小学奥数─工程问题分类讲解

小学奥数一工程问题分类讲解

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是

培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“ 1” 工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率X工作时间，工作效率=工作总量+工作时间，工作时间=工作总量+工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、

性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率” 之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断

地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法:

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关

系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程

看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.

熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

(1)工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段

处理；

(2)根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1”的统一和转换；

(3)工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应

用.

/ f「二例题精讲

一、周期性工程问题

【例1】一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙...顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答甲1小时完成整个工程的丄，乙1小时完成整个工程的丄，交替干活时两

6 10

个小时完成整个工程的1?丄=彳，甲、乙各干3小时后完成整个工程的

6 10 15

土3=4，还剩下1，甲再干1小时完成整个工程的丄，还剩下丄，乙花1小时

15 5 5 6 30 3

即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程.

【答案】7小时20分钟

一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1

小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交

替下去，则完成该工程共用________ 小时。

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试

甲乙合做1小时后，还剩下：1-^-^17，甲乙单独做2小时，共做

15 12 20

-1 1=3-，还需要做2X 5=10小时，还剩下1，需要甲做1小时，还有

15 12 20 10

1-1=1：，乙还需要做1-1=1小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时

10 12 60 60 15 4

【答案】8.5天

【例2】一项工程，乙单独做要17天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲

做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工.问：甲单独做需要几天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的.那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的.如果设甲、乙工作效率分别为V和V2,那么V1=V2」V1,

2

所以V/M，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要17 "2 =8.5天.

【答案】8.5天

规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着

做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

根据题意，有：甲乙甲乙川甲1小时?乙0.8小时，可知，甲做i_o.6"4小时与乙做乙甲乙甲III乙1

小时+甲0.6小时

1一0.8=0.2小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量.

所以，乙单独工作需要9.8 _5 5、2 =7.3小时.

【答案】7.3小时

【例3】蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时.现在池内有半池水，如

果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时.问：多

长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

法一：

1小时排水比1小时进水多,说明排水开了3小

3 5 15 2 15 10

时后（实际加上进水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子

水的丄，

10

再过1小时，水池里的水为一池子水的丄」3,

10 5 10 '

把这些水排完需要色-」=2小时，不到1小时，

10 3 10

所以共需要6 1 —7—小时=7小时54分.

10 10

法二：

1小时排水比1小时进水多［-〕2, - ^-=-,

3 5 15 15 2 30

说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的丄

30排一池子需要3小时，排一池子水的丄需要3丄二丄小时，

30 30 10

所以实际需要8 一丄7—小时=7小时54分.

10 10

【答案】7小时54分

蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开

甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有1的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、

6

丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：，循环5次后水池还

3 4 5 6 60

空：1」一工5」，1的工作量由甲管注水需要：小时），所以经过

6 60 4 4 4 3 4

4 5 3=203小时后水开始溢出水池.

4 4

【答案】203

4

水管问题

【例4】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，

小时灌满.现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌

满.乙单独开几小时可以灌满？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时

开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为1—12-1 2二丄，所以乙的工作效率为：丄」（6一2一2）=丄，所以整池

5 4 10 10 20

水由乙管单独灌水，需要1-吕=20 （小时）.

【答案】20小时

某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙

管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放小时.

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同

时开放的时间最小.所以，乙开放的时间为1-丄10」=4（小时），即

V 12 丿24

甲、乙最少要同时开放4小时.

【答案】4小时

【例5】一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放

空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 X 60= 240 （立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 - （5X 150 - 8 X 9 0）= 8 （立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 X 8 X 90,其中90分钟内流入水量是 4 X 90, 因此原来水池中存有水8 X 8 X 90 -4 X 90= 540 0 （立方米）.打开13 个水龙头每分钟可以放出水8X13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水，放空原存的5400,需要5400 -（8 X 13 - 4 ）=54 （分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【答案】54分钟

一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空.如果打开7 个出水口，18小时可以把水排空.如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空.

【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】对比思想方法

【解析】本题是牛吃草问题的变形.

设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：

（7 18 -9 9） "（18-9） =5，半池水的量为：（9-5） 9=36，所以一池水的量为

72.

如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72“（15一5）=7.2小