工程水文学 第4章 水文统计的基本知识

第四章水文统计的基本知识

第一节概述 (2)

第二节概率的基本概念 (2)

第三节随机变量及其概率分布 (3)

第四节水文频率曲线线型 (5)

第五节频率曲线参数估计方法 (11)

第六节水文频率计算适线法 (12)

第七节相关分析 (14)

小结 (18)

课前学习指导

课程要求

（1）了解概率、随机变量及其概率分布的基本概念；

（2）了解水文频率曲线常用的线型，要掌握P-III型分布曲线和经验频率曲线的性

质和计算方法；

（3）了解频率曲线参数的估算方法，要掌握矩法估算参数的方法；

（4）掌握水文频率计算适线法的具体步骤和方法，特别是参数对频率曲线的影响；

（5）了解相关分析的基本概念和方法，特别要掌握两变量直线相关、曲线相关的方

法和具体步骤。

课时安排

共需6个课内学时，10个课外学时

课前思考

频率与概率有何区别与联系?

某水利枢纽施工期预定3年,施工用的围堰的设计标准按照20年一遇洪水设计,在施

工期内发生设计洪水的概率、一次也不发生设计洪水的概率？

水文变量常用线型与参数估计方法？

进行回归（相关）分析，其目的是什么？

如何提高参数估计的精度？

学习重点

掌握Pearson—III型分布曲线性质与计算方法，如何利用适线法估计水文系列参

数；

难点

如何灵活应用概率论原理（如古典概率，概率的加法和乘法定律等）计算事件发生的

概率，如何调整参数使得水文理论频率曲线与经验点据拟合好？

第一节概述

一、水文现象的特性

水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。

1、必然现象是指在一定条件下，必然出现或不出现的现象；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。

2、偶然现象是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律。

二、水文统计规律的研究 - 水文统计

数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则称为水文统计。

三、水文统计的任务

水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化做出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。

水文统计的基本方法和内容具体有以下两点：

1、根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值；

2、研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报。

第二节概率的基本概念

一、事件

在概率论中 , 对随机现象的观测叫做随机试验 , 随机试验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种。

二、概率

随机事件的概率反映事件发生的可能性大小。随机事件的概率可由下式计算：

（4-2-1）

式中： P（A）——在一定条件组合下，出现随机事件 A 的概率；

k ——出现随机事件 A 的结果数；

n ——在试验中所有可能出现的结果数。

随机事件的概率介于 0 与 1 之间。

三、频率

设随机事件A在重复n次试验中出现的m次，则称

为事件A在n次试验中出现的频率。注意区别概率与频率计算中n的含义不同，频率随试验次数而变，但概率是客观存在的。

四、概率加法定理和乘法定理

1、两事件和的概率

两个互斥事件A、B出现的概率等于这两个事件的概率的和，即

P（A+B）= P（A）+P（B）

式中 : P（A+B）-实现事件A或事件B的概率；

P（A）- 事件A的概率；

P（B）- 事件B的概率。

2、条件概率

两个事件A、B，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为事件B在条件A下事件B条件概率,记为:

P（B︱A）

3、两事件积的概率

两事件积的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件发生的条件下的条件概率，即

P（AB）= P（A）×P（B︱A），P（A）≠0

P（AB）= P（B）×P（A︱B），P（B）≠0

若两个事件是相互独立的，它们共同出现的概率等于事件 A 的概率乘以事件 B 的概率，即

P（AB）=P（A）×P（B）

第三节随机变量及其概率分布

一、随机变量

随机试验的结果可以是一个数量，也有些虽然不是数量，但可以用数量来表示。这样的量随着试验的重复可以取得不同的数值，而且带有随机性，我们称这样的变量为随机变量。随机变量可分为两大类型：离散型和连续型。

二、随机变量的概率分布

1、离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如表 4-3-1 。

表 4-3-1

X x1 x2…x n…

P p1p2…p n…

注意：∑p n =1 。

2、连续型随机变量的概率分布

对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率，后面二者可以相互转换，水文统计中常用X ≥x的概率及其分布。

3、分布函数

设事件 X≥x 的概率用 P（X≥x）来表示，它是随随机变量取值 x 而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F（x），即

F(x)=P(X≥x) （4-3-1）

它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。其几何图形如图4-3-1（b）所示，图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。注意在一般的概率论与数理统计的教材中，分布函数的定义为F(x)=P(X

4、分布密度

分布函数导数的负值称为密度函数，记为f(x)，即 :

（4-3-2）

密度函数的几何曲线称密度曲线。水文中习惯以纵坐标表示变量x, 横坐标表示概率密度函数值 f(x)，如图4-3－1（b）所示。

实际上，分布函数与密度函数是微分与积分的关系。因此，已知f(x)，则:

其对应关系可在图4-3-1中看出来。

三、随机变量的统计参数

说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。

统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。

1、均值

均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为 x1，

x2，…,x n，则其均值为:

（4-3-4）