二次函数的系数的确定
二次函数的最值
最大值或最小值的求法：
第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 例1 求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322
--=x x y ； （2）432
+--=x x y ．
例2 某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ； （1）求出一次函数b kx y +=的解析式；
（2）若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少
分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
用函数观点看一元二次方程
知识梳理：
1、一元二次方程02
=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2
与x 轴交
点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2
）
x
y
( , )
O
x
y
O
与x 轴有 个交点；这个交点是 点
?
ac b 42- 0，方程有
实数根
与x 轴有 个交点
?
ac b 42- 0，方程 实数
根.
3、二次函数c bx ax y ++=2
与y 轴交点坐标是 . 4.根据图象判断二次函数c b a 、、的符号
① 开口向上，所以可以判断a 。 抛物线c bx ax y ++=2
② 对称轴是直线x = ，由图象可知对称轴在y 轴的右
侧，则x >0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0.
③ 因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c 0.
④ 抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有两个交点，所以ac b 42
- 0；
5、⑴a 的符号由 决定：
①开口向 ? a 0；②开口向 ? a 0. ⑵b 的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③ 是y 轴 ?b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c ）在原点 ?c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ?c 0.
⑷ac b 42
-的符号由 决定：
跟踪练习
1. 二次函数232
+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342
+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、已知抛物线922
+-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________．
4．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________．
5、如图，一元二次方程02
=++c bx ax 的解
为 。
6、抛物线c bx ax y ++=2
如图所示：看图填空： （1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42
- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++????；（7）0a b c -+????； （8）930a b c ++????；（9）420a b c ++????
7、.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++????；（7）0a b c -+????；
8、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．a ＞0，b ﹤O ，c ＞0
B ．a ﹤O ，b ﹤O ，c ＞0
C ．a ﹤O ，b ＞0，c ﹤O
D ．a ﹤O ，b ＞0，c ＞0
9、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10、如图26-12，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：
①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0． 正确结论的序号是 .
（5）
G
F
E
D
C
B
A 23．某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个
B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元。 （1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器不超出5个按原价销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，求购买计算器的数量至少多少个时，购买B 品牌的计算器更合算
24．已知等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC AC ，点G 在BC 上，连接AG ，过
C 作CF ⊥AG ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥CF 于点F ，点
D 是AB 的中点，连接D
E 、
DF ．
（1）若∠CAG =30°，EG =1，求BG 的长； （2）求证：∠AED =∠DFE
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1\(1)5322
--=x x y =849)4
3(22
-
-x ， (2)因为432
+--=x x y =4
25)23(2++-x ，
2、．解：（1）由题意得： ???+=+=b k b k 80407050,∴?
??=-=1201
b k ∴一次函数的解析式为：120+-=x y .
（2）900)90(7200180)120)(60(2
2
+--=-+-=+--=x x x x x w ∵抛物线开口向下，∴当90 答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元. ) 解：（1）设A 品牌计算机的单价为x 元，B 品牌计算机的单价为y 元，则由题意可知： ?? ?=+=+122315632y x y x ………………………………3 分 解之得：?? ?==32 30y x 即A ，B 两种品牌计算机的单价为30元，32元…………… 5 分 （2）由题意可知： 若5≤x ，则A 品牌费用为30×=24x （元）； B 品牌费用为32x （元），此时购买A 品牌合算 当5x >时，10.830y x =?，即 124y x = 232532(5)0.7y x =?+-?，即 222.448 y x =+ 当12 y y >时，2422.448,30x x x >+∴>…………… 9 分 解：（1）由题意可知：解得： ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3； （2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定 值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小， ∵点A、点B关于对称轴I对称， ∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ∵AP=BP ∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3， BC=； 故△PBC周长的最小值为3+． （3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4） ∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6 ∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3） ∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3 ∴S=S△DEF+S△AEF=EF?GH+EF?AG=EF?AH =（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3； ②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1 此时点E的坐标为（﹣2，2）． 二次函数图象与系数的关系 知识点 一、二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质 二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。平移个单位，再平移个单位而得到. 平移规律如下： (1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移； (2)抛物线的移动主要看的移动，即在平移时只要抓住的位置变化就可以了； (3)平移规律：“上加下减，左加右减”. (4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。； (5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线，顶点坐标是. 二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下： 函数 错误!未找到引 用源。的符号 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 函数的增减性 二、错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化 1.通过、可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。. 2.利用可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标 是. 三、二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质 函数 错误!未找到引用源。的符号错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 拓展：对于抛物线错误!未找到引用源。. (1)若已知在直线错误!未找到引用源。的一侧，图象上升或下降，(能/不能)确定直线错误!未找到引用源。是该抛物线的对称轴. (2)若已知在直线错误!未找到引用源。的两侧，图象一侧上升而另一侧下降，则(能/不能)确定该直线 精心整理 1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x ）、B（x2，y2）；（x1＜x2） 1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明猜想． 平面内两点间的距离公式 得 AB=AC=|x|==；同理，当 AB=．理由如下： ，得 AB=AC=|x|==； ，得 ，得B= AC= |x |= = ，∴，得（k x 1+2kx 1+1）+（k x 2+2kx 2+1）=（1+k +2x =-b a =4+k m y + n y =0=k(4+k) k=1或-5(舍) 直线MN 的解析式为y=x- 2 5 如图，抛物线y=x 2 ﹣2x ﹣3与坐标轴交于A 、B 、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P 、Q 两点，且y 轴平分△ 的面积，求k 的值。（答案：k=-2） 已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点， 轴正半轴于点C ，且102 2 21=+x x 。 （1）求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D (0，2 5)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点 明理由。 2向上平 抛物线于M 图，抛物线P ，当S △PE ，求E 、F 图，抛物线C ，抛物线的顶M A1B1≦4，求 的最大距离图，抛物线n 个单位长度后 线AC 交于M ：∵点A 、C 抛物线y=-x2+3x+6的顶点G(1.5,8.25) 物线向右平移n 个单位后，G 点对应点G ’坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式 -[x-(1.5+n)]2+8.25 立：2( 1.5)8.256 y x n y x ?=---+?=-+?∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0∴M N X X +=4+2n 二次函数图像与系数的关系 1. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②；③；④。其中正确结论的个数是（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 小轩从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面五条信息：①；② ；③；④；⑤。你认为其中正确信息的个数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设二次函数，当时，，当时，，那么的取值范围是（）。 A. B. C. D. 4. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间 （包含端点），则下列结论：①当时，；②；③；④中，正确的是（）。 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 5. 已知二次函数的图象如图所示。下列结论：①；②；③；④ ，其中正确的个数有（）。 A. B. C. D. 6. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（）。 A. B. C. D. 7. 如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）；（3）；（4），其中错误的有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 二次函数（）的图象如图所示，若，，。则 ，，中，值小于的数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴 的交点在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②； ③；④。其中正确的结论是（）。 A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，下列结论错误的是（）。 A. B. C. （为任意实数） D. 二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2 ＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ） A. a ＞0，b ＜0，c ＞0 B. b 2 ﹣4ac ＜0 C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0 D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数 图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4．已知函数y=mx 2 －6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5．如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <， 0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大 而减小，其中正确的是（）． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（） A. B. C. D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，?③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（） 二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳： 1.a的作用：决定开口方向和开口大小 2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 3.c的作用：与y轴交点的位置。 4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。 针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0；b___0；c___0；△__0. (2)a___0；b___0；c___0；△__0. (3)a___0；b___0；c___0；△__0. (4)a___0；b___0；c___0；△__0. (5)a___0；b___0；c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图， 用（＞，＜，=）填空： a___0；b___0；c___0；a+b+c__0；a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的 关系判断正确的是（） A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点A（b2-4ac，-b a ）在第象限． 4题图6题图 图6题图 5．已知a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号： (1)a；(2)b；(3)c；(4)a+b+c；(5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2；(8)2a+b；(9)2a-b 7.练习：填空 （1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒 为负的条件：. （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0 的解得情况为：. （3）二次函数y=ax2+bx+c中，ac＜0，则抛物线与x轴有交点。 二次函数的图象与各项系数之间的关系 姓名________ 组号_____ 一、知识基础 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上， ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下， a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。 总结：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a - <，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a - =，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a - >，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a - =，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 ⑵当0 c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶当0 c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4．当x=1时，可以求出a+b+c的值；若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0; 当x=-1时，可以求出a-b+c的值；若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0; 思考：x=2时，可以通过函数图象得出哪些值？ 5.根的别式b2-4ac，可以用来判断抛物线与x轴的交点个数，当b2-4ac>0时，方程 2 =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x轴上可以找到2个对应的自变量值，y ax bx c 即断抛物线与x轴有2个交点；同理b2-4ac=0，二次函数图象与x轴有一个交点；b2-4ac <0时，抛物线与x轴没有交点。 二、精典练习 1．（烟台市中考题）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 2、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（） A．5个B．4个C．3个D．2个 教学设计—— 二次函数的系数与图像 长葛六中刘晓金 目标：1、通过观察二次函数的图像的形成过程，导出二次函数的图像与系数的关系。 2、理解和探索相关二次函数的图像之间的关系。 3、会用学习的知识判断相关二次函数的图像之间的关系。 4、运用相关知识解决平移、对称、翻转图像的抛物线解析式。 重点：1、探索和总结二次函数的图像与系数之间的关系。 2、运用相关知识解决问题。 难点：运用相关知识解决问题。 学法：1、通过观察发现相关知识。 2、通过合作探索知识的运用。 教法：运用课件对知识由浅入深地进行展示，不断引导学生观察、探索、总结和应用。 教学过程 一、课堂导入 1、导言：不同的二次函数，图像也不相同，即使有时形状相同，在坐标系中的位置也不尽相同。你知道这是为什么吗？本节我们就一起来探讨一下。 （展示幻灯片1） 2、展示本节教学主要过程。 （展示幻灯片2） 二、师生互动过程 1、a的符号与抛物线开口方向 ①、学生在练习本上画出y=x2,y=-x2的草图，观察抛物线的开口方向。 ②、（展示幻灯片3） ③、学生对着幻灯片，检查自己的发现。 ④、总结出：a＞0时抛物线开口方向向上，a＜0时抛物线开口方向向下。 ⑤、练习在抛物线y=(k-1)x2+x+1中k 时开口向上，k 时开口向下。 2、a的绝对值与图像开口的大小 ①、导言：我们知道二次函数的图像虽然是抛物线，但是形状却不尽相同，这究竟是为什么呢？ ②、（展示幻灯片4）引导学生认真观察不同函数图像的形状（开口大小）与什么相关联？ ③、引导学生总结出：a的绝对值相等，抛物线开口方向不同，大小相同。 ④、练习k取时，抛物线y=(k+3)x2-x+6可以由抛物线y=2x2变化而来。 3、C与图像和y轴的交点位置 ①、（展示幻灯片5） ②、通过引导学生，使学生总结出：C=0时抛物线与y轴相交于原点；C ＞0时抛物线与y轴相交于X轴上方；C＜0时抛物线与y轴相交于x轴下方。 （C的值决定抛物线与y轴相交的位置） 4、a.b与对称轴的位置 ①、学生写出y=x2, y=x2+2x, y=x2-2x, y=-x2+2x, y=-x2-2x 中各个式子中a、b的值，并计算出ab 的值。 ②、（展示幻灯片6） ③、引导学生探讨幻灯片中各个图像的形成过程，总结出：ab＝0时对称轴与y 轴重合；ab＞0时对称轴在y轴的左边;ab＜0时对称轴在y轴的右边。 二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） A．①②B．③④C．①④D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入 （3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确； ④根据题意知，a=﹣，﹣=1， ∴b=﹣2a=， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的 增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0， 二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac ＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 一．选择题（共9小题） 1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0 （m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下 结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号 是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下 列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（） A．1B．2C．3D．4 5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1， 且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点， 则y1＞y2． 其中说法正确的是（） 二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)系数符号的确定 1、a 由抛物线开口方向确定?????00 a a 开口向下开口向上 2、b 由对称轴x= -a 2b 和a 的符号确定??? ???????-???000002000002b - b a b a a b b a b a a ，则，则，则，则 3、c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴的???00 c c 负半轴，则正半轴，则 4、b2-4ac 的符号由抛物线与x 轴（或坐标轴）的交点个数确定： ①与x 轴的交点个数?? ???=-==-=-时，方程无实数根；没有交点，数根时，方程有两个相等实；个交点，实数根时，方程有两个不相等；个交点，004b 0y 0410042222y ac ac b y ac b ②与坐标轴交点个数?? ???-=--；个交点，；个交点，；个交点，0410******** ac b ac b ac b 5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ c 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④x=-2时，4a-2b+c 的符号；……. 6、由对称轴公式x= - a 2 b ，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符号；如：x= -a 2b =-3 2时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确定运算后代数式的符号。 二、专题练习 1. 如图1，是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，根据图中信息，下列结论正确是（ ） ① a b c >0； ②b< a+ c ；③2a+b=0；④a +b 二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴的丿正半轴， 则 d 负半轴， 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定： 。个交点，b 2-4ac?O ; y = O 时，方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点，b 2-4ac=O ; y =O 时，方程有两个相等实 数根 没有交点，b 2-4ac O; y =O 时，方程无实数根 3个交点，b 2 - 4ac a O ； ② 与坐标轴交点个数 2个交点，b 2 - 4ac = O ; 1 个交点，b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ C 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④ x=-2 时，4a-2b+c 的符号； ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号；如：X=- =-时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中，根据图中信息，下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象，根据图中信息，下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b 学习必备欢迎下载 二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） =，然后根据 n=a+b+c=c =1 ． ﹣﹣﹣ ﹣，﹣ 2a= n=a+b+c= ≤≤ 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） = 3．（2013?十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（） ＞ 4．（2012?沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（） ﹣ ﹣ 5．（2013?鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤． 你认为其中正确信息的个数有（） =，∴b= 时，a b+c ﹣﹣，则 6．（2013?德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边； 特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ． 当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0； 二次函数系数a、b、c与图象的关系 知识归纳： 的作用：决定开口方向和开口大小 与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 的作用：与y轴交点的位置。 -4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。 针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0；b___0；c___0；△__0. (2)a___0；b___0；c___0；△__0. (3)a___0；b___0；c___0；△__0. (4)a___0；b___0；c___0；△__0. (5)a___0；b___0；c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图， 用（＞，＜，=）填空： a___0；b___0；c___0；a+b+c__0；a-b+c__0. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（） <0 <0 C.a+b+c>0 －b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点A（b2-4ac，- b a ）在第象限． 5．已知a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a；(2)b；(3)c；(4)a+b+c；(5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2；(8)2a+b；(9)2a-b 7.练习：填空 （1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒为负的条件：. （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0的解得情况为：. 3题图4题图6题图 二次函数和根与系数的关 系 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B （x2，y2）；（x1＜x2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）． 解：（1）当k=1，m=0时，如图． 由得x2﹣x﹣1=0，∴x 1+x 2 =1，x 1 x 2 =﹣1， 过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1， ∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x 2﹣x 1 |==；同理， 当k=1，m=1时，AB=； （2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0， ∴x 1+x 2 =2m+1，x 1 x 2 =m2+m﹣1，∴AB=AC=|x 2 ﹣x 1 |==； （3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1， 由，得A （﹣1，1），B （1，1），显然△AOB 为直角三角形； ②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1， 由，得x 2﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=﹣1， ∴AB=AC=|x 2﹣x 1|==，∴AB 2=10， ∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（x 1+1）2+（x 2+1）2=x 12+x 22+（x 12+2x 1+1）+（x 22+2x 2+1）=2（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 是直角三角形； ③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形． 由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2= （1+k 2）（x 1﹣x 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4， ∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2k （x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2kk+2=k 4+5k 2+4， ∴AB 2=OA 2+OB 2 ， ∴△AOB 为直角三角形． 如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，- 2 5 )的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。 一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式．5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征； ④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【例解读】 题1 (1997·) 已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m 第四讲二次函数解析式的求解 【知识梳理】 1．二次函数解析式的求法： (1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：_____ ___(a≠0)． (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：_____ ___（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h． (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：____ ___(a ≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标． 1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。 ②a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大。 2、一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异”。 3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置 4、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b2-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0. 例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则： a____0 , b___0, c___0 , a+b+c____0， a-b+c__0, 2a-b____0 b2-4ac___0,4a+2b+c 0 例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c ＞0；⑤9a＋3b＋c＜0，⑥8a+c>0；⑦3a+c<0。则其中结论正确的是( ) (例2) (例3) 例3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( ) A．3个B．2个C．1个D．0个 二次函数的图象与各项系数之间的关系 技巧讲解 1. 二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠． ① 当0a >时，抛物线开口向上； ② 当0a <时，抛物线开口向下； ③a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。 2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ②ab 的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 ①当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； ②当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时， 02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4．特殊形式 （1）当x=1时，可以求出a+b+c 的值； 若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0; （2）当x=-1时，可以求出a-b+c 的值； 若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0; （3）根的别式b 2-4ac ，可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数，当b 2-4ac>0时，方程2y ax bx c =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值，即断抛物线与x 轴有2个交点；同理b 2-4ac=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点。 二次函数系数的关系 卷I（选择题） 一、选择题 1.如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列 结论中，正确的一项是（） A. B. C. D. 2.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；若方程的两根 为和，且，则．其中正确的结论有（） A.个 B.个 C.个 D.个 3.二次函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（） A. B.不等式的解集是 C. D.当时，随的增大而增大 4.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在 点和之间．则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（） A. B. C. D. 5.函数与的图象如图所示，有以下结论： ① ； ② ； ③ ； ④当时，． 其中正确的个数为（） A.个 B.个 C.个 D.个 6.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（） A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤ 7.如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线． ① ； ② ； ③不等式的解集是 . ； ④若，是抛物线上的两点，则． 上述个判断中，正确的是（） A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 8.如图，是抛物线图象的一部分．已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是．有下列结论： ① ；② ；③ ；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤点 ，都在抛物线上，则有． 其中正确的是（） A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.③④⑤ 9.已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：① ；② ； ③ ；④ ，其中正确的个数有（） A.个 B.个 C.个 D.个 10.已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：① ； ② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是（） A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 11.已知二次函数的图象如图所示，它与轴的两个交点分别为， ．对于下列命题：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（）二次函数图像与系数关系
二次函数和根与系数的关系
二次函数图像与系数的关系
二次函数的图像与系数的关系
二次函数系数a、b、c与图像的关系89058
二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次函数图像与系数的关系
二次函数图像与系数关系含答案
二次函数系数abc与图像的关系28318
二次函数图象特征与系数关系专题
二次函数图象特征与系数关系专题
二次函数图像与系数关系(含答案)
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数和根与系数的关系
二次函数根及系数关系
5、二次函数各系数之间的关系及解析式的求解
二次函数图像与系数的关系
二次函数系数的关系