九年级数学下册第24章圆24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理同步练习(含解析)沪科版
24.2.2 第3课时 切线长定理
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如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
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知识要点 切线长定理:
过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 切线的夹角.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC．
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
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当堂练习
方法二：
证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
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想一想：若延长PO交⊙O于点C， A
连结CA、CB，你又能得出什么
C
O.
新的结论?并给出证明.
P
CA=CB
B
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
侵权必究 ∴AC=BC.
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典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是
A⌒B上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点
D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 3 ，则 △PDE的周长为___6___，∠DOE的度数为___6_0_°_．
自学初中数学资料-直线与圆的位置关系、切线、切线长定理(资料附答案)(1)
自学资料一、直线与圆的位置关系及相应的数量关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【错题精练】例1．如图，直线与坐标轴交于AB两点，点是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线相切时，m的值为__________ ．【解答】【答案】例2．已知：点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L 的距离均为2，则半径r的取值范围是（）A. r＞1B. r＞2C. 2＜r＜2D. 1＜r＜5第2页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】解：根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则当圆与直线l相离时，r＞1；当圆与直线l相交时，r＜5；所以1＜r＜5．故选：D．【答案】D例3．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E，若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（）A. r＞52； B. 52＜r≤4；C. 32＜r≤4； D. 32＜r≤125．【答案】D例4．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED=∠C．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC=8，cos∠BED=45，求AD的长．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】解：（1）AC与圆O相切．证明如下：∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠2=90°∵∠C=∠BED=∠2，∴∠AOC+∠C=90°，即∠CAO=90°，∴AC与⊙O相切；（2）∵∠BED=∠C，∴直角△AOC中，cosC=ACOC =os∠BED=45，∴OC=ACcos∠C =845=10，∴AO=√OC2−AC2=√102−82=6，又∵S△AOC=12AC•OA=12OC•AF，∴AF=AC•OAOC =8×610=245．∵OC⊥AD，∴AC=2AF=485．例5．已知：在△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．（1）求⊙P半径；（2）求sin∠PBC．【解答】（1）解：如图所示：过P作PE⊥BC，第4页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵⊙P与AB，BC都相切，∴BA=BE=6，PA=PE，∵在△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，∴△ABC的面积=12AB×AC=12AB×PA+12BC×PE，即12×6×8=12×6×PA+12×10×PA，解得：PA=3，即⊙P半径=3；（2）解：在Rt△BPE中，BP=√BE2+PE2=√62+32=3√5，∴sin∠PBC=PEBP =33√5=√55．【答案】（1）3；（2）√55．例6．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．（1）求的度数；（2）求证：BC是⊙的切线；（3）求弧AM的长度．【答案】例7．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）【答案】例8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．第6页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】试题分析：（1）由弦切角定理、圆周角定理即可证明∠ABC=∠ACB，从而得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，有EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．试题解析：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∵∠AHE=∠AFE，∠AEH=∠AEF，AE=AE，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∵∠ABH=∠ACF，∠AHB=∠AFC，AB=AC，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF，∴BH=CE+EH．【举一反三】1．已知Rt△ABC的斜边AB=6cm，直角边AC=3cm．（1）以C为圆心，2cm长为半径的圆和AB的位置关系是______；（2）以C为圆心，4cm长为半径的圆和AB的位置关系是______；（3）如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为______．【答案】（1）相离（2）相交（3）2．在平面直角坐标系中，以点A（﹣2，3）为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为．【答案】3或√13．3．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t 秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=__________ ．第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】4．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．第8页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】二、圆的切线【知识探索】1．圆的切线上一点与切点间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．（1）定理1（切线长定理）：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等．（2）定理2：从圆外一点作圆的两条切线，它们的夹角被这一点与圆心的连线平分．【错题精练】例1．如图，A，B为⊙O上的两点，AC切⊙O于点A，BC过圆心O，若∠B=20∘，则∠C=（）A. 70°；B. 60°；C. 50°；D. 40°．【答案】C例2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 2.5B. 1.6C. 1.5D. 1【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴ADOE =OD BE，∴x4−x =4−x x+2，解得x=1.6，故选：B．【答案】B例3．如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF=1，则PQ的长度为______．【解答】解：连接PF，QF，作QH⊥EF于H，第10页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵六边形ABCDEF正六边形，∴∠BAF=∠AFE=∠FED=120°，AB=BC=DC=DE，∴∠BAC=∠DEC=30°，∠AFC=∠EFC=60°，∴∠CAF=∠CEF=90°，∴△ACF和△ECF为全等的直角三角形，CE=√3EF=√3，CF=2EF=2，∵P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，∴GH为Rt△CEF的内切圆的半径，QH=EF+CE−CF2=1+√3−22=√3−12，FQ平分∠EFC，PF平分∠AFC，∴∠PFC=30°，∠QFC=30°，∴∠PFQ=60°，∵△FCA≌△FCE，∴FP=FQ，∴△FPQ为等边三角形，在Rt△FQH中，FQ=2QH=√3-1，∴PQ=√3-1．故答案为√3-1．【答案】√3-1例4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB=60°，求⊙O的半径．【答案】解：连接OA，OP，则OA⊥PA，根据题意可得：CA=CE，DE=DB，PA=PB，∵PC+CE=DE+PD=18，∴PC+CA+DB+PD=18，∴PA=×18=9（cm），∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠APB=30°，在Rt△AOP中，PO=2AO，AO＞0，故OA2+92=（2AO）2，解得：OA=，故⊙O的半径为：cm．例5．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．【答案】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE=∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE=∠FEA．∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，∴∠FEA=∠OEB．∵∠AEB=90°，∴∠FEO=90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴AFEF =EFBF=AEBE，∴AF•BF=EF•EF ，∴AF×（AF+15）=10×10，解得AF=5．∴BF=20．∴1020=AEBE ，∴BE=2AE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE 2+BE 2=152，∴AE 2+（2AE ）2=225，∴AE=3√5．例6．已知：如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分∠CBF ，过点A 作AD ⊥BF 于点D ．（1）求证：DA 为⊙O 的切线；（2）若BD=1，tan∠BAD =12，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明：连接OA ；∵BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠CBF ，AD ⊥BF ，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA ；∵∠OAC=∠OCA ，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA 为⊙O 的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠BAD =12， ∴AD=2，∴AB=√22+12=√5，∴cos∠DBA=√55；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos∠CBA =√5√55=5．∴⊙O的半径为2.5．例7．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6，⊙O的半径为10，求BF的长．【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥OE．又∵DE⊥AC，∴AE∥OD．∴∠2=∠ADO，∵OA=OD，∴∠1=∠ADO．∴∠1=∠2，即AD平分∠ABC；（2）解：作DH⊥AB于H，∵∠1=∠2，∠E=90°，∴DH=DE=6，∵OD=10，∴由勾股定理得：OH=8，∴AH=10+8=18，AB=20，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBA=90°，∴DH⊥AB，∴DH∥BF，∴△AHD∽△ABF，∴DHBF =AH AB，∴6BF =18 20，∴BF=203．【举一反三】1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则OAPA的值是（）A. 213√13 B. 125C. 32D. 23【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，∴PA=32r，则OAPA 的值是：r32r=23．故选：D．【答案】D2．图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）A. √63B. 23C. 13D. √1010【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F∵AB，AE都为圆的切线∴AE=AB∵OB=OE，AO=AO∴△ABO≌△AEO（SSS）∴∠OAB=∠OAE∴AO⊥BE在直角△AOB里AO2=OB2+AB2∵OB=1，AB=3∴AO=√10易证明△BOF∽△AOB∴BO：AO=OF：OB∴1：√10=OF：1∴OF=√1010sin∠CBE=OFOB =√1010故选：D．【答案】D3．直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，一个圆与这个直角三角形的斜边相切，与两条直角边所在的直线相切，则这个圆的半径为______．【解答】解：当⊙O在△ABC内部时，设切点分别为E、F、D．由切线长定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，易知四边形BFOE是正方形，∴OE=BE=AB+BC−AC2=a+b−c2．当⊙O在△ABC外部时，设切点为E、D、F．则四边形OEBF是正方形．由切线长定理可知OE=BE=AB+BC+AC2=a+b+c2，故答案为a+b−c2或a+b+c2．【答案】a+b−c2或a+b+c24．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果PD=√3，求AP的长．【答案】（1）证明：连接AO，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP=√3+R，∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即√3+R=2R，解得R=√3，∴OA=√3，OP=2√3，∴PA=√OP2−OA2根据勾股定理得，AP=√OP2−OA2=√（2√3）2−（√3）2=3．5．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点M为△ABC的内心．（1）求证：BC=√2DM；（2）若DM=5√2，AB=8，求OM的长．【答案】（1）证明：连结MC、DC、BD，如图，∵点M为△ABC的内心，∴MC平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAD=∠CAD=12∴∠DBC=∠BCD=45°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC=√2DC，又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM，而∠DCM=∠BCD+∠BCM，∴∠DMC=∠DCM，∴DC=DM，∴BC=√2DM；（2）解：作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，如图，∵DM=5√2，∴BC=√2DM=10，而AB=8，∴AC=√BC2−AB2=6，设△ABC的内切圆半径为r，∵点M为△ABC的内心，∴MH=ME=MF=r，∴四边形AHME为正方形，∴AH=AE=r，则CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，而BF+FC=BC，∴8-r+6-r=10，解得r=2，∴MF=2，CF=6-2=4，∵OC=5，∴OF=5-4=1，在Rt△OMF中，OM=√MF2+OF2=√5．6．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2√2，求线段EF的长．【答案】解：（1）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAO；（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°；②作OG⊥CE于点G，则CG=FG=OG，∵OC=2√2，∠OCE=45°，∴CG=OG=2，∴FG=2，在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=2√3，∴EF=GE−FG=2√3−2．7．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=1，求AE的长．3【答案】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=13，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=√OD2−OA2=2√2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴DCAD =DEDC，即22√2=ED2．解得：DE=√2．∴AE=AD-DE=√2．1．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA 为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解答】解：∵32+42=52，∴AB 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；作DM ⊥BC 于M ，如图所示：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴DM=DA ，∴⊙D 与直线BC 相切，∴②正确；∵∠BAC=∠DMC=90°，在Rt △BDM 和△BDA 中，{BD =BD DM =DA， ∴Rt △BDM ≌△BDA （HL ），∴MB=AB=3，∴CM=BC-MB=2，∵∠C=∠C ，∴△CDM ∽△CBA ，∴DM AB =CM AC ，即DM 3=24， 解得：DM=32，∴DF=DE=32，∴BD=√AB 2++AD 2=√32+（32）2=3√52， ∴BE=BD-DE=3√52-32，BF=BD+DF=3√52+32， ∵EF 2=9，BF•BE=（3√52+32）（3√52-32）=9，∴EF 2=BF•BE ，∴点E 是线段BF 的黄金分割点，③正确；∵tan ∠CDF=tan ∠ADB=AB AD =332=2，∴④正确；正确的有4个．故选：A ．【答案】A2．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（）A. 0＜x≤1B. 1≤x＜√2C. 0＜x≤√2D. x＞√2【解答】解：当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1，∴AD=OD=1，由勾股定理得：AO=√2，即此时x=√2，所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x≤√2，故选：C．【答案】C3．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC 的切点，设BD=BC．（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．【答案】解（1）①连接OB、OF，∵点O是△BDC的内心，∴OB平分∠DBC，∵CD与⊙O相切，∴OF⊥CD，∵BD=BC，∴B、O、F三点共线，∴DF=CF，∵DC=2AD，∴AD=DF，∵BD与⊙O相切，∴由切线长定理可知：DE=DF，∴AD=DE=DF，∴A、E、F三点共圆，且圆心为D∵AF是⊙D的直径，∴∠AEF=90°，∴AE⊥EF，②∵O是△BDC的内心，∴DO平分∠BDC，∴∠EDF=2∠EDO，∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，∴2∠EDO=2∠DEA，∴∠EDO=∠DEA，∴AE∥DO，（2）设DO与EF相交于点G，由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，∴DO⊥EF，∵AD=DF=CF，AC=6，∴DF=2，∵OF=1，∴由勾股定理可求得：OD=√5，∵12DF•OF=12OD•FG，∴FG=2√55，由垂径定理可知：EF=2FG=4√55，∵AF=2DF=4，∵∠AEF=90°，∴由勾股定理可求得：AE=8√55．。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 切线长定理(1)
知1－讲
理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周
长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
1∠(∠DAOOCC＝＋1∠2∠ABOOCC，)＝∠∠E1AOOCB＝.由∠12∠BOACP，B＝∴6∠0°D得OE＝
2
2
∠APO＝30°，又∵AO＝，3 由切线的性质得
∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝2，3∠AOB
即AB+CD=DA+BC.
（来自教材）
知1－讲
例2如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C 是上AB一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于 点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则3 △PDE的周长为____6，∠DOE的度数为____6．0°
导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，由切线长定
知1－讲
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线 长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 要点精析： (1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角 相等，运用时要根据题意选用． (2)图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很 多结论． 如：①PO⊥AB；②AO⊥AP， BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥等.AC BC
＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝P3，O2 AO2 ∠DOE＝∠1 AOB＝60°.
2
总结
知1－讲
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构造切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一 点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定 理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关 结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有 关切线问题时，O的两条切线PA，PB，切
24.2.2切线长定理(第3课时)
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
（3）写出图中所有的全等三角形；
（4）写出图中所有的等腰三角形
问题1：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
问题2:如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
⑵∠DOE
四、巩固构建：
1.已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
（2）若∠BPA=60°,则OP=
2.△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
教学难点
利用方程思想解决几何问题
教学用具
多媒体课件
1、情境引入、呈现目标：
问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！（见右图所示
2、 自主合作：
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
集体备课专用
主备人
杨世友
参加人员
全体数学教师
个人修改意见
课题
24.2.2直线和圆的位置关系（3）
学
习
目
标
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算
与证明.
2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.
教学重点
切线长定理，运用切线长定理进行计算与证明.
24.2.2(3)直线与圆的位置关系-切线长定理
思考？
• 从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都
相切?
A
A
I
I
●
●●
B
分析:
┓
C
B
┓
C
假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离 相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径 为圆心到三边的距离.
三角形与圆的位置关系
• 这样的圆可以作出几个?为什么?. A
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
三角形的外接圆与内切圆比较
图形
圆心的确定 方法
圆心名称
性质
A
三角形三边垂 外心：三角
1.OA=OB=OC
直平分线的 形外接圆
2.外心不一定在
O
交点
的圆心
三角形的内部．
B
C
三角形三个 内心：三角 1.内心到三角形三边
A
内角平分 线的交点
的距离相等；
形内切圆 2.OA、OB、OC分别
O
的圆心 平分∠BAC、∠ABC、
∠ACB
B
C
3.内心一定在三角形 内部．
说出下列图形中圆与四边形的名称
D
D
N
C
P
MA
O
O
A
L
图（1）
四边形ABCD叫做⊙O 的外切四边形
B
B
C 图（2）
四边形ABCD叫做⊙O 的内接四边形
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相切于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
人教版九年级数学第24章圆242 点和圆、直线和圆的位置的关系切线长定理讲义
合作探究探究点1 直线与圆的三种位置关系及实际应用知识讲解(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切: 一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d .直线l 和⊙O 相交r d <⇔；直线l 和⊙O 相切r d =⇔；直线l 和⊙O 相离r d >⇔.注意 要判断一条直线与圆的位置关系有两种方法:一看直线与圆的公共点的个数;二看圆心到直线的距离d 与圆的半径之间的关系.典例剖析例1 如下图，在ABC Rt ∆中，cm AC ACB 6,90==∠，cm BC 8=，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有何位置关系？为什么？（1）cm r 4=；（2）cm r 8.4=；（3）cm r 6=.解析 过C 作AB CD ⊥,垂足为D ，求出CD 的长，比较r 与CD 的大小即可判断⊙C 与直线AB 的位置关系.答案 如图，过C 作AB CD ⊥于D .在ABC Rt ∆中，cm AC ACB 6,90==∠，cm BC 8=，则cm AB 10=. 又BC AC CD AB S ABC ⋅=⋅=∆2121, 所以BC AC CD AB ⋅=⋅.即8610⨯=⨯CD ,所以)(8.4cm CD =.（1）当cm r 4=时，r CD >，⊙C 与直线AB 相离.（2）当cm r 8.4=时，r CD =，⊙C 与直线AB 相切.（3）当cm r 6=时，r CD <，⊙C 与直线AB 相交.类题突破1 ⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，且r d ,是方程02092=+-x x 的两根，则直线l 为⊙O 的位置关系是________________.答案 相交或相离点拨 方程02092=+-x x 的两根为5,421==x x ， 5,4==∴r d 或4,5==r d .当5,4==r d 时，r d <，直线l 为⊙O 相交；当4,5==r d 时，r d >，直线l 为⊙O 相离.探究点2 切线的判定定理知识讲解（1）定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线.典型剖析例2 如下图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上， 30=∠CAB ，直线DC 是⊙O 的切线吗？为什么？解析 运用切线的判定方法，连接OC ，说明.90=∠OCD 答案 如图，连接.,CB OCAB 是⊙O 的直径，且 30=∠CAB ，即BOC ∆为等边三角形，.60=∠=∠OBC OCB 又,,BD CB OB BD =∴=CD OC ⊥∴.根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线可知直线DC 是⊙O 的切线.规律总结若已知一直线经过圆上某一点，那么连接这点和圆心，说明该直线与半径垂直即可判定该直线与圆相切.类题突破2 如下图，O 为BAC ∠平分线上一点，AB OD ⊥于D 、O 为圆心、OD 为半径作⊙O .求证：⊙O 与AC 相切.答案 如图，过O 作AC OE ⊥于E .又O 为BAC ∠平分线上一点，AB OD ⊥,OE OD =∴,即点O 到AC 的距离等于⊙O 的半径.∴⊙O 与AC 相切.点拨 如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径，从而证明直线为圆的切线.这是证明切线的另一种情形.要证⊙O 与AC 相切，只需证明点O 到AC 的距离等于半径OD 即可.探究点3 切线的性质定理知识讲解(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:a.直线过圆心;b.直线过切点;c.直线与圆的切线垂直.典例剖析例3 如下图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ,求证:AC 平分DAB ∠.解析 CD 是⊙O 的切线，连接OC ，则CD OC ⊥,再结合CD AD ⊥,问题即可解决. 答案 如图，连接OC .CD 是⊙O 的切线,又CD AD ⊥，.21,//∠=∠∴∴AD OC32∠=∠∴,即AC 平分DAB ∠.类题突破3 如图，PB PA 、是⊙O 的两条切线，B A 、是切点，连接AB ，与直线PO 交于M ,请你根据圆的对称性，写出PAB ∆中的三个正确的结论.结论（1）：_______________________________________________________________; 结论（2）：_______________________________________________________________; 结论（3）：_______________________________________________________________; 答案 （1）PAB ∆是等腰三角形 （2）PAB ∆是轴对称图形 （3）PO 平分PAB ∠（4）PM 垂直平分线段AB 等（只写三个即可）点拨 根据切线定理和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到结论.探究点4 切线长定理知识讲解圆的切线长:①定义:经过圆外--点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. ②定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，③注意:切线长不是切线的长度，圆的切线是直线，无法度量长度.典例剖析例4 如下图所示，PB PA 、是⊙O 的切线，EF 切⊙O 于点C ,交PA 于点E ，交PB 于点F ，若cm PA 8=,试求PEF ∆的周长.解析 过圆外一点引圆的两条切线很容易得出CF BF EC AE ==,,求PEF ∆的周长也就转化为求PB PA +的长.答案 根据切线长定理PB PA FC FB EC EA ===,,,所以PEF ∆的周长为).(16822cm PA FB PF EA PE FC PF EC PE EF PF PE =⨯==+++=+++=++ 类题突破4 如图所示，四边形ABCD 的边DA CD BC AB 、、、和⊙O 分别相切于点P N M L 、、、.求证：.BC AD CD AB +=+答案 因为DA CD BC AB 、、、都与⊙O 相切，P N M L 、、、是切点，所以.,,,MC NC DP DN MB LB AP AL ====所以MC MB DP AP MC DP MB AP NC DN LB AL +++=+++=+++,即.BC AD CD AB +=+点拨 直接利用切线长定理，得出LM LB AL AP MC NC DN DP ====,,,，进而得出结论.探究点5 三角形的内切圆知识讲解与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点. 注意 任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形. 典例剖析例5 如图所示，已知ABC ∆的内心为点O , 110=∠BOC ,求A ∠的大小.解析 此例容易混淆了内心和外心的概念，把点O 当成了ABC ∆的外心,要注意把内心和外心这两个概念区分开来:三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，它是三角形三个内角的平分线的交点，三角形的外心是三角形的外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。
直线与圆的位置关系(切线长定理)
直线与圆 的位置 关系(切 线长定 理)
直线与圆 的位置 关系(切 线长定 理)
数学探究 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形园 的用料，并且使圆的面园 积尽可能大呢？
直线与圆 的位置 关系(切 线长定 理)
直线与圆 的位置 关系(切 线长定 理)
数学探究
三角形的内切圆园： 与三角形各边都相切的圆叫做
（4）写出图中所有的等腰三角 形
AABP AAOB
△ACP丝 ABCP
.
例1、已知：P为。。外一点，PA、PB为。。 的 切线，A、B为切点，BC是直径。
B
.
例1、已知：P为。。外一点，PA、PB为。。 的 切线，A、B为切点，BC是直径。
B
:::::::
脚闾g!邮说
係如1
(1) 若PA=4、PM=2,求圆O的园半径OA OA=3
OP垂直平分AB
o
AD与BD相等
证明：VPA, PB是。0的切线，点A, B是切点
A PA = PB ZOPA=ZOPB .•.△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分 线
若连结两切点A、B, AB交OP于点M.你又能得
出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
B
O
XI）与命相等
纟内从点圆的园外连一线点垂引直圆平的分两切条点切所线成，的圆弦园心；和平这分切一 点所成的弧。
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：
A
PA、PB分别切。。于A、
B
PA= PB
O
P
ZOPA=ZOPB
提醒：切线长定理为证明线段相 等、角相等提供新的方法
九年级数学下册 第24章 圆 24.4 第1课时 直线与圆的位置关系及切线的性质同步练习.doc
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24.4 第1课时 直线与圆的位置关系及切线的性质 一、选择题 1．已知⊙O的半径是8 cm，点O到同一平面内直线l的距离为7.5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是链接听课例1归纳总结( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．2018·湘潭如图K－9－1，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB的度数为( )
图K－9－1 A．45° B．50° C．55° D．60° 3．半径为3的⊙P的圆心坐标为(2，4)，则⊙P与x轴的位置关系是( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 4．如图K－9－2，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为( )
链接听课例2归纳总结
图K－9－2 A．3 B.32 C.2 33 D.3 32 5．如图K－9－3所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
图K－9－3 A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 6．2017·泰安如图K－9－4，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD的度数为( ) —————————— 唐玲制作仅供学习交流 —————————— 唐玲 图K－9－4 A．20° B．35° C．40° D．55° 7．如图K－9－5，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( ) 链接听课例2归纳总结
图K－9－5 A.12 B.22 C.32 D.33 8．2018·合肥月考如图K－9－6，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与AC，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ长的最小值为( )
九年级数学下册 24.4 直线与圆的位置关系 24.4.2 直线与圆的位置关系同步检测 沪科版
24.4.2 直线与圆的位置关系同步检测一、选择题：1.如果l 是⊙O 的切线,要判定AB⊥l,还需要添加的条件是( ). A.AB 经过圆心O B.AB 是直径C.AB 是直径,B 是切点D.AB 是直线,B 是切点2.下列命题是真命题的是（ ）. A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线C.直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线3.如图24-4-4，在△ABC 中，AB=2,AC=1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）.A.B.C.D.4.如图24-4-5，PA 切⊙O 于A ，AB ⊥OP 于B ，若PO=8 cm ，BO=2 cm ，则PA 的长为（ ）. A.16 cm B.48 cm C.6 cm D.4 cm 二、填空题：5.如图24-4-6，PA 切⊙O 于点A ，该圆的半径为3，PO=5, 则PA 的长等于 ．6.如图24-4-7,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于________度.7.Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C 为圆心作⊙C 与AB 相切，则⊙C 的半径为 .8.等腰△ABC 中，AB=5，BC=6，若直线BC 与⊙A 相切，则⊙A 的半径为 .图24-4-4图24-4-5图24-4-6图24-4-7E CDBA OCBA D图24-4-8图24-4-9三、解答题：9.如图24-4-8，在⊙O中，AB、AC是两条相等的弦，OD⊥AB，以O为圆心OD为半径作小⊙O，求证：AC与小⊙O相切.10.如图24-4-9，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．参考答案:1.C.提示:根据切线的性质,圆的切线垂直于经过切点的半径.2.D.提示:根据切线的判定判断.3.A.提示：以AB为直径的圆与AC相切，所以AB⊥CA，∠ADB＝90°，由勾股定理得BC＝，由面积相等可得AD＝.4.D.提示:由∠O=∠O,∠OAP=∠OBA,所以△OAP∽△OBA,得OA2=OB·OP=16,所以OA=4,再由勾股定理,得.5.4.提示：因为PA切⊙O于点A，所以OA⊥AP，在直角三角形中OA=3，OP=5，根据勾股定理可得：AP＝4.6.60°.提示:BC是切线,所以AD⊥BC,又AB=AC,所以∠BAD=∠BAC=60°,则△ADE是等边三角形,∠ADE=60°.7..提示:⊙C的半径等于Rt△ABC斜边AB上的高,利用面积关系可求.8.4或.提示:分AB为腰或底边进行考虑.9.作OE⊥AC于点E,因为AB=AC,根据同圆中相等弦的弦心距相等,所以OE=OD,即AC与小⊙O相切.10.连结OD,由AD∥OC,∠BOC=∠A,∠COD=∠ADO,∠ADO=∠A,从而∠BOC=∠COD,又OD=OB, OC=OC,所以△BOC≌△DOC, 因而∠ODC=∠OBC=90°,所以DC是⊙O的切线．（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
24.4+第四课时+切线长定理+ 课件 2023—2024学年沪科版九年级下册
起航加油
随堂演练
课后达标
23
拓展延伸
8.（陕西中考）如图16， ⊙ O 的半径为3， C 是 ⊙ O 外一
点，且 OC = 6 .过点 C 作 ⊙ O 的两条切线 CB ， CD ，切点
分别为 B ， D ，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A ． （1）求 AD 的长.
解：如图86，连接 OD. ∵ BC ， CD 为 ⊙ O 的两条 切线， ∴ OB ⊥ BC ， OD ⊥ AC ， CD = BC.
∴ ∠DOC = ∠BOC = 60∘， CD = BC = 3 3.
∴ ∠DOA = 180∘ − ∠DOC − ∠BOC = 60∘.
图86
∵ ∠DOC = ∠DOA = 60∘， OD = OD， ∠ODC = ∠ODA = 90∘， ∴
△ ODC ≌△ ODA ASA .
∴ AD = CD = 3 3 ．
图16
起航加油
随堂演练
课后达标
26
图15
【问题拓展】 请同学们用不同于“问题分析”中的方法与思路，计算 AD
的长.
起航加油
随堂演练
课后达标
22
解： ∵ AB ， BC ， CD ， AD 分别与 ⊙ O 相切于点E， F ， G ， H ， ∴ AE = AH ， BE = BF , CF = CG ， DG = DH , ∵ AB = 10 ， BC = 7 ， CD = 8 ， ∴ AB = AE + BE = 10① ； BC = BF + CF = 7 ，即 BE + CF = 7② ； CD = CG + DG = 8 ，即 CF + DG = 8③. ① + ② + ③ , 得 AE + 2 BE + CF + DG = 25. ∵ BE + CF = 7, ∴ AE + DG = 11. ∵ AD = AH + DH = AE + DG ， ∴ AD = 11 .
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24.4 第3课时 切线长定理 一、选择题 1．如图K－11－1所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是( )
图K－11－1 A．PA＝PB B．∠APO＝20° C．∠PBO＝70° D．∠AOP＝70° 2．如图K－11－2，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝90°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图K－11－2 A．4 B．8 C．4 2 D．8 2 3．如图K－11－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接OP.若∠APO＝30°，OA＝2，则PB的长为链接听课例2归纳总结( )
图K－11－3 A.2 33 B.3 C．4 D．2 3 4．如图K－11－4，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为( )
图K－11－4 A．40° B．140° C．70° D．80°
5．2017·六安期末如图K－11－5，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在AB︵上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D.若PA＝3 cm，则△PCD的周长等于( )
图K－11－5 A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 6．如图K－11－6，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面
积是( )
图K－11－6 A．12 B．24 C．8 D．6 7．如图K－11－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD的长为( )
图K－11－7 A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 二、填空题 8．如图K－11－8，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝________°.链接听课例2归纳总结
图K－11－8 9．如图K－11－9，⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离为6 cm，经过点P引⊙O的两条切线PA，PB，这两条切线的夹角为________度．
图K－11－9 10．如图K－11－10所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB ＝ 70°，则∠P的度数为________．
图K－11－10 11．如图K－11－11，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB，若∠ABC＝30°，则AM＝________．
图K－11－11 12．2018·马鞍山期末如图K－11－12，由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于点E，交BD于点C，连接DE，BE.下列四个结论：①BE＝DE；②∠EDF＝∠EBF；③DE∥AB；④BD2＝2AD·FC.其中正确的结论有________．(把你认为正确结论的序号全部填上)
图K－11－12 三、解答题 13．如图K－11－13，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB＝90°，OP＝4，求⊙O的半径．
图K－11－13
14．如图K－11－14，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠P＝60°.求： (1)PA的长； (2)∠COD的度数． 图K－11－14 15．如图K－11－15，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6，OC＝8. (1)求∠BOC的度数； (2)求BE＋CG的长.链接听课例2归纳总结
图K－11－15
转化思想如图K－11－16，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，点P不与点M和点C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长． 图K－11－16 详解详析 [课堂达标] 1．[解析] C ∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝20°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOP＝∠BOP＝70°，故C是错误的． 2．[解析] D ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，即△PAB是等腰直角三角形，故AB＝2PA＝8 2. 3．[解析] D ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PB＝PA＝3OA＝2 3. 4．[解析] C 连接OA，OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝140°，
∴∠C＝12∠AOB＝70°. 5．[解析] B 由题意可知△PCD的周长为：PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋(CE＋DE)＝PC＋PD＋(CA＋BD)＝PA＋PB＝6 cm. 6．[解析] D ∵AE与⊙O切于点F， 显然根据切线长定理有AF＝AB＝4 cm， EF＝EC. 设EF＝EC＝x cm， 则DE＝(4－x)cm，AE＝(4＋x)cm. 在Rt△ADE中，由勾股定理得 (4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x＝1，∴CE＝1， ∴DE＝4－1＝3，
∴S△ADE＝12AD·DE＝12×4×3＝6.故选D. 7．[解析] B 如图，设AD＝x，连接OD，OE. ∵AC，BC均为半圆O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°. 又∵OD＝OE，∠C＝90°， ∴四边形ODCE是正方形． 则OD＝CD＝4－x. ∵AC∥OE，BC∥OD， ∴∠A＝∠BOE，∠AOD＝∠B， ∴△AOD∽△OBE，
∴ADOE＝ODBE，
即x4－x＝4－xx＋2， 解得x＝1.6. 8．[答案] 23 [解析] 因为PA，PB是⊙O的切线， 所以PA＝PB，OA⊥PA. 又因为∠P＝46°，所以∠PAB＝67°， 所以∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°. 9．[答案] 60 [解析] 如图，连接AO，则△APO是直角三角形．∵OA＝3 cm，OP＝6 cm， ∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°.
10．[答案] 40° [解析] 本题主要应用切线长定理及直径所对的圆周角是直角来解决． 如图，连接AB. ∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°. ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB＝20°. ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°， ∴∠PAB＝∠PBA＝70°，∴∠P＝40°.
11．[答案] 33 [解析] 如图，连接OM，OC， ∵OB＝OC，且∠ABC＝30°， ∴∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵∠AOC为△BOC的外角， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°. ∵AM，CM分别为⊙O的切线， ∴AM＝CM，且∠MAO＝∠MCO＝90°.
在Rt△AOM和Rt△COM中， AM＝CM，OM＝OM，
∴Rt△AOM≌Rt△COM， ∴∠AOM＝∠COM＝12∠AOC＝30°. 在Rt△AOM中，OA＝12AB＝1，∠AOM＝30°， ∴tan30°＝AMOA，∴AM＝33. 12．[答案] ①②④ [解析] 由BF，DF都是⊙O的切线易知△DCF与△BCF关于OF对称，∴DE＝BE，∠EDF＝∠EBF，故结论①②正确；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，由题意易知OC⊥BD，O为AB
的中点，∴OC是△ABD的中位线，则OC＝12AD.∵BF是⊙O的切线，∴OB⊥BF，即△BOF是直
角三角形，易证△BOC∽△FBC，∴BC2＝OC·FC，即(12BD)2＝12AD·FC，化简得BD2＝2AD·FC，故结论④正确；而结论③的依据不足．综上所述，结论①②④正确． 13．解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. 又∵∠APB＝90°，OA＝OB， ∴四边形OAPB为正方形，∴OA＝AP， ∴在Rt△AOP中，2OA2＝OP2，即OA2＝8， 解得OA＝2 2. 即⊙O的半径为2 2. 14．解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线， ∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB， ∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12， ∴PA＝6. (2)∵∠P＝60°， ∴∠PCE＋∠PDE＝120°， ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°. ∵CA，CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD，
同理∠ODE＝12∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180－120°＝60°. 15．解：(1)根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠BCD)＝90°， ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°. (2)在Rt△BOC中，BC＝OB2＋OC2＝62＋82＝10， ∴BE＋CG＝BC＝10. [素养提升] 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA⊥AD，OB⊥BC.