八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数教案 北师大版(2021学年)
《 一次函数的图象》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】第2课时
第四章一次函数4.3 一次函数的图象第2课时教学设计一、教学目标1．经历一次函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤；经历一次函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力.2．能熟练画出一次函数的图象；掌握一次函数及其图象的简单性质.二、教学重点及难点重点：用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数的性质的基础．难点：直线y=kx+b(k、b是常数，k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响．三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《正比例函数y=－2x+1的图象的画法》动画或图片，《两点法画图象》的动画，《一次函数y=2x+3，y=－x，y=－x+3和y=5x－2的图象的画法》动画或图片.五、教学过程【复习导入】师：1．什么叫函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．函数的表示方法有哪几种?（1）解析法（2）列表法（3）图象法3．同学们，上节课我们学习了正比例函数的图象，请画出正比例函数y=－2x的图象。
【探究新知】1．师：正比例函数y=－2x的图象是过原点的一条直线，那你们知道一次函数y=－2x+1 的图象是什么形状吗?那就让我们一起做一做，看一看，如何作出一次函数？要回答这个问题，必须弄清楚以下几点：（1）函数的图象是由无数个点构成的．（2）这些点在坐标系中是一对一对的有序实数．（3）此解析式实际上是一个二元一次方程，它的一对一对的x、y值可看作是图象上的点的坐标．（4）要找出它的某个点，实际上就是求出这个二元一次方程的一组解．（5）把x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标．（6）把函数作图问题转化为求方程的解的问题．例画出一次函数y =－2x +1的图象。
解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出对应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=－2x+1的图象，它是一条直线。
新版北师大版八年级数学上册第四章一次函数全章课件
（2）由圆的面积公式，得y=πx2，y不是x的正比例函数， 也不是x的一次函数；
（3）这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水，因 而y=15+5x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
二、新课讲解
例2 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征 收办法规定：月收入不超过3500元的部分不收税；月收 入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得 税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金 所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）. （1）当月收入超过3500元而又不超过5000元时，写出 应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之 间的关系式； （2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所 得税多少元？ （3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元， 那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
吗？
当t>-273时，t+273>0,即T>0,满足T≧0. 故给定一个大于-273℃的t值，能求出相应的T值.
二、新课讲解
在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量 的值，相应地就确定了另一个变量的值.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并 且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应， 那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有 如下数量关系：T=t+273，T≧0.
（1）当t分别为-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热
力学温度T是多少？ 根据T=t+273，当t=-43℃时，T=230K；当t=-27℃
时，T=246K；当t=0℃时，T=273K；当t=18℃时， T=291K. （2）给定一个大于-273℃的t值，你都能求出相应的T值
北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k
正比例函数的图象(1) 教学 北师大版八年级数学上册
第1课时 正比例函数的图象
学习目标
பைடு நூலகம்
1.经历正比例函数图象的画图过程，初步了解画函
数图象的一般步骤；
2.通过对函数图象的观察与比较，归纳出正比例函
数中k对函数增减性的影响.
探究新知
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数
函数的
值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐
图象
标系内描出相应的点，所有这些点组成的图
一个增加得更快？
y
4
3
2
1
y=3x
y=x
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
-2
y=- x
-3
-4 y=-4x
函数y=3x中，x从0增加到1，y值增加3；
函数y=x中，x从0增加到1 ，y值增加1.
k>0时，k越大，直线越陡，
相应的函数值上升越快.
1
2
正比例函数y=-4x和y=- x中，随着x的增大，y值都减小了，其中哪一
所以|n|-8=1，即n=±9.
又因为图象经过第一、第三象限，
所以n-1＞0，即n＞1.
所以n=9.
即函数的关系式为y=8x.
4.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时， y=2.
求： (1) y与x之间的函数关系式；
(2) 当x=-1时，y的值.
解：(1) 因为y+5与3x+4成正比例，
所以y+5=k（3x+4 ）.
怎样画出下列正比例函数的图象？
(1) y＝2x；
(2) y＝－2x.
解：(1)列表：
x
…
-3
八年级上册数学《4.确定一次函数的表达式》教案-北师版
《确定一次函数的表达式》教学设计一、教学目标知识与技能：了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图像、表格、实际问题等），利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题。
过程与方法：让学生经历视察、操作、合作探究、交流、推理等活动，体会数学建模、数形结合的思想，进一步发展推理能力及有条件表达能力。
情感态度价值观：使学生经历探索、合作交流的学习过程，激发学生学习数学的兴趣，获得成功的体验。
二、教学重点、难点教学重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式，教学难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式三、教学过程（一）复习与巩固1.在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象？y=3x总结：两点法——两点确定一条直线思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？（二）讲授新课知识储备1.把（-4,12）代入解析式y=kx中的结果是什么呢？试着把（-3,9）（-1,3）（2,3.8）分别代入结果又是什么呢？（独立完成后，小组内讲授）2.把（2,5）这个点代入解析式y=kx+b中的结果是什么呢？试着把（1，5）（-1,6）（-2,3.8）分别代入结果又是什么呢？（独立完成后，小组讲授）知识点一.确定正比例函数的表达式引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示：(1)请写出v与t的关系式. (2)下滑3 s时物体的速度是多少？解：（1）v=2.5t;（2）v=2.5×3=7.5 (m/s).想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？（1个）求正比例函数表达式的步骤：1.设 ---设正比例函数表达式y=kx(k≠0)2.代 ---将点的坐标代入y=kx(k≠0)中，列出关于k的方程3.解--- 解方程求出k的值4.定 --- 把求出的k值代回到函数表达式中即可练习：1.一个正比例函数经过点A(-2,3),B(a,-3),求a的值2.如图,直线l是某正比例函数的图象,则点A(−4,12),B(3,−9)是否在该函数的图象上?说明理由。
北师大版数学八年级上册第四章《一次函数》
情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所 挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg，
5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg
01 2
3 45
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
(2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=3+0.5x
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那 么b叫做当x=a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量 之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时 对应的因变量的值．
例3
已知函数
y 4x 2. x 1
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
大家讨论一下,这 两个函数关系式 有什么关系?
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成
y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x 的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
练一练
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，
则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之
间的函数关系式是
Q 30 1 t 2
，自变量t的取值范
围是 0 t 60 .
3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
A. y 3x2
B. y 1
x
C. y x (x 0)
专题4.2 一次函数与正比例函数【七大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.2 一次函数与正比例函数【七大题型】【北师大版】【题型1 一次函数、正比例函数的识别】 (1)【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】 (3)【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】 (5)【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】 (6)【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】 (8)【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】 (12)【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】 (15)【题型1 一次函数、正比例函数的识别】；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣【例1】（2022春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=―8xx+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）是一次函数，判断即可．；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，【解答】解：下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=―8x（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的是：（1）y＝﹣2x；（4）y＝﹣x+1，共有2个，故选：C．【变式1-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y与x是一次函数关系的有（ ）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1B．4C．3D．2【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【变式1-2】（2015春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（ ）A．矩形面积一定，长与宽的关系B．正方形面积和边长的关系C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系【分析】根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误；B、∵S＝a2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；ah，∴三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误；C、∵S=12D、∵S＝vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确．故选：D．【变式1-3】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（ ）A．正比例函数关系，正比例函数关系B．正比例函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，正比例函数关系【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到V与t满足的函数关系．【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．V＝100×0.2t＝20t，∴注水量V与对应的注水时间t满足的函数关系是正比例函数关系．故选：D．【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】【例2】（2022•平川区校级月考）当m，n为何值时，y＝（m﹣1）x m2+n．（1）是一次函数；（2）是正比例函数．【分析】（1）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数）是一次函数可得；（2）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数，b＝0）是正比例函数可得．【解答】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）x m2+n是一次函数，即：m＝﹣1．答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）x m2+n是一次函数；（2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）x m2+n是正比例函数，即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）x m2+n是正比例函数．【变式2-1】（2022春•新抚区期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（ ）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），可得2﹣|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2﹣|m|＝1且m+1≠0，∴m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1，故选：A．【变式2-2】（2021春•萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝ 2 ．【分析】依据正比例函数的定义求解即可．【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，∴m+2≠0，m2﹣4＝0，解得：m＝2．故答案为：2．【变式2-3】（2022•金牛区校级期中）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函数；（2）是正比例函数．【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；（2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答．【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，∴m≠3，所以，m＝﹣3时是一次函数；（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，∴m≠3，n＝2，所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数．【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】【例3】（2021春•雄县期末）已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问：（1）y是x的一次函数吗？（2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？【分析】（1）由一次函数、正比例函数解析式可以求得y与x的函数关系式，根据关系式作出判断；（2）把相应的x、y的值代入（1）中的函数关系式，列出关于km、b的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；然后把x＝1代入解析式，即可求得相应的y值．【解答】解：（1）依题意，可设y＝kz+b、z＝mx（k≠0，m≠0）．则y＝kmx+b，所以y是x的一次函数；（2）由题意，得―2=5km+b 6=―3km+b，解得km=―1 b=3，所以，y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2．即y＝2．【变式3-1】（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：（1）这个一次函数的解析式．（2）当x＝﹣3时，y的值．【分析】（1）直线y＝kx+b（k≠0）经过A（1，3）和B（2，5）两点，代入可求出函数关系式；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析式，即可求得相应的y值．【解答】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则k+b=32k+b=5，解得k=2 b=1．故该一次函数解析式为：y＝2x+1；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．即：y的值为﹣5．【变式3-2】（2022•广陵区校级期末）已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m ﹣1，m +1），求m 的值．【分析】（1）根据y ﹣1与x +2成正比例，设y ﹣1＝k （x +2），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入一次函数解析式求出m 的值即可．【解答】解：（1）根据题意：设y ﹣1＝k （x +2），把x ＝﹣1，y ＝3代入得：3﹣1＝k （﹣1+2），解得：k ＝2．则y 与x 函数关系式为y ＝2（x +2）+1＝2x +5；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入y ＝2x +5得：m +1＝2（m ﹣1）+5解得m ＝﹣2．【变式3-3】（2022•宜兴市校级月考）已知y ＝y 1+y 2，其中y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例．当x ＝﹣1时，y ＝2；当x ＝3时，y ＝﹣2．求y 与x 的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y 1，y 2，代入y ＝y 1+y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 与b 的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2（x ﹣2），即y ＝y 1+y 2＝k 1x +k 2（x ﹣2），将x ＝﹣1时，y ＝2；x ＝3时，y ＝﹣2分别代入得：―k 1―3k 2=23k 1+k 2=―2，解得：k 1=―12，k 2=―12，则y =―12x ―12（x ﹣2）＝﹣x +1．即y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x +1；画出该函数的图象为【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】【例4】（2022•嘉定区期末）正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a ，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4＝2×k，即k＝﹣2∴正比例函数解析式为y＝﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4＝﹣2×a，即a＝﹣2．【变式4-1】（2022•泰兴市期末）已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点（﹣3，9），求此4函数的关系式．【分析】由于一个函数的图象是经过原点的直线，故函数为正比例函数，设函数解析式为y＝kx，将点（﹣3，9）代入求解即可．4【解答】解：设函数解析式为y＝kx，）代入解析式得，将点（﹣3，94，﹣3k=94，解得，k=―34x．则函数解析式为y=―34【变式4-2】（2022春•衡阳县期中）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y；．（3）当x取何值时，y=23【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x＝﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=2代入解析式解答即可．3【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k ＝6，解得k ＝﹣2，所以，此函数的关系式是y ＝﹣2x ；（2）把x ＝﹣6代入解析式可得：y ＝12；（3）把y =23代入解析式可得：x =―13．【变式4-3】（2022•黄浦区期中）若正比例函数图象上一点到y 轴与到x 轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为 y =±13x ．【分析】设正比例函数解析式为y ＝kx ，根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a ，a ）或（3a ，﹣a ），然后把它们分别代入y ＝kx 可计算出对应的k 的值，从而可确定正比例函数解析式．【解答】解：设正比例函数解析式为y ＝kx ，∵正比例函数图象上一点到y 轴与到x 轴距离之比是3：1，∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a ，a ）或（3a ，﹣a ），∴k •3a ＝a 或k •3a ＝﹣a∴k =13或―13，∴正比例函数解析式为y =13x 或y =―13x ．故答案为y =±13x ．【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】【例5】（2022春•江夏区校级月考）已知一次函数y ＝kx +b 的图象交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）若在第一象限有一点C （2，m ），且△ACB 的面积为4，求m 的值．【分析】（1）把A 与B 的坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）把x ＝2代入一次函数解析式求出y 的值，根据三角形面积公式表示出三角形ABC 面积，由已知面积求出m 的值即可．【解答】解：（1）把A （4，0），B （0，2）代入y ＝kx +b 得：4k +b =0b =2，解得：k =―12b =2，则一次函数解析式为y=―12x+2；（2）把x＝2代入一次函数解析式得：y＝﹣1+2＝1，∵S△ABC＝4，∴12×4×|m﹣1|＝4，即|m﹣1|＝2，解得：m＝3或m＝﹣1（舍去），则m的值为3．【变式5-1】（2022春•鞍山期末）如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（52，0）；（1）求直线MC的函数解析式；（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．【分析】（1）求出M点的坐标，由待定系数法可求出答案；（2）设P（a，0），得出AP＝a+2，PC=52―a，根据面积关系列出方程可得出答案．【解答】解：（1）∵点M（1，m）是直线AB上一点，∴1+2＝m，∴m＝3，∴M（1，3），设直线MC的解析式为y＝kx+b，+b=0+b=3，解得k=―2 b=5，∴直线MC的函数解析式为y＝﹣2x+5；（2）设P（a，0），∵一次函数y ＝x +2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴当x ＝0时，y ＝2，当y ＝0时，x ＝﹣2，∴A （﹣2，0），B （0，2），∴AP ＝a +2，PC =52―a ，∴S △ABP =12AP •OB =12×（a +2）×2＝a +2，S △MPC =12PC ×3=154―32a ，∵△ABP 的面积是△MPC 面积的2倍，∴a +2＝2×（154―32a ），解得a =118，∴P （118，0）．【变式5-2】（2022春•凤庆县期末）如图，直线AB 过点A （﹣1，5），P （2，a ），B （4，﹣5）．（1）求直线AB 的函数解析式和a 的值；（2）求△AOP 的面积．【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a 的值；（2）设直线AB 与y 轴交于点D ，连接OA ，OP ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，根据三角形的面积公式及S △AOP ＝S △AOD +S △POD 可求出△AOP 的面积．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （﹣1，5），B （4，﹣5）代入y ＝kx +b ，得：―k +b =54k +b =―5，解得：k =―2b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +3．当x ＝2时，y ＝﹣2x +3＝﹣1，∴点P 的坐标为（2，﹣1），即a 的值为﹣1．（2）设直线AB 与y 轴交于点D ，连接OA ，OP ，如图所示．当x ＝0时，y ＝﹣2x +3＝3，∴点D 的坐标为（0，3）．∴S △AOP ＝S △AOD +S △POD =12OD •|x A |+12OD •|x P |=12×3×1+12×3×2=92．【变式5-3】（2022•肃州区校级期中）如图，直线y ＝kx +6与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0）．（1）求直线EF 的关系式；（2）求△OEF 的面积；（3）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为12，并说明理由．【分析】（1）把E （﹣8，0）代入直线y ＝kx +6即可求出k 的值，写出直线EF 的关系式；（2）求得F 的坐标，根据直角三角形面积公式可得结论；（3）根据点A 的坐标为（﹣6，0），求出OA ，根据点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，得出△OPA 的高是点P 的纵坐标，得出面积S =12×6×y ＝12，分别求出x 和y 的值，得出点P 的坐标即可．【解答】解；（1）∵直线y ＝kx +6过点E （﹣8，0），∴0＝﹣8k +6，k =34；∴直线EF 的关系式：y =34x +6；（2）∵F （0，6），即OF ＝6，∵OE ＝8，∴△OEF 的面积=12OE •OF =12×8×6＝24；（3）过P 作PG ⊥OA 于G ，∵点A 的坐标为（﹣6，0），∴OA ＝6，∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，∴△OPA 的面积S =12×6×y ＝12，∴y ＝4，∴P （―83，4）．【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】【例6】（2022•东方校级期末）为了保护学生的视力，课桌的高度）ycm 与椅子的高度xcm （不含靠背）都是按y 是x 的一次函数关系配套设计的，如表列出了两套课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.038.0课桌高度ycm75.071.8（1）请确定y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm 的椅子和一张高79.8cm 的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出y 与x 的函数关系式；（2）将x＝42.0代入（1）中的函数解析式，然后与79.8作比较，即可解答本题．【解答】解：（1）设y＝kx+b，75=40k+b71.8=38k+b，得k=1.6 b=11，即y与x的函数关系式是y＝1.6x+11；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套，理由：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0+11＝78.2，∵78.2≠79.8，∴现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套．【变式6-1】（2022•嘉定区二模）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：行驶路程x（千米）…100150…油箱内剩余油量y（升）…5248…（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，求y关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数解析式，然后根据题目中的数据即可求得相应的函数解析式；（2）根据表格中的数据可以求得每千米耗油量，从而可以求得300千米的耗油量，从而可以解答本题．【解答】解：（1）该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数解析式是y＝kx+b，100k+b=52150k+b=48，解得，k=―225b=60，即y关于x的函数解析式是y=―225x+60；（2）张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油，理由：由题意可得，每千米消耗汽油：4÷（150﹣100）＝4÷50＝0.08升，则行驶300千米需要消耗的汽油为：300×0.08＝24（升），即张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油．【变式6-2】（2022•崇明县二模）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏度数x（℃）…0…35…100…华氏度数y（℉）…32…95…212…（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据题意列出方程求出其解即可．【解答】（1）解：设y＝kx+b（k≠0）把x＝0，y＝32；x＝35，y＝95 代入y＝kx+b，得b=3235k+b=95，解得k=95 b=32∴y关于x的函数解析式为y=95x+32（2）由题意得：95x+32=x+56解得x＝30∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56．【变式6-3】（2022•河南模拟）某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示：燃烧的时间x（h）…3456…剩余的长度h（cm）…210200190180…（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义；（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻．【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式解答即可；（2）把h＝125代入解析式解答即可．【解答】解：（1）∵“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式是一次函数，设一次函数的解析式为：h＝kx+b，∵当x＝3时，h＝210，当x＝4时，h＝200，可得：3k+b=210 4k+b=200，解得：k=―10 b=240，所以解析式为：h＝﹣10x+240，x的系数表示“香篆”每小时燃烧10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为240cm；（2）当“香篆”剩余125cm时，可知h＝125，代入解析式得：125＝﹣10x+240，解得：x＝11.5，所以“香篆”在0：00点燃后，燃烧了11.5小时后的时刻为11点30分．【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】【例7】（2022春•成华区期末）将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为2cm．（1）根据题意，将表格补充完整．白纸张数12345…纸条长度20 38 5674 92 …（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？请求出50张白纸粘合后的总长度；（3）若粘合后的总长度为2018cm，问需要多少张白纸？【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm可求空格；（2）x张白纸粘合起来时，纸条长度y（cm）在20cm的基础上增加了（x﹣1）个18cm的长度，依此可得y与x的关系式；（3）把y＝2018代入（2）的结论，列方程求得x的值即可．【解答】解：（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm，20+18＝38；74+18＝92．故答案为：38；92；（2）根据题意和所给图形可得出：y＝20+（20﹣2）（x﹣1）＝18x+2，令x＝50，则y＝18×50+2＝902（cm）；（3）令y＝2018，则2018＝18x+2，解得x＝112，∴需要112张白纸．【变式7-1】（2022春•玉门市期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条的节数/节234…链条的长度/cm 4.2 5.9 7.6 …（2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【分析】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．【解答】解：（1）根据图形可得出：2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2（厘米），3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9（厘米），4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6（厘米），故答案为：4.2，5.9，7.6；（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为：1.7×60＝102（厘米），所以60节这样的链条总长度是102厘米．【变式7-2】（2022蚌山区校级月考）用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案．（1）第4个图案中白色纸片的个数是 13 ；（2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式．【分析】（1）根据各个图形中白色菱形的个数，可以写出前几个图形中白色菱形的个数，然后即可发现白色菱形个数的变化特点，从而可以写出第4个图案中白色纸片的个数；（2）根据（1）中发现的规律，可以写出y与n的函数关系式．【解答】解：（1）由图可得，第1个图中白色菱形纸片的个数为：1+3＝4，第2个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×2＝7，第3个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×3＝10，∴第4个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×4＝13，故答案为：13；（2）由（1）中发现的规律可得，y＝3n+1，即y与n的函数关系式是y＝3n+1．【变式7-3】（2022春•巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y=x2+12相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（ ）A．22021B．22022C．2022D．4044【分析】由直线直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：y=x2+12中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求A1B1，A2B2的长，得出一般规律，即可得到A2022B2022长度．【解答】解：由直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），∵平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，直线l1：y＝x+1，直线l2：y=x2+12，∴B1（1，1），A1（1，2），AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，B2（3，2），A2（3，4），A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，…，A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，由此可得A n B n＝2n﹣1，所以，A2022B2022的长度为22021，故选：A．。
2024年北师大版八年级上册第四章 一次函数第四章 一次函数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.三、单元学情分析本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.四、单元学习目标1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
北师大版八年级数学上册《一次函数的应用》第1课时示范课教学设计
第四章一次函数4 一次函数的应用第1课时一、教学目标1.了解两个条件可确定一次函数；一个条件确定正比例函数.2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式.3.从一次函数“数”的角度入手，转移到“形”，让学生进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力.4.初步体会函数与方程的联系.二、教学重难点重点：了解两个条件可确定一次函数，一个条件确定正比例函数.难点：利用待定系数法确定一次函数的表达式.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【探究】某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示：(1)请写出v与t的关系式；(2)下滑3 s时物体的速度是多少？教师活动：图象过原点，所以是正比例函数.预设答案：解：(1)设v=kt，将点(2，5)代入得5=2k，k=2.5，∴v=2.5t;(2)当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s).∴下滑3 s时物体的速度是7.5m/s.【想一想】问题一：确定正比例函数的表达式需要几个条件？预设答案：y=kx，要求出k值，只需要一个点的坐标.问题二：确定一次函数的表达式呢？预设答案：y=kx+b，要求出k、b值，需要两组对应变量值(两点的坐标).【探究】在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.预设答案：解：设y=kx+b(k≠0),根据题意，得：14.5=b①16=3k+b②将①代入②，得：k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5(cm).即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.【问题】怎样求一次函数的表达式？教师活动：这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.【例1】如图，直线l是某正比例函数的图象，点A(-4，12)，B(3，-9)是否在该函数的图象上?教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.已知正比例函数y =kx (k ≠0)的图象经过点(-1，-2)，则这个正比例函数的关系式为( )A.y =2xB.y =-2xC.12y x = D.12y x =-教师活动：根据y =kx (k ≠0)的图象经过点(-1，-2)得：-2=-k ，所以k =2,选A2.如图，直线AB 对应的函数表达式是( )A.y=-x+2B.y=x+2C.y=-2x+4D.y=2x+4预设答案：C3. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象.填空:(1)b=_____,k=______;(2)当x=30时，y=______;(3)当y=30时，x=______.预设答案：2;23;-18;-42.4.若一次函数y=2x+b的图象经过A(-1，1)，则点B(1，5)，C(-10，-17)，D(10，17)是否在该函数的图象上？解：把点A代入解析式得：1=2×(-1)+b解得：b=3；∴一次函数的关系式为y=2x+3.当x=1时，y=5，则点B(1，5)在该函数的图象上；当x=-10时，y=-17，则点C(-10，-17)也在该函数的图象上；当x=10时，y=23≠17，则点D(10，17)不在该函数的图象上.5.已知一次函数的图象经过点(0，1)和(-1，-3).(1)求此一次函数的解析式；(2)求此一次函数与x轴的交点坐标.解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∴图象经过点(0，1)，∴b=1.4思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
北师大版八年级数学上册一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质
13．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，点(2，－3)在函数上，则y随x的 增大而__减__小____．(填“增大”或“减小”) 14．若点A(－5，y1)和点B(－2，y2)都在函数y＝2x的图象上，则 y1__＜__y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．已知函数y＝(k＋3)x. (1)k为何值时，函数为正比例函数？
7．若点A(2，4)在函数y＝kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的 是( A )
A．(1，2) B．(－2，－1)
C．(－1，2) D．(2，－1) 8．函数y＝－4x的图象是经过点(0，__0__)与点(1，_－__4_)的一条直线．
9．已知函数y＝(2－m)x＋2m－3，当m为何值时？ (1)此函数为一次函数； 解：m≠2. (2)此函数为正比例函数．
序号)
4．当x<0时，函数y＝－2x在(B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如果y＝mxm2－8是正比例函数，且其图象在第二、四象限，那么m的 值是_－__3_． 6．函数y＝6x的图象是经过点(0，__0__)和点(__1__，6)的一条直线，点A(2 ，4)_不__在_(填“在”或“不在”)直线y＝6x上．
图象时，只要再确定_一___个点，过这点与原点作直线就可以了．
练习1：函数y＝－
1 2
x的图象在第
二、四
象限．
4．在正比例函数y＝kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而_增__大_；当k<0
时，y的值随着x值的增大而_减__小_．
练习2：若正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数值y随着x的增大而减 小，则k的值可能是_－__1_．(写出一个即可)
t(分) … 2 4 6 8 10 … Q(m3) … 4 8 12 16 20 …
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八年级数学上册４.2 一次函数与正比例函数教案（新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学上册４.2 一次函数与正比例函数教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题:4。
2一次函数与正比例函数教学目标：1．理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数关系式；２．经历一般规律的探索过程,在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力;3．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣。
教学重点与难点：重点:理解一次函数和正比例函数的概念.难点:能根据所给条件写出简单的一次函数关系式，发展学生的抽象思维能力.课前准备:多媒体课件．教学过程:一、创设情境，引入新课身边的数学:选择哪类收费方式？枣庄移动通信公司推出两种收费标准:A类收费标准：不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费12元，另外,通话费按０.２元/mｉn计.B类收费标准:没有月租费,但通话费按0。
２5元/miｎ计。
1.写出每月应缴费用y(元)与通话时间ｘ(min）之间的关系式。
２．如果每月平均通话时间为3０0min，你会选择哪类收费方式？处理方式:提示学生应分别写出A、B两类应缴费用与通话时间之间的关系式.对于问题２学生完成现在还有些难度,教师可只提出问题不做解释，从而引出本节课内容。
设计意图:为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景即复习旧知识,又为学习新知识作好铺垫。
【板书课题：4.2一次函数与正比例函数】二、自主探究,合作学习活动1:根据所给条件写出简单的一次函数关系式.(多媒体展示）1.某弹簧的自然长度为3cｍ,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kｇ，弹簧长度y增加０。
5cm。
(1)计算所挂物体的质量分别为1ｋｇ、2kｇ、３kg、4ｋｇ、5kｇ时的弹簧的长度，并填入下表：x/kg012345y／cm（2）你能写出ｙ与x之间的关系式吗?处理方式:学生理解题意，填写表格,写出函数关系式,并进行展示答案。
教师巡视,指导学生解决问题,并对个别学生辅导．２.某辆汽车油箱中原有汽油６０Ｌ,汽车每行驶５0km耗油６L。
(1)完成下表:汽车行驶路程ｘ/km 050101５20０3００耗油量y/L(2)你能写出耗油量ｙ(Ｌ）与汽车行驶路程x（kｍ)之间的关系式吗?(3）你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?处理方式：让学生独立思考理解题意，填写表格,并写出函数关系式,小组交流后选代表分享收获。
教师巡视学生解决问题情况,并对个别学生指导.设计意图:从弹簧的长度、汽车油箱中的耗油量这些实际问题情景出发，使学生亲身参与探索发现，主动的获取知识和技能,并通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念。
活动2:一次函数的概念。
（多媒体展示）请同学们仔细观察这几个关系式：30.5y x 、325y x =,36025z x =-,它们都有什么共同点？ 处理方式：积极观察,小组交流,寻找共同点，并在教师的点拨下归纳一次函数的概念. 2.一次函数与正比例函数之间有什么关系?处理方式：积极讨论，明晰联系与区别,代表发言.设计意图：从具体问题的函数关系式出发,恰当地设疑立障， 引导学生互相讨论，大胆猜想,勇于探索，鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，从而提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力。
活动3:小试身手（多媒体展示）１。
在函数(1）3y x ,（2)5y x ，（3)4y x ,(４）223y x x ,(5)2y x , (6)12y x 中是一次函数的是___＿_＿_，是正比例函数的是_______。
２。
若函数(63)44y m x n 是关于x 一次函数，则m ,ｎ应满足的条件是＿＿___＿_；若是正比例函数，则m ，n 应满足的条件是______＿。
３．当k =____＿_＿时，函数28(3)5k y k x 是关于x 的一次函数。
一般地,若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=k ｘ+b (k ,b 为常数,k ≠０)的形式，则称y 是ｘ的一次函数(x 是自变量)。
特别地,当b ＝0时,称y 是x 的处理方式：学生积极主动的解题，完成后进行代表讲解，校正答案。
教师巡视学生的做题情况,对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励，强调一次函数与正比例函数的概念的理解。
尤其强调第(３)题的讲评，学生易忘记k+３≠０的条件,而错误的将答案写成±3。
设计意图：通过此环节,了解学生对知识的掌握情况和对知识的应用能力,以便查缺补漏，也使以后师生互动具有针对性.三、范例解析,深化提高例1写出下列各题中ｙ与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(多媒体展示)（1)汽车以６0km ／ｈ的速度匀速行驶,行驶路程ｙ(kｍ)与行驶时间x（ｈ)之间的关系;（2)圆的面积ｙ（ｃm²）与它的半径ｘ( ｃm)之间的关系;(３）某水池有水１５ｍ³,现打开进水管进水，进水速度为５ｍ³ /h,ｘh后这个水池内有水为ｙm³.处理方式:认真分析题意，列出函数表达式，通过小组交流讨论,学生口答,师生共同评析。
例２:我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于３500元的部分不收税;月收入超过3５0０但低于5０0０元的部分征收3%的所得税……如某人某月收入3８60元，他应缴个人工资、薪金所得税为(386０—3500)×3%＝10.8(元）.（1）当月收入大于３500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税ｙ(元）与月收入x(元)之间的关系式；(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税１９.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?处理方式：学生认真分析题意，列出函数表达式,解答问题，然后小组交流讨论,学生展示答案，进行讲评.教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励。
在例2中的(1)中,易错解为y=3%ｘ.让学生应仔细审题,找准等量关系；(2)、（3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程。
设计意图:通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用，发展学生的抽象思维能力.四、学以致用,我能我行1.某种大米的单价是２.2元/千克,当购买ｘ千克大米时,花费为y元.y是x的一次函数吗?是正比例函数吗？2.甲、乙两地相距1０0千米,现有一列火车从乙地出发,以80千米／时的速度向丙地行驶.设ｘ（时)表示火车行驶的时间，y(千米）表示火车与甲地的距离,｀试写出y与x之间的关系式子。
处理方式:两名学生板演完成，其余同学自主完成．教师巡视学生的答题情况,然后对学生的讲解及时点评、鼓励。
设计意图：培养学生运用数学知识解决问题的能力,并从中体验到成功的欣慰与快乐。
五、归纳总结，知识沉淀师：这节课大家通过自己的努力和小组的合作,相信每个同学都有所收获.整理一下本节课的所学,写下来。
我掌握的概念_____＿＿；我学会了_＿_____;我还知道了_＿_＿___。
处理方式：全班交流各自的收获和心得。
教师及时点评、鼓励。
设计意图:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获,培养学生及时总结回顾的习惯，锻炼学生的语言表达能力,增强学生的自信心，激励学生展示自我。
六、课堂检测，体验成功A层1.下列语句中，具有正比例函数关系的是___＿___.A．长方形花坛的面积不变，长y与宽ｘ之间的关系；Ｂ．正方形的周长不变，边长x与面积S之间的关系；C．三角形的一条边不变,这条边上的高h与面积S之间的关系;D．圆的面积为S,半径为ｒ，S与r之间的关系．２。
在函数（1)3yx ;(2)5y x；(3）4y x；（4)223y x x；(5) y=１00-0。
18ｘ中是正比例函数的是______＿．是一次函数的是_____＿_.Ｂ层1.当m=＿____＿__时，y=(m－1)x2m是正比例函数。
2.当k=___＿____时,y=（k+1）x2k+k是一次函数.3．某地区电话的月租费为25元,在此基础上，可免费打5０次市话(每次3分钟),超过５０次后,每次0．2元.（1）写出每月电话费y(元)与通话次数x（ｘ＞50)的函数关系式；（2)求出月通话1５０次的电话费；（３)如果某月通话费为5３。
６元,求该月通话的次数。
处理方式:学生独立完成,完成后进行校正答案．设计意图：学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.七、分层作业,发展个性必做题:课本第８2页习题4。
2 知识技能第2题．选做题:课本第82页习题4.2 问题解决第3、4、５题。
设计意图:作业层次化，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业。
既满足了不同层次学生的需求,又提高作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高.板书设计:30.5x3 6025x=-1以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。
”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。
物质生活极大丰富，科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。
很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。
用学习来激活我们的想象力和思维，建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。
Ｔｈe above is tｈｅｗholｅconteｎｔoｆｔhｉs arｔicｌe, Gorｋy s ａｉｄ："thｅboｏk is ｔhｅｌａdｄer of huｍａｎprogress．" Ｉhope you ｃan makｅpｒoｇress ｗｉth ｔhe ｈelp ｏf thｉｓladdｅｒ. Ｍatｅriａl ｌife ｉs eｘtｒeｍely rｉcｈ，sciｅncｅand technoloｇy arｅdevelｏpｉng ｒaｐｉｄly, all of whiｃｈｇradｕaｌlｙcｈange tｈe way of peｏple's studｙand leiｓure．Manｙｐｅople aｒe no ｌonｇer eager to pursue a ｄoｃumｅｎｔ, bｕｔas long as ｙｏu stｉｌｌhaｖe sｕch a small persｉstence, you will cｏｎｔiｎｕe to grｏｗand prｏgress. When the ｃoｍplex ｗorld leaｄs ｕｓto ｃhase ｏut, ｒｅadinｇan arｔicle ｏｒdoｉng a proｂｌem ｍaｋeｓus calm dｏwｎanｄｒeturn ｔo ouｒselves. Ｗiｔｈlearｎinｇ，ｗe ｃan activatｅｏuｒimaginａtion ａnd ｔhinkｉnｇ, estａｂlish our belｉef, keｅp ｏｕr ｐure sｐｉｒiｔuａl woｒld ａｎd rｅsｉst tｈe attack of ｔhe ｅxteｒnａl ｗorld.。