答：解；“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．点评：本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题．5．（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，a=2b，再用平方关系算得c=b，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．解答：解：∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a=2×2b，得a=2b，又∵a2=b2+c2，∴4b2=b2+c2，可得c=b，因此椭圆的离心率为e==．故选：C．点评：本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．6．（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣1和1 D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线平行，得到两直线系数间的关系，求解不等式组可得a的值．解答：解：∵直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则，解得：a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．7．（4分）“a=﹣3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据圆与圆的位置关系从而进行判断．解答：解：a=﹣3时，圆x2+y2=1的圆心是（0，0），半径是1，圆（x﹣3）2+y2=4的圆心是（3，0），半径是2，两个圆的圆心距是3，相切，是充分条件，若圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切，可能内切，可能外切，推不出a=﹣3，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．解答：解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为3.6cm．故选：C．点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．考查了对抛物线基础知识的掌握．9．（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．B D与CF成60°角B．B D与EF成60°角C．A B与CD成60°角D．A B与EF成60°角考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF 成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．解答：解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，∴BD与EF成90°角，故B错误；∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴AB与CD成60°角，故C正确；∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，∴AB与EF成90°角，故D错误．故选：C．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为棱AB、A1D1的中点，M、N分别为面BCC1B1和DCC1D1上的点，一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q，则三条线段PM、MN、NQ的长度之和为（）A．B．C．2D．3考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，再作Q关于平面DCC1D1的对称点Q1，连接P1Q1，根据勾股定理即可求得长度之和．解答：解：作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，再作Q关于平面DCC1D1的对称点Q1，连接P1Q1，这就是光线所经过的等效路径，其长度就是PM，MN，NQ三条线段的长度之和，根据勾股定理：|P1Q1|2=（A1Q1）2+（AA1）2+（A1P）2=32+22+32=22，可得|P1Q1|=，故选：A．点评：本题考查了正方体的几何性质，光的反射原理，对称性问题，化折线为直线求解线段的长度，题目很新颖，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是∀x∈R，使x2﹣2x≥0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．故答案为：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．12．（5分）空间向量=（﹣1，1，﹣2），=（1，﹣2，﹣1），=（x，y，﹣2），且∥．则•=﹣2．考点：共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：由∥，利用向量共线定理可得：存在实数k使得，再利用数量积运算即可得出．解答：解：∵∥，∴存在实数k使得，∴，解得x=2，y=﹣4．∴=（2，﹣4，﹣2），∴•=﹣2﹣4+4=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算，属于基础题．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2．∴几何体的体积V=×22×2=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．14．（5分）已知F为双曲线C：﹣y2=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==1，故答案为：1．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）由直线y=x上一点向圆（x﹣4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m==2，由勾股定理求得切线长的最小值为=．故答案为：．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．16．（5分）已知点M（3，0）和点N（﹣3，0），直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C，给出以下几个命题：①存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离之和为定值；②存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；③不存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是②④．（填出所有正确命题的序号）考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2﹣9），再分类讨论，即可得出结论．解答：解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2﹣9），若a=﹣1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若﹣1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）﹣9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜﹣1，﹣9a＞9，c==4，∴a=﹣，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接根据已知条件，将利用线线平行转化为线面平行．（Ⅱ）利用线面垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直，最后证得线线垂直．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC又因为BC⊂平面BCEAD⊄平面BCE所以AD∥平面BCE（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面ABEAD∥BCBC⊥平面ABEAE⊥BC因为∠AEB=90°所以：AE⊥BE所以：AE⊥平面BCEBF⊂平面BCE所以：AE⊥BF点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定，及线面垂直与线线垂直之间的转化．属于基础题型．18．（13分）已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D，E，F的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值．解答：解：（Ⅰ）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣4x+2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M的圆心到直线y=kx﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．点评：本题考查了圆的一般式方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．19．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系，证明•=0，即可证明PD⊥BQ；（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．所以=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，1），所以•=0，…（6分）所以PD⊥BQ．…（7分）（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则∵=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），∴，…（9分）令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）∵=（﹣1，1，1），∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线BQ与平面PCD所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O 为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2，代入椭圆方程，求出C的坐标，即可求线段OC的长；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，代入椭圆方程，利用△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．解答：解：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2．…（1分）代入椭圆方程得5x2﹣12x+6=0，…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．则，…（3分）所以点C的坐标，，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，…（6分）所以△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）…（7分），．…（8分）==．…（10分）原点O到直线l的距离．…（11分）所以△OAB面积为．因为△OAB面积等于1，所以，…（12分）解得，…（13分）带入判别式检验，符合题意，所以．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．专题：空间角．分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点H，连接GH．利用线面平行的性质定理及三角形中位线定理可得结论；（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz所求值即为平面ABF的法向量与平面ADF 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点H，ABCD为矩形，则H为AC中点，连接GH．∵AF∥平面BDG，平面ACF∩平面BDG=GH，∴AF∥HG．∴G为CF的中点．（Ⅱ）解：在平面CDEF上作FO⊥CD，垂足为O，∵平面CDEF为等腰梯形，AB=4，EF=2，∴OC=1，∵平面ABCD⊥平面DCFE，∴FO⊥平面ABCD，在平面ABCD中，作OM⊥CD交AB于M，所以FO⊥OM，如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（2，﹣3，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣3，0）．设F（0，0，h）（h＞0）．∵AF⊥CF，∴•=0，即（﹣2，3，h）•（0，﹣1，h）=0，所以0﹣3+h2=0，解得h=．设平面ABF的法向量为=（a，b，c），而=（﹣2，3，），=（0，4，0），由，得，令c=2，解得a=，b=0．所以=（，0，2）．由于=（﹣2，0，0），=（0，﹣1，），所以•=0，CF⊥AD，又CF⊥AF，所以CF⊥平面ADF，所以为平面ADF的法向量，cos＜，＞==．由图知，二面角B﹣AF﹣D的平面角为钝角，所以二面角B﹣AF﹣D的余弦值为﹣．点评：本题考查用空间向量求二面角，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（13分）如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）与椭圆弧E2：+=1（≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r1，|FB|=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．考点：圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定（，）为椭圆上一点，利用椭圆的定义求出a，即可求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），利用三角函数的性质，即可求的取值范围．解答：解：（Ⅰ）抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）的焦点为（1，0），且x=时，y2=，所以（，）为椭圆上一点，又椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），…（2分）所以2a==4．…（3分）所以a=2，b=，…（4分）所以椭圆E2的方程为（≤x≤2）．…（5分）（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）．当时，，此时，；当时，A在椭圆弧E2上，由题设知A（1+r1cosα，r1sinα），将A点坐标代入得，，整理得，解得或（舍去）．…（6分）当时，A在抛物线弧E1上，由抛物线定义可得r1=2+r1cosα，所以，…（7分）综上，当时，；当时，或．相应地，同理可得≤cosα≤1，r2=；当﹣1≤cosα≤时，根据图形的对称性，r2=．…（9分）所以，当时，A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，=•=（1+）∈；…（10分）当≤cosα≤1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，=•=∈；…（11分）当﹣＜cosα＜时A、B在椭圆弧E2上，=•=﹣1+∈（，）；…（12分）综上，的取值范围是．…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．。
2014-2015年北京市延庆县高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2014-2015学年北京市延庆县高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.把答案填在答题卡内）1．（5分）点P（﹣1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离d=．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．3．（5分）已知函，则f′（1）=．4．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，则实数x=．5．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长=4πR2（R为球的半径）为2，那么这个球的表面积是．注：S球6．（5分）抛物线y2=4x上一点P和焦点F的距离等于5，则点P的坐标是．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．8．（5分）设a，b∈R，若直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，则实数a=．9．（5分）过点（3，）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线方程为．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积V=．二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11．（5分）下列命题错误的是（）A．已知直线a∥b，且b∥c，则a∥cB．已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a∥bC．已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，则b⊂αD．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内12．（5分）已知两圆x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣6x+8=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．相离13．（5分）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB ∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．14．（5分）设点P（x，y），则“x=0且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列三个结论：①f（x）的单调递减区间是（1，3）；②函数f（x）在x=1处取得极小值；③a=﹣6，b=9．正确的结论是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③16．（5分）曲线y=x3﹣3x过点（1，﹣2）的切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣4x+4．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间[﹣3，4]上的最大值和最小值．18．（10分）已知在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F分别是CD，AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：CD⊥AB．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（1，3），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=，求三棱锥B﹣ACE的体积；（Ⅲ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l．21．（12分）已知椭圆C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于A，B两点．当m变化时，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．22．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．2014-2015学年北京市延庆县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.把答案填在答题卡内）1．（5分）点P（﹣1，2）到直线2x﹣y+5=0的距离d=．【解答】解：由点到直线的距离公式可得d==．故答案为：．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即y=±，故答案为：y=±．3．（5分）已知函，则f′（1）=﹣1．【解答】解：∵，∴f'（x）=﹣，∴f'（1）=﹣=﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，则实数x=3．【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（x，3），C（4，5）共线，∴k AB=k AC，∴=，解得x=3．故答案为：3．5．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是12π．注：S=4πR2（R为球的半径）球【解答】解：设正方体的外接球的半径为R，由正方体的对角线长即为球的直径，则2=2r，即R=，即有球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故答案为：12π．6．（5分）抛物线y2=4x上一点P和焦点F的距离等于5，则点P的坐标是（4，4），（4，﹣4）．【解答】解：设P（m，n），由于抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，则由定义可得|PF|=m+1=5，解得m=4，则n2=16，解得n=﹣4和4．即有P（4，4）或（4，﹣4）．故答案为：（4，4），（4，﹣4）．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是12．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱，该四棱柱的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为2+2=4，高为2；四棱柱的高是2；∴该四棱柱的体积为V=（4+2）×2×2=12．故答案为：12．8．（5分）设a，b∈R，若直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，则实数a=3．【解答】解：直线ax+y﹣b=0的斜率为k1=﹣a，直线x﹣3y+1=0的斜率为．因为直线ax+y﹣b=0与直线x﹣3y+1=0垂直，所以k1•k2=﹣1，即，解得：a=3．故答案为3．9．（5分）过点（3，）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线方程为或x=3．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．，若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣=k（x﹣3），即kx﹣y+﹣3k=0，圆心到直线的距离d=，平方得k=，此时切线方程为，综上切线方程为，x=3，故答案为：，x=310．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积V=．【解答】解：由题意可知，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为=．又点A到平面BEF的距离为，==．故V A﹣BEF故答案为：．二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上.11．（5分）下列命题错误的是（）A．已知直线a∥b，且b∥c，则a∥cB．已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a∥bC．已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，则b⊂αD．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内【解答】解：对于A，已知直线a∥b，且b∥c，利用平行线的传递性得到a∥c；故A 正确；对于B，已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a，b的位置关系可能为平行、相交或者异面；故B 错误；对于C，已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，关键线面平行的性质得到b⊂α；故C正确；对于D，过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内；根据面面平行的性质判断为正确．故选：B．12．（5分）已知两圆x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣6x+8=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．相离【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x=0的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，∴此圆的圆心为A（2，0），半径为R=2．∵圆x2+y2﹣6x+8=0的标准方程为（x﹣3）2+y2=1，∴此圆的圆心为B（3，0），半径为r=1．则|AB|=3﹣2=1．又R+r=5，R﹣r=1，∴|AB|=R﹣r，∴两圆内切．故选：C．13．（5分）从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB ∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设P（c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（c，），又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为e，则e2====，∴椭圆的离心率e=．故选：D．14．（5分）设点P（x，y），则“x=0且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将x=0，y=﹣1代入直线l得：0+（﹣1）+1=0，满足方程，是充分条件，若P在直线l：x+y+1=0上，则不一定x=0，y=﹣1，不是必要条件，故选：A．15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出下列三个结论：①f（x）的单调递减区间是（1，3）；②函数f（x）在x=1处取得极小值；③a=﹣6，b=9．正确的结论是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③【解答】解：由题意得：函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，∴f（x）在x=1处取到极大值，且，解得：a=﹣6，b=9，∴①③正确，②错误，故选：A．16．（5分）曲线y=x3﹣3x过点（1，﹣2）的切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：设切点P（t，t3﹣3t），由y=x3﹣3x，则y′=3x2﹣3，即有在点P处切线的斜率为k=y′|x=t=3t2﹣3，则有在点P处切线方程为y﹣t3+3t=（3t2﹣3）（x﹣t），又切线过点（1，﹣2），即有﹣2﹣t3+3t=（3t2﹣3）（1﹣t），即为2t3﹣3t2+1=0，即有（t﹣1）2（2t+1）=0，解得t=1或﹣，即t有两个解，即k有两个解，则过点（1，﹣2）与曲线相切的切线的条数是2．故选：B．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣4x+4．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求函数在区间[﹣3，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=0，得x1=﹣2，x2=2，当f′（x）＞0时，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，当x=﹣2时，函数有极大值，且f（﹣2）=，当x=2时，函数有极小值，且f（2）=﹣．（Ⅱ）∵f（﹣3）=×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+4=7，f（﹣3）=×43﹣4×4+4=，与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[﹣3，4]上的最大值是，最小值是﹣．18．（10分）已知在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F分别是CD，AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：CD⊥AB．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是CD，AD的中点，所以，EF为△ACD的中位线，所以EF∥AC．…（2分）又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以，EF∥平面ABC．…（4分）（Ⅱ）证明：连结AE，BE，在△ACD中，因为AC=AD，E是CD中点，所以AE⊥CD．…（6分）同理可证，BE⊥CD．…（7分）又因为，AE∩BE=E，AE⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，所以，CD⊥平面ABE．…（9分）又因为，AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB．…（10分）19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，1）和B（1，3），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（Ⅰ）求直线CD的方程；（Ⅱ）求圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（0，2），∴直线CD的斜率为﹣1，∴直线CD方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0（Ⅱ）设圆心P（a，b），则由P在CD上，得a+b﹣2=0①又直径|CD|=4，∴|PA|=2，（a+1）2+（b﹣1）2②由①②解得或∴圆心P（1，1）或P（﹣1，3），∴圆P的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4和（x+1）2+（y﹣3）2=4．20．（12分）如图，在四棱锥A﹣DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=，求三棱锥B﹣ACE的体积；（Ⅲ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l．【解答】（Ⅰ）证明：因为DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥DC．…（1分）又因为AC⊥BC，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AC∩CD=C，所以，BC⊥平面ACD．…（3分）因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．所以DE⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：因为底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC．=V E﹣ABC=．…（8分）所以V B﹣ACE（Ⅲ）证明：因为底面DCBE为平行四边形，所以BC∥ED．…（9分）因为BC⊄平面ADE，ED⊂平面ADE，所以BC∥平面ADE．…（10分）因为，平面ADE∩平面ABC=l，BC⊂平面ABC，所以BC∥l．…（12分）21．（12分）已知椭圆C的焦点为（﹣2，0）和（2，0），椭圆上一点到两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于A，B两点．当m变化时，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由题可知：长轴长，即，半焦距c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）联立，消去y并整理得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，其根的判别式△=（4m）2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，解得，由题意，知m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得：，，设直线l与y轴的交点为E，则E（0，m）．所以△AOB面积，====（0＜m2＜12），∴当m2=6即时，△AOB面积取得最大值．22．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x，，，f（1）=2ln1+1=1，所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′）x）=+m﹣1=；（1）当m≥1时，f'（x）＞0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）当m＜1时，令f'（x）=0，解得x=．当m≤0时，f'（x）＜0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；当0＜m＜1时，当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：（∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．。
专题16 几个特殊函数(对勾函数绝对值函数等)-2021原创精品之高中数学黄金100题系列(解析版)
第16题 几个特殊函数（对勾函数、绝对值函数等） I.对勾函数一、对勾函数的定义 形如)0,0(>>+=b a x b ax y 的函数，叫做对勾函数. 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的图象与性质 1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xb ax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）. 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即ab x -=时取等号）. 函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+. 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数. 4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a b 或a b x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(ab -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab 上为增函数. 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xb ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限. 当0>x 时，x b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax x b ax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方. 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线. 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示：例1.【河北唐山市2015届高三上学期期末(文)】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3-【答案】A考点：函数值、函数的奇偶性.例2.【云南省师范大学附属中学2015届高三月考文】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞【解析】试题分析：∵'2()323f x x tx =-+，由于()f x 在区间[1,4]上单调递减，则有'()0f x ≤在[1,4]上恒成立，即23230x tx -+≤，也即31()2t x x ≥+在[1,4]上恒成立，因为31()2y x x=+在[1,4]上单调递增，所以3151(4)248t ≥+=，故选C ．例2. 【山西省2016届高三四校联考】若函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2Ⅱ.绝对值函数一、绝对值函数的定义形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数.二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R2.值域：),0[+∞3.单调性函数)(x f 在）（a b -∞-,上为减函数，在),(+∞-ab 上为增函数.例3.【浙江省台州中学2015届高三上第三次统考（理）】函数{}()min 2,2f x x x =-，其中 {},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】 试题分析：作出函数()x f 的图象所示，由⎪⎩⎪⎨⎧-==22x y x y ，得()()()202222≤≤=-x x x ， 得324-=x ，因此，()232,324--A ，由图知，m y =与 ()x f y =图象有三个交点，则2320-<<m不妨设32120x x x <<<<，则由m x =12，得421m x = 由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=， 即2=m 时取到等号，故答案为D.例4.【北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷数学（文科）】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.【答案】2-或4；(1,3]-考点：1.分段函数值；2.函数的零点.Ⅲ.取整函数一、取整函数的定义考点1.取整函数与程序框图例5. 【2016届高三山西省四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为 A. 5 B. 7 C. 9 D. 122.取整函数与函数的周期性例6.（陕西省西北工业大学附属中学2015届高三下学期二模考试数学（文）试题）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D试题分析：因为f （x ）=x-[x]，所以f （x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f （x ），∴f （x ）=x-[x]在R 上为周期是1的函数．所以选D ．考点：函数的周期性.三、取整函数与函数的零点例7.（天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（文）试题）已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦作出g （x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点， 由图象可知：5443≤<a . 故答案为：5443≤<a .例8.【2014学年杭州地区重点中学高三数学(理)】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x =-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＜0，此时[x ]＜0；若﹣1≤x ＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1，因为[x]≤x ＜-1；[x]≤x ＜[x]+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜, 且[][]1x x 随着[x]的增大而增大． 又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x（）有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3． 若[x]=1，有121≤<a 若[x]=2，有132≤<a 若[x]=3，有143≤<a 若[x]=4，有154≤<a 若[x]=-1， 有a ＞1；若[x]=-2，有1≤a ＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若[x]=-4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a 故选：B ．例9.【2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（文科）试题】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A．510xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B．410xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C．310xy+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D．10xy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：新定义及函数解析式的求法.。
【恒心】(2014海淀二模)北京市海淀区2014年高三二模数学(文科)试题及参考答案(Word版答案)【首发版】
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模） 数 学 （文科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合{|1}A x x =≥，那么集合A R ð等于A.{|1}x x >B.{|1}x x >-C.{|1}x x <D.{|1}x x <- 2. 已知命题p: 210x x x ∃∈+-<R ，,则p ⌝为A. 210x x x ∃∈+->R ，B.210x x x ∀∈+-≥R ，C. 210x x x ∃∉+-≥R ，D.210x x x ∀∉+->R ，3. 下列函数中，既是偶函数又在区间0+∞（，）上单调递增的是A.3y x =B.y x =C.cos y x =D.2x y =4. 设2log 3a =，4log 3b =，sin90c ︒=，则A.a c b <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<5. 下面给出的四个点中, 位于10,10x y x y ++>⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内,且到直线10x y -+=的距离为22的点是A.(1,1)-B.(2,1)-C.(0,3)D.(1,1) 6. 已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示， 若AD AB AC μλ+=，则=+μλA. 2B. 2-C. 3D. 3-7. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离，李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）： ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的序号为ABCDB AA.①②B. ②③C. ①③D. ①②③8. 已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2+i 的模等于______.10. 若抛物线22y p x =(0)p >的准线经过双曲线221x y -=的左顶点，则p =_____.11. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12. 下列函数中：①sin 2y x =-；②cos2y x =；③3sin(2)4y x π=+，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数()sin 2f x x =的图象重合的是_____.（填上符合要求的函数对应的序号）13. 已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_____号区域的总产量最大，该区域种植密度为_____株/2m .5432187654324.5O1 2.40.721.281.00.60.40.28765432O12m 种植密度（株数/）单株产量（千克）区域代号区域代号EFB 1A 1C 1D 1B CDA 是 否开始n >1021n n =+输出S结束S =0，n =1 S =S +n三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x a =-+,a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分13分）下图为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况:记Δx =本月价格指数-上月价格指数. 规定：当Δ0x >时，称本月价格指数环比增长； 当0x ∆<时，称本月价格指数环比下降；当0x ∆=时，称本月价格指数环比持平. （Ⅰ）比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（Ⅱ）直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降．．的月份. 若从这12个 月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都．环比下降的概率; （Ⅲ）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,AB AC AC AA ⊥=，E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面AA 1 C 1C ；（Ⅱ）若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ，试确定点D 的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：EF ⊥A 1C .18.（本小题满分13分）已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G 的离心率为22,短轴端点分别为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若C ,D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）给定正整数3k ≥，若项数为k 的数列{}n a 满足：对任意的1,2,,i k =，均有ki a k S ≤-1（其中12k k S a a a =+++），则称数列{}n a 为“Γ数列”．（Ⅰ）判断数列1,3,5,2,4-和2323333,,444是否是“Γ数列”，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为“Γ数列”，求证：0i a ≥对1,2,,i k =恒成立；（Ⅲ）设{}n b 是公差为d 的无穷项等差数列，若对任意的正整数m ≥3，12,,,m b b bF EB 1C 1A 1BA C均构成“Γ数列”，求{}n b 的公差d ．北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数 学 （文科）参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014-2015学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与解析(文科)
，解
得 a1=1． ∴﹣ 0.8=1+6d，解得 d=﹣0.3，∴ a8=﹣0.8﹣0.3=﹣ 1.1，∴ S8=0.7﹣ 1.1=﹣0.4，满 足条件．
∴ an=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（ n﹣ 1） =1.3﹣0.3n≥0，解得
=4+ ，
因此当 n=4 时， Sn 取得最大值． 故选： A．
即 t ? ﹣ =0， ∴ t×1×1cos60°﹣12=0； 解得 t=2， ∴实数 t 的值是 2． 故答案为： 2．
12．（5 分）已知函数 f（x）=
的最小值为
．
，则 f（f（0））=
；f（x）
【解答】 解：由于函数 f（x）=
，
则 f（ 0） =1，f（1）= ．
则 f（ f（0））= ； 当﹣ 1≤x≤ 0 时， y=x2+x+1 的对称轴为 x=﹣ ∈[ ﹣1，0] ，
4．（5 分）已知点 A（1，0）， B（0，﹣ 1），向量 =（1， 1），那么（ ）
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A． = B． ∥ C． ⊥ D．| ≠ | | 【解答】 解：∵ A（ 1， 0），B（0，﹣ 1）， ∴ =（﹣ 1，﹣ 1） =﹣（ 1，1）=﹣ ，
∴
．
故选： B．
5．（5 分）已知函数 f（x）=ax2+x（ a 为常数），则函数 f （x﹣1）的图象恒过点 （） A．（﹣ 1，0） B．（0，1） C．（1，1） D．（1，0） 【解答】 解：∵ f（x）=ax2+x 恒过（ 0，0）， ∴函数 f（x﹣1）的图象恒过点（ 1，0）， 故选： D．
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﹣ 0.4，可得 d=﹣1.1，a1=7.3．
2014-2015上期高二文科数学试题(解析版)
2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积( ) A ．9 B ．39 C ．18 D ．3183.已知数列,则 ）项.A. 19B. 20C. 21D. 22 4.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．105.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若693=+a a ，则=11S （ ） A ．12 B ．33 C ．66 D ．996.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ，则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±237.若实数y x ,满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数y x z +=2的最大值是 （ ）A.-3B.23C.2D.38.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形9.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3212.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值e D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.当1->x 时,不等式a x x ≥-++111恒成立，则实数a 的最大值是14.在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-=，则角C 的大小为 ．15.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）． 16.已知正实数,x y 满足221x y xy ++=，则+x y 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分）17.（本题10分）数列{}n a 的通项公式是672+-=n n a n ． （1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ （3）该数列从第几项开始各项都是正数？18.（本题12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积4=∆ABC S ，求c b ,的值.19. （本题12分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.20. （本题12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+-（1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．21. （本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T22. （本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014—2015学年上学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.C 10.A 11.D 12.C 二、填空题 13.0 14.34π15. ①②④16.3三、解答题17.【解析】（1）当4=n 时，6647424-=+⨯-=a ． 3分（2）令150=n a ，即150672=+-n n ，解得16=n 或9-=n （舍去），即150是这个数列的第16项．6分（3）令0672>+-=n n a n ，解得6>n 或1<n （舍）．所以从第7项起各项都是正数． 1018.【解析】(1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯==b B a A . 6分 (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=， ∴ 175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 12分 19.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 6分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立. 12分max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞20.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． 4分 ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 6分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 8分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 10分 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 21.【解析】（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n nn T n n --=+=++ 12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN ︒＝()sin 120AMθ︒-． 因为MN ＝2,所以AM ＝3sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)－3sin(θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值 此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。
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北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）
A． B． C． D．
2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（） A． 4 B． C． 1 D． 3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）
A． 8 B． C． D．6 4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（） A． B． 1 C． D．2
5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（） A． ∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限 B． ∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限 C． ∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限 D． ∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限
6．（4分）已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（） A． ∀F∈BC，EF⊥AD B． ∃F∈BC，EF⊥AC C． ∀F∈BC，EF≥ D．∃F∈BC，EF∥AC 8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（） A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．
10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．
11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．
12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为． 13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为．
14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1． （Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；
（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围． 16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．
17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a． （Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF； （Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF； （Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值．
18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点． （Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标； （Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）
A． B． C． D．
考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆． 分析： 直线的倾斜角与斜率之间的关系 解答： 解：设倾斜角为θ，θ∈ 可得，解得m=4． 故选：A． 点评： 本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．
3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）
A． 8 B． C． D．6 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥， 棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，
故棱锥的体积V==， 故选：B 点评： 本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．
4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（） A． B． 1 C． D．2
考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 直线与圆． 分析： 根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论．
解答： 解：圆心到直线的距离d=，
则直线l被圆O所截的弦长为==， 故选：C 点评： 本题主要考查直线和圆相交的应用，根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键． 5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（） A． ∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限 B． ∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限 C． ∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限 D． ∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限
考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 解答： 解：命题为特称命题， 则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限， 故选：C 点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
6．（4分）已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑． 分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解答： 解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列， 若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立， 即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件， 故选：C． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．
7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（） A． ∀F∈BC，EF⊥AD B． ∃F∈BC，EF⊥AC C． ∀F∈BC，EF≥ D．∃F∈BC，EF∥AC
考点： 棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由题意画出图形，利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE，由此说明A正确；由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误；举例说明C错误；由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误． 解答： 解：如图， ∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点， ∴BE⊥AD，CE⊥AD， 又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确； 由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF， ∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误； 取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误； AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误． 故选：A．
点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了线线垂直与线面平行的判定，考查了空间想象能力，是中档题．
8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（） A． B． C． D．
考点： 两点间距离公式的应用． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 化简方程+|y|=1，得到x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，通过图象观察，即可得到到原点距离的最小值． 解答： 解：+|y|=1即为
=1﹣|y|， 两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|， 即有x2=1﹣2|y|， 作出曲线W的图形，如右：
则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为． 故选A．
点评： 本题考查曲线方程的化简，考查两点的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=1或﹣1． 考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 直线与圆． 分析： 由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可． 解答： 解：当a=0时，第二个方程无意义，
故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，
由直线平行可得a=，解得a=±1 故答案为：1或﹣1 点评： 本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
解答： 解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x ∴双曲线的渐近线方程为 故答案为： 点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
11．（4分）已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7． 考点： 椭圆的定义． 专题： 计算题．