结构力学第三章
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结构力学第三章
极 值
有尖角
(尖角突出方 向同Fy指向)
有突变
(突变值 为MO)
为 零
注：
• (１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶 作用，M＝０。 • 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用， 则该截面弯矩＝此外力偶值。
• (２)自由端处如无集中力偶作用，则该 端弯矩为零。 • 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯 矩＝此外力偶值。
FQBA
B
FQBE
D E FP3=1kN
FxA =3kN FyA =3kN
A
MA=15kN· m
（2）、作弯矩图:
• • • • • • • • 求各杆杆端弯矩: 5 1 CB段: MCB=0 MBC=1kN· (左侧受拉) 1.25 m BE段: MEB=0 MBE= - 4kN· m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN· (左侧受拉) m MAB=15kN· m(左侧受拉) 15
一系列简支梁的M图
21.25kN· m
静定多跨梁与相应的多个简支梁弯矩图的比较 后，可以看到：在多跨静定梁中弯矩分布要均匀一 些。这是由于多跨静定梁中设置了带伸臂梁的基本 部分。这样，一方面减小了附属部分的跨度，另一 方面，在基本部分的支座处产生了负弯矩，它使跨 中正弯矩减小。 一般来说，多跨静定梁较相应的多个简支梁， 材料用量可以少一些，但构造要复杂一些。
FP2=4kN
q=0.4kN/m
FP3=1kN
FxA=3kN 先求各杆杆端弯 矩，再用分段叠加法 MA=15kN· m FyA =3kN 作弯矩图。
作隔离体图,如左图:
FP1=1kN FP2=4kN
FP1=1kN
C
MBC
B FQBC
FP2=4kN
结构力学第三章静定结构组合结构及拱
0 FNJ 右 FQJ 右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
结构力学第三章-扭转
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
结构力学第3章
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
结构力学第三章
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学-第三章
M FN FQ M+dM
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
《结构力学》第三章 单跨静定梁
l
l/2 l/2
MM
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
M
1 ql2 2
P 1 ql2
4
l
l/2 l/2
l
M
2M
MM
l
l
lM
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 ql2 2
P 1 ql2
4
q
1 ql2
l
l/2 l/2
2l
l
M
2M
M
MM
M
M
M
M MM
M
l
l
MM
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
M图
Q图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
Q图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
1 ql2 16
种结构型式?
简支梁(两个并列) 多跨静定梁
连续梁
例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截
面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.
q
A
D
B
C
x
l
l
RD
q
q(l x)2 / 8
RD
B
解: RD q(l x) / 2()
M B qx2 / 2 q(l x)x / 2 q(l x)2 / 8 qx2 / 2 q(l x)x / 2
结构力学第3章
MA
MB
(b)
Fp
(c)
abFp/l MA MB
(d)
下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段——区段 区段 下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段 叠加法。 叠加法。 以图示简支梁的KJ段为例说明区段叠加法应用过程 段为例说明区段叠加法应用过程。 以图示简支梁的 段为例说明区段叠加法应用过程。
q
M CA = M CB = VB × 4 − Fp × 2 = 120 kN.m
1 V A = (F p × 2 + q × 4 × 6 ) = 70kN 8
MC FNC C FQC
图(b) 70
Fp=40kN
B
VB
FQ图(kN)： ：
⊕
x 10
⇓ 50 M图(kN.m)： 图 ：
极值点的弯矩 在剪力图中， 在剪力图中，利用几何关系得
(1)无荷载区段，M图为斜直线，故只需求出该区段任意 无荷载区段， 图为斜直线 无荷载区段 图为斜直线， 两控制截面的弯矩便可绘出； 两控制截面的弯矩便可绘出； (2)均布荷载区段，M图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段， 图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段 向相同； 向相同； (3)M图的极值点，或在 Q=0处，或在 Q发生变号处； M图的极值点，或在F 处 或在F 发生变号处；
1.1 截面法的基本步骤 (1)将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开(截)； 将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开 截 ； 将结构沿所求内力的截面 (2)取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象（ ），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象 称隔离体）， 研究的作用用内力代替（ 研究的作用用内力代替（取）； (3)对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力 对研究对象应用平衡方程， 对研究对象应用平衡方程 （列方程求解）。 列方程求解）。 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（ 束反力）必须为已知或已求出。 束反力）必须为已知或已求出。 1.2 梁的内力正负符号规定 轴力F 拉力为正； 轴力 N——拉力为正； 拉力为正 剪力F 绕隔离体顺时针方向转的为正； 剪力 Q——绕隔离体顺时针方向转的为正； 绕隔离体顺时针方向转的为正 弯矩M——使梁下部纤维受拉的为正。 使梁下部纤维受拉的为正。 弯矩 使梁下部纤维受拉的为正 下面举例说明截面法及其应注意的事项
结构力学第3章
M图(kNm)
12
3-3 静定平面刚架
例
2kN/m
解
（1）求支反力
x xB yA
C
D
3m
F 0， F F 0， F M 0， M
y A
0 12 kN
A
12 kNm
A 12kNm 4m
B
1m
FxB=0
（2）作内力图
2m
FyA=12kN
3-3 静定平面刚架
8
4 12 12 4 16
例
l q
解
FP=ql
l ql
l/2
l/2 ql FN图 ql2/2 ql2/8
ql
ql
0
ql FQ图
ql2/2
M图
3-3 静定平面刚架
例 M M/2l M/2l l l 0 M/2 M/2l FN图 l l M/2l 解 M/2l
FQ图
M图
M/2
3-3 静定平面刚架
例 FP l FP l 0 Pl FP FPl FN图 解 FP
FP 2 FP FP 2
xB yA
FyA=FP /2
FP /2
（2）作内力图
FPa
FP /2
FN图
FP FQ图
M图
3-3 静定平面刚架
例
2FP A FyA=3FP/4 B FxB=2FP l C FP
解 （1）求支反力
l
（2）作内力图
l/2
FyC=7FP/4 FP
l/2
3FPa/4 F a/2 P FPa/4 FQ图 M图
R NC
FQ图
5kN
5kN
FN图
★取隔离体时： a：约束必须全部断开，用相应的约束反力来代替。 b：正确选择隔离体，标上全部荷载。
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计算反力并绘
x2=3m VA 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
VA VA
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
（2）内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m l2 12 2
0.600
0.000
A
1
x2=3m
1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375
2
y2
q=2kN .m
6m x 6m 3m
B
3
2
4 5 6 7
P=8kN
0.000
8
M图 kN.m
N图 kN
Q图 kN
f=4m
3.4.3三铰拱的受力特性
1. 在竖向荷载作用下，会产生水平推力 ——对拱趾处基础要求较高； 2.由于水平推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比简支 梁的弯矩小 ——适合大跨度结构； 3.在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 轴力较大，且一般为压力 ——便于利用抗压性能较好而抗拉 性能较差的材料。 再现赵州桥
qc
f y
q qc y
y
y*
x
e
x
shx chx
e x , 即
y
H
y
qc , H
d y 1 qc y 2 dx H
特征方程为：
2
2
H
0
x
H
H
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
7.5 0.832 9.015kN
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 6.796 11.235 11.665 11.700 3.325 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
y x A ch
x B sh
x
作业：3-16
3.4.4三铰拱的合理拱轴线
1.定义： 通常，拱截面上受到轴力、剪力和弯矩 的作用。当拱所有截面只受到轴力作用， 而处于无剪力和弯矩作用时，材料的使 用更经济。这种在某固定荷载作用下， 使拱正好处于无弯矩状态的拱的轴线， 称为合理拱轴线。
∵在荷载、跨度、矢高给 三铰拱的合理轴线 定时，H是一个常数.∴合理拱 轴线与相应的简支梁的弯矩图 在给定荷载作用下使拱内各截面弯 形状相似，对应竖标成比例. 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。 在荷载、跨度给定时，合 由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0 理拱轴线 随 f 的不同而有多 可得合理拱轴线方程为 条,不是唯一的。 0
y（x）=M°(x)／H = f
qx M ( x) (l x) 2
0
ql 2 M 8 A
0 C
M ( x) 0 MC
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q y C
f
M 0 ( x) 4 f 2 x(l x) y ( x) f 0 MC l
x x
B
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。
H
y C1e
C2 e
x
H H qc y a , 代入原方程， a 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H qc x 0 , y 0 A 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
↓↓↓↓↓
A
P
x
B H
N VA
l/2
d
x
P d
y
Q
c
a
l/2
↓↓↓↓↓
l
VB
YA M° Q°
YB
φ在左 半拱为 正，右 半拱为 负
Q＝（VA－P）×cos－H×sin Q＝Q°× cos － H×sin
x－ M M ＝VA －P P× ×d d－H×y A× x 0 M＝ M°－H×y
VA VA
x 0
P1 d
H A HB H
VA
l1
l
l2
VB
P1
P2
c
f
MC 0
Mc0
c
V
A
H
VA l1 P 1 d H f 0
MC M H f 0 H f C
V
B
l1
VA
2、内力计算
H M P H VA YA
P
C
f a
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2
3.三现赵州桥
例1.求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 n q
t
d / 2
N+dN
r ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
由 t 0， N cos
d
N
d d N dN cos 0, 得 dN 0 2 2 即拱截面上的轴力N为常数。 d d 由 n 0， N sin N dN sin qds 0, 2 2 得 Nd qds 0
由于d很小， d d 取 sin , 2 2 并略去高阶微量，
故
r
N q
由于N为常数，故r也为常数。
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
例2、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线， 设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q q 。 y
C
[解]由拱截面弯矩计算式
因事先
M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
qc+.f
M M H y M H f y 0 M y f H
d2y 1 d2 M 2 dx H dx 2
对简支梁来说， d M q x 2
2
M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
l/2
ql/2
赵州永济桥
3.4.2竖向荷载作用下三铰拱的计算
一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a 2
HA
b1
c
f
b2
P2
HB
MA 0
MB 0
1 VB Pa 1 1 P 2 a2 l 1 V A Pb 1 1 P 2b2 l
VB VB
4 4 2 3 1 12 12
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 15 . 7.5 3
15 . kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
3.4三铰拱
3.4.1三铰拱的组成和类型
1.三铰拱的组成 2. 拱的基本特点：在竖向荷载作用下，会 产生水平推力。 —— 水平推力是否存在，是区别拱与梁的 主要标志。 3.举例：赵州桥
拱高 跨度 拱顶 拱趾
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q y C
f
A
x
B
l/2
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql/2 l
N＝－（VA－P）sin－Hcos
N＝－Q°sin －Hcos
q=2kN .m y
2 1 0 3 4 5
P=8kN
6 7 8 B
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
f=4m H 7.5kN VB 9kN
2 y2 x
7.5kN
A
4f y 2 x l x l 制内力图。