培优解直角三角形
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系培优说课教学复习课件
，BC
= 5， 试求AB的长.
中考链接
（2018·上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC=
（1）求边AC的长；
．
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求 的值．
解：（1）作A作AE⊥BC.
在Rt△ABE中，tan∠ABC=
=
，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
2
2 5
∴∠B=30°， ∠A=60°
思考：已知一直角边和一斜边与本题
有什么不同？
典例精析
2.在Rt △ABC中， ∠C=90 °, ∠A, ∠B, ∠C所对的边分别是a，b，c，
且b= 30， ∠B= 25°，求这个三角形的其它元素（边长精确到1）。
B
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
AC
cos A
AC AB cos A 6 cos 75
AB
A B 90 B 90 A 90 75
宁乘毋除，取原避中。
即当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用
正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不
用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，
尽量避免用中间数据。
随堂检测
1、在Rt△abc中 ∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c， c=2， a=1，求
初三上培优辅导资料5(解直角三角形)学生
初三上培优辅导资料5解直角三角形知识点巩固：1.锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们称为∠A的锐角三角函数提醒：1）sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2）取值范围<sinA< ，<cosA< ，tanA>2. 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3.几个特殊关系：⑴sin2A+cos2A= ,tanA∙tanB =⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，cosA= ，tanB=4. 坡面的__ _的比叫坡度i（也叫坡比），坡度越大，坡面越陡；坡面与___ _的夹角，用α表示，tan α=i=hl．度i=1：2，则坝底AD的长为（A. 13mB. 34mC. (6m+ D. 40m练习：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A. (6mB. 12mC. (4m- D. 10m例3 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D 。
若AB ＝12，CD ＝6，3tan 2A =，求s i n c o s B B+的值.D C B A练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）练习:一、选择题1. a、b 、c 是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c=1则cosB 的值为（ ）A. 3B.3C. 3D. 42. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=513, 则tanB 的值为（ ） A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1253. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB 的值是（ ） A. 45 B. 35 C.34 D. 43 4. 拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是BC=10m ，则坡面AB 的长度是（ ）A. 15mB.C.D. 20m5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点，并且AE：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan∠CFB 的值等于（ ）A. B.C. D.6. 如图，A 点的坐标为（-4，0），直线y=n +与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，如果∠ACD=90°，则n 的值为（ ）A. 2-B. 3-C.D. 7. 如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF ：BC=1：2， 连接DF ，EC ．若AB=5，AD=8，sinB=45, 则DF 的长等于（ ）A. B. C. D. 8. 如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为1S 、2S ，则（ ）A. 12S S =B. 1212S S =C. 1285S S =D. 1272S S = 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm ，BD=6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC交于G ，则GH=（ ）A. 2825cmB. 2120cmC. 2815cmD. 2521cm 二、解答题：1. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=34，求sinC 的值．。
著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版
内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。
解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
知识点睛中考要求解直角三角形CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb aCBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、 解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例3】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．例题精讲QPMCBA【例4】 如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= .板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（ ）【例7】连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生【例8】 如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点，若QAP α∠=，地球半径为R ，则航天飞机距地球表面的最近距离AP ，以及P Q 、两点间的地面距离【例9】 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（ ）【例10】 如图，从热气球C 上测定建筑物A B 、底部的俯角分别为30︒和60︒，如果这时气球的高度CD 为【例11】 周末，身高都为1．6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．011.414 1.732≈）（ ）m板块三、锐角三角函数【例13】 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D．4【例14】 如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【例15】 如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【例16】 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【例17】如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C在Ae上，BE是Ae上的一条弦，则tan OBE∠= ．【例18】（1）计算：11()12sin60tan602--︒⋅︒（24sin45(3)4π︒+-+-【例19】计算：2011315(1)()(cos68)8sin602π---+︒+︒+︒【例20】已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos( 3.14)tan()3απα---++的值．板块四、三角函数与几何综合【例21】 如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12B ．34C ．3D ．45y xOCBA【例22】 如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C B C △交AC 于点D ，如果22AD =，则ABC △的周长等于（ ）．21DC1B1C BA【例23】 如图，ABC △中，23cos ,sin 5B C ==，5AC =，则ABC △的面积是（ ） AB CA ．212B ．12C ．14D .21【例24】 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．（1）求证：∠BAE =∠DAF ；（2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．【例25】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为（ ）A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α⋅αhl课后作业【习题4】如图，ABC △的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =______．C【习题5】如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）．A .34B .43C .35D . 45 FEDCBA【习题6】如图，在等边ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且60ADE ∠=︒，44,3BD CE ==，则ABC △的面积为 （ ）．A ．B ．15C ．D ．ABCDE【习题7】如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE △沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上. （1）求证：ABE DFE △∽△（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值.F D AEC B。
九年级(上)培优讲义：第2讲 解直角三角形
第2讲：解直角三角形一、建构新知1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °.2.阅读教材后回答。
（1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有.（3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.已知条件已知条件解法一边一角一条直角边和一个锐角（a, ∠A）斜边和一个锐角（c, ∠A）两边两条直角边（a,b）斜边和一条直角边（a ,c）4.阅读教材后回答.（1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比），其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？BACABC北 北 二、经典例题例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值．例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°：（1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ．例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离.ABD C A BDCQPCBA例4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，sinB =53. 一只蚂蚁从点B 开始沿BC 方向向点C 以2cm /s 的速度移动，另一只蚂蚁从C 点开始以1cm /s 的速度向点A 移动. 如果两只蚂蚁分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q （如图），问：第几秒时△PCQ 与△ABC 相似？例5. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上. 动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ． （1） 当t ＝31时，求tan ∠EDB ；（2） 如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时∠EOA 的度数．（精确到1度）三、基础演练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中必定成立的是（ ）.A . c =asinAB . c =acosAC . c =cos a A D . c =sin aA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .根据条件完成填空.c =10,∠A = 45°，则a = ,b = ，∠B = . a =5,b =15,则∠B = ，∠A = ，c = . c =3， sinA =63，则a = ,b = .3. 在Rt △ABC 中，∠A 的对边为a ，∠C ＝90°，cosA =25，a =12, 则斜边AB 上的中线长为 .4. 等腰△ABC 中，底边BC =20，sinC =35, 则AB = . 5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .请根据已知条件解直角三角形.（角度精确到1°，长度精确到0.1）(1) ∠B =72°，c =14； （2）a = 26,b = 62； （3）sinB =45，a =126. 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长和面积．7. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC =4，求△ABC 的面积.ABC8. 如图，大坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度为1:1.2，坝顶宽DC =2.5m ，坝高4.5m .求：（1）迎水坡BC 的坡比；（2）坝底AB 的长.9. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）10.已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与y x 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，21tan =∠ABO ，OB =4，OE =2。
第十讲--- 解直角三角形及其应用培优
仰角俯角α h li 第十讲 解直角三角形及其应用一、解直角三角形定义：定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
三种基本关系：1、边边关系：222a b c +=2、角角关系：∠A+∠B=90°3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c=，90B A ∠=︒-∠一边 一锐角直角边b ，锐角A ∠B ＝ ；a ＝b •tanA ； c= ；斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =g ； b ＝ ；三、解直角三角形的基本思路：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中（取原始值避免用中间量）。
” 四、解直角三角形中的实际问题有：（1）方位角、象限角.（2）俯角、仰角.（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 五、有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B（2）Rt △面1122S ab ch ==V（3）结论：直角三角形斜边上的高abh c=六、基本图形（组合型）翻折 平移七、解题思路与数学思想方法αtan lh i ==仰角铅垂线水平线视线视线俯角 单个直角三角形 直接求解 实际问题 数学问题 抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 求解 八九、经典例题（一）利用直角三角形解决俯角仰角问题 仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。
例1、天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A 处测得天塔最高点C 的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为54°，AB=112m ，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan36°≈0.73，结果保留整数）．小小收获：测底部不可到达物体的高度已知：如图下，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长为 ；例2、在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌（如图所示）.已知标语牌的高.在地面的点处，测得标语牌点的仰角为30°，在地面的点处，测得标语牌点的仰角为75°，且点的同一直线上，求点与点之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据：）辅助线构造:ih l=hlα巩固 1、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）．2、国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为，B 处的俯角为．如果此时直升机镜头C 处的高度CD为200米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是 米．3、如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．（二）利用直角三角形解决坡度坡角问题斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离注意：通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。
九年级奥数培优 解直角三角形
A 卷一、填空题1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是11， 则这个三角形的另两边之长分别是 和 。
2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，CA 的平分线AD=则AB = 。
3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，BC=AC=A = ，外接圆的半径是 。
4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。
5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB=35，则ABC S ∆= 。
6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。
7.若0°<α <90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的三角形ABC 的内切圆半径和外接圆半径这和等于 。
8.计算200120001(tan 60)(3tan 30)3= 。
9.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αααα-=+ 。
10.如果等腰三角形ABC 中，底角是30°，面积为3，那么ABC ∆的周长是 。
二、解答题11.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线BC 上，且BD = AB ，求∠ADB 的余切值。
12.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。
B 卷一、填空题1.在△ABC 中，有一个角为60°，S ∆=20，则它的三边之长分别为 、 和 。
2.如图，在Rt △ABC 中，E 、D 分别是边AC 、BC 的中点，BE=AB =10，∠C =90°，则AD = 。
3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝ 。
解直角三角形培优题.doc
- 1 -解直角三角形培优题1．（2010年长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．2．（2010年株洲）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．3．（2010年湘潭）如图，我护航军舰在某海域航行到B 处时，灯塔A 在我军舰的北偏东60o的方向；我军舰从B 处向正东方向行驶1800米到达C 处，此时灯塔A 在我军舰的正北方向．求C 处与灯塔A 的距离（结果保留四个有效数字）．HEDCBA26 题图4.（2007年重庆）已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝900，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，边结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E 。
（1）若△ABD 是等边三角形，求DE 的长； （2）若BD ＝AB ，且43tan =∠HDB ，求DE 的长。
PDCBA东北60oACB- 2 -5．(兰州市2007年)兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)6．（2007年鄂尔多斯市）如图，A B ，两镇相距60km ，小山C 在A 镇的北偏东60o方向，在B 镇的北偏西30o方向．经探测，发现小山C 周围20km 的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A B ，两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？7.（2007年湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。
浙教版九年级数学下册培优练习附答案：1.3解直角三角形
1・3解直角三角形一、选择题（共13小题）1•将一个有…角的三角板的直角顶点放在一张宽为.的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成…角，如图，则三角板的最大边的长为A. 3.B. ImC.D.2. 如图，在坡角为 -的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为■:，则这两棵树之间的坡面二的长为A. |z■•：>B. —、.：C. v >D. 2.....3. 在二―中，•，，如果八-二,- ■-，那么「的值是A. B. C. D.4. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在*处仰望树顶，测得仰角为：，再往大树的方向前进•，测得仰角为…，已知小敏同学身高（爲）为」■,则这棵树的高度为（结果精确到「「，「一）A. 3.5..mB. 3.6. uiC. 4.3..inD. 5.1. jn5. 在丄33中，〃…，幕2.],则• ！的度数是A.6. 如图，为了对一颗倾斜的古杉树「进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点厂，测得「，一「：..，_[•—」，（参考数据:，一I 2 ，■、，：•-「，:「、；•：：. '）.则这颗古杉树三」的长约为B. 16 .70 zn7. 如图，•宀是•的内接三角形，「「，「的半径为若点『是上的一点，在中则」的长为■:..：■A.、8. 如图，客轮在海上以：八一的速度由"向匚航行，在占处测得灯塔|的方位角为北偏东卜-，测得处的方位角为南偏东丁，航行」小时后到达*处，在匚处测得匚的方位角为北偏东：：，则"到-的距离是B. 15V2U1D. 5 （则十鼻迈）km9. 如图，在nF中，_-',点门为一：「的中点，.：-：，.：.-；，将匸皿沿着一：折叠后，点落在点厂处，则1的长为A.卞B. ；_C. _D."10. 某市进行城区规划，工程师需测某楼幕的高度，工程师在n点用高-的测角仪“；，测得楼顶端|的仰角为…，然后向楼前进' 至U达匚又测得楼顶端：的仰角为「，楼-的高为 :A. 10/1+2B. 1571+2C. 20^ + 2D.11. 如图，等腰;绕点匚顺时针旋转，点用的对应点”落在边上, 已知，心=F , :• - , ，贝y 一」的长为A.八。
【浙教版】2022年九年级(上)期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用(方位角问题)(原卷)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练解直角三角形的应用（方位角问题）1．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？2．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18√2km/ℎ的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3．（2022·浙江宁波·一模）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现∠BAC=20°，A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4．（2021·浙江丽水·一模）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）5．（2022·浙江·一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D 点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）6．（2022·浙江金华·一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．(1)求∠BCA的度数．(2)求BC的长．7．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70∘方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45∘方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70∘≈0.94,cos70∘≈0.34,tan70∘≈2.75,√2≈1.41）(1)求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25∘继续航行，通过计算说明船是否安全？8．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD∠BC于点D，则sinB=ADc ，sinC=ADb，即AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是c sin B＝b sin C，即bsinB=csinC．同理有：csinC =asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）9．（2020·浙江衢州·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m 到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）10．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m 到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C 地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m 区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：√3≈1.73,√2≈1.41,√6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．11．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）如图，一位自行车爱好者沿宿鸭湖湖边正东方向笔直的公路BC骑行，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min 后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向，如果此自行车爱好者的速度为60km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）【分母有理化：√3+1=√3−1(√3+1）)(√3-−1)=√3−12】12．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的B处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往C岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知C岛在基地A的南偏东α的方向，且在B处南偏东β的方向，巡逻快艇从B处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：tanα=158，sinβ=45）13．（2022·山东青岛·九年级期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C 地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：√2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．15．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.732．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．18．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．19．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）20．（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校二模）如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，√3≈1.732，√2≈1.414，√6≈2.449）21．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图，海中有一个小岛A，它周围8n mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60∘方向上，航行12n mile 到达D点，这时测得小岛A在北偏东30∘方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？24．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A 出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）26．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r 为10(3+√3)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√5海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．(1)求A、P之间的距离AP；(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．27．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60√2海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.73）28．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB，BC，CA跑步（小路的宽度不计），观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B 在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)求坡面CB 的坡度；(2)求基站塔AB 的高．30．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A ，B ，C 三个港口，B 港口在C 港口正西方向33.2nmile （nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40nmile 处，在A 港口北偏东53°方向且位于C 港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）。
解直角三角形培优
解直角三角形培优同学们，咱们今天来聊聊解直角三角形这个有趣的话题。
不知道你们有没有过这样的经历，比如说去爬山，当你站在山脚下，望着山顶，心里就会想：这山到底有多高呀？这时候，如果我们学了解直角三角形，就能找到答案啦！解直角三角形可是数学中的一个厉害“武器”呢。
咱们先来说说什么是直角三角形。
简单来讲，就是有一个角是 90 度的三角形。
那解直角三角形呢，就是通过已知的条件，求出三角形的各个边和角的大小。
比如说，给你一个直角三角形，告诉你其中一个锐角的度数，还有一条边的长度，你能算出其他的边和角吗？这可需要咱们开动脑筋，运用一些公式和方法。
就像上次我在公园里看到一群小朋友在玩滑梯，那个滑梯的形状就像一个直角三角形。
小朋友们都在好奇滑梯的倾斜角度到底是多少。
这时候，如果我们学了解直角三角形，就能轻松算出角度，告诉小朋友们答案啦。
咱们来看看解直角三角形常用的几个公式。
首先是正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
这三个家伙可重要啦！比如说，sin A ＝对边÷斜边，cos A ＝邻边÷斜边，tan A ＝对边÷邻边。
那怎么运用这些公式呢？咱们来看个例子。
有一个直角三角形，其中一个锐角是 30 度，斜边是 10 厘米，那这个锐角所对的直角边是多少呢？这时候咱们就可以用 sin 30 度＝ 1/2 ，所以对边＝斜边×sin 30度＝ 10×1/2 ＝ 5 厘米。
是不是很简单？再来说说解直角三角形在实际生活中的应用。
比如说，建筑工人要建造一座高楼，他们就得先知道大楼的倾斜度是否安全，这就需要用到解直角三角形。
还有测量河的宽度，测量山的高度等等，都离不开它。
记得有一次我去旅游，看到一座古老的塔，导游就给我们出了个难题，让我们猜猜这座塔有多高。
我就偷偷地用解直角三角形的方法，测了测角度，再量了量自己到塔的距离，心里就大概算出了塔的高度，那种感觉可太有成就感啦！那咱们怎么才能学好解直角三角形，成为这方面的小高手呢？首先，一定要把那些公式牢记在心，就像记住好朋友的名字一样。
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1如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里／时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E．（如图）在Rt△CDF中，∠CDF＝30°∴CF＝1CD＝50海里2DF＝CD·cos∠CDF＝503海里∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE∴∠CEA＝∠EAF＝∠AFC＝90°∴四边形AECF是矩形∴AE＝CF＝50海里在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠EAB＝990°－45°＝45°∴BE＝AE＝50海里在矩形AECF中，CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF∴CB＝AD＋DF－BE＝15×2＋503－50＝（50203-）海里（50203-）÷2＝253－10≈25×1.73－10≈33.3（海里／时）2 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米.23题图23°60°38°AG FEDC B（1）求∠DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：2.4≈≈≈）【答案】解：（1）∠DAC=180°- ∠BAC - ∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；（2）过点A 作CD 的垂线，设垂足为H ，则Rt △ADH 中，DH=2，AH=Rt △ACH 中，∠C=45°，故CH=AH=AC=.故树高米.3 如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结1.732）.C第21题图【答案】如图：延长MA交CB于点 E. CD=DN+CN=DN+ME.在ABERt∆中，背水坡AB的坡比i=可知tan tan303ABE∠==，得030ABE∠=。
又AB=20 m，所以AE=12×20=10m,BE=20=所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=11.7mAMNRt∆中，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+DN= (3010)m+=CD=DN+CN=DN+ME=11.7+10= 21.7+36.0m CDN第21题图3 如图所示，为求出河对岸两棵树A 、B 间的距离，小坤在河岸上选取一点C ，然后沿垂直于AC 的直线前进了12米到达点D ，测得∠CDB ＝90°，取CD 的中点E ，测得∠AEC ＝56°，∠BED ＝67°，求河对岸两树间的距离（提示：过点A 作AF ⊥BD 于点F ）． （参考数据：sin56°≈45，tan56°≈32，sin67°≈1415，tan67°≈73．）（第23题）FAEC【答案】在Rt △ACE 中 tan ∠AEC ＝ACCE ∴AC ＝CE ·tan56° ≈6×32＝9在Rt △BDE 中 tan ∠BED ＝BDDE∴BD ＝DE ·tan67°≈6×73＝14∴BF ＝14－9＝5∴AB ＝AF 2＋BF 2 ＝122＋52 ＝134 莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据下图求出汽车通过坡道口的限高DF 的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88, tan28°≈0.53）【答案】解：在Rt△ABC中，∠A＝28°，AC＝9∴77.4⋅⨯ACBC=≈tan=.053928-=CDBC=BD7727.45.0-.4=∴在Rt△BDF中，∠BDF=∠A=28°，BD=4.275如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC=4.8米，引桥水平跨度AC=8米.（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比.（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）ADEBCMN37°解：（1）延长线段BE，与AC相交于点F，如图所示. ∵AD∥BF，DE∥AC，∴四边形AFED是平行四边形.∴DE=AF，∠BFC=∠A=37°.在Rt△BCF中，tan∠BFC=BCCF，∴CF=tan37BCo=4.80.75=6.4（米）.∴DE=AF=AC-CF=8-6.4=1.6（米）.答：水平平台DE的长度为1.6米.（2）延长线段DE，交BC于点G.∵DG∥AC，∴∠BGM=∠C=90°.∴四边形MNCG是矩形，∴CG=MN=3（米）. ∵BC=4.8米，所以BG=BC-CG=1.8（米）.∵DG∥AC，∴△BEG∽△BFC.∴1.834.88 BE EGBF CF===.∴53 EFBE=.而AD=EF，故53 ADBE=.ADEBCMN37°FG6 为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.（2=1.4）【答案】177. 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm ．点A 、C 、E 在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求车架档AD 的长； （2）求车座点E 到车架档AB 的距离（结果精确到1cm ）．(第17题图)AD==758某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．C DA B【答案】解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F ，则四边形ABFE 为矩形，所以AB=EF ，AE=BF ，由题意可知AE=BF=1100－200=900，CD=19900，∴在Rt △AEC 中，∠C=45°，AE=900， ∴CE=CAE∠tan =︒45tan 900=900 在Rt △BFD 中，∠BDF=60°，BF=900，∴DF=BDFBF∠tan =︒60tan 900=3300，AB=EF=CD+DF －CE=19900+3300－900=19000+3300答：两海岛间的距离AB 是(9000+3300)米．ABC D EF（第21题图）9 如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度i =E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米.小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高.（注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）（第21题图）【答案】解：如图作EF ⊥AB 交于点F ,作EH ⊥BC 交于点H∵i =，∴tan ∠ECH =，∴∠ECH =30°，∴EH =C E ·sin30°CH =CE ·cos30°=202⨯=∵BC =25,∴EF =BH =25+∵E 点的俯角为45°,∴AF =EF =25+BF =EH =10,∴AB =AF +BF =35+米)。