初中数学竞赛辅导资料(14)_3
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
初中数学竞赛辅导资料(不等关系)
初中数学比赛指导资料(37)不等关系甲内容概要1.不等式三个基天性质：①不等式两边都加上 (或减去 )同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
②不等式两边都乘(或除以 )同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式两边都乘(或除以 )同一个负数，不等号的方向改变。
2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所构成的一元一次不等式组的解集。
设 a>b,不等式组的解集是 x>a的解集是x<b的解集是b<x<a的解集是空集3.几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理①三角形随意边两边的和大于第三边，随意两边的差小于第三边。
② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。
直角三角形中，斜边大于任向来角边。
④ 有两组边对应相等的两个三角形中假如这两边的夹角大，那么第三边也大；假如第三边大，那么它所对的角也大。
⑤随意多边形的每一边都小于其余各边的和乙例题例 1. 已知： x≤ 2，求以下代数式的取值范围：① 7－ 3x, ②解：①∵ x≤ 2，∴两边乘以－3，得－3x≥－ 6两边加上7，得7－ 3x ≥ 7－ 6∴ 7－3x ≥ 1②设＝ y, x+1=xy,(y－ 1)x=1x= ≤2，在两边乘以y－ 1 时，依据不等式基天性质 2 和 3，得不等式组：或或∴ y≥ 1.5或y<1即≥ 1.5 或＜ 1例 2.设实数 a,b 知足不等式＜，试决定 a,b 的符号。
(1995 年全国初中数学联赛题 )解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变两边平方得， a2－ 2(a+b)+(a+b) 2 <a2－2a(a+b)+(a+b) 2化简，得（ a+b） >a，可知a≠ 0， a+b≠0两边除以得，a+b>明显不等式要建立，只有，故 a<0由此得 a+b>－，明显只有a+b>0,又∵ a<0,故b>0∴a,b 的符号是： a<0, b>0例 3.已知： O 是△ ABC 内的一点求证：＜＜ 1剖析：此题实质是要证明2（OA ＋OA＋OC）＞ AB ＋BC＋CA①且 OA ＋OB ＋OC＜AB ＋BC ＋CA ②证明：①∵ OA ＋ OB＞ ABOB ＋ OC＞BCOC＋OA ＞CA∴2（OA ＋ OB ＋ OC）＞ AB ＋ BC ＋CA②延伸 BO交AC于D，∵AB ＋AD ＞OB＋OD，OD＋DC＞OC∴AB ＋ AC ＞OB＋ OC，同理 AB ＋ BC＞ OA ＋ OC， BC＋ CA ＞ OA ＋ OB 即 2（AB ＋BC ＋CA ）＞ 2（OA ＋OB＋OC）∴＜＜ 1例 4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：△ ABC 中，∠ ACB ＝ Rt ∠， CD⊥ AB 于 D求证： CA ＋CB ＜ AB ＋ CD证明：设CD ＝ h, a,b,c 是∠ A，∠ B，∠ C 的对边依据勾股定理， a2+b2=c2, ∴a2+b2＜ c2＋h2 ①依据三角形面积公式 ab=ch ∴2ab＝ 2ch ②①＋②：（ a+b）2 <(c+h) 2∵ a+b>0, c+h>0∴ a+b<c+h又证明：（用求差法）假定同上由 ab=ch,得 h=(a+b) － (c+h)=a+b － c－＝＝∵ c>0, a－c<0, c－ b>0 (直角三角形中斜边大于任向来角边)∴(a+b)－ (c+h) ＜ 0∴(a+b)＜ (c+h)再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB －CB在 AB 上截取 BE ＝ BC，在 AC 上取 CF＝ CD ，两等腰△ BCE 和△ CDF顶角∠ B=∠ DCF∴底角∠ 2＝∠ 1∴四边形CDEF 是圆内接四边形∠ EFA ＝∠ CDE ＝ Rt∠∴ AF<AE，即AF－CF<AB－BE，AC － CD<AB － CB∴CA ＋CB＜AB ＋CD例 5.已知：△ ABC 中， D， E 分别在 BC，AC 上，∠ B＝∠ 1＝∠ 2 假如△ ABC ，△ ADC ，△ EBD 的周长挨次为 m,n,p求证：（ 1989 年全国初中数学联赛题）证明：设 BC ＝ a，AC ＝ b， AB ＝c∵∠ 1＝∠ 2，∴DE∥AC，∴△ ABC ∽△ EBD ∽△ DAC∴，即 DC ＝BD ＝BC －DC ＝ a－ =∴，∴－＋≤例 6.已知：△ ABC 中， AB ＝AC ， D 是三角形内的一点，∠ADB ＞∠ ADC 求证：∠ DBC ＞∠ DCB剖析：为使已知条件∠ADB ＞∠ ADC 集中在一同，把△ ABD 绕着点 A 旋转，使 AB 和 AC 重合，即作△ ABD 的全等三角形ACE证明：作∠ CAE ＝∠ ABD ，使 AE ＝ AD ，连接 CE，DE那么△ ACE ≌△ ABD ， A∴ CE＝ BD ，∠ ACE ＝∠ ADB ＞∠ ADC∵∠ ADE ＝∠ AED ，∴∠DEC＞∠EDC ，D E∴ DC＞CE ，即 DC＞ BD∴∠ DBC ＞∠ DCB B C丙练习 371.已知 a≥，那么 9－6a 的值是＿＿＿＿2.已知 b= ,当a≥3时，b的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿3.已知 a<0, 且＞则 x 的取值范围是＿＿＿＿（1991 泉州市初中数学双基赛题）4.四边形 ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ， CD=7，则 AD 的合适范围是＿＿＿＿5.等边△ ABC 的边长为1，点 P 是三角形内一点求证 1.5＜PA＋ PB＋ PC＜ 2（1989年泉州市初二数学双基赛题）6.已知梯形ABCD 中， AB ∥ CD， AD>BC ，求证∠ A<∠ B7.已知△ ABC 中，三条角均分线AD ， BE ， CF 订交于一点O，作 OH⊥BC 于 H，求证∠COH>∠ CAO8.已知： AD ， BE ， CF 三条高订交于一点H ，求证：9.已知：△ ABC 中，∠ A>90 ， AB<AC ，边 AB ，AC 的中垂线，分别交BC于D和E求证： BD<CE10 四边形 ABCD 中， AB=CD ，∠ C>∠ B ，则∠ A> ∠ D11. 在△ ABC 中，①若 AD 是中线，则∠ DAC>DAB②若 AD 是角均分线，则 AB+CD>AC+BD12. 已知：△ ABC 中 AB=AC ，点这点 P 是三角形内的一点，∠ PBC> ∠ PCB求证：①∠ PAB< ∠ PAC ②∠ APB> ∠ APC13. 已知：△ ABC 中 M 是 BC 的中点， D， E 分别在 AB ，AC 上，∠ DME=Rt ∠求证：BD+CE ≥ DE14. △ ABC 中， AC ≥ 2AB ，则∠ B>2 ∠C15. 已知：正有理数 a1是 .的一个近似值，设 a2=1+求证：介于 a1和 a2之间提示：设 > a1证 <a 2；2 1再设 >a 证<a返回目录参照答案。
初中数学竞赛辅导_配套课件(用于初一、初二)公开课优质课课件.pptx
(x2 + x − 72)(x2 + x + 70) = 0
x1 = 9, x2 = −8(舍）
利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包 括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.
我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12， 24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是 很麻烦的事.
二次根式
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数， 则当且仅
例１： 解法1： 配方法．
解法2 待定系数法．
例２： 化简：
(1) 4 − 15
(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
例４ 解 用换元法．
例６ 解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数 是无限的特点，有
两边平方得
两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0． (x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
例７
分式
式． 若一个分式分母的值为零，则分式无意义．当分式的分 子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零．
２.分式的基本性质——分式的分子和分母都乘以（或除 以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
当k=1时，
当a+b+c=0时，
部 分 分 数和分 式
一个分式是两个多项式的商。设分子的次数为n，分母的 次数为m。 当n＜m时，该分式称为真分式； 当n≥m时，该分式称为假分式。 如果一个分式不是真分式，可以通过带余除法化为一个多 项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的 真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。
初中生的数学竞赛备考技巧
本节课的核心素养目标包括：
1.逻辑推理：通过分析二次根式的性质和运算规律，培养学生运用逻辑推理能力解决数学问题的能力。
2.数学建模：引导学生将二次根式应用于实际问题，培养学生的数学建模素养，提高解决实际问题的能力。
3.直观想象：通过图形和实际问题，培养学生的直观想象能力，帮助学生更好地理解和应用二次根式。
简短介绍数学竞赛备考技巧的重要性，为接下来的学习打下基础。
2.数学竞赛备考技巧讲解（10分钟）
目标：让学生了解数学竞赛备考的基本方法和策略。
过程：
讲解数学竞赛备考技巧的定义和作用。
详细介绍数学竞赛备考的基本方法和策略，如分析题型、制定学习计划等。
3.数学竞赛案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解数学竞赛备考技巧的特性和重要性。
1.知识方面：大部分学生已经掌握了二次根式的基本知识，如二次根式的定义、性质、运算规律等。然而，学生在实际应用这些知识时，可能会遇到一些问题，如对二次根式的运算顺序、运算方法掌握不牢固等。
2.能力方面：学生的数学运算能力较好，但在解决实际问题时，部分学生可能会出现运算失误。此外，学生在解决竞赛题目时，需要具备较强的逻辑思维能力和直观想象能力。对于这些能力方面的问题，需要在教学中加以培养和提高。
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有《人教版数学八年级上册》教材，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。
2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如二次根式的性质和运算规律的示意图、实际应用问题的案例图片等。
3.实验器材：本节课涉及实验操作，需要准备数学模型、计算器、直尺、圆规等实验器材，确保实验器材的完整性和安全性。
-重点知识点：利用坐标系表示二次根式的图像、顶点、开口方向等。
初中竞赛讲义3
初中数学竞赛辅导班讲义 第三课
1. 数学实验班招生试题答案
10. 7; 11. 10和14; 12. 6 (课件演示); 13. 1048; 14. 7
5; 15. 48; 16. 5和7; 17. 22.
2. 平面上的最值问题
问题1：如图，A 、B 在L 的两侧，在直线L 上求一点P ，使PA + PB 最小。
问题2：如图，A 、B 在L 的同侧，在直线L 上求一点P ，使PA + PB 最小。
A l B
问题3：A 、B 是L 外到L 的距离不等的两点，在L 上求一点P ，使 | PA - PB | 最大。
A l B
问题4：已知△ABC （最大角小于120︒），求一点P 使PA + PB + PC 最小。
B
l B
A l
B
A
问题5：如图，已知L 同侧两点A 、B ，求一点P ，使P 到A 、B 及L 的距离和最小。
l
问题6：求锐角三角形中所有内接三角形周长最小者。
C
应用题 1. 如图, 两个村庄在一条河的同侧, 准备共同出资修建一个抽水站. 问: 抽水站
应该建在何处使铺设管道的总长度最短?
李庄
河 流
应用题2. 有一条宽为定值d 的河流。
在河两侧各有一地，现需在河流上架一桥与河岸垂直，试问桥架在何处，才能使从一地到另一地的路程最短。
应用题3 工厂位于河流AB与铁路CD之间的E点，计划在河边G处和铁路旁F处分别修建转运站. 怎样确定点F、G使三点之间的距离之和最小？。
初中数学竞赛应对技巧(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学竞赛应对技巧数学竞赛是检验学生数学综合素质的有效手段，对于提高学生的数学思维能力、解决问题能力具有重要的促进作用。
初中数学竞赛更是培养学生数学兴趣、挖掘数学潜能的重要途径。
为了帮助学生在初中数学竞赛中取得优异成绩，本文将从以下几个方面介绍应对初中数学竞赛的技巧。
一、了解竞赛特点，明确考查方向初中数学竞赛主要考查学生的数学基础知识、逻辑思维能力、空间想象能力和创新意识。
在竞赛中，学生需要熟练掌握以下几个方面的内容：1.初中数学基础知识，如代数、几何、概率等；2.数学逻辑思维，如归纳总结、推理证明等；3.空间想象能力，如立体几何、平面几何等；4.数学创新意识，如数学建模、数学探究等。
了解竞赛特点，有助于学生在备考过程中有的放矢，有针对性地进行复习。
二、培养良好的数学思维习惯1.细心阅读题目，理解题目要求，避免因粗心大意导致失分；2.分析题目，找出已知条件和求解目标，理清解题思路；3.运用合适的解题方法，注重数学公式、定理的灵活运用；4.检查答案，确保解题过程完整、逻辑清晰。
三、提高解题速度和准确性1.强化训练，提高解题熟练度；2.做好时间规划，合理分配解题时间，避免因时间不足导致题目无法完成；3.培养题目分析能力，快速找出解题关键点；4.注重基础，提高基本运算速度和准确性。
四、积极参加模拟竞赛，提高应试能力1.参加学校组织的模拟竞赛，熟悉竞赛环境和流程；2.分析模拟竞赛中的错误，总结经验教训，及时调整学习方法；3.参加各类数学竞赛培训班，提高专业指导；4.与同学交流学习心得，相互借鉴，共同进步。
五、注重创新能力培养1.参与数学课题研究，锻炼数学探究能力；2.多做创新性数学题，培养数学建模能力；3.参加数学竞赛研讨会，拓宽视野，激发创新思维；4.注重数学与实际生活的联系，培养解决实际问题的能力。
总之，要想在初中数学竞赛中取得好成绩，学生需要扎实的数学基础、良好的数学思维习惯、较高的解题速度和准确性以及创新能力的培养。
初中数学竞赛题 勾股定理
初中勾股定理甲内容提要1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
乙例题例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：5a ＝2492a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2求对角线AC 的长解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30∴CE ＝2CD＝4，在Rt △ABE 中设AB 为x,则AE ＝2x根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=325在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝1325+＝2132例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC 证明：作∠B 的平分线交AC 于D ， 则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C∴AD ＝BD ＝BC作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）＝AC ×AD ＝AB ×BC例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD求证：AB ＝AC证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-n∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得AD 2＝c 2-m 2=b 2-n2 ∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b∴AB ＝AC例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC求证：AC ＞BD证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、FACDE 和BCDF 都是平行四边形∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF作DH ⊥AB 于H ，根据勾股定理 AH ＝22-DH AD ，FH ＝∵AD＞BC ，AD ＞DF∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +∴DE ＞BD即AC ＞BD例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝32求：a b -的值（2001年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a 2+b 2=EF 2＝S EFGH ＝32;①∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31② ① －②得 （a-b ）2=31∴a b -＝33丙练习311. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。
初一数学竞赛辅导第3讲-有理数
第二讲 有理数一、有理数的定义能够表示成既约分数),,0(为互质整数n m n nm ≠的形式的数，称为有理数。
二、有理数的性质1、有序性2、封闭性3、稠密性例 试证：设a 为有理数，b 为大于a 的有理数，试证：没有最小的b 使a<b 。
三、有理数的运算例1 1998×19971997-1997×19981998例2 计算：199739951998199839951997-⨯+⨯例3 计算10032212121211+++++例4 计算200019991431321211⨯++⨯+⨯+⨯例5 计算2012019120192031012014121431432141313213231211211+++++++++++++++++++++++++例6 都不是整数对任意正整数证明：n n n n 313529132+++例7 n S n ∙-++-+-=+1)1(4321 计算：例8 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？例9 计算1+3+5+7+…+1997+1998的值。
四、 有理数大小的比较1、做差法：若a-b >0,则a>b ；若a-b =0,则a=b ；若a-b <0,则a<b.2、做商法： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<==>>>>;1;1;1,0b 0,a b a ba b a ba b a b a ，则若，则若，则若时当例1 比较两个正有理数a 3b 2与a 2b 3的大小。
例2 之间。
与在且均为有理数，证明设b a b a b a 32+<例3 b a b a +≤-求证例4 按大小顺序排列起来。
，，将三个分数199219921991199119911991199019901990190019891989例5 设a 、b 、c 、d 都是非0有理数，试证：-ab,-cd,ac,bd 四数中，至少有一个取正值，且至少有一个负值。
九年级竞赛辅导《数学竞赛常用解题方法》
【点评】本例我们可采用“换元法”． “换元法”最根本的作用 之一就是使复杂的问题简单化，排除那些不必要的形式上的干扰， 从纷纭混乱的结构中，简洁明快的提示出总是的本质特征，从而 找到解决问题的捷径．
一、换元法
一、换元法
分析：本题从方程组的形式上看比较复杂，但通过比较不难发 现，两个方程有着相似之处，于是考虑可采用换元法，从而使 问题简化．
二、特殊化法
二、特殊化法
特殊位置
二、特殊化法
三、整体处理法
例．九个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24， 25，28只球，甲限走若干袋，乙也取走若干袋，最后 只剩下一袋，已知甲取走的球的总数是乙的两倍，则 剩下的那一袋有球（ ）． A．14个 B．16个 C．25个 D．28个 【点评】本题如果试图分别求出甲和乙取走的是那几 袋，然后确定其总球关系，显然不现实，但要是我们 整体考虑球的总数，问题就会变得简单多了．
造性地联想．
((
五、数字化法
例：将平面上n个点P1，P2，P3，…，Pn顺次排列在同一 条直线 l上，每个点均被染上红色或蓝色．如果相邻点间 的线段PiPi+1的两端为不同的颜色，则称PiPi+1为“好线 段”.已知P1和Pn为异色，求证：“好线段”的条数一定 是奇数．
【点评】初看本题似乎无从下手，究其原因，是题目中根本就没 有可以让我们动手操作的数或量．因此我们只有另辟蹊径，把原 本与数字似乎毫不相干的颜色赋以了具体的数值，从而使原有问 题变成了一个纯数学运算问题．将原实际问题中的某些事物赋以 具体的数量，并运用数学运算的结果来回答实际问题，这就是 “数字化法”．需要指出的是，数字化的赋值不是任意的，所赋 的数值要根据实际问题中事物的具体性质而定．本题中“＋1，－ 1”赋值法，是常用的一种数字化赋值的方法．
初中数学竞赛辅导资料--解三角形(doc 6页)
初中数学竞赛辅导资料--解三角形(doc 6页)初中数学竞赛辅导资料（60）解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠).① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2.② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=ba , CotA=ab.④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ，tan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA.⑤ 特殊角的三角函数值：角A 的度数 0 30 45 60 90cASinA 的值 0 212223 1CosA 的值 1232221 0tanA 的值 0 33 13 不存 在CotA 的值 不 存在3133 0锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中) ① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径).② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ；b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA.③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ，Cos(180－A)= － cosA ，又解：连结BD ，设AB 为x ，AD 为y.根据勾股定理 AC 2＝x 2+22=y 2+12.根据余弦定理BD 2＝x 2+y 2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos120.得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-.07032222xy y x y x ，解这个方程组， 得 x=334.(以下同上一解)例2. 已知：如图，要测量山AB 的高，在和B同一直线上的C ，D 处,分别测得对A 的仰角的度数为n 和m ，CD=a. 试写出表示AB 的算式.解：设AB 为x ，BD 为y.在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧=+=.cot cot n x a y m x y ，xCotm=xCotn －a .∴ x=CotmCotn a-. 答：山高AB ＝CotmCotn a-. yn mAB例3. 已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135，∠BCD ＝120，CD ＝6，AB ＝6，BC ＝5－3. 求：AD的长.（1991年全国初中数学联赛题）解：作AE ∥BC 交CD 于E ， BF ⊥AE 于F ， CG ⊥AE 于G ..在Rt △ABF 中，BF ＝6Sin45=3, AF ＝BF ＝3.在Rt △CGE 中，GE ＝CGtan30=3×33＝1,∴CE ＝2， ED ＝4.∴AE=3+5－3+1=6， ∠AED ＝120.在△AED 中，根据余弦定理，得 AD 2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD ＝219.例4. 如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30，∠CAD ＝45，∠DBC ＝75，5－366120135AB CDE FG∠DBA ＝45，AB ＝3.试求C ，D 的距离.解：在△ABC 中， ∵∠ACB ＝∠CAB ＝30，∴BC ＝AB ＝3, ∴AC ＝3cos30=3. 在△ABD 中，∠ADB＝60由正弦定理，45sin AD＝60sin AB ， AD ＝60sin AB×sin45=3÷23×22＝2.在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝32＋（2）2－2×3×2Cos45=5∴CD ＝5.例5. 已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8.求证：∠9和∠10相等或互补(1985年全国初中数学联赛题)证明：根据正弦定理，得3 河流75453045AB CD10987654312A CDEO5sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin OA ODOC OC OB OB ======9sin 8sin 7sin 6sin OAOE OE OD ===.∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.例6. 已知：二次方程mx 2－(m －2)x+41(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.解：作Rt △ABC 斜边上的高CD. 则sinA=AC CD , sinB=BCCD. ∵sinA 和 sinB 是方程的两根， 根据韦达定理，得sinA+ sinB=m m 2-； (1) sinA sinB=mm 41- . (2) 即AC CD BCCD =m m 41-. （3） (1)2－2(2)得：(sinA)2+(sinB)2=(m m 2-)2－mm 21-. ACD∵sinB=cosA, 且(sinA)2+( cosA)2=1，∴(m m 2-)2－mm 21-=1， m 2+7m －8=0, ∴m=1， m=－8.由（3）AC CD BCCD ＝ABCDABCD CD 2＝＝mm 41-.∴CD AB ＝14-m m . 当 m=1 时，没有意义；当m=-8时，CD AB =932.即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9. 丙练习 1. 填空：① 如果从点A 对着点B 测得仰角是60，那么从点B 对着点A 测得的俯角是＿＿度. ② 点C 在点D 的南偏东25，那么点D 在C的方向是＿＿＿＿＿＿.③ 斜坡AB 的坡角是30，那么AB 的坡度i=1∶＿＿＿.④ 锐角A ＞45，那么下列函数的取值范围是：SinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________.⑤ 已知：30＜∠A ＜60，那么如下的函数的取值范围是∠A 的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A 的正切＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知：△ABC 中，∠B ＝45，AC ＝7，点D 在BC 上，CD ＝3， D ＝5.求AB 的长.3. 如图观测塔AB 的高为a 米，从塔顶A 测得地面上同一方向上的两个目标C ，D 的俯角分别是30和45，求CD 的距离.4. 船A 在船B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B 在船A 的东南，问这时两船相距多远？5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A 的北偏东j3045AB30，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60，求船的航行速度. 6. 如图要测量建筑物AB 的高，先在楼下C 测得对顶端A 的仰角为45，然后在楼上D 测得对A 的仰角为30，已知 楼高CD=m 米，求AB.7. 已知：△ABC 中，a=21, b=17, c=10. 求：S △ABC .8. 已知：△ABC 中，SinA ∶ SinB ∶SinC=3∶5∶7.求：△ABC 的最大角的度数.9. 船B 在艇A 的方位角120，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里. A 艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B ？10. 已知：锐角三角形ABC 的外接圆直径AE交BC 于D.求证：tanB ×tanC=AD ∶DE 提示：作BC 边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GED A BC F G11. 已知：△ABC 中，∠A=45，AB=6，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.(1981年福建省初中数学联赛题)12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点M 引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，AD ，连结PR 和MQ 交于N. 求证：MA BMNR PN .(1983年福建省初中数学联赛题)13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c ，△ABC 的外接圆半径R ≤1.求证： Cos<c ≤CosA+3SinA .(1984年全国初中数学联赛题)12N B C PQ A R M A 13c 1J B返回目录参考答案。
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初中数学竞赛辅导资料（14）
经验归纳法
内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，„„，
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
„„„„
归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)
③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42„„
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，
大都是用数学归纳法证明）
例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
„„„
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋„„n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×21n, 即2)1(nn个交点。
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 „„
猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。
例3 求适合等式x1+x2+x3＋„+x2003=x1x2x3„x2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个„„直
到发现规律为止。
解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
„„„„
由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋„+x2003=x1x2x3„x2003的正整数解为x1=x2=x3＝„„=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。
练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数21aa可记作10a1＋a2,三位数321aaa记作100a1+10a2+a3,四位数4321aaaa记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记
作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋„＋n3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①－个1101111252222个＝（＿＿＿）2；；121111n个－22222n个＝（ ＿＿）2。
②位91111位95655＝（＿＿＿＿）2；n位n位56551111＝（＿＿＿）
2
5． 把自然数1到100一个个地排下去：123„„91011„„99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算12111＋13121＋14131＋„＋20191＝
（提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.
8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的
有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的
有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，
两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。