2022年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题五 第1讲 直线与圆 Word版含答案

第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系推断、简洁的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2022·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4). 由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 答案 A2.(2022·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切D.相离解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2， 由题意，d ＝a2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. 答案 B3.(2022·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.答案 4π4.(2021·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC → ＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC → 与AF → 的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1 考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来争辩位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2021·山东省试验中学二模)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.解析 (1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，明显l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2， 所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0). ∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号. 因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.答案 (1)A (2)12探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，排解两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应依据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的状况是否符合题意.【训练1】 (1)(2021·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2－1】 (1)(2022·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)(2021·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心在x 的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254探究提高 1.直接法求圆的方程，依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 温馨提示 解答圆的方程问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)(2021·河南部分重点中学联考)圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析 (1)易知圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. (2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (1)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4. 热点三 直线与圆的位置关系 命题角度1 圆的切线问题【例3－1】 (2021·郑州调研)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝2命题角度2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2021·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否消灭AC ⊥BC 的状况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能消灭AC ⊥BC 的状况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能消灭AC ⊥BC 的状况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3， 即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.争辩直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2021·泉州质检)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2022·全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋（a ＋3）2＝1，解得a ＝－53. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案 (1)－53(2)41.解决直线方程问题应留意：(1)要留意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，排解两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程. 3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ). 4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)争辩直线与圆及圆与圆的位置关系时，要留意数形结合，充分利用圆的几何性质查找解题途径，削减运算量.争辩直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的推断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2021·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0相互垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0相互垂直”的充要条件是1×1＋ (－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点. ∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2021·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A.1 B.－3 C.1或－3D.2解析 ∵圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5. 又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3. ∴圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，∴m ＝1或m ＝－3.答案 C4.(2021·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案 B5.(2021·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的全部弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921C.1023D.911解析 易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C 二、填空题6.(2021·广安调研)过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2021·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO → ·AP →的最大值为________. 解析 法一 由题意知，AO → ＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2， sin α).AO → ·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 法二 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO → ·AP → ＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO → ·AP →的最大值为6. 答案 68.(2021·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短. 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝0 三、解答题9.已知点A (3， 3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2).①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.(2021·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM → ·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 由于l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM → ·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11.(2022·江苏卷节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0). 由于圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)由于直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 由于|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。