数学建模中的切割及解答
二维切割问题常见解法
二维切割问题常见解法（原创实用版）目录一、引言二、二维切割问题的定义和背景三、常见解法1.直接计算法2.启发式算法3.动态规划法四、总结五、参考文献正文一、引言二维切割问题是数学建模中的一个经典问题，它在实际生产和生活中具有广泛的应用。
本文将对二维切割问题的常见解法进行介绍和分析，以帮助读者更好地理解和掌握这一问题。
二、二维切割问题的定义和背景二维切割问题是指在平面上对一个给定的区域进行切割，使得切割后的区域面积之和最小。
这一问题在实际应用中具有广泛的背景，例如在制造业中，切割原材料以制作产品；在物流业中，切割货物以节省运输空间等。
三、常见解法1.直接计算法直接计算法是一种基于穷举法的解法。
它通过对给定区域内的每个点进行逐一考察，计算出每个点作为切割点的切割面积，然后取所有切割面积的最小值作为最终结果。
这种方法的优点是简单易懂，缺点是计算量过大，对于大规模问题难以适用。
2.启发式算法启发式算法是一种根据经验和启发规则进行解题的方法。
在二维切割问题中，常见的启发式算法有模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法根据问题的特点和约束条件，在一定程度上减少了搜索空间，提高了求解效率。
3.动态规划法动态规划法是一种将问题分解为子问题，通过求解子问题来解决原问题的方法。
在二维切割问题中，动态规划法通常采用二维动态规划，即将问题分解为横纵两个方向的子问题，通过对子问题的求解，最终得到切割面积的最小值。
动态规划法的优点是计算效率高，适用于大规模问题。
四、总结本文对二维切割问题的常见解法进行了介绍和分析，包括直接计算法、启发式算法和动态规划法。
这些方法各有优缺点，适用于不同规模和复杂度的问题。
在实际应用中，需要根据具体问题特点选择合适的解法。
五、参考文献[1] 数学建模二维切割问题。
数学建模---最优化有效切割问题
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
数学建模金属板切割问题
5求解结果····················································5
6结果分析和检验··············································5
1.2模型假设··················································1
2模型分析····················································2
3模型建立····················································3
7模型的优缺点················································6
8参考文献····················································6
1、武汉理工大学2014年数学建模与仿真课程论文题目
B题：金属板切割问题
3、模型建立
符号说明
K原料使用量
xi(i=1,2,3···8)照上述1-8方案下料的原料板数
A36x50(dm)板
B24x36(dm)板
C18x30(dm)板
目标函数的建立：
K=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;
由于采用原料使用量最少原则，因此只需将各种模式下使用原材料的数量加和得到目标函数K，然后求解满足题目条件（约束条件）的最小K值。
通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、2能切割A型产品，并且A型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X2之和大于或等于8；
数学建模论文之薄膜切割问题
薄膜切割问题摘要本文研究的是薄膜的合理切割问题，属于优化问题中的组合问题。
该问题的关键在于如何合理地安排薄膜切割的模式，使得材料利用率达到最大且原材料使用最少。
因此我们建立了线性优化模型，用LINGO和MATLAB软件求解，得出在订单所需薄膜件数的限定下，最合理的切割方式。
对于问题一，我们先求出10种规格的小卷的切割模式，由于符合条件切割模式有1000多种，所以随机选取了一件大卷的利用率大于99%的16种模式（具体模式见表2）作为切割方式的基本模式。
然后，我们以切割大卷的总件数最小为目标函数，建立模型，运用MATLAB软件求解，共运用了9种切割模式（具体模式见表3），切割大卷的总卷数为265件，材料利用率为99.80%。
对于问题二，该问题在问题一的基础上加入了时间限制，我们把时间限制转化为对大卷数目的约束，即在切割的168件大卷中第3、7、9号订单的小卷件数必须全部切割完成。
最后建立线性优化模型，求解得出前7天内运用第1、5、6、9共4种模式切割，然后改变切割模式，用第3、4、8、9、10、15共6种模式切割（具体模式见表4），切割大卷的总卷数为265件，完成整个切割任务单用时12天,材料利用率为99.63%。
关键词：线性优化模型利用率切割模式1. 问题重述1.1问题背景直接从薄膜厂制膜车间生产出来的的薄膜，在薄膜行业称为半成品，简称大卷或母卷，宽度一般为8100mm，厚度有若干种规格（如19微米、21微米等），长度则根据厚度不同而有所不同。
薄膜厂销售部门首先接到客户订单或直接提货单，客户订单或提货单中有所需要的薄膜类型（如BOPP膜、消光膜、CPP膜、珠光膜等），薄膜厚度(如19微米，21微米等)、薄膜宽度（如330mm，620mm等，）、件数；其次销售部门根据当前市场行情同客户商谈价格，谈好价格后，客户会发过来一个清单；然后销售部会根据情况把相同薄膜类型、相同厚度的需求合在一起，进行组合优化，形成一个切割任务单；最后在切割车间通过机器将大卷切割成客户需要的规格（切割好后送达客户的薄膜称为小卷，假设一般小卷的最小宽度为330mm）。
最新数学建模经典案例：最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、 假 设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5u66 1 755 69r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在G垂直切割面排列情有向路必经点形情况一（一）M1－M2－M3－M4 (1,0,z),(2,0,z),(2,1,z)情况一（二）M3－M4－M1－M2 (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z)情况二（一）M3－M1－M2－M4 (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z)情况二（二）M1－M3－M4－M2 (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4 (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2 (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。
数学建模经典案例最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。
且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。
二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。
1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。
但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。
为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。
假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。
那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。
比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。
但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。
假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。
那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。
接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。
常见的方法有线性规划、动态规划等。
以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。
数学建模-钢管切割问题
问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是21米的。
（1）现有一客户需要45根5m，25根7m和20根9m,的钢管。
应如何下料最省？（2）零售商如果采用的不同的切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的切割模式不能超过3种。
因此，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要15根6m的钢管。
应如何下料最节省。
问题（1）的求解问题分析首先，应该确定哪些切割模式是可行的。
所谓的一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。
例如：我们将21m的钢管切割成4根5m的钢管，余料为1m；或者将21m的钢管切割成2根5m，1根7m的钢管，余料是4m。
显然这样的切割模式很多的。
其次，应当确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或者等于客户需要的钢管的最小尺寸。
在这种合理的假设下，切割模式一问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少原料钢管，最为节省。
而所谓节省，可以有两种标准：一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最小。
下面将对这两个目标分别讨论。
模型建立决策变量用xi表示按照第i种模式（i=1,2,…，7）切割的原料钢管的根数，显然他们是非负整数的。
决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表可得Min Z1=x1+4x2+2x3+2x4+3x7 （1）以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有Min Z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 （2）下面分别在这两种目标下求解。
约束条件为了满足客户的需要，按照表应有4x1+2x2+2x3+x4+x5≥45 （3）X2+2x4+x5+3x6≥25（4）X3+x5+2x7≥20（5）模型求解1.将（1），（3），（4），（5）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINDO如下：求解可以得到最优解如下：即按照模式5切割45根原料钢管，按照模式6切割9根原料钢管，共54根。
多个钢板二维切割问题数学建模
多个钢板二维切割问题数学建模摘要：一、引言1.钢板切割问题的背景和意义2.数学建模在钢板切割中的应用二、钢板二维切割问题的数学模型建立1.问题描述和基本假设2.建立钢板切割的数学模型2.1 目标函数2.2 约束条件三、求解算法和优化策略1.暴力穷举法2.遗传算法3.模拟退火算法4.粒子群优化算法四、案例分析与验证1.案例介绍2.算法应用与结果分析五、钢板切割问题的实际应用与展望1.钢板切割在制造业中的应用2.切割优化在节约资源和降低成本方面的作用3.钢板切割在其他领域的拓展和应用六、总结与展望1.本文研究的主要结论2.未来研究方向和挑战正文：一、引言随着现代制造业的快速发展，钢板切割问题日益引起人们的关注。
钢板切割是制造业中常见的加工过程，其目标是在满足一定工艺要求的前提下，用最少的材料和最低的成本完成零件的制造。
为了解决这一问题，数学建模作为一种有效的工具，在钢板切割中得到了广泛的应用。
本文将探讨多个钢板二维切割问题的数学建模，并介绍求解算法和优化策略。
二、钢板二维切割问题的数学模型建立1.问题描述和基本假设钢板二维切割问题可以描述为：给定一组零件的尺寸和形状，求在钢板上划割出这些零件所需的最小面积。
为简化问题，我们做以下基本假设：（1）钢板为矩形区域，具有一定的尺寸；（2）零件为矩形或圆形，具有一定的尺寸；（3）切割过程中，不考虑切割损耗和切割引起的变形；（4）切割方式为二维平面切割。
2.建立钢板切割的数学模型根据问题描述和基本假设，我们可以建立钢板切割的数学模型。
设钢板的长为L，宽为W，零件1的长为a1，宽为b1，零件2的长为a2，宽为b2，…，零件n的长为an，宽为bn。
我们的目标是求解在满足零件尺寸要求的前提下，钢板上的最小切割面积。
设钢板剩余部分的面积为A，零件1、2、…、n的面积之和为B，则目标函数可以表示为：f(x) = A - B其中，x表示切割方案，包括切割顺序和切割尺寸。
钢板切割问题还受到以下约束条件的限制：（1）零件面积约束：每个零件的面积必须大于等于其最小面积需求；（2）钢板面积约束：剩余钢板的面积必须大于等于0。
数学建模游泳队员分配问题和钢筋切割问题详细解答
数学建模游泳队员分配问题和钢筋切割问题详细解答1．游泳队员分配问题某游泳队拟选用甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4*100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。
他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。
问甲，乙，丙，丁四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。
表：四名队员的成绩请建立数学模型，并写出用Lingo软件的求解程序。
解：引入0-1变量Xij，若选择队员i参加泳姿j的比赛，记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij应该满足两个约束条件：第一，每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1；第二，每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩，否则CijXij=0。
于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==4141j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。
综上，这个问题的0-1规划模型可写作Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ；S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2,3,4; ∑=41i Xjy =1,i=1,2,3,4将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ： Min =56*x11+74*x12+61*x13+63*x14 +63*x21+69*x22+65*x23+71*x24 +57*x31+77*x32+63*x33+67*x34 +55*x41+76*x42+62*x43+62*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1;@bin (x11); @bin (x12); @bin (x13);@bin(x14);@bin(x21);@bin(x22);@bin(x23);@bin(x24);@bin(x31);@bin(x32);@bin(x33);@bin(x34);@bin(x41);@bin(x42);@bin(x43);@bin(x44);求解可以得到最优解如下：2．钢筋切割问题设某种规格的钢筋原材料每根长10m，求解如下优化问题：1) 现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问至少需要购买原材料几根？如何切割2) 如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，长度为3.6m的79根，长度为2.4m的46根，问至少需要购买原材料几根？如何切割（可以考虑切割模式不超过3种）?请建立数学模型，对上述问题进行求解并写出用Lingo软件的求解程序。
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下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。
此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）
决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，
Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;
2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有
Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
约束条件：
2x1+x2+x3+x4>=100;
2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;
X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;
min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;
2*x1+x2+x3+x4=100;
2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;
x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
@gin(x5);@gin(x6);
@gin(x7);@gin(x8);
Global optimal solution found at iteration: 2
Objective value: 7.000000
Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 7.000000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;
2*x1+x2+x3+x4=100;
2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;
x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
@gin(x5);@gin(x6);
@gin(x7);@gin(x8);
Global optimal solution found at iteration: 3
Objective value: 90.00000
Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 90.00000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;
2*x1+x2+x3+x4>=100;
2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;
x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
@gin(x5);@gin(x6);
@gin(x7);@gin(x8);
Global optimal solution found at iteration: 4
Objective value: 90.00000
Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 90.00000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
第二问：
min=x1+x2+x3;
r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;
r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;
r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;
2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;
2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;
2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;
2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;
2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;
2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);
@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);
@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);
Local optimal solution found at iteration: 15
Objective value: 90.00000
Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 90.00000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.2000000 0.000000
6 0.1000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 1.300000 0.000000
9 1.400000 0.000000
10 1.500000 0.000000。