知识点246 对顶角、邻补角(选择题)
2020年七年级下数学《对顶角、邻补角》练习题 (46)
2020年七年级下数学《对顶角、邻补角》练习题
1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；
（2）请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．
【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据角平分线的定义求解即可得到∠DOE，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义∠DOF，然后根据∠EOF ＝∠DOE+∠DOF计算即可得解；
（2）根据互余的角和互补的角的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴∠EOF＝∠DOE+∠DOF＝55°+35°＝90°；
（2）与∠AOD互补的角有∠AOC和∠BOD；
与∠AOE互余的角有∠BOF和∠DOF．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
1。
5.1相交线(邻补角、对顶角、垂线)
5.1.1 相交线一、选择题:1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • )A.150°B.180°C.210°D.120° 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 图3 二、填空题:(每小题2分,共16分)5.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.6.如图8所示,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•则∠BOE=_________.7.如图9所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,• 且∠BOE:∠EOD=2:3,则 ∠EOD=________.图5 图8 图9三、 训练平台:(每小题10分,共20分)8.如图所示,AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE•的 度数.12121221OFE D CB A 60︒30︒34l 3l 2l 112O ED C BA OF EDC B A O ED C BAOE DCBA9.如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.四、 探索发现:(每小题8分,共16分)10.若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角?几对邻补角？若n 条不同的直线相交于一点呢?垂线一、选择题:1.如图1所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 图1 2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( ) ①一条直线的垂线只有一条;②若两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 ③互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角; ④在平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图2所示,AD ⊥BD,BC ⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD 的范围是( )A.大于acmB.小于bcm 图2C.大于acm 或小于bcmD.大于bcm 且小于acm 5.到直线L 的距离等于2cm 的点有( )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定6.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cmcb a 3412DCBADCBA三、训练平台:(共15分)7. 如图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG 的度数.五、探索发现:(共20分)8.如图6所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线. (1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.六、中考题与竞赛题:(共20分)9.(2001.杭州)如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.NM BA10. 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=0.5∠EOC ， ∠DOE=72°，求∠EOC 的度数.11.(画图)画一个钝角三角形，将其三条边上的高作出来.G OF EDCBA ODC BA。
相交线与平行线知识点+考点+典型例题
第二章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
【典型例题】考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互补；（8）两直线不相交就平行；（9）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（10）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（11）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
13.1邻补角、对顶角(作业)原卷版
13.1邻补角、对顶角（作业）一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列说法中：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．不正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．④③2．（2019·上海市市八初级中学七年级期中）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角；B．邻补角一定互补；C．互补的两角一定是邻补角；D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等；3．（2019·上海七年级单元测试）下列图中,∠1和∠2是对顶角的有( )个.A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于( )A．150°B．180°C．210°D．120°5．（2019·上海浦东新区·七年级期中）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）在下列四个选项中的图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( ). A ． B ．C ．D ．二、填空题7．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=40°，那么∠1=_____．8．（2019·上海市市西初级中学七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，120BOC ∠=︒，那么这两条直线夹角的度数是______．9．（2019·上海黄浦区·七年级期中）如图，直线CD EF 、相交于点O ，若95COF ∠=︒，那么直线CD 与EF 的夹角大小为_____________．10．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，直线AB、CD相交，若∠1=100°，则直线AB、CD的夹角为_________°.11．（2019·上海市香山中学七年级期中）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3=_________.∠=∠+︒，12．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图：直线AB，CD相交于点O，若13220则直线AB与CD的夹角度数为________．13．（2019·上海浦东新区·七年级期末）互为邻补角的两个角的大小相差60︒，这两个角的大小分别为_____________14．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，∠1、∠2、∠3从小到大的顺序为_____________．15．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）如图，直线AB与CD交于O点，3-180︒∠∠=，则2∠=_______．16．（2019·上海长宁区·七年级期末）如图，已知直线,AB CD 相交于点O ，如果40BOD ∠=︒，OA 平分COE ∠，那么DOE ∠=________度.17．（2019·上海市中国中学七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O,且.∠AOD=130°，直线AB 与CD 的夹角等于_________18．（2019·上海浦东新区·七年级月考）如图，直线MN 、PQ 相交于点O ，∠NOE ：∠QOE =2:3，∠MOP=50°，则∠QOE=__________.三、解答题19．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOE=30°，求∠BOD 和∠BOC 的度数．20．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）如图，已知直线a、b相交，∠1=2∠2，求∠1、∠2、∠3、∠4的度数．21．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）观察图形，回答下列各题：（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；。
最新沪教版七年级下册(知识点归纳)-相交线 平行线
平行线的性质平行线的判定平行公理同位角、内错角、同旁内角点到直线的距离垂线段及性质垂线及性质邻补角、对顶角及性质两条直线被第三条直线所截两条直线相交平行线相交线直线的位置关系【相交线——对顶角、邻补角】1、在同一平面内的（不重合的）两条直线位置关系：相交、平行；在同一平面内的两条相交．．．．直线的位置关系：斜交、垂直。
2、相交直线：斜交（两条直线夹角为锐角）➢ 邻补角：有公共顶点，有一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
● 邻补角是互补的，但互补的角不一定是邻补角。
● 若A ∠与B ∠互为邻补角，则180A B ∠+∠=；● 2条直线相交，有4对邻补角。
➢ 对顶角：两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。
● 若A ∠与B ∠互为对顶角，则A B ∠=∠；● 2条直线相交，有2对对顶角。
3、相交直线：垂直（两条直线夹角为直角）➢ 垂直的基本性质：在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以做一条，并且只能作一条。
（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）➢ 线段的垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线。
简称中垂线。
➢ 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（简单的说，垂线段最短）【相交线——三线八角】1、两条直线被第三条直线所截（三条直线相交）➢ 同位角：在同一平面内，直线a 、b 被直线l 所截；在直线a 、b 的同侧，在直线l 的同旁。
➢ 内错角：在直线a 、b 之间，在直线l 的同旁。
➢ 同旁内角：在直线a 、b 的之间，在直线l 的同旁。
2、判断三线八角：“视而不见”“抽出三线”➢ 关键词：找出要判断的两个角有没有公共边．．．，若有公共边，则公共边为截线，其余两边为被截线；若无公共边，则此二角不是同位角、内错角、同旁内角其中之一。
(2021年整理)邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角经典习题-一对一专用
编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角经典习题-一对一专用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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对一专用编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是我们任然希望（完整版)邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角经典习题-一对一专用这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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专题 两条直线的位置关系(知识点串讲)(学生版)
专题05两条直线的位置关系重难突破知识点一对顶角、邻补角、互余、互补1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．2、对顶角两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．如图1∠和3∠是对顶角；2∠和4∠是对顶角对顶角的性质：对顶角相等．注意：①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。
对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．3、邻补角两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，1∠和2∠有公共顶点O ，有一条公共边OC ，OA 与OB 互为反向延长线，所以1∠和2∠互为邻补角；4、余角和补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．（2）性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．典例1（2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，1∠是对顶角的是()∠与2A．B．C．D．典例2（2020春•南山区期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OE为DOB∠∠=︒，则DOEAOC∠的角平分线，若54的度数为()A．25︒B．26︒C．27︒D．28︒典例3（2020春•高明区期末）如图，直线AB CD⊥于点O，EF为过点O的一条直线，则1∠的关系中一定成立∠与2的是()A．互为邻补角B．互为补角C．互为对顶角D．互为余角知识点二垂直、垂线段最短1、垂直两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB 与CD 互相垂直，记作AB CD ⊥或（CD AB ⊥），读作“AB 垂直于CD ”，垂足为O ；注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况．2、垂线的性质平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段．典例1（2020春•揭阳期中）若点A 到直线l 的距离为7cm ，点B 到直线l 的距离为3cm ，则线段AB 的长度为()A ．10cmB ．4cmC ．10cm 或4cmD ．至少4cm典例2（2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是()A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直典例3（2020•南海区校级模拟）如图，CA AB ⊥，EA AD ⊥，已知45DAB ∠=︒，那么EAC ∠的大小是()A ．50︒B ．45︒C ．30︒D ．60︒巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，1∠与2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．2．（2019•紫金县一模）如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，若1290∠+∠=︒，则BOC ∠的度数是()A ．100︒B ．115︒C ．135︒D ．145︒3．（2019春•光明区期末）如图，CO AB ⊥，垂足为O ，90DOE ∠=︒，下列结论不正确的是()A ．1290∠+∠=︒B ．2390∠+∠=︒C ．1390∠+∠=︒D ．3490∠+∠=︒4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC∠的∠=︒，则BOEEOC∠，100大小为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒5．（2020秋•长春期末）如图，AC BCAC=，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可⊥，4能是()A．3.5B．4.5C．5D．5.56．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB CD⊥，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是()A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是()A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短8．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分AOC∠=︒，则CON∠的度数为BOD⊥．若70∠，ON OM()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒二、填空题（共5小题）9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是（用字母表示）．10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线a与直线b相交于点O，231∠=∠，2∠=．11．（2021春•南海区校级期中）如图，E是直线CA上一点，40⊥，∠，GE EF∠=︒，射线EB平分CEFFEA则GEB∠=︒．12．（2020春•金山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，40⊥，则DOE∠的∠=︒，过点O作EO ABAOC度数为．13．（2021春•金牛区校级月考）已知A∠的大小∠的3倍少20︒，则A∠与的B∠比B∠两边分别垂直，且A是．三、解答题（共2小题）14．（2021春•简阳市月考）如图所示，直线AB、CD相交O，OE AB∠=∠，求BOD∠DOE COE⊥于O，且3的度数和AOD∠的度数．15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，90∠=︒．AOM（1）如图1，若OC平分AOM∠的度数；∠，求AOD（2）如图2，若4∠的度数．∠，求MONBOC NOB∠=∠，且OM平分NOC。
(完整版)邻补角-对顶角-垂线练习
邻补角，对顶角,垂线习题1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE，则图中互余的角有 ( ）A。
3对 B.4对 C。
5对 D.6对2.下列说法中错误的个数是（ )（1）一个角的邻补角只有一个（2）一个角的邻补角一定大于这个角(3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角,一个是钝角（4）钝角的邻补角一定为锐角A.1个B.2个 C。
3个 D。
4个3.下列说法中正确的是（）A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角D.有一条公共边的两个角是邻补角4.画一条线段的垂线，垂足在（）A.线段上 B。
线段的端点 C.线段的延长线上 D。
以上都有可能5.点到直线的距离是指这点到这条直线的 ( ）A。
垂线段 B。
垂线的长 C。
长度 D.垂线段的长6.下列语句正确的是（ )A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中,垂线最短C.平分线段的直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7.下列作图语句正确的是（）A.作直线MN的中垂线B.过点P作线段AB的垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ，使它平分线段AB8。
若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（ )A. a＜bB. a＞b C。
a≤b D。
a≥b9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）A。
0个 B。
1个 C.2个 D.3个10。
若点A,B分别位于直线l的两侧,点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）A.等于13cmB.大于13cmC.不小于13cmD.小于13cm11。
两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是（）A。
4.1相交线2024-2025学年七年级数学上册同步学与练(华东师大版2024)[含答案]
4.1相交线课程标准学习目标①了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；②理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；③理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；④能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算．1．了解相交线和对顶角的概念．2．理解对顶角相等．3．会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算．4．解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线．5．了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直”6．了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念．相交线知识点邻补角与对顶角垂线同位角、内错角、同旁内角题型对顶角的识别与对顶角、邻补角有关的计算垂线定义的理解画垂线垂线段最短点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角知识点01邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．注意：（1）邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．（2）邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．（3）互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．（4）邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线．2．对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．注意：（1）由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．（2）对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线．3．邻补角与对顶角的关系角的名称特征性 质相 同 点不 同 点对顶角①条直线相交形成的角；②有一个公共顶点；①有公共边．对顶角相等．①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现的．①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对．邻补角①条直线相交而成；②一个公共顶点；③一条公共边．邻补角互补．注意：两直线相交，一个角的对顶角有1个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有2个，而补角则可以有无数个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系．【即学即练1】（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）1．如图，直线AB CD EF ,,相交于点O ，则AOC Ð的对顶角是 ，AOC Ð的邻补角是．知识点02 垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．【微点拨】（1）记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ^r r；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB ⊥CD 于点O ．（2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：=90AOC а¬¾¾®判定性质CD ⊥AB ．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）．【微点拨】（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．（2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．【微点拨】（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【微点拨】（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【即学即练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）2．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，则下列条件不能判断AB CD ^的是（ ）A ．AOC BOD ÐÐ=B ．=90AOC °∠C ．AOC BOCÐ=ÐD ．180AOC BOD Ð+Ð=°知识点03 同位角、内错角、同旁内角1．“三线八角”模型如图，直线AB 、CD 与直线EF 相交（或者说两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图．【微点拨】⑴两条直线AB ,CD 与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2． 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB 、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB 、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角．（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB 、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角．【微点拨】 （1）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角．（2）“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．3．同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征【微点拨】巧妙识别三线八角的两种方法：（1）巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨．（2）借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图．【即学即练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）3．如图，直线a，b被直线c所截，1Ð的位置关系是（）Ð与2A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角题型01对顶角的识别【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）4．下列四个图形中，1Ð为对顶角的图形是（）Ð与2A．B．C．D．【变式1】（2024·河北唐山·三模）5．如图，直线a与直线b交于点A，此时图中有两对对顶角，若过点A再画一条不与直线a，b重合的直线c，则新增加的对顶角有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）6．如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（ ）A．9对B．10对C．11对D．12对【变式3】（2024·湖北宜昌·模拟预测）Ð互为对顶角的7．如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与AOM是（）A ．MOE ÐB ．NOB ÐC ．B OB ¢ÐD ．B ON¢Ð题型02 与对顶角、邻补角有关的计算【典例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）8．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，220AOC AOE Ð-Ð=°，射线OF 平分DOE Ð，若60BOD Ð=°，则AOF Ð= ．【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）9．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且13AOC AOD ÐÐ=：：，则BOD Ð的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）10．如图所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1Ð的邻补角是 ，2Ð的对顶角是 ．【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）11．如图，直线AB CD ，相交于点O ON ，把AOD Ð分成两个角，且AON Ð与NOD Ð的度数之比是2:375BOC Ð=°，．(1)求AON Ð的大小．(2)如果OM 平分BON Ð，那么OB 是COM Ð的平分线吗？试说明理由．题型03 垂线定义的理解【典例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）12．如图，OC AB ^，垂足为O ，直线DE 经过点,50O COD Ð=°，则BOE Ð=°．【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）13．如图，点O 在直线l 上，当1Ð与2Ð满足 时，OA OB ^．【变式2】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）14．如图所示，直线AB ，CD 交于点O ，OE AB ^，OD 平分ÐBOE ，则BOC Ð= ．【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）15．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ^，OF CD ^．(1)写出图中AOF Ð的余角 ；(2)如果15EOF AOD Ð=Ð，求EOF Ð的度数．题型04 画垂线【典例4】（21-22七年级下·全国·课后作业）16．下列各图中，过直线l 外的点P 画l 的垂线CD ．三角尺操作正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）17．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）A ．1B ．2C ．无数D ．不存在【变式2】（23-24七年级下·云南·期中）18．下列四个图形中，过点B 作AC 的垂线，正确的是（ ）A．B．C．D．【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）19．如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点．(1)画射线AC，线段BC；(2)过点C作l的垂线段．题型05垂线段最短【典例5】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）20．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线C．弯曲河道改直D．两钉子固定木条【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）21．点A 是直线l 外一点，点B 是直线l 上一点，点A 到l 的距离为3cm ，则AB 3cm ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）22．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ．【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）23．根据下列要求画图：(1)连接AB ，画直线OA ，画射线OB ；(2)在直线OA 上找到一点C ，使线段BC 是点B 与直线OA 上各点的所有线段中长度最短的线段．题型06 点到直线的距离【典例6】（22-23七年级下·上海·期中）24．如图，在三角形ABC 中，90BAC Ð=°，D 为垂足，则下列说法中，错误的是（ ）A ．点B 到AC 的距离是线段BC 的长B ．点B 到AD 的距离是线段BD 的长C ．点C 到AD 的距离是线段CD 的长D ．点C 到AB 的距离是线段AC 的长【变式1】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）25．点P 为直线l 外一点，点A 、B 在直线l 上，若5cm PA =，7cm PB =，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．5cmB ．小于5cmC ．不大于5cmD ．6cm【变式2】（23-24七年级下·福建厦门·期末）26．若P 为直线l 外一定点，A 为直线l 上一点，且1PA =，d 为点P 到直线l 的距离，则d 的取值范围为（ ）A ．01d <<B ．01d £<C ．01d <≤D ．01d ££【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）27．在已知平面内，点P 是直线l 上一点，点M ，N 到直线l 的距离分别是5cm 3cm ，，且MP l NP l ^^，，则线段MN 的长度是 ．题型07 同位角、内错角、同旁内角的识别【典例7】（22-23七年级上·吉林长春·期末）28．下列所示的四个图形中，1Ð和2Ð是同位角的是（ ）A ．②④B ．①②④C ．①②③D ．①④【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）29．如图，按各组角的位置，说法正确的是（ ）A ．1Ð与4Ð是同旁内角B ．3Ð与4Ð是内错角C ．5Ð与6Ð是同旁内角D ．2Ð与5Ð是同位角【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期中）30．由图可知，1Ð和2Ð是一对（ ）A ．对顶角B ．同位角C ．内错角D ．同旁内角【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）31．如图，直线BD 上有一点,1C Ð和ABC Ð是直线,AB CE 被直线 所截形成的 角；2Ð和BAC Ð是直线CE 和AB 被直线所截形成的 角；3Ð和ABC Ð是直线 和 被直线 所截形成的 角．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）32．如图，直线a ，b 相交，140Ð=°，则23Ð-Ð等于（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．120°（2024七年级下·全国·专题练习）33．数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）A ．同旁内角、同位角、内错角B ．同位角、内错角、同旁内角C ．内错角、同旁内角、同位角D ．内错角、同位角、同旁内角（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）34．如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．1Ð和2Ð是同位角B ．1Ð和4Ð是内错角C ．1Ð和3Ð是内错角D ．∠1和3Ð是同旁内角（23-24七年级下·全国·单元测试）35．如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，那么1Ð的同位角是（ ）A ．2ÐB ．3ÐC ．4ÐD ．∠5（23-24七年级下·北京丰台·期末）36．用三角板过点A 作BC 所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）37．如图，12ÐÐ、是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2024·山东日照·中考真题）38．如图，直线,AB CD 相交于点O ．若140,2120Ð=°Ð=°，则COM Ð的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）39．如图，点P 是直线l 外的一点，点,,A B C 在直线l 上，且PB l ^，垂足是点,B PA PC ^，则下列判断不正确的是（ ）A ．线段PB 的长是点P 到直线l 的距离B ．PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短C ．线段AC 的长是点A 到直线PC 的距离D ．线段PC 的长是点C 到直线PA 的距离（23-24七年级下·全国·期末）40．如图，一辆汽车在笔直的公路上由A 向B 行驶，M 是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（ ）A ．D 点B ．E 点C ．F 点D ．N 点（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）41．如图，直线、AB CD 相交于点O ，OE CD ^于点O ，60AOE =°∠，则BOC Ð的度数为（ ）A ．135°B ．145°C ．150°D ．125°（23-24七年级下·广东肇庆·期中）42．如图，1Ð和3Ð是直线， 被直线 所截构成的角．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）43．如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BN 的长度，这样测量的依据是 ．（23-24七年级下·全国·期末）44．如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，133Ð=Ð，275Ð=°，则4Ð= ．（24-25七年级上·全国·课后作业）45．如图，直线DE 与BC 相交于点,O COE Ð与AOE Ð互余，35BOD Ð=°，则AOE Ð= °．（22-23七年级下·全国·课后作业）46．如图，3Ð和9Ð是直线AD ，BD 被直线AC 所截而成的 角；7Ð和9Ð是直线BC ，DB 被直线AC 所截而成的 角；6Ð和1Ð是直线BC ，CD 被直线DB 所截而成的角．（24-25七年级上·全国·课后作业）47．已知直线,AB CD 相交于点,90,O AOF OA Ð=°平分EOC Ð．（1）如图①，若50AOE Ð=°，则COF Ð= °，BOD Ð= °；（2）如图②，若EOC COF Ð=Ð，则AOE Ð= °，与AOE Ð互补的角有 ．（23-24七年级下·广西梧州·期末）48．在ABC V 中，90,3,4,5ACB BC AC AB Ð=°===，点D 是AB 边上的动点（除A B 、点外），则线段CD 的取值范围是 ．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）49．如图所示，如果12260Ð+Ð=°，则3Ð的度数为 ．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）50．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC Ð，OF OE ^于O ，若80AOD Ð=°，则COF Ð= ．（23-24七年级下·全国·期末）51．如图，直线AB CD ，相交于点O ，OA 平分EOC Ð，12EOC EOD ÐÐ=∶∶，则BOD Ð等于 ．（23-24七年级下·陕西安康·期中）52．如图，l 为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A 处引到田里去，请在河边l 上求作一点P ，使水渠PA 最短，作出水渠PA 的示意图．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）53．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOD Ð，36BOE Ð=°．求AOC Ð的度数．（23-24七年级下·全国·期末）54．噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由点A 向点B 行驶，M 是位于AB 一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由．(1)汽车行驶到什么位置时，学校M 受噪声影响最严重？(2)在什么范围内，学校M 受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校M 受噪声影响越来越小？（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）55．如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOD Ð，OF OE ^．(1)证明：OF 平分BOC Ð；(2)如果:4:7AOC BOF ÐÐ=，过点O 作射线OM AB ^，请在备用图中画出射线OM ，并求MOE Ð的度数．（24-25七年级上·全国·课后作业）56．如图，直线,AB CD 相交于点,O OE 平分,90,BOD EOF OF ÐÐ=°平分BOC Ð吗？为什么？（23-24七年级下·全国·期中）57．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分EOC Ð．(1)若72EOC Ð=°，求BOD Ð的度数；(2)若:1:2EOC EOD ÐÐ=，求BOD Ð的度数．（23-24七年级下·全国·单元测试）58．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，DOE Ð是直角，OF 平分AOE Ð，22BOD Ð=°，求AOE Ð和COF Ð的度数．（23-24七年级下·全国·单元测试）59．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OD 平分ÐBOE ，OF 平分AOE Ð．(1)求DOF ∠的度数．(2)若:1:5AOC AOD ÐÐ=，求EOF Ð的度数．（23-24七年级下·全国·单元测试）60．如图，直线AB 与CD 相交于O ，OF ，OD 分别是AOE Ð，ÐBOE 的平分线．(1)写出DOE Ð的补角；(2)若30DOE Ð=°，求BOC Ð和EOF Ð的度数；(3)试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）61．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使60AOC Ð=°，点M 在射线OB 上，射线ON 在直线AB 的下方，且OM ON ^．(1)将图1中的MON Ð绕点O 逆时针旋转至图2，使射线OM 在BOC Ð的内部并恰好平分BOC Ð，求CON Ð的度数．(2)在（1）的条件下，反向延长射线ON 得到射线OD ，如图3所示，判断射线OD 是否平分AOC Ð，请说明理由．(3)将图1中的MON Ð绕点O 按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，ON 边所在的直线恰好平分锐角AOC Ð，则t 的值为__________秒．（直接写出答案）1． BOD Ð##DOB Ð AOD Ð和COBÐ【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可．【详解】解：AOC Ð的对顶角是BOD Ð；AOC Ð的邻补角是AOD Ð，COB Ð；故答案为：BOD Ð；AOD Ð，COB Ð．【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解．2．A【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为90°．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．【详解】解：A 、AOC BOD ÐÐ=是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；B 、=90AOC °∠可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；C 、AOC Ð和BOC Ð是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到90COB Ð=°，能判定垂直，故此选项不符合题意；D 、AOC Ð和BOD Ð是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到=90AOC °∠，故此选项不符合题意；故选：A ．3．C【分析】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键．根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论．【详解】解：∵ 直线a ，b 被直线c 所截， 1Ð 与2Ð两个角都在截线c 的同侧，且夹在两条被截直线a ，b 之间，1\Ð与 2Ð是同旁内角．故选：C ．4．B【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可．【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有B 选项中的1Ð与2Ð为对顶角，故选：B ．5．C【分析】此题考查了对顶角，画出图形，再判断增加的对顶角即可.【详解】解：如图，直线c 与直线a 相交得到两对对顶角，直线c 与直线b 相交得到两对对顶角，共增加了4对对顶角，故选：C6．D【分析】本题考查了对顶角，找出交点的个数与对顶角组数的数量关系是解决此类问题的关键．两条直线相交有一个交点，在交点处有两对对顶角；三条直线交于一点对顶角有六对，根据交点与对顶角的数量关系求解即可．【详解】解：图中的对顶角有222612+++=（对），故选D7．D【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键．【详解】解：由图可得，与AOM Ð互为对顶角的是B ON ¢Ð，故选：D ．8．70°##70度【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由AOC Ð与BOD Ð是对顶角，则60AOC BOD Ð=Ð=°，从而求出20AOE Ð=°，故有100DOE Ð=°，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵AOC Ð与BOD Ð是对顶角，∴60AOC BOD Ð=Ð=°，∴180120AOD AOC Ð=°-Ð=°，∵220AOC AOE Ð-Ð=°，∴20AOE Ð=°，∴100DOE AOD AOE Ð=Ð-Ð=°，∵ 射线OF 平分DOE Ð，∴1502DOF DOE Ð=Ð=°，∴1205070AOF AOD DOF Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：70°．9．A【分析】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握领补角和对顶角的性质是解题的关键．利用领补角的性质结合13AOC AOD ÐÐ=：：，求出AOC Ð，再利用对顶角即可求解．【详解】解：∵直线AB 、CD 相交于点O ，∴180AOC AOD Ð+Ð=°，∵13AOC AOD ÐÐ=：：，∴3AOD AOC ÐÐ=，∴3180AOC AOC Ð+Ð=°，解得：45AOC Ð=°，∴45BOD Ð=°，故选：A ．10． 2Ð和4Ð 4Ð【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案．【详解】解：由图形可知，1Ð的邻补角是2Ð和4Ð，2Ð的对顶角是4Ð，故答案为：2Ð和4Ð，4Ð．11．(1)30AON Ð=°(2)OB 是COM Ð的角平分线，见解析【分析】本题主要考查了对顶角的性质、按比例分配、角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．（1）根据对顶角的性质可得75AOD Ð=°，然后根据角的和差和:2:3AON NOD ÐÐ=即可解答；（2）根据角的和差可得150BON Ð=°，再根据角平分线的定义可得75BOM Ð=°，即BOC BOM =∠∠，从而解决问题．【详解】（1）解：∵AOD Ð与BOC Ð为对顶角，且75BOC Ð=°，∴75AOD Ð=°，又∵,:2:3AOD AON NOD AON NOD Ð=Ð+ÐÐÐ=，∴30AON Ð=°．（2）解：OB 是COM Ð的角平分线，理由如下：∵30AON Ð=°，∴180********BON AON Ð=°-Ð=°-°=°．又∵OM 平分BON Ð，∴1752BOM BON Ð=Ð=°．∴BOC BOM =∠∠，∴OB 是COM Ð的角平分线．12．40【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义．利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算．【详解】解：∵OC AB ^，∴=90AOC а，∵50COD =°∠，∴905040AOD AOC COD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴40BOE AOD Ð=Ð=°．故答案为：40．13．1290Ð+Ð=°【分析】本题主要考查了垂直的定义理解，补角的定义，根据当OA OB ^时，则90AOB Ð=°，然后利用补角的定义求出1290Ð+Ð=°，即可得出答案．【详解】解：当OA OB ^时，则90AOB Ð=°，∵12180AOB Ð+Ð+Ð=°，∴1218090AOB Ð+Ð=°-Ð=°，即当1290Ð+Ð=°时，OA OB ^．故答案为：1290Ð+Ð=°．14．135°##135度【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．由垂直的定义得到90AOE BOE Ð=Ð=°，根据角平分线的定义得到1452BOD BOE Ð=Ð=°，根据平角的定义即可得到结论．【详解】解：∵OE AB ^，90AOE BOE \Ð=Ð=°，Q OD 平分ÐBOE ，1452BOD BOE \Ð=Ð=°，18045135COB \Ð=°-°=°故答案为：135°．15．(1)AOC Ð、FOE Ð、BODÐ(2)30°【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键．（1）由垂直的定义可知90AOF COA Ð+Ð=°，90AOF FOE Ð+Ð=°，从而可知COA Ð与FOEÐ是AOF Ð的余角，由对顶角的性质从而的得到BOD Ð是AOF Ð的余角；（2）依据同角的余角相等可知AOC EOF Ð=Ð，15EOF AOD Ð=Ð，从而得到16EOF Ð=平角．【详解】（1）解：∵OE AB ^，OF CD ^，∴90AOF COA Ð+Ð=°，90AOF FOE Ð+Ð=°．∴COA Ð与FOE Ð是AOF Ð的余角．∵由对顶角相等可知：AOC BOD ÐÐ=，∴90BOD AOF Ð+Ð=°．∴BOD Ð与APF Ð互为余角．∴AOF Ð的余角为AOC Ð，FOE Ð，BOD Ð；故答案为：AOC Ð，FOE Ð，BOD Ð．（2）解：∵AOC EOF Ð=Ð，180AOC AOD Ð+Ð=°°，15EOF AOD Ð=Ð，∴6180AOC Ð=°．∴30EOF AOC Ð=Ð=°．16．D【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与l 重合，另一条直角边过点P 后沿直角边画直线即可．【详解】解：用直角三角板的一条直角边与l 重合，另一条直角边过点P 后沿直角边画直线，∴D 选项的画法正确，故选：D ．17．A【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【详解】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1，故选：A ．18．A【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可．【详解】解：过点B 作AC 的垂线，则垂足在直线AC 上，只有A 选项符合题意，故选：A ．19．(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了作图-复杂作图，射线，线段，垂线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法．（1）根据射线、线段的定义即可画出射线AC ，线段BC 即可；（2）根据垂线的定义，画出过点C 作l 的垂线段即可．【详解】（1）解：如图，射线AC ，线段BC 即为所作；（2）如图，垂线段CD 即为所作．20．A【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；故选：A．21．不小于【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．【详解】解：AQ为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为3cm，\当AB l^时，3cmAB=；当AB不与直线l垂直时，3cmAB>．\³．AB3cm故答案为：不小于．22．PM##MP垂线段最短【分析】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的关键．根据直线外的点P到直线EN的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案．^于M，【详解】解：∵PM EN∴搭建方式最短的是PM，理由是垂线段最短，故答案为：PM；垂线段最短．23．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短：（1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可；（2）过点B 作BC OA ^于C ，根据垂线段最短可知点C 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，过点B 作BC OA ^于C ，点C 即为所求．24．A【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可．【详解】解：A 、点B 到AC 的距离是线段AB 的长，本选项错误，符合题意；B 、点B 到AD 的距离是线段BD 的长，本选项正确，不符合题意；C 、点C 到AD 的距离是线段CD 的长，本选项正确，不符合题意；D 、点C 到AB 的距离是线段AC 的长，本选项正确，不符合题意，故选：A ．25．C【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P 到直线l 的距离应小于等于PA 的长度．【详解】解：∵点P 到直线l 的距离是点P 到直线l 所有点的连线中最短的线段的长度，∴点P 到直线l 的距离应小于等于PA 的长度，即点P 到直线l 的距离是不大于5cm ．故选：C ．26．C【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案．【详解】解：由垂线段最短可知：01d <≤，。
对顶角与邻补角练习
一、选择题1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221个 个 个 个2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • )° ° ° °OFE D CB A O DCBA 60︒30︒34l 3l 2l 112(1) (2) (3) 3.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. |个 个 个 个4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC•的度数为( ) ° ° ° °5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°;D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 二、填空题1. 如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.34D CBA 12OFED CB A OE D CBA(4) (5) (6) 2.如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______. 》3.如图5所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.4.如图6所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=•______.5.对顶角的性质是______________________.6.如图7所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.ODC BA 12OE D CBA OE DCBA(7) (8) (9)7.如图8所示,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,•则∠EOB=______________. 8.如图9所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,• 且∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=________. 三、训练平台1. 如图所示,AB,CD,EF 交于点O,∠1=20°,∠BOC=80°,求∠2的度数.&OFEDCBA122. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.34l 3l 2l 112四、提高训练1. 如图所示,AB,CD 相交于点O,OE 平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE•的度数.OE CBA2. 如图所示,直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD 的度数.ODCBA3. 如图所示,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.cba3412【答案:一、二、1.∠2和∠4 ∠3 ° 25° 155° ° 5.对顶角相等 •6 .125° 55° ° 三、1.∠2=60° 2.∠4=36°四、1.∠BOD=120°,∠AOE=30° 2.∠BOD=72° 3.∠4=° :五、条不同的直线相交于一点,图中共有12对对顶角(平角除外),n 条不同的直线相交于一点,图中共有(n 2-n)对对顶角(平角除外). 条直线最多可以把平面分成22个部分,n 条直线最多可以把平面分成(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个部分.六、∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角.如图1所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的一侧 时,不是对顶角;如图2所示,当射线OC,OD 位于直线AB 的两侧时,是对顶角.(1)D C BA21(2)O CBA七、140°.。
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246 对顶角、邻补角（选择题） 1、（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）
A、∠2和∠3 B、∠1和∠3 C、∠1和∠4 D、∠1和∠2 2、（2011•桂林）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、 3、（2010•漳州）如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）
A、50° B、60° C、140° D、160° 4、（2009•辽宁）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（ ）
A、20° B、40° C、50° D、80° 5、（2008•湘西州）如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（ ）
A、120°，60° B、130°，50° C、140°，40° D、150°，30° 6、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3 7、下图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 2
A、 B、 C、 D、 8、下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
A、 B、 C、 D、 9、下面各图中的∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、
C、 D、 10、以下说法正确的是（ ） A、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角 B、两条直线相交，任意两个角都是对顶角 C、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D、两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角 11、在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是（ ）
A、 B、
C、 D、 12、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=70°，则∠BOD的度数是（ ）
A、20° B、30° C、35° D、40° 3
13、下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A、 B、 C、 D、 14、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个 15、下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、
C、 D、 16、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=45°，则∠1的度数是（ ） A、45° B、90° C、135° D、45°或135° 17、下图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、 C、 D、 18、如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（ ）
A、150° B、130° C、100° D、90° 19、下列说法中，正确的是（ ） A、相等的两个角是对顶角 B、对顶角就是与同一个角互补的两个角 C、互为对顶角的两个角不能互补 D、以同一个角为邻补角的两个角是对顶角 20、如图，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1+∠2+∠3=（ ） 4
A、90° B、120° C、180° D、360° 21、三条直线AB，CD，EF相交于同一点O，则图中对顶角有（ ）
A、6对 B、5对 C、4对 D、3对 22、下面四个图形中，∠1与∠2为对顶角的图形是（ ）
A、 B、 C、 D、 23、下图中∠1、∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、
C、 D、 24、如图所示，直线AB，CD交于点O，下列说法正确的是（ ）
A、∠AOD=∠BOD B、∠AOC=∠DOB C、∠AOD+∠BOC=361° D、以上都不对 25、下列说法中，正确的是（ ） A、一个角的补角一定比这个角大 B、一个角的余角一定比这个角小 C、一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上 D、有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 26、邻补角是指（ ） A、和为180°的两个角 B、有公共顶点且互补的两个角 C、有一条公共边且相等的两个角 D、有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 27、在下列四个选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ） 5
A、 B、 C、 D、 28、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（ ）
A、150° B、180° C、210° D、120° 29、右图中，直线a、b、c相交于一点，则其中互为对顶角的一组角是（ ）
A、∠1与∠2 B、∠1与∠4 C、∠1与∠3 D、∠2与∠3 30、如图，直线AB与CD相交于点O，OE是射线，则∠AOC的对顶角是（ ）
A、∠BOD B、∠EOB C、∠COE D、∠EOD 31、下列说法中正确的有（ ）个． ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． A、1 B、2 C、3 D、4 32、如图直线AB、CD相交于点O，如果∠1比∠3的2倍还多30°，那么∠2的度数是（ ）
A、50° B、120° C、130° D、150° 33、如图，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（ ） 6
A、∠1=90°，∠2=30°，∠3=∠4=60° B、∠1=∠3=90°，∠2=∠4=30° C、∠1=∠3=90°，∠2=∠4=60° D、∠1=∠3=90°，∠2=60°，∠4=30°
34、如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC=236°，则∠AOC=（ ） A、72° B、62° C、124° D、144° 35、如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（ ）
A、3对 B、4对 C、5对 D、6对 36、如图，直线a、b相交，∠1=130°，则∠2+∠3=（ ）
A、50° B、100° C、130° D、180° 37、邻补角是指（ ） A、和为180°的两个角 B、有公共顶点且互补的两个角 C、有一条公共边且相等的两个角 D、有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 38、如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1的邻补角有（ ）个．
A、1 B、2 C、3 D、4 39、①若a2=b2，则a=b；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|；④如果∠A=∠B，那∠A与∠B是对顶角．其中假命题的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 40、下列说法，其中属于不正确说法的是（ ） A、对顶角相等 B、等角的补角相等 7
C、两点之间连线中，线段最短 D、过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 41、下列命题中，真命题的是（ ） A、邻补角的平分线互相垂直 B、若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互为邻补角 C、若两个角相等，则这两个角为对顶角 D、同位角都相等 42、如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，若∠AOC=38°，则∠DOM=（ ）
A、62° B、52° C、42° D、38°
43、一个角等于它的邻补角的，则这个角为（ ） A、90° B、60° C、45° D、30° 44、两条直线相交，形成的邻补角是（ ）对． A、2 B、4 C、6 D、8 45、如图是一把剪刀，其中∠1=40°，则∠2=（ ）
A、20° B、40° C、60° D、140° 46、如图是对顶角的有（ ）对．
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 47、如图，直线l1，l2，l3相交于点O，若∠1=22°，∠2=46°，则∠3的度数为（ ）
A、112° B、102° C、68° D、46° 48、（1）延长射线OM； （2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°； （7）相等的两个角是对顶角； （8）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．以上说法正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 8
49、如图 AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD且与EF交于点O，那么与∠AOE（∠AOE除外）相等的角有（ ）个．
A、3 B、4 C、5 D、6 50、如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为（ ）
A、149° B、121° C、95° D、31° 51、如图中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、 C、 D、 52、猜谜语（打几何名称）两牛相斗（ ） A、外角与内角 B、平行线 C、邻补角 D、对顶角 53、如图，直线a、b相交，∠1=36°，则∠3=（ ）
A、36° B、54° C、144° D、64° 54、如图，O为直线AB线上的一点，∠COD=90°，OE是射线OC的反向延长线，以下两个结论：①∠AOC与∠BOD互为余角；②∠AOC与∠BOE相等，则（ ）
A、①②都对 B、①②都错 C、①对②错 D、①错②对 55、如图，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A、 B、