自然数的基数理论和序数理论
初等数学专题研究答案
习题解答第一讲 自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于{(,)|,}A B a b a A b B ⨯=∈∈与{(,)|,}B B b a b B a A ⨯=∈∈，定义A B ⨯到B A ⨯的映射为：(,)(,),(,),(,)fa b b a a b A B b a B A −−→∈⨯∈⨯显然这个映射是A B ⨯到B A ⨯的一一映射，所以A B B A ⨯=⨯，于是按定义有：A B B A ⋅=⋅，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设()p n 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题()p n 对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对0()n k k n =≥成立时，能够推出命题对1n k =-也成立，那么对一切自然数不小于n 0的自然数n ，命题()p n 必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M ，那么M 非空，因此，M 中必有一个最小数000()r r n ≥。
此时，由于不大于0r 的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数0()r r r >，命题在r 处成立；于是由条件（2），命题对1r -也成立，连锁应用条件（2），那么命题在12,,,,, r r r r k ---处都成立，而这个序列是递减的，因此0r 必然出现在这个序列中，这与0r 的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：313432313145,(),''''+==+=+=+==33323256(),'''+=+=+== 34333367()'''+=+=+==4、设平面内两两相交的n 个圆中，任何三个不共点，试问这n 个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n 个圆将所在平面分割成()f n 个部分，显然1224(),()f f ==； 如果满足条件的n 个圆把平面分割成()f n 个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n 个圆一定已经把平面分割成()f n 个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n 个圆必然产生2n 个交点，这2n 个交点必然把这最后一个圆分割成2n 段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而12()()f n f n n +-=， 于是得：212324121()(),()(),,()()() f f f f f n f n n -=-=--=- 将这n-1个等式相加得：124211()()()() f n f n n n -=+++-=- 即 2122()()f n n n n n =-+=-+ 5、设平面上的n 条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：112()()n n f n +=+ 证明：显然1111212()()f +⨯==+成立； 假将设平面上的k 条直线最多可以把平面分割成 f (k )112()k k +=+个互不相通的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k 条直线最多把平面分割成112()k k +=+个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k 个交点，这k 个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而11()()f k f k k +-=+所以：111112()()()k k f k f k k k ++=++=+++ 121121122()()()()k k k k k +++++=+=+所以公式112()()n n f n +=+在1n k =+时也成立， 于是公式对一切自然数n 都成立。
自然数的序数理论与基数理论
序数理论与基数理论的概述
序数理论
序数理论是研究自然数顺序关系的数学分支。它主要 关注自然数之间的前后关系、大小关系和运算规则等 问题。在序数理论中，我们可以通过比较自然数的大 小来定义它们之间的顺序关系，例如“小于”、“大 于”、“等于”等。同时，序数理论也涉及到一些与 顺序相关的概念，如“前趋”、“后继”、“极限序 数”等。
自然数集合的序关系
自然数集合的序关系是一种全序关系，即对于任意两个自然数a和b，都可以确定它们之间的大小关系。这种大小关系可以通过比 较它们的后继数来确定，即如果a的后继数小于b的后继数，则a小于b。
自然数集合的序关系还具有良序性质，即任意非空自然数集合都存在最小元素。这一性质在自然数的归纳法证明中起到了关 键作用。
基数理论是研究自然数数量关系的数 学分支，它主要关注自然数的数量和 计数问题。基数理论的基本概念包括 基数、可数集、不可数集等。通过基 数理论，我们可以更深入地理解自然 数的数量结构和性质，以及它们在数 学中的应用。
序数理论和基数理论在自然数的研究 中相互补充，共同构成了自然数的完 整理论体系。序数理论关注自然数的 顺序关系，而基数理论关注自然数的 数量关系。两者之间的联系在于，它 们都涉及到自然数的结构和性质，以 及它们在数学中的应用。
序数运算与序数等式
序数运算
在自然数的序数理论中，可以进行一些基本的序数运算，如 加法、乘法和幂运算等。这些运算满足一些基本的性质，如 结合律、交换律和分配律等。
序数等式
在自然数的序数理论中，存在一些重要的等式和不等式，如等 式a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)、ab=ba和(ab)c=a(bc)等， 以及不等式a<b+c（当a<b且a<c时）等。这些等式和不等式 在自然数的计算和证明中起到了重要作用。
小学数学基础
第1章数与运算1.1 数与运算概述1.1.1数的产生<1）分类分类，就是根据事物的特点进行归类，把具有相应共同特征和属性的事物放在一起，便于研究和讨论。
<2）比较比较，就是对两种或两种以上的同类事物辨别异同，便于更好地认识同类事物，常将事物按照大小、多少、高矮、长短、轻重等进行比较。
b5E2RGbCAP<3）多少多少，就是对同类事物在数量上进行比较，考察它们在数量上的差异。
<4）数数数数，就是采用实物一一对应或口头念叨或心中默念等方式查点数目，逐个说出数目，这是对事物的数量进行比较精确的界定。
p1EanqFDPw <5）替代替代，就是用具体事物<比如石子、小木棍等），一一一对应的形式替代要记录的物体，表述物体的数量。
<6）计数计数，就是用语言、符号、文字等将数数的结果记录下来，便于日后使用。
1.1.2运算与数在自然数范围内，加法与乘法可以畅通无阻地进行，而减法与除法则不行。
为了小数减大数的运算，就需要引进新的数——负数。
同样，当两个数相除时，商不是自然数，想要表示运算的结果，就需要引进新的数——分数。
因此，新数往往由运算的需要而产生。
DXDiTa9E3d1.2 自然数1.2.1自然数的产生自然数两重属性：一是基数属性，表示一个集合一共有几个元素，即表示元素的总个数。
二是序数属性，当集合中的元素按一定的顺序排列时，表示某个元素的顺序，在第几个位置上。
1.2.2自然数的基数理论自然数的基数定义是建立在集合论的基础上。
表示集合中元素个数的数叫做基数。
有限集合的基数叫做自然数。
，，3个人组成的集合，都认为它们是等价地构成一类，它们具有相同的基数，用自然数3表示这个基数。
设与分别表示集合与的基数。
若与能够建立一一对应，则；若与的真子集能够建立一一对应，则；若的真子集与能够建立一一对应，则。
1.2.3自然数的序数理论1889年，意大利数学家皮亚诺<Peano Giuseppe，1858—1932）在《算术原理新方法》中用公理化的方法从顺序的角度揭示了自然数的意义，被称为自然数的序数理论，或称为自然数的皮亚诺公理。
第一讲数与数系
自然数的序数理论 顺序
2009年8月
中学数学研究（代数）
22
第一讲 数与数系
运算定义
自然数的序数理论 运算
2009年8月
中学数学研究（代数）
23
第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
例1 证明2＋3＝5
证 2 1 2＝3，2 2 2 1 (2 1) 3 4,
2 3 2 2 (2 2) 4 5
④在A的具有上述三个性质的所有扩展中，在同构 意义下，B是唯一最小扩展。
2009年8月
中学数学研究（代数）
5
第一讲 数与数系
同构
2009年8月
中学数学研究（代数）
6
第一讲 数与数系
扩展
2009年8月
中学数学研究（代数）
7
第一讲 数与数系
自然数系和0 自然数的基数理论和序数理论
建立自然数理论的几种方案 ⑴19世纪中叶，康托尔以集合论为基础，建立自然
2009年8月
中学数学研究（代数）
55
第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
2009年8月
中学数学研究（代数）
56
第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
2009年8月
中学数学研究（代数）
57
第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
2009年8月
中学数学研究（代数）
58
第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
2009年8月
2009年8月
中学数学研究（代数）
26
第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
自然数的乘法对加法满足分配律。
2009年8月
中学数学研究（代数）
数的认识 整数的认识 自然数的基数理论与序数理论
(4)若M⊆N，且1∈M，a∈M⟹a+∈M，那么M=N。
那么集合N的元素，就叫作自然数。
按照皮亚诺最初的计数，自然数从1开始，不包含0，1993年我国开始新的国
家标准定义自然数集N含0，这时就要把公理中的1换成0。
小学数学里
如果A的真子集与B能够建立一一对应关系，那么a>b。
三、自然数的序数理论
皮亚诺公理：
一个集合N的元素间有一个基本的关系——后继（用+表示），并满足下面四条公理：
+
(1)1 ∈ ，对任意 ∈ ， ≠ 1；
(2)
对于a∈N，有唯一的后继a+(即
+
+
= ⟹ = )；
+
+
(3) 除1以外的任何元素，只能是一个元素的后继(即 = ⟹ = ) ；
自然数的基数理论与序数理论
主要学习内容
01
自然数的产生
02
自然数的基数理论
03
自然数的序数理论
一、自然数的产生
1、上古时代
判断物体个数多少的需要—比多少
2、反复实践
一一对应的方法产生多与少、一样多的概念
3、标准集合
可以建立一一对应的集合有很多，这些集合中的物体的
个数一样多，人们把它们归为一类（等价集合类），从中选出一个人们
合、三棵树的集合，三本书的集合等，它们都能彼此一一对应，我们就用自然数3
表示。
以此类推，集合P={a}的基数是1，集合Q={a，b}的基数是2，空集的基数是0。
二、自然数的基数理论
设a与b分别是集合A与B的基数：
如果A与B能够建立一一对应关系，那么a=b；
如果A与B的真子集能够建立一一对应关Hale Waihona Puke ，那么a<b；是第9个。
如何帮助学生建立自然数的概念
如何帮助学生建立自然数的概念小学生最早接触的数就是自然数。
在小学数学教学中，我们为什么在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9学习时强调“后继”？为什么强调进位？为什么强调一一对应？…其实，这些问题都不是偶然的。
众所周知，0，1、2、3、4、5、……，叫做自然数。
自然数起源于数，它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。
当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。
与此相对应，自然数的理论有基数理论和序数理论两种。
一、自然数的基数理论自然数的基数理论，是把自然数定义为一切有限集合的基数，即元素的个数。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。
中国古代《易•系辞》中说，“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，这都是匹配计算法的反映。
开始人们只会用一一对应的方法来比较属于不同集合的元素个数的多少，后来逐渐认识到许多物体集合中的元素可以一一对应，数学中把它们叫做等价集合。
即，对于集合A={a1,a2,a3,…,an}，B={b1,b2,b3,…,bn}而言，它们之间就可以建立一一对应关系（如，映射f：ai→bi，其中，i=1，2，…，n），进而，也就构成了一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。
随着语言文字的发展，人们用数作为一类等价集合的标记，这样的数就是有限集合的基数，它是一类有限等价集合的共同特征。
集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。
特别地，空集的基数就是0.二、自然数的序数理论为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。
对某一个有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。
这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（G. G. Peano,1858～1932），他于1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。
自然数
第一章 自然数的基数理论和序数理论作业参考解答 王海提供，李俊校核2009-9-281． 设a ,b ,c 均为自然数,用基数理论证明：若a <b ,b <c ,则a <c .证：设非空有限集合,,,A B C 满足A =a ,B =b ,C =c .由a <b ，则*B B ∃⊂,满足*B ='b ,s.t. *B A ,则有a ='b .同样由于b <c ，则*C C ∃⊂,满足*C ='c ,s.t. *C B ,则有b ='c .由B *C ,故可建立一个从B 到*C 的双射φ,使得φ(B )=*C ,φ-1(*C )=B .又由于*B 是B 的真子集,则*C ∃的子集**C ,s.t. φ(*B )=**C ,φ-1(**C )=*B .那么即有 *B =**C ,又**C 是*C 的子集,*C 又是C 的真子集所以 a ='b =*B =**C <C =c .即a <c . 证毕.注意：证明始终要扣住定义，所以“非空有限集”“真子集”、“不交”（下一题）、“乘以某数的后继”（最后一题）等细节都必须一一交待。
2． 设a ,b ,c 均为自然数,用基数理论证明(a +b )+c =a +(b +c ).证：设,,A B C 为两两不相交的非空有限集合,满足A =a ,B =b ,C =c .由于,,A B C 两两不相交,故其中任意两个集合之并与第三者仍不相交.即：(a +b )+c 表示集合A 与B 的并之后再与集合C 的并集的基数.同理 a +(b +c )表示集合A 与B 和C 的并之后的并集的基数.设A ={12,,,a a a a },B ={12,,,b b b b },C ={12,,,c c c c }.则由前面可知(a +b )+c =()A B C ⋃⋃=D ,其中D =()A B C ⋃⋃.由于,,,A B C 两两不交，则D ={12,,,a a a a ,12,,,b b b b ,12,,,c c c c }.同理a +(b +c )=()A B C ⋃⋃=E ,其中E =()A B C ⋃⋃={12,,,a a a a ,12,,,b b b b ,12,,,c c c c }=D .所以(a +b )+c =a +(b +c )得证.3． 设a ,b ,c 是自然数，用序数理论证明()a b c ⋅⋅=()a b c ⋅⋅和()a b c +=ac bc +.证：先证()a b c ⋅⋅=()a b c ⋅⋅取定,a b ,设M 是使得上面等式成立的()a b c ⋅⋅=()a b c ⋅⋅所有c 组成的集合. 1.(1)a b ⋅⋅=a b ⋅=()1a b ⋅⋅,所以1∈M.2 . 假设c M ∈,即()a b c ⋅⋅=()a b c ⋅⋅. 则()a b c +⋅⋅=()a bc b ⋅+=()a bc ab ⋅+=()ab c ab ⋅+=()a b c +⋅⋅,即c +M ∈.根据归纳公理，故有M N =.其中N 为全体自然数集.由,a b 的任意性，得()a b c ⋅⋅=()a b c ⋅⋅.证毕.再证()a b c +=ac bc +取定,a b ,设M 是使得上面等式成立的()a b c +=ac bc +所有c 组成的集合. 1 .()1a b +⋅=a b +=11a b ⋅+⋅,即1M ∈. 2 .假设c M ∈,那么 ()()()a b c a b c a ba cbc a b ++=+⋅++=+++ ()ac a bc b ac bc ++=+++=+. 即c M +∈.由归纳公理，故有M N =.其中N 为全体自然数集.由,a b 的任意性，得()a b c +=ac bc +.证毕.说明：在这个题目中，为什么我们要固定,a b ,而不是其他呢？是因为我们定义乘法时c +是放在乘号后面的，所以在此题我们固定前面的,a b ,证明过程就比较简明. That ’s all.。
1自然数的序数理论与基数理论
性质11：(最小数原理 最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 性质 最小数原理 一个最小数。 三、数学归纳法 定理12：（第一归纳法原理）： 定理 ：（第一归纳法原理）： ：（第一归纳法原理 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对某个自然数 n0 成立； （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时， 命题 p(n) 对 n = k + 1 也成立。 那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
n = k + 1 也成立。
初 等 数 学 专 题 研 究
那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
定理14（第三归纳法）： 定理 （第三归纳法）： 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对无穷多个自然数成立 （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时，命题
a = bc
那么c叫做a被b除得的商，记作 三、自然数集的性质 性质8：自然数集是全序集。 性质 ： 。
c=a÷b
、
初 等 数 学 专 题 研 究
这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下 比较大小。 性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个 性质 自然数a，b，一定存在自然数 c，使 ac > b 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 性质 a , a ′ 之间都不存在第三个自然数）。
初 等 数 学 专 题 研 究
1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理 定义10： 定义 ：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理: 1∈ N （1） （2）对任意 a ∈ N , a ′ ≠ 1 （3）对任意 a ∈ N 有且仅有唯一的后继元 即 a = b a ′ = b′ （4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， a ′ = b′ a = b 即 （5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足 （归纳公理）
[理学]初等数学研究1自然数基数理论
数、十进制、位值制
• 中国数字
春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：
纵式 横式 在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹 325107应摆成 算盘
• 罗马数字
X L C
每个符号与它所在的位置无关
D
M
一千
XXIII
二十三 两个罗马数字相加，须先合
十 五十 一百 五百 并再化简
– 自然数 添正分数－>正有理数 添零－>非负有 理数 添负数－>有理数 添无理数－>实数 添虚 数－>复数 实际上是交错发展的
• 数的理论架构（逻辑构造法）
– 有了自然数集，可以构造整数集（自然 数对） 可以构造有理数集 可以构 造实数集 可以构造复数集 ……
自然数的两种作用
• 计数（有几个）
自然数的康托尔基数理论
• 如果有一个集合N，在它的元素间有一个基本关 系“后继”（用符号＋或’表示），并满足下列 公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：
“5”是什么？是满足上述五条公理的一个集合的元素，排在1 后面后面后面的后面
定义自然数的加法和乘法
• 加数是1还是某一个自然数b的后继
a 1 a a b ( a b )
11个运算定律（1）
加法有五个基本定律： 1．a+b 仍然为一个数，即正数加正数总是 可能的 2．a+b是单值的 3．结合律成立：(a+b)+c＝a+(b+c) 因此完全可以脱去括号 4. 交换律成立: a+b＝b+a 5. 单调律成立: 若 a b a c b c 证明
70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4＝84
初等代数 第一章 自然数
定理 1 自然数的加法是唯一存在的 定理 2（加法结合律）对于任意的自然数 a、b、c，都有 （a+b）+c=a+(b+c) 定理 3（加法交换律）对于任意的自然数 a、b，都有 a+b=b+a
2.乘法及其运算律
定义 3 自然数的乘法是这样的一种对应关系“×” ，对于任意的
a、b N，存在唯一确定的 a×b N，且有
6
即 0 =1； 1 唯一确定，记为 2，即 1 =2； 2 唯一确定，记为 3，即
2 =3；……
，如此继续下去，便可以得到自然数列： 0，1，2，3，…，n，…
注：上述公理系统中唯一不平凡的是归纳公理，它是皮亚诺公理系统 的基石，也是数学归纳法的理论根据.
二、自然数的四则运算 1.加法及其运算律
第一章
自 然 数
自然数是人们日常生活中应用最多的数， 也是人类认识最早的数 系.根据实际的生活经验，人们发现自然数具有两方面的意义：一是 用来计数（解决多少的问题） ；二是用来排序（解决是第几的问题）. 由此，数学上形成了两种自然数理论：基数理论和序数理论.本章首 先概述自然数的两种理论， 说明每一种理论是怎样定义自然数及其运 算与顺序的；然后，用自然数的理论研究数学归纳法。 §1.1 自然数的基数理论 一、自然数的定义 集合等价：设有两个集合 A 与 B，如果集合 A 与集合 B 的元素之 间，可以建立一一对应关系，这时就称集合 A 与 B 等价，记作 A～B. 集合的等价是一种等价关系.根据集合的等价关系，就可以将所 有集合进行分类，把彼此等价的集合归为同一类，并且给每个等价类 一个标记.称其为基数或势。可以建立一一对应的集合的共性就是他 们具有相同的基数或势。 有限集与无限集： 如果一个集合不能和它的任意一个真子集之间 建立一一映射（即同构） ，就称该集合为有限集；如果一个集合可以 和它的某个真子集同构，则该集合就是无限集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《初等代数研究》自然数的基数理论和序数理论姓名：***班级：数信2011级1班学号：************日期：2013年12月20日自然数的基数理论和序数理论摘要：自然数是人类最早认识的数，随着人类社会的发展，数也随之被扩充，从自然数到分数，再到负数……数系的每一次扩充都是人类文明史的一次飞跃，本文论述的是人类最早认识的自然数两种理论，基数理论和序数理论的定义及基本运算，用有限集的基数给出自然数的及其顺序和运算的定义，用公理法研究自然数集。
关键词：自然数；基数理论；序数理论一、自然数1.1 自然数的产生在人类社会发展初期，人们还不会用数来表示物体的多少，而是采取一一对应的方法进行比较的。
例如，牧羊人在统计羊的数目时常常用石子代表羊，一颗石子对应着一只羊，早晨放牧时这样检查羊的只数，晚上放牧归来用同样的方式检查羊是否丢失。
又如：狩猎时常把武器和狩猎者一一搭配起来，也即一人一件。
经过长期的实践，才逐步形成“多”和“少”的概念。
随着社会生产力的发展和物质交换的增多，人类在长时间反复应用集合来表示多少的过程中，渐渐的把数从具体的集合中抽象出来，逐渐的创造了抽象的数字符号，这就是最早的自然数。
不同地域，不同文明的数字符号并不相同，其功能却相同。
1.2 自然数的组成：自然数起源于数数，在数物体的时候，用来表示物体个数的1 , 2 , 3 , 4，……叫做自然数。
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术使用的数学符号》中，将自然数集记为自然数的基本单位是“1”，任何非0的自然数都由若干个“1”组成。
一个物体也没有用符号“0”表示，0也是自然数。
“0”的含义众多，表示没有，仅仅是最初的含义。
随着人类研究的不断深入，对“0”的人是也不断的发展。
“0”不仅表示没有，还可以表示一些特定的数值。
例如：“这里的海拔为0米”，并不是说这里没有高度，而是表示这里相对于海平面的高度为0米；在测量工具上，“0”刻度线是计量的起点；在温度计上，“0”表示一个标准大气压下，冰水混合物的温度数值；在运算时，“0”还有占位的作用等。
1.3 自然数的意义每一个自然数都有两重意义，一重意义表示数量，即被数的物体有多少个。
这种用来表示事物数量的的自然数称之为基数。
另一重意义为表示次序，即被数到的物体是第几个，用来表示事物次序的自然数，成为序数。
正因为自然数有这两方面的意义，所以自然数理论，最常用的有两种，一种是基数理论，另一种为序数理论。
二、自然数的基数理论十九世纪中叶，康托（G . Cantor）以如何度量一类物体的个数为背景，提出了自然数的基数理论。
2.1 自然数的定义考察集合X所含元素多少，可以选定另一个集合A，视X与A的元素间能否一一的搭配起来。
如果存在这种一一对应的关系，就说X等价于A，也说X与A具有同一个基数。
定义：1）有限集的基数叫做自然数，所有等价于的集合的基数，用符号1表示，也就是, 1是自然数；类似的2是自然数；，3是自然数；一切自然数组成的集合，叫做自然集，记为N。
2）如果有限集A、B基数分别是a、b，那么Ⅰ.当A等价于B时，就说a等于b，记做a = bⅡ.当A等价于（）时，就说a小于b，记做Ⅲ.当等价于B（）时,就说a大于b，记做。
通过定义1），我们可以这样去描述自然数：自然数是一切等价集合的共同特征的标记。
因为一切等价集合有一个重要的共同特征就是他们的元素个数相同。
那么对于所有的空集,它们显然都是等价集合，按照这样的说法，那么所有空集共同特征必然可以用一个自然数来给予“标记”。
空集中什么元素也没有，用1,2,3……显然不行，于是，数学家们在这里引进了0，这个0就是一切空集的共同特征的标记。
由上面两条定义，容易知：自然数相等关系具有反身性、对称性和传递性。
自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。
2.2 自然数的基数理论运算定义自然数的加法: 设A、B都是有限集，，则称的基数为a加上b的和，记做a + b，这里a叫做被加数，b叫做加数，求和的运算就叫做加法。
很显然，对于自然数a、b，a + b 是唯一确定的自然数。
自然数的加法在所有的加数都相等时被规定为自然数的另一种运算，即乘法运算。
自然数的乘法：若b个有限集彼此之间没有公共元素，他们的基数都是a，则称的基数为a乘以b的积，记做，这里a叫做被乘数，b叫做乘数。
求积的运算叫做乘法。
若b=1时，我们规定：通过对自然数的加法运算和乘法运算，可以得到以下结果（1）乘法交换律：对任何自然数a、b，恒有ab = ba。
（2）乘法对加法的交换律：对任何自然数a、b、c，总有a（b + c）=ab + ac ；（b + c）a = ba + ca。
（3）乘法结合律：对任何自然数a、b、c，恒有a（bc）=（ab）c。
我们还可以把自然数加法与乘法的逆运算定义分别规定为自然数的减法与除法。
三、自然数的序数理论自然数的基数理论反映了自然数在数量上的意义，但是它过多的依赖集合论的原理，就显得不甚纯粹，也不够严密。
它没有很好的揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法运算和乘法运算的具体方法。
为了克服这些缺陷，1889年意大利数学家皮亚诺(G .Peano , 1858一1932)在其名著《算术原理的新方法》中首先完成了对自然数的公理化处理.序数理论弥补了基数理论的一些缺陷，其主要内容体现在数的顺序上，其主要意思即：只有一个数不跟随任何其他数，它就是1，在每一个数后面都紧跟着唯一的一个数，除了1之外，每一个数都有一个先行的数，没有相等的数。
3.1 自然数公理法所谓公理法，就是以一些不加定义的基本关系与不加证明的公里为基础，借助于纯粹的逻辑方法推演出的一系列定理与命题，以建立起整个理论。
这种理论是从自然数列抽像出来的。
自然数列是一串排定了顺序的数，其中有一个最前面的数，没有两个相等的数，每一个数有且只有一个后继数。
把“后继”作为不加定义的基本关系，用一组公理来刻画它这组公理列举自然数不加证明的基本性质，就有集合N的元素叫做自然数，如果N元素之间有一个基本关系“后继”（用“+”来表示），并满足公理：ⅠⅡ对任何有唯一的Ⅲ对任何不是1Ⅳ对任何，若相同，则a等于bⅤ若集合M是集合N的子集，且（1）1；（2）对任何，有,则M=N 3.2序数理论下的四则运算3.2.1 加法运算自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何a、b，有唯一确定的a + b，并且1）a + 1 = 2）。
这里给出自然数加法运算的具体方法，下面举例说明：例：证明2 + 3 = 5证：因为 2 + 1 =2 + 2 = 2 + = = = 42 +3 = 2 +== = 5由加法的定义可以证明，自然数的加法是存在且唯一的，并且对任意的自然数a，b，c，总有a + ( b + C) = (a + b) + c，实际上这也是加法的结合律。
自然数的加法运算满足交换律，即a+b=b+a。
3.2.2 自然数的乘法运算自然数的乘法运算是一种对应关系“·”，由于它，对任何a、b，有唯一确定的a·b，并且1）a·1 = a2）a·=a·b + a下面，以实例来看乘法的运算。
例：证明2·3 = 6证：因为2·1 = 2 2·2 = 2·= 2·1 + 2 = 4所以2·3 = 2·= 2·2 + 2 = 4 + 2 = 6.由自然数的乘法定义，我们可以得到，自然数的乘法唯一存在；乘法满足交换律（对任何,总有a·b = b·a）;乘法满足分配律（对任何，总有（a+b）c=ac+bc）3.2.3自然数的除法和减法自然数减法定义是建立于加法基础上，设a、b，若存在，使得b+x=a，则称x 为a的减去b的差，记做a – b ，这里a叫做被减数，b叫做减数。
求两数差的运算就叫做减法。
就是说。
对任何a、b，当且仅当时，，如果存在，那么它是唯一的。
类似的，在自然数乘法运算基础上，我们还可以定义出除法的运算，与减法的定义相似：设a、b，若存在，使得bx=a，则称x为a除b的商，记做，这里a叫做被除数，b叫做除数。
求两个数商的运算就是除法。
如果商存在，则它必定是唯一的。
3.2.4 归纳公理归纳公理等价于最小自然数原理：N的任意一个非空子集中必有最小数。
我们可以用归纳公理证明最小自然数原理：设T是N的一个非空子集，那么必有，使对任意的，即是T中的最小自然数。
证明：考虑所有的这样的自然数s组成的集合S：对任意的必有。
由于1满足这样的条件，所以，S非空。
此外，若（因为T非空所以必有），则，所以不属于S，由这两点及归纳公理就可以推出：必有使得不属于S。
必有，因若不然，则对任意的必有，因而。
这表明，矛盾。
取就证明了最小自然数原理。
3.2.5 数“0”在皮亚诺自然数公理中没有“0”的存在，那么“0”是否为自然数，这一个问题一直存在很大的争议。
在这里，把“0”引入自然数列，并且以“1”做为它的后继数，这样便得到了扩大自然数列：0，1，2，3，……其中每一个数叫做自然数，扩大自然数列里“0”具有自然数列里“1”的性质，因此“0”有这样的特性：（1）只有一个数不跟随任何其他数，它就是0，（2）在每一个数后面都紧跟着唯一的一个数，除了0之外。
为了把加法和乘法的定义推广到扩大的自然数列上去，补充如下定义：(1)a+0=0+a=a(a是自然数)；0+0=0(2)a·0 = 0·a (a是自然数)；0·0 = 0这样0就可以与自然数在一起运算，并且可以证明自然数集中原有的基本运算仍然立。
但需要注意0不能作为被减数和除数。
同样的，我们可以把“相等”，“大于”及“小于”的概念推广到扩大的自然数列上去。
数“0”同样具有基数的意义，我们把唯一的空集合作为一个等价集合类，对于这个类的基数就是“0”。