电磁学答案第3章
第三章 静电场的电介质
3.2.1 偶极矩为p →
=q l →
的电偶极子，处于场强为E 的外电场中，p →
与E →
的夹角为θ。
（1） 若是均匀的，θ为什么值时，电偶极子达到平衡？
（2）如果E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力：
F + =F _=qE
因而F →
+=-F →
_∴偶极子
受合力为零。偶极子受的力矩
ΘT =?E
即 T=qEsin θ
当 T=0时，偶极子达到平衡，
∴ pEsin θ=0
p →
≠0 E →
≠0 ∴θ=0 , π
θ=0这种平衡是稳定平衡。θ=π是不稳定平衡。
（2） 当E →
不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。
3.2.2 两电偶极子
1p
→和2
p →
在同一直线上，所以它们之间距r
比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F=
4
02
123r
p p πε，力的方向是：1
p
→
与
2
p
→
同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。
证： 已知当r >>l 时，偶极子在其延长线上
一点的场强：E →
=
3
02r
p
πε→
当
1p →
与2p →
同方向时，如图
2p →
所受的力的大小：
+
→
F =E →
q=
r l
r q p ∧
+3
201)2
(2πε
-
→
F = -E
→
q=
r l
r q p ∧
--3
201)2
(2πε
∴F
→
= +→
F +-→
F =r l r l r q p ∧?????
?
??
????--+323201)2(1
)2(12πε =r l r l l r q p ∧
??
?
???---?32223
222
01)2()2(2262πε
略去 422l 及 8
3
2
l 等高级小量。
F
→
=-r r
ql p ∧
4
02146πε
= -r r
p
p ∧
4
02123πε
当
1p →
与2p →
反方向时（如图）
，同理： F
→
= r l r l r q p ∧?????
?
??
????--+323201)2(1
)2(12πε =012πεq p ?r l
r l l r ∧
-+3
2223
222)4
()2(23
略去高级小量得：
F
→
=r r
P P ∧
402123πε
3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。
（1） 求电偶极子在该处的电位能，
（2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是
多少？
（3） 在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是
多少？
解： （1）电位能： W =q +U -q _U =q U ?
又由于E →
= -n n
U
∧??，=?n lcos θ(θ是l →与E →
间夹角)
∴ θcos El n E U -=?-=? ∴ W = -qEl cos θ
= -
E p →
→
?
（2）当p →
与E →
一致时，W = -pE.即θ=0时电位能最小。
（3）当
p →
与E →
方向相反时， W = pE. 即θ=π时电位能最大。
3.2.4 一电偶极子，由q=1.0?108-（库）的两个异号电荷所组成，这两个电荷相距为l=2.0（厘米），把这电偶极子放在1.0?105牛顿/库伦的均匀外场中，
（1） 外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？
（2） 把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所作的功是多大？
解： （1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为： T=pEsin θ
当时θ=2π
时，力矩最大，
T=pE=qlE=108-?2?102-?105 =2?103- (牛顿?米)
（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力
所做的功：
A=?20π
θTd =
?
20
sin π
θθd pE
=pE=2?103-(牛顿?米)
3·4·1 一平行板电容器面积为S ，面板间距离为d ，中间充满均匀电介质，已知当一板上自己电荷为Q 时，整块介质的总偶极矩为 总, 求电容器中的电场强度。
整块介质的总偶极矩为 总
极化强度=
设上、下是介质上下两面的外法线，
上=·上= —Pn= —P
下= ·下= —Pn= —P
自由电荷激发的场强：
AB=AB
极化电荷激发的场强：
BA= —AB= —AB= —AB
电容器中电场强度：
AB =AB
3·4·2 一半径为R，厚度为d的均匀介质圆板（R d）被均匀极化，其极化强度为P，且平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电场强度。
解：如图所示，在柱坐标系中：
是面元法线与极化强度为夹角
其中
根据对称性分析,极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有y方向分量(y轴与反方向),
当R>>d时,略去高级小量得:
3·4·3 在图中A为一块金属,其外部充满均匀介质,其极化率为x,已知交界面上某点的极化电荷面密度为,求该点的自由电荷面密度。
解: 在静点平衡时,利用高斯定理可得,导体外(即介质内)紧靠导体表面一点的场强为:
= =-
与 反方向,如图所示, 是介质表面外法线. 又由于在介质内: = ; ·
= =- =
求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知极化强度为 ,如图所示.
解: 取球心Q 为原点,极轴与 平行的球坐标,由于轴对称性,表面上任一点A 的极化电荷密度 只与 角有关.着也是A 点外法线 与 的夹角,故
这表明：在右半球 为正，左半球 为负；在两半球分界线面上，
在
3·4·5 图中沿x 轴放置的介质圆柱，地面积为S ，周围是真空，已知介质内个点极化矢量 （为常数）
（1）求圆柱两底面上的极化电荷密度 及 ； （2）求出圆柱内体电荷密度 。
解：（1）kb
P n P ka P n
P b b b b a a a a ==?='-==?='
0cos ?
cos ?ρρ
σπσ
（2）由定义得：
()k Sdx
Skdx
Sdx
S
P P S
d P p x dx x s
-=-
=--
=?-='+??τ
ρρ
3.4.6平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上的自由电荷面密度为0σ±，求电容器的电容C 与没有电介质时的电容0C 之比。
解：P n
P =?='?ρ
σ
极化电荷的场强：00εεσP E ='=
' 自由电荷的场强：0
0εσ=
E 0E ρ与E 'ρ
反方向，
()()
x x E E E x E xE E E
x E P E E E E +=
+=
+=∴-=-
=-
=-=∴11100
000
00000εσεεε
()
x d
Ed U +==100εσ
S Q 0σ=
()()0011C x d
S x U Q C +=+==
∴ε
3.4.7一空气平行板电容器，面积S=0.2(2米)，d=1.0(厘米)，充电后断开电源，其电位差()伏30103?=U ，当电介质充满两版间以后，则电压降至1000伏，试计算： (1)原电容0C ；
(2)每一个导体板上的电量Q ； (3)放入电介质后的电容C ； (4)两板间的原电场强度0E ； (5)放入电介质后的电场强度E ； (6)电介质每一面上的极化电荷Q '；
(7)电介质的相对介电常数r ε[提示0
0C C =ε]。
解：
()()
法拉1012
12001077.1102
.01085.81---?=??=
=d S
C ε ()()
库伦7
100010
31.53000
1077.12--?=??==U C Q
()()法拉103
7
1031.510
1031.53--?=?==U Q C ()()米伏/10310
300045
2
0?==
=-d
U E ()()米伏/.1010
105523
===-d U E
()E E E '-=06Θ
0εσ'=
-='∴E E E ()()()
库伦75512001045.32.010*******.8--?=?-??=-='='S
E E S Q εσ
()3107.11031.5710
10
0=??==--C C r ε
3.4.8 两相距为 5.0毫米的平行导体板间均匀充满相对介电常数
()10.30+==x r εε的电介质，其介质内的电场强度是610伏/米。试求：
（1）在导体板上的面电荷密度0σ； （2）在电介质面上的极化面电荷密度σ' 解：（1）利用3.4.6题结论： ()d
S
x C +=
10ε
又由于Ed S
U Q C 0σ==
()Ed
S
d
S
x 001σε=
+∴
()()
2
51260001065.231058.8101库--?=???==+=r E x E εεεσ ()()()
2
5612001077.1101058.8131米库--?=???-=-==='E
E x P r εεεσ
3.4.9在相对介电常数为()1+=x r r εε的电介质中有一强度为E ρ
的均匀电场。在介质内有一球形空腔。求球面上的极化电荷在球心产生的电场强度E 'ρ
。
解：如图所示，在均匀电介质
中： ()θσεεcos ?10P n
P E
x P r -=?='-=ρ
ρρ n
?是介质表面的外法线即指向球心。 R R
ds E d ?
42
0πεσ'='ρ 根据对称性分析可得，E '只有z 方向分量，
?
??-='='='πθπεθθπεθ?θσθ
20
2
02
22
024sin cos 4sin cos d R
R P R d d R E d E s s
=
3εP =31-r ε E
∴ ='E ?3
1-r εE ρ
3.5.1
两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为20微库/米2，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，r ε=3.0毫米，
r ε=4.0。略去边缘效应，求各介质内的D 、E 和介质表面的σ'。
解：如图所示，作一个底在导体内，另一底平行于极板的封闭圆柱形高斯面。根据高斯定理得：D 1=0σ=2510-?(库/米2)
D 2=D 1=0σ=2510-?(库/米2) 在介质1中的场强：
E 1=
1
0r D
εε=3
1085.810212
5
???--=7.5510?（伏/米） 在介质2中的场强： E 2=
2
0r D
εε=4
1085.810212
5???--=5.655
10?（伏/米） 1σρ=1p ρ
1?n
?=0ε1x 1E ρ1?n ? =-0ε1x 1E =-（1r ε-1）0ε1
0r D
εε=-
r1
11）
- （εεr 0σ =-
313-5102-??=-3
4
510-?（库/米2） 3σ'=2P ρ3?n ?=220E x ρε3?n ?=r2
21）- （εεr 0σ
=510234-??=5102
3
-?（库/米2）
5312
10)2
3
34()(-?+--='+'-='σσσ =-)/(106
1
25米库-?
[或21122?n P P ?-='）（ρρσ] 3.5.2
一无限大均匀介质平板，厚度为d ，相对介电常数为r ε，其中有
密度均匀的自由电荷，体密度为0ρ，求板内、外的D 、E ρ、P ρ
。
解： 作如图所示的高斯面，由高斯定理得（其中x 是场点在x 轴的坐标，
原点在介质板的对称面上）。 板内：
i x D ?0ρ=内ρ
i x D E r r ρρρ000
εερεε==内
内 内内内）（E E P ρρρ0r 01εεχε-=
=
=i ?
x 1r
0r
ερε）（- 在板外：
i ?2
d
0ρ-=I D 外ρ
i
?2d ?
2
0i
?2d 0
000
0====-=II II II I I P E i d D P E 外外外外外ρ
ρρρ
ρερρερ
3.5.3 如图所示，一平行板电容器两极板相距为d ，面积为S ，其中放有一层
厚为t 的电介质，相对介电常数为r ε，介质两边都是空气。设两极板
间电位差为U ，略去边缘效应。试求：
（1） 介质中的电场强度E ，电位移D 和极化强度P ； （2） 极板上的电量Q ；
（3） 极板和介质间隙中的场强0E ； （4） 电容C 。
解： （1）设空气中的场强为0E ； U=0E x+Et+0E (d-x-t) =0E (d-t)+Et
由高定斯理可知，在两板D ρ
间处处相等，
0εD
E =
r
D
E εε0=
∴
)
()(0
00
r
r
t
t d D
t
D
t d D
U εεεεε+
-=
+
-=
（5）画出电力线和电位移线。 解 （1）利用高斯定理求出： D 1=0 （R r <）
24r q
D π=
Ⅱ (R d r R +<<) 2
4r q
D π=Ⅱ (R d r +>) 0=ⅠD (r 2 100 14r q D E r r επεεε= = (R d r R +<<) 2 200 24r q D E r r επεεε= = Ⅲ (R d r +>) ∴ r=15(厘米)时： 82 482105.315 410104--?=??==ππr q D （库/米2 ） 2 2 0482******* 5410104?=???==-πεεπεr q E r （牛/库） 5=r （厘米）时： 0=D =E 25=r （厘米）时： 24 8225410104??==-ππr q D 81027.1-?=（库/米2） 2 04 8220251410104???= =-πεεπεr q E r 31044.1?=（牛/库） （1） r q r d E U r r 204επε= ?=?∞ ??ⅢⅢ （d R r +≥） ) (420R d q U r += επεⅡ ）（R d r q r +-+ 11410επε（R d r R +≤≤） )(420R d q U r += επεⅡ ）（R d r q r +-+ 11410επε （R r ≤） R q R d q r r r 101204)11()(4επεεεπε+-+= ∴ r=15(厘米)时： )1 1(4)(41020R d r R q R d q r r +-++= επεεπε )10 5.151210511021(4101 1108----??+??-?=πε 210*8.4=（伏） 5=r （厘米）时： R q R d q U r r r 101204)11()(4επεεεπε+-+= )1051102511021(4101 1108----?+??-?=πε =2104.5?（伏） 25=r （厘米）撕： R q U r 204επε= 1 08 105.21410--???= πε 2106.3?=（伏） （3）Θ E P r )1(101-=εε ) 1(10-=r εε2 104r q r επε )1(412 1-= r r r q επε 同理： )1(422 22-= r r r q P επε )1(412 1111-- =-=?='r r R q P n P επεσ??内 2 810 54) 15(10--??--=π（n ?是介质1内表面的外法线指向球心） 837.6-?-=（库/米） 两种介质分界面上的极化电荷面密度： 2112?)(n P P ?-='? ?σ （21?n 也是指向球心） 21P P -= )1()(41 21-+= r r R d q επε)1()(422 1-+-r r R d q επε 81059.1-?=（米/库） （4）画出)(r D 、E （r ）、U （r ）曲线。 （5）画出电力线和电位移线电位移线与电力线做图比例不同。 →表示电位线 →?-表示电力线 3．5．9 一金属球带有电量Q ，其半径为a ，球外有一内半径为b 的同心金属=球壳，球壳接地，球与壳间充满介质，其相对介电常数与到球心的距离r 的关系： r r K r +=ε，式中K 是常数。证明：在介质中，离球心为r ∴E n 2= n r r E 12 1 εε = ο45cos 2 1 E r r εε 界面两侧的电场强度的切向分量是连续的，即： E t 2=E t 1=E ο45sin 1 E E E n +=∴222(2 122)t ={（}45sin 45cos )7 3 2212212οοE E + =21 1}1499 {22+E =21 )49 58(100022?? =769（伏/米） 333.245cos 7 345sin 1122===οο E E E E tg n T α ， 4866ο=∴α 3．6．3*在相对介电常数为ε r 的均匀介质与真空的交界面为一平面。已知真空 中均匀场强→ 0E 与界面法线夹角为θ，试计算： （1）以界面上一点为球心，R 为半径的球面上场强→ E 的通量。 （2）如图所示，两边与界面平行的一矩形积分路径→ → ??l d D 。 解：（1）θcos 00E E n = E θsin 00E t = 因为在介质的界面上无自由电荷存在， n n D D 21=∴ 即：n r n E E εεε000= r r On n E E E εθ εcos 0== ∴ =Φ20)(R E E S d E n n π+-=?→ → ?? =201cos R E r r πεεθ - （2）场强的切线分量连续： θsin 00E E E t t == θεεsin 0000E E D t Ot ==Θ θεεεεsin 000E E D r ot r t == θεεθεsin sin 0000E l E l l d D r -=?∴→ →? =l )1(sin 0r o E εθε- 3.6.4*如图所示，A 在介质中离电介质边界极近的一点。已知电介质外真空中的场强为→ 0E ，其方向与界面法线夹角为0α。求： （1）A 点的场强大小与方向； （2）A 点附近介质的极化电荷密度。[介质的相对介电常数为]r ε 解：（1）αsin 00E E E t t ==，在介质的界面上无自由电荷存在时，电位移矢量法向分量连续。 n n D D =∴0 即 n r on o E E εεε0= r o r n n E E E εαεcos 00= = ∴ 2 12 222 2021 22)cos sin ()(0 r o n t E E E E E o εα α+=+=∴ = 2 12 22 )sin (cos 0o r r o E ααεε+ 方向： tg O r n t tg E E αεα== (2),cos ) 1()1(000αεεεεεσE E P r r n r n -= -== 3.7.1 将平行板空气电容器充电至电位差U ，然后断开电源，电容器极板的面积为S ，极板间的距离为d ，两极板是竖直放置的。使电容器有一半放在相对介电常数为r ε的液体中， 试求：（1）电容C ； （2）极板上自由电荷密度o σ的分布； （3）两极板间空气中及介质中的电场强度； （40放入液体后，电容器的能量比原来电容器的能量减少多少？ 解：（1）C 等效成两个电容器的并联： C= d S d S r 2200εεε+ =（1+d S r 2) 0εε （2）设E d E u ==0, d 介E E =∴0 r D D εεε00 介 = ∴ 即：r D D ε介 = 设放在液体中的那部分极板上的电荷面密度为02σ，没有放在液体中的那部分极板上的电荷面密度为 :01σ 对平行板电容器：010σ=D 02σ=介D r εσσ02 01= ∴ 电容器所带总电量 d SU U C Q 00ε= = ∴ 总电量不变 Q=01 σ2S +02σ2S =2S 01σ()r ε+1=d SU 0ε ∴01σ= ()d U r εε+120 02σ= ()d U r r εεε+120 ()3U '=E 0d=Ed ∴E 0=E= 001εσ=()d U r ε+12 () 4没浸入液体前电容的能量： W 0=21 C 0U 2=d SU 22 0ε 浸入液体中以后电容器的能量： W=C Q 22=2 2 22 02d U S ε?()S d r 012εε+ =() r d SU εε+12 能量变化： W ?=W-W 0=??? ? ??-+211120r d SU εε =-()() r r d SU εεε+-1212 3．7．2平行板电容器极板的面积为200厘米2，极板间的距离为1.0毫米，在电容器内有一块玻璃板()5=r ε充满两极板间的全部空间，求在下面的情况下，若玻璃板移开，电容器的能量的变化？()1将电容与电动势为300伏的电源相连。 ()2充电后，将电源断开在抽出玻璃板。 解：()1电容器与电动势为300伏的电源相连时，保持电容器两端电压不变。在无玻璃板与有玻璃板两种情况下，电容器的电容： C 0= d S 0ε C= d S r εε0 能量变化： ()C C U W W W -=-=?0202 1 = ()r d SU εε-122 = ()511021*********.83 4 212-??????--- =-3.2510-?()焦耳 ()不变：这时保持极板上总电荷充电后，将电源断开，Q 2 Q=UC= d SU r εε0 ??? ? ??-= -=?C c Q W W W 1121020 = ()r d SU εεε-122 10 =()1510 210910251085.83 4 212-???????--- =+15.9510-?()焦耳 3.7.3电量为Q 0的导体球，置于均匀无限大的电介质中，已知介质的相对介电常数r ε，导体球半径为R ，求储藏在电介质中的能量密度。 解：在均匀无限大电介质中，导体球表面电荷均匀分布，用高斯定理求出D ， 2 4r Q D π= ∴ E= 2 02 04r Q D r r επεεε= 能量密度：∴ W=21DE=r r Q εεπ04 22 032 3.7.4 求3.5.5题 ，当两金属极板上自由电荷为0Q ±时，分别求两种介质中的能量密度及总能量。 解：设两部分介质对应 极板上自由电荷面密度为1σ，2σ E 1=E 2= 101r εεσ=2 02r εεσ D 1=110 E r εε=1σ D 2=2σ ∴???? ?= =+221102211r r Q S S εσεσσσ ∴2 2111 01S S Q r r r εεεσ+= 2 2112 02S S Q r r r εεεσ+= 11121D E w =∴= 101 22r εεσ=()22211012 02S S Q r r r εεεε+ w 2=()2 2211022 022221 S S Q D E r r r εεεε+= 2211V w V w W +=∴ = () ()d S d S S S Q r r r r 22112 221102 2εεεεε++ =() 221102 02S S d Q r r εεε+ 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 第七章 电磁感应和暂态过程 一、选择题 1、一导体圆线在均匀磁场中运动，能使其中产生感应电流的一种情况是（） A 、线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向平行。 B 、线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向垂直 C 、线圈平面垂直于磁场并沿垂直于磁场方向平移。 D 、线圈平面平行于磁场并沿垂直磁场方向平移。 答案：B 2、一闭合正方形线圈放在均匀场中，绕通过其中心且与一边平行的转轴OO`转动，转轴与磁场方向垂直， 转动角速度为ω，如图所示，用下述哪一种办法可以使线圈中感应电流的幅值增加到原来的两倍（导线 的电阻不能忽略）？（） A 、把线圈的匝数增加到原来的两倍。 B 、把线圈的面积增加到原来的两倍，而形状不变 C 、把线圈切割磁力线的两条边增长到原来的两倍 D 、把线圈的角速度ω增大到原来的两倍 答案：D 3、两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反的电流I,I 以dI/dt 的变化率增长,一矩形线圈位于导线平面内(如图)则() A 、线圈中无感应电流 B 、线圈中感应电流为顺时针方向 C 、线圈中感应电流为逆时针方向 D 、线圈感应电流方向不确定 答案：B 4、一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将（） A 、加速铜板中磁场的增加 B 、减缓铜板中磁场的增加 C 、对磁场不起作用 D 、使铜板中磁场反向 答案：B 5、一无限长直导体薄板宽为l ，板面与Z 轴垂直，板的长度方向沿Y 轴，板的两侧与一个伏特计相接，如图，整个系统放在磁感应强度 为B 的均匀磁场中，B 的方向沿Z 轴正方向，如果伏特计与导体平板均以速度v 向 Y 轴正方向移动，则伏特计指示的电压值为（） A 、0 B 、 vBl 2 1 C 、vBl D 、vBl 2 答案：A 6、半径为a 的圆线圈置于磁场强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ；当把线圈转动使其法向与B 的夹角 060=α时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动的时间的关系是（） A 、与线圈面积成正比，与时间无关 B 、与线圈面积成正比，与时间成正比 C 、与线圈面积成反比，与时间成正比 D 、与线圈面积成反比，与时间无关 答案：A 7、将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量时间的变化率相等，则（） A 、铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势 B 、铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 C 、铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 D 、两环中感应电动势相等 答案：D 8、在无限大长的载流直导线附近 放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的 速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流（） A 、以情况Ⅰ中为最大 B 、以情况Ⅱ中为最大 C 、以情况Ⅲ中为最大 D 、在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 答案：B 9、在两个永久磁极中间放置一圆形线圈，线圈的大小和磁极大小约相等，线圈平面和磁场方向垂直，今欲使线圈中产生逆时针方向（俯 视）的瞬时感应电流I （如图），可选择下列哪一个方法？（） A 、把线圈在自身平面内绕圆心旋转一个小角度 B 、把线圈绕通过其直径的OO`轴转一个小角度 C 、把线圈向上平移 D 、把线圈向右平移 答案：C 10、 一个圆形线环，它的一半放在一分布在方形区域的匀强磁场B 欲使圆线环中产生逆时针方向的感应电流，应使（） A 、线环向右平移 B 、线环向上平移 C 、线环向左平移 D 、磁场强度减弱 答案：C 11、 如图所示，一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，欲使线圈产生图示方向的感应电流I ，下列哪一种情况可以做到？（） A 、载流螺线管向线圈靠近 B 、载流螺线管离开线圈 C 、载流螺线管中电流增大 D 、载流螺线管中插入铁芯 答案：B 12、 在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半径为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且a 》r,当直导线 第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-?米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ： （1） 根据库仑定律：r r q q K F ?22 1 =? 得：21 2221r r F F = （牛顿）） （） （4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14）（）（????±=± =-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑） 1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大 解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即：0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3 即： 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得： )()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x 1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示，其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理：)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得： 1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡： 解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知 1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1） 高中物理典型例题集锦 (电磁学部分) 25、如图22-1所示，A、B为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板 的中央各有小孔M、N。今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N三点在同一竖直线上)，空气阻力不计，到达N点时速度恰好 为零，然后按原路径返回。若保持两板间的电压不变，则： A.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 B.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 C.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过 N孔继续下落。 图22-1 D.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N 孔继续下落。 分析与解：当开关S一直闭合时，A、B两板间的电压保持不变，当带电质点从M向N 运动时，要克服电场力做功，W=qU AB，由题设条件知：带电质点由P到N的运动过程中，重力做的功与质点克服电场力做的功相等，即：mg2d=qU AB 若把A板向上平移一小段距离，因U AB保持不变，上述等式仍成立，故沿原路返回， 应选A。 若把B板下移一小段距离，因U AB保持不变，质点克服电场力做功不变，而重力做功 增加，所以它将一直下落，应选D。 由上述分析可知：选项A和D是正确的。 想一想：在上题中若断开开关S后，再移动金属板，则问题又如何(选A、B)。 26、两平行金属板相距为d，加上如图23-1(b)所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为T。现有一离子束，其中每个 离子的质量为m，电量为q，从与两板 等距处沿着与板平行的方向连续地射 入两板间的电场中。设离子通过平行 板所需的时间恰为T(与电压变化周图23-1 图23-1(b) 《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 cos cos cos n x y z x y z x y z αβγ=++=++e e e e r e e e 故 (cos cos cos )() cos cos cos n x y z x y z x y z x y z αβγαβγ ?=++?++=++e r e e e e e e 则 j()[(cos cos cos )]22222[(cos cos cos )]2e ()()n r t j x y z t m m x x y y z z j x y z t m e j e j βωβαβγωβαβγωββ?-++-++-==?=?+?+?==e E E E E e E e E e E E E 而 22 j[(cos cos cos )]22 2{e }x y z t m t t βαβγωω++-??==-??E E E 故 22 2222()(0 j j t μεβμεωμεω??-=+=+=?E E E E E E 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 22 20 t με??-=?E E 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 12 ()j z x x y y E jE e β-=+=+E e e E E 式中取 121 [()()]21 [()()]2j z x x y y x y j z x x y y x y E E j E E e E E j E E e ββ--=+++=---E e e E e e 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 3(,)10cos()V/m 2y z t t z π ωβ=--E e 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为 P r λ2 λ1 R 1 R 2 1．坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强 度为E ρ 。现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么 位置才能使P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x >1。 (B) x 轴上0 《电磁学》计算题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E ? 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R )，ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值．(ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E ? ??300200+= .试求穿过各面的电通量． E ? q L q 第一章习题解答 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解（1） （2） （3）－11 （4）由，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则，， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。 解，， 则 且与、、轴的夹角分别为 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解与之间的夹角为 在上的分量为 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 证明：如果和，则； 解由，则有，即 由于，于是得到 故 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。 解由，有 故得 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中、、 故该点的球坐标为 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解（1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解由 得到 一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。 解 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解在圆柱坐标系中 所以 又 故有 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解（1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确． 1．如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近验电器上部的金属板时，金属箔开．在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化?从图3-1的①～④四个选项中选取一个正确的答案．［］ 图3-1 Ａ．图①Ｂ．图②Ｃ．图③Ｄ．图④ 2．下列关于静电场的说法中正确的是［］ Ａ．在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 Ｂ．正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 Ｃ．场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 Ｄ．初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3．在静电场中，带电量大小为ｑ的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为ｄ的ａ、ｂ两点，动能增加了ΔＥ，则［］Ａ．ａ点的电势一定高于ｂ点的电势 Ｂ．带电粒子的电势能一定减少 Ｃ．电场强度一定等于ΔＥ／ｄｑ Ｄ．ａ、ｂ两点间的电势差大小一定等于ΔＥ／ｑ 4．将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中［］Ａ．它们的相互作用力不断减少 Ｂ．它们的加速度之比不断减小 Ｃ．它们的动量之和不断增加 Ｄ．它们的动能之和不断增加 5．如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说确的是［］ 图3-2 Ａ．它们所需要的向心力不相等 Ｂ．它们做圆周运动的角速度相等 Ｃ．它们的线速度与其质量成反比 Ｄ．它们的运动半径与电荷量成反比 6．如图3-3所示，水平固定的小圆盘Ａ，带电量为Ｑ，电势为零，从盘心处Ｏ由静止释放一质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的ｃ点，Ｏｃ＝ｈ，又知道过竖直线上的ｂ点时，小球速度最大，由此可知在Ｑ所形成的电场中，可以确定的物理量是［］ 图3-3 Ａ．ｂ点场强Ｂ．ｃ点场强 Ｃ．ｂ点电势Ｄ．ｃ点电势 7．如图3-4所示，带电体Ｑ固定，带电体Ｐ的带电量为ｑ，质量为ｍ，与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ，将Ｐ在Ａ点由静止放开，则在Ｑ的排斥下运动到Ｂ点停下，Ａ、Ｂ相距为ｓ，下列说确的是［］ 图3-4 Ａ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力最少做功2μｍｇｓ Ｂ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力做功μｍｇｓ Ｃ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能增加μｍｇｓ Ｄ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能减少μｍｇｓ 8．如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为ｍ、电量为ｑ，整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为Ｅ．［］ 图3-5 Ａ．小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Ｅｑ／ｍｇ Ｂ．若剪断悬线，则小球做曲线运动 Ｃ．若剪断悬线，则小球做匀速运动 Ｄ．若剪断悬线，则小球做匀加速直线运动 9．将一个6Ｖ、6Ｗ的小灯甲连接在阻不能忽略的电源上，小灯恰好正常发光，现改将一个6Ｖ、3Ｗ的小灯乙连接到同电源上，则［］Ａ．小灯乙可能正常发光 Ｂ．小灯乙可能因电压过高而烧毁 Ｃ．小灯乙可能因电压较低而不能正常发光 Ｄ．小灯乙一定正常发光 10．用三个电动势均为1．5Ｖ、阻均为0．5Ω的相同电池串联起来作电源，向三个阻值都是1Ω的用电器供电，要想获得最大的输出功率，在如图3-6所示电路中应选择的电路是［］ 图3-6 11．如图3-10所示的电路中，Ｒ １、Ｒ ２ 、Ｒ ３ 、Ｒ ４ 、Ｒ ５ 为阻值固定的 电阻，Ｒ ６ 为可变电阻，Ａ为阻可忽略的电流表，Ｖ为阻很大的电压表，电源的 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结： 1、E P 0 （1）极化率 各点相同，为均匀介质 （2） i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0 q （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 n P P ?12 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P ? n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或 金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： 学习资料 A n P ? 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷 的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即 是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P cos ? 任一点有： cos P 所以极化电荷分布： 140230030 22P 右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强 由以上分析知 以z 为轴对称地分布在球表面上，因此 在球心处产 生的E 只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。 在球表面上任意选取一面元S d ，面元所带电荷量dS q d ，其在球心O 处产生场强为： R R dS E d ?42 其z 分量为： cos 4cos 2 0R dS E d E d z （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为： 2 0222 0cos 4cos sin cos 4z S dS E dE R P R d d R 乙 一、选择题 1、在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． ［ D ］ 2、电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流为I ， ．若载流长直导线1、2以及圆环中的电流在圆心O 点所产生的磁感强度分别用1B 、2B , 3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B ) B = 0，因为021=+B B ，B 3 = 0． (C ) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D ) B ≠ 0，因为虽然B 1 = B 3 = 0，但B 2≠ 0． (E ) B ≠ 0，因为虽然B 2 = B 3 = 0，但B 1≠ 0． ［ D ］ 3、边长为L 的一个导体方框上通有电流I ，则此框中心的磁感强度 (A) 与L 无关． (B) 正比于L 2． (C) 与L 成正比． (D) 与L 成反比． (E) 与I 2有关． ［ D ］ 4、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内( r < R )的磁感强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感强度为B e ，则有 (A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比． (D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比． ［ D ］ 5、如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 (1) 第一章 ................................................................................................................................................................ 1 第二章 .............................................................................................................................................................. 16 第三章 .............................................................................................................................................................. 25 第四章 .............................................................................................................................................................. 34 第五章 .............................................................................................................................................................. 38 第六章 .............................................................................................................................................................. 46 第七章 .. (52) 第一章 1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 第七章 平面电磁波的反射和透射 习题解答 7-1．空气中的平面电磁波电场幅值为10V/m ，垂直入射到εr =25的无耗非磁性介质的表面，试确定：（1）反射系数和透射系数；（2）在空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。 解 （1）由于空气和无耗非磁性介质的磁导率为 所以，空气和无耗非磁性介质中的波阻抗分别为 由此得到垂直入射情况下，两理想介质分界面的反射系数和透射系数为 （2）驻波比定义为 由此得到空气中的驻波比为 （3）假定电场矢量沿x e 方向，入射波沿+Z 方向传播，则可写出垂直入射情况下，入射波、反射波和透射波的电场和磁场复振幅矢量表达式为 根据平均功率流密度的定义式 有 而 数值代入得到 7-4．一均匀平面电磁波沿+Z 方向传播，其电场强度矢量为 （1）应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ；（2）若在传播方向上z =0处放置一无限大的理想导体板，求z ＜0区域中的合成波的电场E 1和磁场H 1；（3）求理想导体板表面的电流密度。 解 （1）根据给定的电场强度矢量的表达式，有 由此可写出电场强度矢量的复振幅表达式为 由复数形式的麦克斯韦方程 得到 则有 （2）如果在z =0处放置一无限大平面导体板，可看成是理想介质与理想导体分界面的垂直入射，有 001r i E r E ==-，00 0t i E t E == 根据入射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式，可写出反射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式为 把 代入，得到 入射介质一方（z <0）的合成波电场和磁场的复振幅为 合成波的电场E 1和磁场H 1的瞬时表达式为 （3）根据边界条件 由于理想导体板中的磁场为零，有 7-7．一圆极化平面电磁波的电场为 平面电磁波沿+X 方向从空气垂直入射到εr =4、μr =1的理想介质表面上。求：（1）反射波和透射波的电场；（2）它们分别属于什么极化？ 解 （1）两种介质均为无耗理想介质，其参数如下： 垂直入射情况下的反射系数和透射系数为 即电磁学试题(含答案)
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