金版·高三总复习人教数学(理)2第7章 第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系
新高考总复习 数学 第七章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
多维层次练37[A级基础巩固]1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD 平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A3．(2019·邯郸调研)如图所示，在三棱锥S-ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1并延长交AB 与M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN (图略)．由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行． 答案：B4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对解析：如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案：B5．(2020·湛江调研)三棱锥A-BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.13B.24C.33D.23解析：连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，因为M 是AD 的中点，所以MO ∥AN ，所以∠BMO (或其补角)是异面直线BM 与AN 所成的角，设三棱锥A-BCD 的所有棱长为2，则AN ＝BM ＝DN ＝22－12＝3，则MO ＝12AN ＝32＝NO ＝12DN ， 则BO ＝BN 2＋NO 2＝1＋34＝72， 在△BMO 中，由余弦定理得cos ∠BMO ＝BM 2＋MO 2－BO 22·BM ·MO ＝3＋34－742×3×32＝23， 所以异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 答案：D6．(2019·珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，P 为边AB 的中点，现将△DAP 绕直线DP 翻转至△DA ′P 处，若M 为线段A ′C 的中点，则异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为( )A.12B ．2 C.14 D ．4解析：取A ′D 的中点N ，连接PN ，MN ，因为M 是A ′C 的中点，所以MN ∥CD ，且MN ＝12CD ， 因为四边形ABCD 是矩形，P 是AB 的中点，所以PB ∥CD ，且PB ＝12CD ， 所以MN ∥PB ，且MN ＝PB ，所以四边形PBMN 为平行四边形，所以MB ∥PN ，所以∠A ′PN (或其补角)是异面直线BM 与PA ′所成的角．在Rt △A ′PN 中，tan ∠A ′PN ＝A ′N A ′P ＝12， 所以异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为12.故选A. 答案：A7．(2020·惠州质检)设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上，若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z >0)，则下列结论中正确的是________(填序号)．①EF∥平面DPQ；②三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x，z的变化无关；③异面直线EQ和AD1所成角的大小与x，y，z的变化无关．解析：在①中，平面DPQ外一直线EF平行于平面DPQ内直线DQ，所以EF∥平面DPQ，故①正确．在②中，由点Q到EF的距离等于22，而EF＝1，故S△EFQ的值为定值，而随着点P在AD上运动，点P到平面EFQ的距离为变量，从而使得三棱锥P-EFQ的体积跟着变化，所以三棱锥P-EFQ的体积与x，y大小无关，与z大小有关，故②错误．在③中，由线面垂直的判定定理得AD1⊥平面A1DCB1，而直线EQ在平面A1DCB1内运动，不论EQ怎样运动，总有EQ与AD1互相垂直，即异面直线EQ和AD1所成角为90°，与x，y，z的变化无关，故③正确．答案：①③8.(2020·南京期末)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ的值为________．解析：因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝3AB，连接AD1，B1D1，所以BD∥B1D1，所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成角的补角)．设AA1＝3AB ＝3，所以AD1＝AB1＝1＋3＝2，B1D1＝ 2.记异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2－42×2×2＝24. 答案：249．已知正六棱锥S-ABCDEF 的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为________．解析：设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所以SO＝BC ＝CO ＝1，所以△SOC 为等腰直角三角形，所以∠SCO ＝π4.答案：π410．(2020·石家庄调研)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图所示，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形．又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.故D1，H，O三点共线．[B级能力提升]11．(2019·临汾模拟)如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是()A．B，C，A1B．B1，C1，A C．A1，B1，C D．A1，B，C1解析：过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示，则平面α可以为平面A1BDC1，则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D.答案：D12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因为AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则V E-ABC＝16V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案：①②③13.如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O-ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图所示，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为(2)2＋(3)2＝(5)2，所以△DEM 为直角三角形，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. 所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. [C 级 素养升华]14.下图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④素养培育数学建模——构造平面研究直线相交问题(自主阅读)把立体几何问题转化为平面几何问题是求解立体几何题目的一种重要的思想方法．下面举例说明，如何根据确定平面的条件，构造平面研究直线相交问题．[典例1](一题多解)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析：法一如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案：无数[典例2](一题多解)设l是直线，α，β是两个不同的平面，() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：法一设α∩β＝a，若直线l∥α，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．法二借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β；对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.答案：B。
高三一轮总复习高效讲义第7章第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，
∴MG⊥平面 ABCD，
∴MG⊥BG．
∵MG＝12
EF＝
3 2
，BG＝
CG2＋BC2 ＝
322＋22 ＝52 ，
∴BM＝ MG2＋BG2 ＝ 7 ．∴BM≠EN．∴BM，EN 是△ DBE 的中线，
∴BM，EN 必相交．
答案：(1)D (2)B
[思维升华] 空间两直线位置关系的判定方法
【小题热身】 1．下列命题正确的是( ) A．三点确定一个平面 B．三条相交直线确定一个平面
C．对于直线 a、b、c，若 a∥b，b∥c，则 a∥c D．对于直线 a、b、c，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c
解析：对 A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故 A 错误； 对 B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故 B 错误；
判断直线是否在平面 内
①判断两个平面是否 相交； ②证明点共线和线共 点问题
2．基本事实3的三个推论 自然语言
经过一条直线和这__条__直__线__外__一点，有且只有 推论1
一个平面 推论2 经过两条相__交__直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条_平__行_直线，有且只有一个平面
图形语言
3．空间中直线与直线的位置关系
与 b′所成的__锐__角__(或__直__角__)__叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
②范围：___0_，__π2_ __．
(4)基本事实4
自然语言
图形语言
符号语言
作用
平行于同一条直线 的两条直线_平__行_
a∥b且∥c⇒ _a_∥__c__
判断两条直线 是否平行
(5)等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
高中数学 点、直线、平面之间的位置关系
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
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第七章
立体几何初步
7. 如图， 平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________条．
[解析] 依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交 且与 CC1 平行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱 有 CD，C1D1.故符合条件的有 5 条．
[答案] ④
第七章
立体几何初步
9. 如图所示，正方体的棱长为 1，B′C∩BC′＝O，则 AO 与 A′C′所成角的度数为________．
第七章
立体几何初步
[解析] 连接 AC.因为 A′C′∥AC， 所以 AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)． 因为 OC⊥OB，AB⊥平面 BB′C′C， 所以 OC⊥AB.又 AB∩BO＝B， 所以 OC⊥平面 ABO. 又 OA⊂平面 ABO，所以 OC⊥OA. 2 在 Rt△AOC 中，OC＝ ，AC＝ 2， 2 OC 1 sin∠OAC＝AC ＝ ， 2 所以∠OAC＝30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°.
第七章
立体几何初步
6．(2017· 郑州模拟) 如图所示，ABCDA1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论 正确的是( )
A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面
5. 如图， α∩β＝l， A， B∈α， C∈β， 且 C∉l， 直线 AB∩l＝M， 过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必经过( )
A．点 A C．点 C 但不过点 M
D
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平面的基本性质
32，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分 如图 7别是 AB 和 AA1 的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点． [ 证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B.
∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥BA1.4 分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面.6 分
公共点，可得出 α，β 相交；反之，若 α，β 相交，则 a，b 的位置关系可能为平 行、相交或异面．因此“ 直线 a 和直线 b 相交” 是“ 平面 α 和平面 β 相交” 的充分 不必要条件．故选 A.]
5． 若直线 a⊥b， 且直线 a∥平面 α， 则直线 b 与平面 α 的位置关系是________. 【导学号：51062227】
基本性质公理．]
4．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和直线 b 相 交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [ 由题意知 a⊂α，b⊂β，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而 α，β 有 )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(
[ 答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
(4)若直线 a 不平行于平面 α，且 a⊄α，则 α 内的所有直线与 a 异面．(
2．(教材改编)如图 731 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成 的角的大小为( A．30° ) B．45°
人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系
B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面 时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；
对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上 ，只有前者成立才能确定一个平面，因此，排除C；
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1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内． 公理2：过 不在一条的直线三上点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
有且只有一过条该点的公共直线．
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[思路探究] (1)G、H 为中点→GH 綊12AD，
又 BC 綊12AD→GH 綊 BC (2)方法1：证明D点在EF、CH确定的平面内．
方法2：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而 FE与DC相交．
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[例3] 已知正方体ABCD－A′B′C′D′， (1)求A′B与B′D′所成的角； (2)求AC与BD′所成的角． [思路探究] 求异面直线所成的角关键是根据题目所给几何体的特征
，利用定义将其转化为一个平面角来解决．
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没有公共点
a∥α
图形表示
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高考数学一轮复习第七章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课件
【答案】 (1)C (2)3
[规律总结] 1．空间中两直线位置关系的判定方法： (1)对于异面直线，可采用直接法或反证法； (2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行 与面面平行的性质定理； (3)对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 2．解答位置关系问题，当遇到抽象不好说明的情形时，常选取正(长)方体 作几何模型来辅助解决．
为
；
(2)若直线 AB⊥CD，则直线 AB 与 MN 所成的角为
．
【解析】 (1)如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB，且 PM ＝12AB，PN∥CD，且 PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°，因为 PM∥AB，所以∠PMN(或其补角) 是 AB 与 MN 所成的角．又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN，则△PMN 是等边三角 形，所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
【答案】 B
4．下列命题正确的是( ) A．若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α B．若直线 l∥平面 α，则 l 与 α 内的任一条直线都平行 C．若直线 a∥直线 b，a∥平面 α，则 b∥平面 α D．若直线 a∥平面 α，则 a 与 α 内的任意一条直线都没有公共点
【解析】 当直线 l 与 α 相交时，也有无数点不在 α 内，A 错；若 l∥α，则 l 与 α 内的直线平行或异面，B 错；当 a∥b，且 a∥α 时，b∥α 或 b⊂α，C 错； 由 B 知 D 正确．
高三数学一轮复习 第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教A版
【解析(jiě xī)】 由图可知AM与CC1是异面直线，AM 与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN， 所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为 60°.
【答案】 ③④
第二十四页，共39页。
(2012·上海高考改编题)如图 7－3－6， 在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥底面 ABC，
第二页，共39页。
2．空间点、直线(zhíxiàn)、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行 关系
相交 关系
独有 关系
图形 语言
符号 语言
图形 语言
符号 语言
图形 语言
符号 语言
a∥b
a∩b＝A
a，b是异面 直线
a∥α a∩α＝A
aα
α∥β α∩β＝l
第三页，共39页。
3.异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_锐__角__(r_u_ì_ji_ǎ_o_)或_叫直做角 异面直线 a 与 b 所成的角．
第二十五页，共39页。
【尝试解答】 (1)S△ABC＝12×2×2 3＝2 3， 三棱锥 P－ABC 的体积为 V＝13S△ABC·PA＝13×2 3×2＝43 3.
(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED∥BC，所以∠ADE(或其补角) 是异面直线 BC 与 AD 所成的角．
第十页，共39页。
如图 7－3－2 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綊12AD，
BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的
中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系讲义(理)(含解析)
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲解读] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题．预测2020年高考会有以下两点命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1．空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□01相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.□02平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在□03任何一个平面内，没有公共点.(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：□05⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角□06相等或互补．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系3．必记结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．1．概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( )(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( )(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案 C解析不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.(2)以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°.(4)设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α；②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α；④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b .答案 ③④题型 一 平面的基本性质如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解 (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点，知BE 綊GF ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．结论探究 若举例说明中条件不变，证明：FE ，AB ，DC 交于一点．证明 由举例说明可知，四边形EBGF 和四边形BCHG 都是平行四边形，故可得四边形ECHF 为平行四边形，∴EC ∥HF ，且EC ＝12DF ，∴四边形ECDF 为梯形．∴FE ，DC 交于一点，设FE ∩DC ＝M . ∵M ∈FE ，FE ⊂平面BAFE ， ∴M ∈平面BAFE .同理M ∈平面BADC . 又平面BAFE ∩平面BADC ＝BA ， ∴M ∈BA ，∴FE ，AB ，DC 交于一点．1．证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如举例说明(2)． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如举例说明中的结论探究．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点． 证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．题型二空间两直线的位置关系1．(2018·金华模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案②④解析在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面； 在图③中，连接GM ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 在图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ， 因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面．2．(2018·邯郸调研)在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案 G 1G 2∥BC解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN . 由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN， ∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线， ∴MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC .1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 2．判定平行直线的常用方法 (1)三角形中位线的性质． (2)平行四边形的对边平行． (3)平行线分线段成比例定理．(4)公理4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B平行答案 D解析如图，连接C1D，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确．∵A1B与BD相交，MN∥BD，∴MN与A1B不可能平行，D错误．题型三异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.32B．155C．105D．33答案 C解析 解法一：如图所示，分别延长CB ，C 1B 1至D ，D 1，使CB ＝BD ，C 1B 1＝B 1D 1，连接DD 1，B 1D .由题意知，C 1B 綊B 1D ，则∠AB 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角．连接AD ，在△ABD中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos∠ABD ，得AD ＝ 3.又B 1D ＝BC 1＝2，AB 1＝5，∴cos ∠AB 1D ＝AB 21＋B 1D 2－AD 22AB 1·B 1D ＝5＋2－32×5×2＝105.解法二：将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3， 所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212AB 1·AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.解法三：过B 作BH ⊥BC ，交AC 于H .以B 为原点，以BC →，BH →，BB 1→所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz .则A (－1，3，0)，B 1(0,0,1)，C 1(1,0,1)， ∴AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→＝(1,0,1)， ∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝1＋15×2＝105， ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 条件探究 把举例说明的条件改为“正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1”，求异面直线AB 1与BD 所成的角．解 取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，易知BD ∥B 1E . 在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角． 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32， 所以cos ∠AB 1E ＝B 1E AB 1＝12， 因此∠AB 1E ＝π3，故异面直线AB 1与BD 所成的角为π3.11求异面直线所成角的方法(1)几何法①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．②证：证明作出的角为所求角．③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．(2)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15 B ．56 C ．55 D ．22答案 C解析 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0，0,0)，A (1，0,0)，B 1(1,1，3)，D 1(0,0，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，因为cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝－1＋32×5＝55，所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，选C.。
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④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条
直线和这个平面平行．( ) ⑤不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．( )
⑥互相垂直的两条直线是相交直线．( )
⑦没有公共点的两条直线平行．( )
第七章 第3讲
第15页
1.两点 2．相交 等或互补
同一条直线上的三点 一个 平行 没有 π (0，2]
公理 3
第七章
第3讲
第8页
有以下命题： ①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经 过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过
两条相交直线有且只有一个平面；④两两相交的三条直线确定
一个平面；⑤空间中不同的三点确定一个平面；⑥梯形一定是 平面图形 其中真命题的是________
第七章
第3讲
第38页
求异面直线所成的角采用用“平移线段法”，平移的方法一 般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所
成的角通常放在三角形中进行．
第七章
第3讲
第39页
[变式探究] 的中点．
[2013·大连模拟]如图所示，三棱锥P—ABC
第七章 第3讲
第29页
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过
严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异
面．此法在异面直线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点 的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
个平面，因此异面直线既不相交，也不平行． 2种必会方法 异面直线的判定方法： (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内
不经过该点的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能 共面，从而可得两线异面．
第七章 第3讲
第4页
3个必知作用 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③ 由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
平行 在平 面内
a∥α
____个
a⊂α
____个
第七章
第3讲
第13页
图形语言 平 面 与 平 面 平 行 相 交
符号语言 α∥β
公共点 ____个
α∩β＝l
____个
第七章
第3讲
第14页
判断下列七个命题是否正确 ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平
行．( )
②两条直线不异面，则这两条直线相交．( ) ③分别在两个平面内的直线是异面直线．( )
第七章
第3讲
第21页
∴CE与D1F必相交．设交点为P， 则P∈CE⊂平面ABCD，
且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
第七章
第3讲
第22页
1．证明四点共面的基本思路有：一是直接证明，即利用公理 或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平 面，再证第四个点也在这个平面内即可．
第七章 第3讲
第28页
(2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α， CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α， 这与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
l1∥l2，l1与l3异面⇒l2与l3异面．
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是 AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 ________．
第七章 第3讲
第12页
3．空间直线、平面的位置关系 图形语言 相交 直 线 与 平 面 符号语言 a∩α＝A 公共点 ____个
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作
直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________叫做异面直线a与b 所成的角． ②范围：________.
第七章
第3讲
第11页
(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ________． ①l 1 ⊥l 2 ，l 2 ⊥l 3 ⇒l 1 ∥l 3 l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 ②l 1 ⊥l 2 ，l 2 ∥l 3 ⇒l 1 ⊥l 3 ③ ⑤ ④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
第25页
(2)∵EG∩FHБайду номын сангаасP，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P、A、C三点共线.
第七章
第3讲
第26页
例2
[2013·安庆模拟]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[答案]
3 5
第七章
第3讲
第36页
奇思妙想：本题已知不变，问题改为“异面直线AE与B1D 所成角的余弦值”，该如何求？
第七章
第3讲
第37页
解：设底面 ABCD 的中心为 O，连结 EO，则 EO∥B1D， 1 设正方体棱长为 2，则 B1D＝2 3，在△AEO 中，OE＝2DB1 ＝ 3， AE＝ 5， OA＝ 2， 2＝OE2＋OA2， AE ∴∠AOE＝90° ， 15 OE ∴cos∠AEO＝ AE ＝ 5 ，也可用余弦定理求得．
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
第七章
第3讲
第1页
不同寻常的一本书，不可不读哟！
第七章
第3讲
第2页
1.理解空间直线、平面位置关系的定义．
2.了解可以作为推理依据的公理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 位置关系的简单命题.
第七章
第3讲
第3页
1点必须注意
“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一
第七章
第3讲
第19页
[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 1 ∴EF∥A1B 且 EF＝2A1B. 又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
第七章
第3讲
第20页
∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面． 1 (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝2CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形．
所以AE与PB是异面直线．
②取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF
或其补角就是异面直线AE和PB所成角．
第七章 第3讲
第41页
∵∠BAC＝60° ，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC， ∴AF＝ 3，AE＝ 2，EF＝ 2， 2＋2－3 1 cos∠AEF＝ ＝4， 2× 2× 2 1 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为4. 1 (2)因为 E 是 PC 中点， 所以 E 到平面 ABC 的距离为2PA 1 1 3 3 ＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝3×(2×2×2× 2 )×1＝ 3 .
2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判
断“直线共面”的方法． 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的 交线；③证明多点共线.
第七章
第3讲
第5页
课前自主导学
第七章
第3讲
第6页
1.平面的基本性质
图形 文字语言 如果一条直线 上 的 ________ 公理 1 在一个平面内， 那么这条直线 在此平面内. A∈l B∈l ⇒l⊂α A∈α B∈α 符号语言
第七章
第3讲
第7页
图形 公理 2
文字语言
符号语言
A，B，C三点不 共线⇒有且只有 过不在 ___________，有 一个平面α，使 且只有一个平面. A∈α，B∈α， C∈α. 如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 ________过该点 的公共直线. 若P∈α且 P∈β，则α∩β ＝a，且P∈a.
第七章
第3讲
第30页
[变式探究]
对于四面体ABCD，下列命题正确的是
________(写出所有正确命题的编号)． ①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交
点； ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所 在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于
第七章
第3讲
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[解] (1)不是异面直线，证明如下：连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綊 C1C，
∴四边形 A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC. ∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直 线．
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P. 求证：P、A、C三点共线．
第七章
第3讲
第24页
证明：(1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. BG DH 1 在△BCD 中，GC＝HC ＝2， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
第七章
第3讲