数字信号处理讲义--第7章 滤波器的设计方法
fir滤波器的设计方法
fir滤波器的设计方法一、引言二、基本概念1.数字信号2.离散时间信号3.FIR滤波器三、FIR滤波器的设计方法1.窗函数法（1）矩形窗函数法（2）汉宁窗函数法（3）汉明窗函数法（4）布莱克曼窗函数法2.最小二乘法3.频率抽样法四、FIR滤波器设计实例五、总结一、引言数字信号处理在现代通信技术中得到了广泛的应用，其中滤波器是数字信号处理的重要组成部分。
FIR滤波器是一种常用的数字滤波器，具有无限冲击响应和线性相位特性。
本文将介绍FIR滤波器的基本概念和设计方法，并给出一个实例。
二、基本概念1.数字信号数字信号是在时间轴上取样后离散化的模拟信号。
在计算机中，数字信号由一系列离散的数值表示。
2.离散时间信号离散时间信号是以时间为自变量且取值为离散值的函数。
通常使用序列表示，如x(n)。
3.FIR滤波器FIR滤波器是一种数字滤波器，其系统函数是有限长冲击响应的线性时不变系统。
FIR滤波器的输出只与当前和过去的输入有关，与未来的输入无关。
FIR滤波器具有无限冲击响应和线性相位特性。
三、FIR滤波器的设计方法1.窗函数法窗函数法是一种常用的FIR滤波器设计方法。
它通过在频域上对理想低通滤波器进行截止频率处理得到所需的频率响应，并使用窗函数将其转换为时域上的序列。
（1）矩形窗函数法矩形窗函数法是最简单的FIR滤波器设计方法。
它将理想低通滤波器在频域上乘以一个矩形窗函数，得到所需频率响应后再进行反变换得到时域上的系数序列。
（2）汉宁窗函数法汉宁窗函数法是一种常用的FIR滤波器设计方法。
它将理想低通滤波器在频域上乘以一个汉宁窗函数，得到所需频率响应后再进行反变换得到时域上的系数序列。
（3）汉明窗函数法汉明窗函数法是一种常用的FIR滤波器设计方法。
它将理想低通滤波器在频域上乘以一个汉明窗函数，得到所需频率响应后再进行反变换得到时域上的系数序列。
（4）布莱克曼窗函数法布莱克曼窗函数法是一种常用的FIR滤波器设计方法。
实验3 用MATLAB窗函数法设计FIR滤波器
实验10 用MATLAB 窗函数法设计FIR 滤波器一、实验目的㈠、学习用MA TLAB 语言窗函数法编写简单的FIR 数字滤波器设计程序。
㈡、实现设计的FIR 数字滤波器，对信号进行实时处理。
二、实验原理㈠、运用窗函数法设计FIR 数字滤波器与IIR 滤波器相比，FIR 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。
设FIR 滤波器单位脉冲响应)(n h 长度为N ，其系统函数)(z H 为∑-=-=10)()(N n n zn h z H)(z H 是1-z 的)1(-N 次多项式，它在z 平面上有)1(-N 个零点，原点0=z 是)1(-N 阶重极点。
因此，)(z H 永远是稳定的。
稳定和线性相位特性是FIR 滤波器突出的优点。
FIR 滤波器的设计任务是选择有限长度的)(n h ，使传输函数)(ωj e H 满足技术要求。
主要设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
本实验主要介绍用窗函数法设计FIR 数字滤波器。
图7-10-1 例1 带通FIR 滤波器特性㈡、 用MATLAB 语言设计FIR 数字滤波器例1：设计一个24阶FIR 带通滤波器，通带为0.35<ω<0.65。
其程序如下b=fir1(48,[0.35 0.65]);freqz(b,1,512)可得到如图7-10-1 所示的带通FIR滤波器特性。
由程序可知，该滤波器采用了缺省的Hamming窗。
例2：设计一个34阶的高通FIR滤波器，截止频率为0.48,并使用具有30dB波纹的Chebyshev窗。
其程序如下Window=chebwin(35,30);b=fir1(34,0.48,'high',Window);freqz(b,1,512)可得到如图7-10-2 所示的高通FIR滤波器特性。
图7-10-2 例2 高通FIR滤波器特性例3：设计一个30阶的低通FIR滤波器，使之与期望频率特性相近，其程序如下 f=[0 0.6 0.6 1];m=[1 1 0 0];b=fir2(30,f,m);[h,w]=freqz(b,1,128);plot(f,m,w/pi,abs(h))结果如图7-10-3所示。
数字信号处理实验报告-FIR滤波器的设计与实现
数字信号处理实验报告-FIR滤波器的设计与实现在数字信号处理中，滤波技术被广泛应用于时域处理和频率域处理中，其作用是将设计信号减弱或抑制被一些不需要的信号。
根据滤波器的非线性抑制特性，基于FIR（Finite Impulse Response）滤波器的优点是稳定，易设计，可以得到较强的抑制滤波效果。
本实验分别通过MATLAB编程设计、实现、仿真以及分析了一阶低通滤波器和平坦通带滤波器。
实验步骤：第一步：设计一阶低通滤波器，通过此滤波器对波型进行滤波处理，分析其对各种频率成分的抑制效果。
为此，采用零极点线性相关算法设计滤波器，根据低通滤波器的特性，设计的低通滤波器的阶次为n=10，截止频率为0.2π，可以使设计的滤波器被称为一阶低通滤波器。
第二步：设计平坦通带滤波器。
仿真证明，采用兩個FIR濾波器組合而成的阻礙-提升系統可以實現自定義的總三值響應的設計，得到了自定義的總三值響應函數。
实验结果：1、通过MATLAB编程，设计完成了一阶低通滤波器，并通过实验仿真得到了一阶低通滤波器的频率响应曲线，证明了设计的滤波器具有良好的低通性能，截止频率为0.2π。
在该频率以下，可以有效抑制波形上的噪声。
2、设计完成平坦通带滤波器，同样分析其频率响应曲线。
从实验结果可以看出，此滤波器在此频率段内的通带性能良好，通带范围内的信号透过滤波器后，损耗较小，滞后较小，可以满足各种实际要求。
结论：本实验经过实验操作，设计的一阶低通滤波器和平坦通带滤波器具有良好的滤波特性，均已达到预期的设计目标，证明了利用非线性抑制特性实现FIR滤波处理具有较强的抑制滤波效果。
本实验既有助于深入理解FIR滤波器的设计原理，也为其他应用系统的设计和开发提供了指导，进而提高信号的处理水平和质量。
数字信号处理实验五.FIR数字滤波器设计与软件实现
实验五：FIR数字滤波器设计与软件实现一、实验指导1．实验目的（1）掌握用窗函数法设计FIR数字滤波器的原理和方法。
（2）掌握用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理和方法。
（3）掌握FIR滤波器的快速卷积实现原理。
（4）学会调用MATLAB函数设计与实现FIR滤波器。
2．实验内容及步骤（1）认真复习第七章中用窗函数法和等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理；（2）调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt，并自动显示xt及其频谱，如图1所示；图1 具有加性噪声的信号x(t)及其频谱如图（3）请设计低通滤波器，从高频噪声中提取xt中的单频调幅信号，要求信号幅频失真小于0.1dB，将噪声频谱衰减60dB。
先观察xt的频谱，确定滤波器指标参数。
（4）根据滤波器指标选择合适的窗函数，计算窗函数的长度N，调用MATLAB函数fir1设计一个FIR低通滤波器。
并编写程序，调用MATLAB快速卷积函数fftfilt实现对xt的滤波。
绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。
（4）重复（3），滤波器指标不变，但改用等波纹最佳逼近法，调用MATLAB函数remezord和remez设计FIR数字滤波器。
并比较两种设计方法设计的滤波器阶数。
提示：○1MATLAB函数fir1的功能及其调用格式请查阅教材；○2采样频率Fs=1000Hz，采样周期T=1/Fs；○3根据图1(b)和实验要求，可选择滤波器指标参数：通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz，换算成数字频率，通带截止频率p 20.24pfωπ=T=π，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率s 20.3sfωπ=T=π，阻带最小衰为60dB。
○4实验程序框图如图2所示，供读者参考。
图2 实验程序框图4.思考题(1)如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减,如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器?请写出设计步骤.(2)如果要求用窗函数法设计带通滤波器,且给定通带上、下截止频率为pl ω和pu ω，阻带上、下截止频率为sl ω和su ω，试求理想带通滤波器的截止频率cl cu ωω和。
数字信号处理中常见滤波算法详解
数字信号处理中常见滤波算法详解数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）中的滤波算法是处理信号的重要手段之一。
滤波算法可以对信号进行去除噪声、增强信号特征等操作，广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
本文将详细介绍数字信号处理中常见的滤波算法，包括FIR滤波器、IIR滤波器、傅里叶变换和小波变换等。
首先，我们来介绍FIR滤波器（Finite Impulse Response Filter）。
FIR滤波器是一种线性相位滤波器，其特点是零相位延迟响应。
FIR滤波器可以通过离散时间域的卷积运算来实现，其滤波系数在有限长时间内保持不变。
常见的FIR滤波器设计方法包括窗函数法、频率采样法等。
其中，窗函数法通过选择适当的窗函数和截断长度来设计滤波器，常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
频率采样法则通过在频率域上采样若干离散点并计算出滤波器的频率响应，然后通过反变换得到滤波器的时域响应。
FIR滤波器具有易于实现、稳定性好等优点，在数字信号处理中得到广泛应用。
其次，我们来介绍IIR滤波器（Infinite Impulse Response Filter）。
与FIR滤波器不同，IIR滤波器的系统函数中包含了反馈回路，因此其响应不仅依赖于当前输入样本，还依赖于历史输入样本和输出样本。
IIR滤波器与FIR滤波器相比，具有更高的滤波效率，但也存在着稳定性较差、相位畸变等问题。
常见的IIR滤波器设计方法有脉冲响应不变法、双线性变换法等。
脉冲响应不变法通过将连续时间域的系统函数变换为离散时间域的差分方程来实现，而双线性变换则通过将连续时间域的系统函数变换为离散时间域的差分方程，并在频率响应上进行双线性变换。
IIR滤波器在音频处理、图像增强等领域得到了广泛应用。
傅里叶变换也是数字信号处理中常用的滤波算法。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，可以实现将信号中的不同频率成分分离出来的目的。
fir数字滤波器的设计与实现
FIR数字滤波器的设计与实现介绍在数字信号处理中，滤波器是一种常用的工具，用于改变信号的频率响应。
FIR （Finite Impulse Response）数字滤波器是一种非递归的滤波器，具有线性相位响应和有限脉冲响应。
本文将探讨FIR数字滤波器的设计与实现，包括滤波器的原理、设计方法和实际应用。
原理FIR数字滤波器通过对输入信号的加权平均来实现滤波效果。
其原理可以简单描述为以下步骤： 1. 输入信号经过一个延迟线组成的信号延迟器。
2. 延迟后的信号与一组权重系数进行相乘。
3. 将相乘的结果进行加和得到输出信号。
FIR滤波器的特点是通过改变权重系数来改变滤波器的频率响应。
不同的权重系数可以实现低通滤波、高通滤波、带通滤波等不同的滤波效果。
设计方法FIR滤波器的设计主要有以下几种方法：窗函数法窗函数法是一种常用简单而直观的设计方法。
该方法通过选择一个窗函数，并将其与理想滤波器的频率响应进行卷积，得到FIR滤波器的频率响应。
常用的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、哈密顿窗等。
不同的窗函数具有不同的特性，在设计滤波器时需要根据要求来选择合适的窗函数。
频率抽样法频率抽样法是一种基于频率抽样定理的设计方法。
该方法首先将所需的频率响应通过插值得到一个连续的函数，然后对该函数进行逆傅里叶变换，得到离散的权重系数。
频率抽样法的优点是可以设计出具有较小幅频纹波的滤波器，但需要进行频率上和频率下的补偿处理。
最优化方法最优化方法是一种基于优化理论的设计方法。
该方法通过优化某个性能指标来得到最优的滤波器权重系数。
常用的最优化方法包括Least Mean Square（LMS）法、Least Square（LS）法、Parks-McClellan法等。
这些方法可以根据设计要求，如通带波纹、阻带衰减等来得到最优的滤波器设计。
实现与应用FIR数字滤波器的实现可以通过硬件和软件两种方式。
硬件实现在硬件实现中，可以利用专门的FPGA（Field-Programmable Gate Array）等数字集成电路来实现FIR滤波器。
DFT滤波器组
实现一组M个滤波器可以由一个滤波器加上一个M点DFT
实现，
*例子：M=2
信号分解为高频部分和低频部分：
HLP(w)=H(w), HHP(w)=H(w - π)
定义传输函数分别为HLP(z)与HHP(z)
HLP (z) H (z) h[n]zn n
Ek (z) h[k] Gk (z) g[k]
因此，多相分解是个常数，滤波器的冲激响应必须满足
h[n]g[n] 1 , n 0,1,..., M 1 M
最简单是h[n]=1/M, g[n]=1, 这相当于对分析的每块做 DFT,对合成的每块做IDFT, 如左图所示。
7.4 传输多路复用器
将最大抽取滤波器组的分析和合成部分位置互换，则得到 传输多路复用器，如下图
根据应用不同可以分为： 1.先分解再合成
滤波器组：
2.先合成再分解 传输多路复用器
7.2 DFT滤波器组
设计一个滤波器网络把信号分解成M个频带上等间隔的子
信号，假定它们都是根据原型滤波器H(w)得到：
Hk(w)=H(w-k2π/M)
其中k=0,…,M-1, 表示每个滤波器都可以从原型滤波器移 位得到
在理想条件下的目标是合成每一个通道的信号，且不存在 通道间干扰，即
yk [n] xk [n]
k 0,..., M 1
上采样将产生M个时隙 和M个频隙，被用于复 用待传输的信号。
两种不同的复用方案： 时分复用，产生了时分多址（TDMA） 频分复用，产生了频分多址（FDMA）
1. 时分多址（TDMA）
第七章：DFT滤波器组 和传输多路复用器
目录
1. 概述 2. DFT滤波器组 3. 最大抽取DFT滤波器组和传输多路复用器 4. 传输多路复用器在数字通信调制中的应用
《数字信号处理》IIR数字滤波器的设计实验一
《数字信号处理》IR数字滤波器的设计实验一、实验目的1.了解两种工程上常用的变换方法:脉冲响应不变法和双线性变换法。
2.掌握双线性变换法设计IIR滤波器的原理及具体设计方法，熟悉用双线性变换法设计低通IIR数字滤波器的程序。
3.观察用双线性变换法设计IIR滤波器的频域特性并与脉>冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4.熟悉用双线性变换法设计数字butterworth和chebychev滤波器的全过程。
二、实验器材MATLAB软件2019三、实验原理从模拟滤波器设计IIR数字滤波器共有四种方法:微分差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配z变换法;在工程上常用的两种方法是脉冲响应不变法和双线性变换法。
脉冲响应不变法的基本步骤:由已知系统传输函数H(s)计算系统脉冲响应h(t);对h(t)进行等间隔取样得到h(n)=h(nT);由h(n)获得数字滤波器的系统响应H(z)。
这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一致。
而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换是线性的(0=QT),其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠，提出了双线性交换法，它依靠双线性变换式(如式3.1所示)进行变换s=2T 1−Z −11+Z −1其中: s=σ+ jω，z=r e jω。
建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频率和模拟频率之间的关系:Ω=2/T.tg(ω2) Ω=2/T.2arctg(ΩT 2)由.上面的关系式可知当Q-→∞时，w 终止在折叠频率∞=π处，整个jQ 轴单值地对应于单位圆的整个圆周。
因此双线性交换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。
从式(3.2) 还可以看出:两者的频率不是线性关系。
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第７章 滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1. 冲激响应不变法，双线性变换法2. 用窗函数法设计FIR 滤波器 FIR 滤波器的逼近原理与设计方法 7.0 基本概念选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x (n )，通过一个单位脉冲响应为h (n )的线性时不变系统后，其输出响应y (n )为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ej ω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和∑∞-∞=-=*=n m n x m h n h n x n y )()()()()()()()(ωωωj j j e H e X e Y =处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
它们的理想模式如图7-1所示。
（系统的频率响应H (e j ω)是以2π为周期的。
)可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (e j ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
它们的理想模式如图7-1所示。
（系统的频率响应H (e j ω)是以2π为周期的。
)图 7-1 数字滤波器的理想幅频特性满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。
由图7-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωc <ω≤π范围内所有分量全部滤掉。
相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc ≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc 的低频分量。
带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。
滤波器的技术指标理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。
一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的)(e j ωH ωo －2π－π2ππ)(e j ωH ωo －2π－π2ππ)(e j ωH ωo －2π－π2ππ)(e j ωH ωo －2π－π2ππ(a )(b )(c )(d )低通高通带通带阻允许误差来表征。
以低通滤波器为例，如图7-2（称容限图）所示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。
图中δ1为通带的容限，δ2为阻带的容限。
图 7-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图 在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即|ω|≤ωp在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即ωs ≤|ω|≤π式中，ωp , ωs 分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。
幅度响应在过渡带（ωs -ωp ）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）A p 和阻带应达到的最小衰减A s 描述，A p 及A s 的定义分别为：（7-1a ）（7-1 b ）式中，假定|H (e j0)|=1(已被归一化)。
例如|H (e j ω)|在ωp 处满足|H (e j ωp ，则A p=3 dB ；在ωs 处满足|H (e j ωs ，则A s=60 dB （参考图7-2）。
(注：lg 是log10的规范符号表示。
)FIR 型滤波器和IIR 型滤波器数字滤波器按单位脉冲响应h (n )的时域特性可分为无限长脉冲响应IIR （Infinite Impulse Response ）滤波器和有限长脉冲响应1＋δ11－δ1)(e j ωH 通带过渡带阻带δ2111|)(|1δδω+≤≤-j e H 2|)(|δω≤j e H 210lg 20|)(|lg 20|)(||)(|lg 20)1lg(20|)(|lg 20|)(||)(|lg 20δδωωωω-=-==--=-==ssppj j j p j j j p e H e H e H A e H e H e H AFIR （Finite Impulse Response ）滤波器。
IIR 滤波器一般采用递归型的实现结构。
其N 阶递归型数字滤波器的差分方程为（7-2）式（7-2）中的系数a k 至少有一项不为零。
a k ≠0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。
相应的IIR 滤波器的系统函数为（7-3）IIR 滤波器的系统函数H (z )在Z 平面上不仅有零点，而且有极点。
FIR 滤波器的单位脉冲响应h (n )是有限长的，即0≤n ≤N -1， 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。
FIR 滤波器的系统函数为（7-4）由式（7-4）可知，H (z )的极点只能在Z 平面的原点。
滤波器的设计步骤① 按照实际任务要求， 确定滤波器的性能指标。
② 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。
根据不同要求可以用IIR 系统函数，也可以用FIR 系统函数去逼近。
③ 利用有限精度算法来实现这个系统函数。
这里包括选择运算结构（如第4章中的各种基本结构），选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。
由连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器 滤波器设计的冲激响应不换法 （1）基本原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模∑∑==-+-=M k Nk k k k n y a k n x b n y 01)()()(∑∑=-=--=Nk kk Mk k k z a z b z H 101)(∑-=-=10)()(N n n z n h z H仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h (n )模仿模拟滤波器的冲激响应h a (t )，即将h a (t )进行等间隔采样，使h (n )正好等于h a (t )的采样值，满足h (n )=h a (nT ) （7-5） 式中, T 是采样周期。
如果令H a (s )是h a(t )的拉普拉斯变换，H (z )为h (n )的Z 变换，利用采样序列的Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得(7-6)则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S 平面变换成数字滤波器的Z 平面，这个从s 到z 的变换z =e sT 是从S 平面变换到Z 平面的标准变换关系式。
图 7-3 脉冲响应不变法的映射关系 （2） 混叠失真由式（7-6）知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 (7-7)这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。
正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 (7-8)才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Ω-=∑∑∞-∞=∞-∞==k T j s X T jk s X T z X k a s k a e z sTπ21)(1)(j Ω3π / T π / T －3π / T－π / T o oσ－11jIm[z ]Re[z ]Z 平面⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞-∞=T k j H T e H k a j πωω21)(2||s T Ω=≥Ωπ0)(=Ωj H a⎪⎭⎫⎝⎛=T j H T e H a j ωω1)(|ω|<π (7-9)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-4所示。
这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。
当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。
这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
图 7-4脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应h a (t )进行采样，采样频率为f s ，若使f s 增加，即令采样时间间隔（T =1/f s ）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。
（3） 模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数H a(s )求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应h a(t )，然后采样后得到h (n )=h a(nT )，再取Z 变换得H (z )，过程较复杂。
下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将H a(s )直接转换为数字滤波器H (z )。
设模拟滤波器的系统函数H a(s )只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将 (7-9)其相应的冲激响应h a(t )是H a(s )的拉普拉斯反变换，即式中, u (t )是单位阶跃函数。