优品课件之高考数学(理科)一轮复习抛物线学案附解答
高考数学第1轮总复习 8.3抛物线(第1课时)课件 理(广西专版)
• l1和l2相交于点M，l1⊥l2，
• 点N∈l1,以A、B为端点的
• 曲线段C上任一点到l2的 • 距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三
角形，|AM|= ，|AN|=3，且|NB|=6，建立 适当的坐标系，17求曲线段C的方程.
• 解：以直线l1为x轴， • 线段MN的垂直平分线为
• 解：如图所示，建立直 • 角坐标系.设桥拱抛物线方程 • 为x2=-2py(p>0).由题意， • 将B(4，-5)代入方程得p=1.6，故x2=-3.2y.
• 船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由
22=-3.2yA，得yA=- 5 . • 又知船面露出水面上4的部分为 m3 ，
• 解： (1)设M、N、P在抛物线的准线上的
• 射影分别为M′、N′、P′， • 则由抛物线的定义， • 得|AM|+|AN|=|MM ′|+|NN′|=xM+xN+2a. • 又圆的方程为［x-(a+4)］2+y2=16， • 将y2=4ax代入得x2-2(4-a)x+a2+8a=0， • 所以xM+xN=2(4-a)，所以|AM|+|AN|=8. • (2)假设存在这样的a,使得2|AP|＝|AM|+|AN|. • 因为|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|， • 所以|AP|=|PP′|.
• •
即 从而2y2+pxy1 -2x20p2=004- y，1 所20以4- y2y1+10y-2y=1 -4
y22，10
p 8
.
• 因为点F( ，p 0)是△ABC的重心，
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 抛物线教案(理)(含解析)苏教版
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立． 答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第52讲 抛物线(含解析)
的中点,则|FN|=
.
[答案] 6
[解析] 设 N(0,t),易知抛物线的焦点 F(2,0),则 FN 的中点坐标为 1, ,因为该点在抛物线上,所以 =8,
所以 t2=32,所以|FN|=
=
=6.
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线
=3,当且仅当 M,N,F 三点共线时取等
号,所以 的最小值为 3,则点 P 到 y 轴距离的最小值为 3-1=2.故选 D.
2.B [解析] 由题意得 =
, - =1,解得 b2=12,a=16.设点 M 到抛物线准线的距离为 d,则由抛物线定
义得 =d,所以|MP|+|MF|=|MP|+d,故当 PM 与 x 轴平行时,|MP|+|MF|有最小值,为 xP+ =4+4=8.
第 52 讲 抛物线
考试说明 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解圆锥曲线的简单应用. 4.理解数形结合的思想.
考情分析
考点
考查方向
考例
抛物线的定 考查定义的应用
3.[2017·天津卷] 设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A, 离心率为 .已知 A 是抛物线 y2=2px(p>0)
的焦点,F 到抛物线的准线 l 的距离为 . (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D,若△ APD 的面积为 ,求直线 AP 的方程. 解:(1)设 F 的坐标为(-c,0).
高考数学一轮复习第9章解析几何第9课时抛物线(一)课件理
(2)在抛物线上求一点 P，使其到抛物线准线的距离与到定点 A 的距离之和最小，将到准线的距离转化为到焦点 F 的距离、利 用“两点之间线段最短”来解．
【答案】 B
12/8/2021
第二十八页，共五十七页。
(3)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物 线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线 的方程为( )
12/8/2021
A．y2＝32x C．y2＝92x
B．y2＝3x D．y2＝9x
第二十九页，共五十七页。
12/8/2021
第二十三页，共五十七页。
(3)(2017·课标全国Ⅱ，理)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦 点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点， 则|FN|＝________．
12/8/2021
第二十四页，共五十七页。
12/8/2021
【解析】 方法1：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2， 0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点 N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2 2，所以 N(0，4 2)，|FN|＝ 4＋32＝6.
【解析】 过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 D，则|PF| ＝|PD|.当点 M(20，40)位于抛物线内时，如图①，|PM|＋|PF|＝|PM| ＋|PD|.
当点 M，P，D 共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42. 当点 M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当点 P，M，F 共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件9.7抛物线
.
关闭
在抛物线上得 p= ,
1 4 5 4
故抛物线的标准方程为 x2=4y,点 F 坐标为(0,1),准线为 y=-1, ∴ |FM|=2,|PQ|=1+ = ,|MQ|=1, 则直角梯形 PQMF 的面积为 ×
13 8
1 8
1 2
5 +2 4
×1= .
13 8
关闭
解析 考点一 考点二 考点三
答案
-15-
2
p
F 0,
p 2
F 0,-
p 2
e=
x=-
x=
p 2
y=-
p 2
y=
p 2
-5-
标准 方程 范围 开口 方向 焦半径(其 中 P(x0,y0))
y2=2px (p>0) x≥0,y∈R 向右 |PF|= ������ x0+
2
y2=-2px (p>0) x≤0,y∈R 向左 |PF|= ������ -x0+
-4-
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 方程
O(0,0) y=0 F
p 2
x=0 ,0 1
p 2
F - ,0
)
B.x=-
1 2 1 32
D.y=-
关闭
抛物线的方程可化为 x2= y,即 2p= ,p=
D
所以准线方程为
1 y=- . 32
1 8
抛物线课件 高三数学一轮复习
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标 分别为x1，x2，x3，
由AF＝13 (AB + AC)，得1－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)， 所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋ 1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝14x2上，点P在x轴上的射 影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是___5_－__1__．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距
离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
答案： C 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1 的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽 宁 辽 阳 模 拟 ] 已 知 抛 物 线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 的 焦 点 为 F ，
M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2
2022届高中数学(理科)【统考版】一轮复习学案：9.7 抛物线 【含解析】
第七节 抛物线【知识重温】一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几 何条件) 平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫做抛物线标准方程y 2＝2px (p ＞0) ②________ ________ ③________ ________ ④________________图形对称轴x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 顶点坐标 O (0,0) O (0,0) O (0,0)O (0,0) 焦点坐标 F (p2，0) ⑦________ ⑧________ ⑨________离心率e e ＝1 e ＝1 ⑩________e ＝1 准线方程 ⑪________x ＝p 2 y ＝p 2⑫________焦半径 公式|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p 2⑬|PF |＝ ________ ⑭|PF |＝________ 范围x ≥0 y ∈R x ≤0 y ∈R⑮________ x ∈R ⑯________x ∈R设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )二、教材改编2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个三、易错易混4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9考点一 抛物线的定义和标准方程 [自主练透型]1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．2B ．1 C.3 D ．43．[2021·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．4．[2021·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y ＝14x 2上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5.设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．悟·技法应用抛物线定义的2个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.考点二 抛物线的几何性质[互动讲练型][例1] (1)[2021·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(2)[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其周长为( )A. 2 B ．2 C ．3 2 D ．6 悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解. [变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·山西晋城一模]已知P 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点．若|PF |＝2，∠PFO ＝π3，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝2xC ．y 2＝xD ．y 2＝4x 2．[2021·东北四市模拟]若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为________．考点三 直线与抛物线的位置关系[互动讲练型][例2] [2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．第七节 抛物线【知识重温】①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2)⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2 ⑭y 0＋p2⑮y ≤0 ⑯y ≥0【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43.∴y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案：A3．解析：抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点有2个．答案：C4．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x ，故选D. 答案：D5．解析：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.答案：[－1,1]6．解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 答案：C课堂考点突破考点一1．解析：解法一 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.解法二 连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.答案：B2．解析：过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，则在Rt △ABF 中，∠AFB ＝π3，|AF |＝4，∴|BF |＝12|AF |＝2，则x A ＝2＋p 2，∴|AF |＝x A ＋p2＝2＋p ＝4，得p ＝2，故选A. 答案：A3．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－p2＝－2，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y .答案：x 2＝－8y4．解析：由题意，得x 2＝4y ，则抛物线的准线方程为y ＝－1.从抛物线上一点P 引抛物线准线的垂线，设P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义知|PM |＝y 0＋1，所以y 0＝4，所以|x 0|＝4，所以S △MPF ＝12×|PM |×|x 0|＝12×5×4＝10.答案：10 考点二例1 解析：(1)设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．(2)解法一 作出图形如图所示，因为△FPM 为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知|PM |＝4|OF |，因为|OF |＝12，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D.解法二 因为△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |，所以PM 垂直C 的准线于M ，设P ⎝⎛⎭⎫m 22，m ，则M ⎝⎛⎭⎫－12，m ，所以|PM |＝12＋m 22，又F ⎝⎛⎭⎫12，0，且|PM |＝|MF |，所以12＋m 22＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋m 2，解得m 2＝3，所以|PM |＝2，所以△FPM 的周长为3×2＝6，故选D. 答案：(1)A (2)D 变式练 1．解析：过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q .∵∠PFO ＝π3，|PF |＝2，∴|PQ |＝3，|QF |＝1，不妨令点P 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2－1，3，将点P 的坐标代入y 2＝2px ，得3＝2p ⎝⎛⎭⎫p2－1，解得p ＝3(负值舍去)，故抛物线C 的方程为y 2＝6x .故选A.答案：A2．解析：由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎫0，18， 设P (x 0,2x 20)， 则|PF |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 20－182 ＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18， 所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.答案：18考点三例2 解析：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.变式练3．解析：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。
高考数学一轮复习 第八章第七节抛物线配套课件 文
15 B.16
7 C.8
D．0
【解析】 M到准线的距离等于M到焦点的距离，又 准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1156.
【答案】 B
2．(2013·汕头质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝8x
C．y2＝－4x
(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－ 2 ( 2，0)，
∴p＝2 2， ∴抛物线的方程为y2＝4 2x或y2＝－4 2x.
，0)或
【答案】 (1)C (2)D
设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦 点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，
则y0的取值范围是( )
(2)由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离， 数形结合求解．
【尝试解答】 (1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1 的圆心C′(0，3)，半径为1.
依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，
∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．
故圆C的圆心轨迹是抛物线．
【答案】 (1)A (2)56
已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是 M，点A(72，4)，求|PA|＋|PM|的最小值．
【解】 设抛物线的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋12， ∴|PM|＝|PF|－12， ∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，
将x＝72代入抛物线方程y2＝2x，得y＝± 7， ∵ 7＜4，∴点A在抛物线的外部， ∴当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， ∵F(12，0)， ∴|AF|＝ （72－12）2＋（4－0）2＝5， ∴|PA|＋|PM|有最小值5－12＝92.
高考数学一轮总复习课件：抛物线(二)
2．(课本习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x
仅有一个公共点，这样的直线有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析 两条切线，另一条平行于对称轴．
3．(2020·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条
【解析】 设斜率为k，则切线为y＝k x＋p2 ，代入y2＝2px 中，得k2x2＋p(k2－2)x＋k24p2＝0.
Δ＝0，即p2(k2－2)2－4·k2·k24p2＝0.解得k2＝1，∴k＝±1.
(2)(2021·河南新乡市模拟)若抛物线x2＝ay(a≠0)的准线与抛
物线y＝－x2－2x＋1相切，则a＝( B )
＝2.故选C.
5．(2021·湖南长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆
的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线l的垂线，垂
足分别为A1，B1，M1(图略)，则|MM1|＝
【证明】 (1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0， 当k不存在时，直线方程为x＝p2. 这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
当k存在时，设直线方程为y＝kx－p2(k≠0)． 由y＝kx－p2，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①
y2＝2px ∴y1y2＝－p2，x1x2＝（y41py22）2＝p42. 因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立．
斜角为
π 6
的直线交C于A，B两点．若线段AB中点的纵坐标为
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高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附解答学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理 1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F(p2，0) F(－p2，0) F(0，p2) F(0，－p2)离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下自我检测 1．(2010•四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3| 5．(2011•佛山模拟)已知抛物线方程为y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是( ) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( ) A.14，－1 B.14，1 C．(1,2) D．(1，－2) 探究点二求抛物线的标准方程例2 (2011•芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示． (1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2； (2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证： (1)x1x2＝p24； (2)1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例(12分)过抛物线y2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO→＝λOD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ. 【答题模板】解假设存在实数λ，使AO→＝λOD→. 抛物线方程为y2＝2px (p>0)，则Fp2，0，准线l：x＝－p2， (1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p. ∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴AO→＝－p2，－p，OD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使AO→＝λOD→.[4分] (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2 (k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，由y＝kx －p2y2＝2px 得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分] AO→＝(－x1，－y1)＝－y212p，－y1，OD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，假设存在实数λ，使AO→＝λOD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使AO→＝λOD→. 综上所述，存在实数λ，使AO→＝λOD→.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出AO→和OD→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足． 1．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011•大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB 等于( ) A.45 B.35 C．－35 D．－45 2．(2011•湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ) A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 4．(2011•泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是( ) A.－14，1 B．(－2,22) C.－14，－1 D．(－2，－22) 5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→•AF→＝－4，则点A 的坐标为( ) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2，2) 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011•重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________． 7．(2011•济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________. 8．(2010•浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011•韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．(14分)(2011•济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案53 抛物线自主梳理 1．相等焦点准线自我检测 1．C 2．B [因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.] 3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l： x＝－12的距离为d，由定义知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．变式迁移1 A [ 点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.] 例2 解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解； (3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为 x2＝－2py (p>0)，则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴m2＝6p， m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26. ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2. 方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py (p>0)，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N. 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26. 变式迁移2 解(1)双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx (m>0)或x2＝ny (n<0)，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y. 例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y2＝2px (p>0)为例)：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p. 证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 y＝kx－p2，由y ＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*) 当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为 p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2. 综合两种情况，总有y1y2＝－p2. 方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足x＝ky＋p2，y2＝2px，消去x，可得y2＝2pky＋p2，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2. (2)直线AC的方程为y＝y1x1x，∴点C坐标为－p2，－py12x1，yC＝－py12x1＝－p2y12px1. ∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y21＝2px1. 又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y1y2•y1y21＝y2，∴BC∥x轴．变式迁移3 证明(1)∵y2＝2px (p>0)的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2 (k≠0)，由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0. ∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝p24，当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24. 因此，x1x2＝p24恒成立． (2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2 ＝x1＋x2＋px1x2＋＋＋p24. 又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．课后练习区 1．D [方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4. 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35. ∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋25－452×2×5 ＝－45. 方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2. ∴cos∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋－＝－45.] 2．C [ 如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(m，2pm)(m>0)，则由抛物线定义， |AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|. 又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，① ∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1•m2＝p24>0，∴m1>0，m2>0，∴n＝2.] 3．C 4．A [过P作PK⊥l (l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|. ∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．] 5．B 6.6－1 解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1. 7．42 解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1. 又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42.8.324 解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px (p>0)，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得， 4x2－(2p－4)x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分) ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝＋－4x1x2 ＝5•p－222－4×14＝15，(7分) 则 p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p ＝－2舍去)，抛物线方程为y2＝12x.(9分) (2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2，此时抛物线方程为y2＝－4x.(11分) 综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.(12分) 10．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx ＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分) 抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.(7分) 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1•14x2 ＝116x1•x2＝－1.(10分) 所以AQ⊥BQ.(12分) 11．解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(5分) (2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y 得x2－4kx－4＝0. 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分) 因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为－2k，－1.(9分) RP→•RQ→＝x1＋2k，y1＋1•x2＋2k，y2＋1 ＝x1＋2kx2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k2k＋2k＋4k2＋4 ＝4k2＋1k2＋8，(11分) ∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16. (14分)优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。