西安交大附中高考模拟 数学理
2024届陕西师大附中高三数学(理)第八次模拟考试卷附答案解析
2024届陕西师大附中高三数学（理）第八次模拟考试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟．2．答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确．3．答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合20x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，{}220B x x x =+-≤，则A B = （）A ．[]22-,B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．(]0,12．若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数．其中正确的命题有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知直线l 与平面α，则“l ，α不平行”是“α内不存在直线与l 平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某种生物群的数量Q 与时间t 的关系近似的符合：()10e e 9tt Q t =+（其中e 为自然对e 2.71828≈…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（）A ．该生物群的数量不超过10B ．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小C ．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比D ．该生物群的数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈5．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，M ，N 分别为线段BC ，DC 上的动点，且2MN =，则AM AN⋅的最小值为（）A ．2572-B ．15C ．16D ．176．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．()()2ln 1cos f x x =+B ．()()2ln 1cos f x x x =⋅-C ．()()2ln 1sin f x x=+D ．()()2ln 1sin f x x x=⋅-7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2023331202311a a -+-=，()()202320222022120231a a -+-=1-，则下列结论正确的是（）A ．20222022S =，32022a a >B ．20222022S =-，32022a a <C ．20242024S =，32022a a >D ．20242024S =-，32022a a <8．已知2π2cos 53θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则19π13π2sin cos 105θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．23-D ．239．设对于曲线()e xy f x x ==--上任一点处的切线1l ，总存在曲线()32cos y g x ax x ==+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（）A ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．若函数()6f x x ω=（0ω>）的图象与函数()6g x x ω=的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则ω的值可以为（）．A ．4πB ．2πC ．6πD ．8π11．已知双曲线22:1C x y -=，直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若点P 在直线l 上且直线OP 把OAB 分成面积相等的两部分，则下列不能作为点P 的坐标的是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,1D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭12．下列结论正确的是（）A ．22e ln ππ>B ．ln ππ<C ．22e ln 4ππ>D ．e ππe ln π>第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上．）13．据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数()2~3000,X N σ，若该公司每月派送的快递件数超过4000件的快递员有60人，则该公司每月派送的快递件数在[)2000,3000的快递员的人数大约为．14．在2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为84，则n =．15．已知H 是球O 的直径AB 上的一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得的截面的面积为π，M 为α上的点，且MH =M 作球O 的截面，则所得截面面积最小的圆的半径为．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，若123,,P P P 在抛物线C 上，且满足13132232πP FP P FP P FP ∠=∠=∠=，则123PF P F P F ++的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是△ABCsin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD ．18．如图1，平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图2，使，点M ，N 分别为AC ，AD 的中点，在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①AD =②AC 为四面体ABDC 外接球的直径；③平面ABC ⊥平面BCD .(1)求直线MN 与平面ABD 所成角的大小；(2)求二面角A MN B --的正弦值.19．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()f x ¢的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.20．一种掷骰子（骰子是一种均匀材料做成的正方体形状的游戏玩具，它的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6）的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站.设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若出现奇数点，棋子向前跳一站；若出现偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，游戏结束．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -，1n P -表示n P ；(2)求证：{}1n n P P --（1n =，2，…，99）为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点M ，N 在x 轴上的射影分别为P ，Q ，且()04,R y ，N ，P 三点共线，设RMN 与RPQ 的面积分别为1S ，2S ，试判断12S S 是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为()2211x y +-=，曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)射线l ：θϕ=（0ρ≥）与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B （且点A ，B 均异于原点O ），当02πϕ<≤时，求22OA OB +的最小值．选修4-5：不等式选讲．23．已知()11f x x mx =+--，当()0,1x ∈时，不等式()f x x >成立．(1)求m 的最大值；(2)设正数a ，b 的和恰好等于m 的最大值，求证：()()334a bab ++≥．1．D【分析】解分式不等式求解集合A ，解一元二次不等式求解集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为(){}(]2020020,20x x x A x xx x x x ⎧⎫⎧-≤⎧⎫-⎪⎪=≤==<≤=⎨⎬⎨⎨⎬≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，{}()(){}{}[]220210212,1B x x x x x x x x =+-≤=+-≤=-≤≤=-，所以A B = (]0,1.故选：D 2．A【分析】根据新定义即可判断①；根据复数的乘法运算即可判断②；根据复数的几何意义即可判断③.【详解】①令i(,)z a b a b =+∈Z ，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；②令1i(,)z a b a b =+∈Z ，2i(,)z c d c d =+∈Z ，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故②正确；③令i(0,0)z a b a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，③错误；故选：A.3．B【分析】直线与平面不平行，可得直线与平面相交或直线在平面内，分析可得答案.【详解】若l ，α不平行，则l ⊂α或l 与α相交.当l ⊂α时，α内存在直线与l 平行.若α内不存在直线与l 平行，则l 与α相交，即l ，α不平行.所以“l ，α不平行”是“α内不存在直线与l 平行”的必要不充分条件.故选：B.4．C【分析】对解析式上下同时除以e t，结合反比例函数模型可判断A 正确；对()10e e 9tt Q t =+，求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C 错，BD 正确【详解】因为e 0t>，()10e e 1010e 9e 9t tt t Q t ==⨯<++，故该生物种群的数量不会超过10，故A 正确；由()10e e 9tt Q t =+，求导得()()290e 9081e 9e 18ett t tQ t ==++'+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，故C 错误；因为81e e tt +为对勾函数模型，故81e 18e t t +≥，当且仅当e 9t =，即ln 9t =时取到等号，当(0,ln 9)t ∈时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当()ln 9,t ∞∈+时生物群的数量的增长速度随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；且当()0ln 92,3t =∈时，()Q t '最大，故BD 正确.故选：C.5．B【分析】以A 为原点，建立适当的直角坐标系，设,0,2CNM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，根据MN 的长度得到,M N 的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到AM AN ⋅关于θ的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最小值.【详解】以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设,0,2CNM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则(4,32sin ),(42cos ,3)M N θθ-=-(4,32sin )(42cos ,3)256sin 8cos AM AN θθθθ⋅=-⋅-=--，即2510sin()AM AN θϕ⋅=-+ ，其中43sin ,cos ,1555AM AN ϕϕ==∴⋅≥．2πθϕ+=时取“=”，所以AM AN ⋅ 的最小值为15，故答案为：15.6．D【分析】根据函数的图象结合函数的定义域，复合函数的奇偶性，利用排除法，即可得到结果.【详解】由图象可知函数()f x 是奇函数，函数()()2ln 1cos f x x =+和()()2ln 1sin f x x =+由复合函数的奇偶性可知，这两个函数为偶函数，故排除A ，C ；对于函数()()2ln 1cos f x x x =⋅-，由于0x =时，2cos 1110x =-=-，此时()2ln 1cos x -无意义，所以函数()()2ln 1cos f x x x =⋅-不经过原点，故B 错误；故D 满足题意.故选：D.7．C【分析】根据已知条件特征，构造函数()20232023f x x x =+，由函数的奇偶性和单调性性质可确定3a ，2022a 的关系，再结合等差数列前n 项和公式及其性质求解即可.【详解】构造函数()20232023f x x x =+，x ∈R ，则()()()()2023202320232023f x x f x x x x =+=--=----，所以()f x 是奇函数，又2023y x =与2023y x =是增函数，所以()f x 是R 上的增函数，又()()()202320222022202211202311f a a a -=-+-=-，()()()202333311202311f a a a -=-+-=，所以2302211a a ->-即32022a a >，且()()03222101a a -+-=即032222a a +=，又n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，所以()()1202432022202420242024202422a a a a S ++===.故选：C.8．A【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】令25m πθ=-，则22,cos 53m m πθ=+=，从而19π13π19π2π2π13π2sin cos 2sincos 10510555m m θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦3π2sin cos(3π)3cos 22m m m ⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭.故选：A.9．B【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为()e 1m f m '=--、()32sin g n a n '=-，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定()f m '、()g n '的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.【详解】由()e 1x f x '=--，则x m =的切线斜率为()e 11m f m '=--<-，由()32sin g x a x '=-，则x n =的切线斜率为()32sin g n a n '=-，而两曲线上总存在切线1l 、2l 有12l l ⊥，即1(0,1)e 132sin m a n =∈-+，而sin [1,1]n ∈-，即32sin [32,32]a n a a -∈-+，故[32,3](0)2,1a a -+⊆，所以320321a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得1233a -≤≤.故选：B【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.10．B【分析】令()()f x g x =，可得ππ,Z 4k k ω=+∈，不妨取0,1,2k =,得三个连续的交点依次为π(4A ω，5π(,4B ω，9π(4A ω，求得ABC 的高，再根据()f x 与()g x 图象求得ABC 的高，建立方程求得结果.【详解】由()()f x x g x x ωω⎧=⎪⎨=⎪⎩，令()()f x g x =，得tan 1x ω=，所以ππ,Z 4k k ω=+∈，不妨取0,1,2k =，得三个连续的交点依次为π(4A ω，5π(,4B ω，9π(4A ω，因为ABC 为正三角形，9ππ44ωω-为ABC9ππ()44ωω-为ABC 的高，由正弦函数、余弦函数的图象可知在()f x x ω=和()g x x ω=的图象的交点处2sin cos 2x x ωω==，所以ABC的高为222=9ππ()44ωω-=π2=ω．故选：B ．11．D【分析】根据题意知P 为线段AB 的中点，设出()11,A x y ，()22,B x y 两点坐标，及AB 的中点()00,D x y 坐标，直线方程为：y kx m =+，应用点差法求得2020x b k a y =⋅，根据此关系式求出直线斜率k ，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点P 是否合适.【详解】由题可得点P 为线段AB的中点，选项A ：数形结合可知，直线l 为直线1y =时，点()0,1为AB 的中点，故()0,1可以作为点P 的坐标；已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，直线斜率存在时设直线方程为：y kx m =+与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，AB 的中点为()00,D x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得22201212122221212120y y y y y y y b k a x x x x x x x --+==⋅=⋅--+，得2020x b k a y =⋅选项B ：可得直线l 的斜率111122k ⨯==⨯，故直线l 的方程为1322y x =+，联立得2213221y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，得236130x x --=，361561920∆=+=>，()1,2可以作为点P 的坐标；选项C ：可得直线l 的斜率12211k ⨯==⨯，故直线l 的方程为23y x =-，联立得22231y x x y =-⎧⎨-=⎩，得2312100x x -+=，144120240∆=-=>，()2,1可以作为点P 的坐标；选项D ：可得直线l 的斜率1122114k ⨯==⨯，故直线l 的方程为324y x =-，联立得223241y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，得22533016x x -+=，25399430164∆=-⨯⨯=-<，11,24⎛⎫⎪⎝⎭不能作为点P 的坐标．故选：D 12．A【分析】设()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到min ()(e)e f x f ==，再根据选项一一判断即可.【详解】设()ln x f x x =．则2ln 1()ln x f x x-'=．令()0f x '=，解得e x =．则当1e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．当e x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min ()(e)e f x f ==．对于A 选项：则222π(π)e ln πf =>，即2π2eln π>，故A 正确．对于B 选项：1<lnπ2,π>3<，所以π>lnπ，故B 错误．对于C 选项：π(π)e ln πf =>，则22224ππ>e ln πln π>，即224πe ln π>，故C 错误．对于D 选项：因为π>e ，πe ln πln e>，则πe lne >ln π，所以πe e >π，又lnπ>1，所以e ππe ln π<．D 错误．故选：A 13．40【分析】根据正态分布相关概念及其对称性性质求解即可.【详解】由题每人每月派送快递件数超过4000件的的概率为()6040000.3200P X >==，因为每人每月派送的快递件数()2~3000,X N σ，所以每人每月派送的快递件数在[)2000,3000的概率为()10.3200030000.22P X -≤<==，所以每人每月派送的快递件数在[)2000,3000的快递员的人数大约为2000.240⨯=.故答案为：40.14．7【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可.【详解】由题意知二项式展开式通项公式为()212C 2C rr r n rr n rr nn T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为3x 的系数为84，所以()23722C 84r rn n r n r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩，所以7n =.故答案为：7.15【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππr =，解得1r =，所以2211()3R R =+，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=，所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离最大d ，即max 12d OM ==，所以min r '==故答案为：4.16．9【分析】设直线1P F 的倾斜角为θ，用θ表示出123||,||,||PF P F P F ，由此建立关于θ的函数，再换元利用导数求解作答.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，依题意，不妨设直线1P F 的倾斜角为(0πθθ<<，且23πθ≠，由抛物线定义得：11||2||cos P F P F θ=+，即12||1cos P F θ=-，同理23222||,||2π4π2π1cos()1cos()1cos()333P F P F θθθ===-+-+--，2322||||2π2π1cos()1cos()33P F P F θθ+=+-+--13132222=22(2cos )1(cos )2θθ+=+，因此1232222(2cos )9||||||111cos (cos )2(1cos )(cos )22PF P F P F θθθθθ+++=+=-+-+，令11cos (1,)(,1)22t θ=∈--- ，22112(1cos )(cos )2(1)()22t t θθ-+=-+，令21()2(1)()2f t t t =-+，23()2(34f t t '=-+，由()0f t '<得112t -<<-或112t <<，由()0f t '>得1122t -<<，因此函数()f t 在11(1,),(,1)22--上单调递减，在11(,)22-上单调递增，当12t =时，max ()1f t =，此时π3θ=，于是得2102(1cos )(cos )12θθ<-+≤，所以当π3θ=时，123PF P F P F ++取得最小值9.故答案为：9【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．17．(1)π3A =【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解；（2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解.【详解】（1sin sin cos sin sin C A A C B C +=+,又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin sin C A A C C =+，且sin 0C >，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，所以π3A =；（2）由条件可知，15A BD ∠=o ，30ACD ∠=o ，且30DBC ∠= ，所以153045ABC ∠=+= ，又60BAC ∠= ，所以180604575ACB ∠=--= ，7530105BCD ∠=+= ，1803010545BDC ∠=--= ，且2BC =ABC 中，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，得sin 2sin 45sin sin 60BC ABC AC BAC ⋅∠⨯==∠,BCD △中，sin sin BC DC BDC DBC =∠∠，得sin 2sin 30sin sin 45BC DBC DC BDC ⋅∠⨯===∠ACD 中，AD =，==.18．(1)π2【分析】（1）若选①：根据题意证得AB ⊥平面CBD ，得到AB CD ⊥，再由CD BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得CD ⊥平面ABD ，结合//MN CD ，即可证得MN ⊥平面ABD .若选②：根据题意证得CD ⊥平面ABD ，结合//MN CD ，即可证得MN ⊥平面ABD .若选③：由面面垂直的性质定理，证得AB ⊥平面CBD ，得到AB CD ⊥，证得CD ⊥平面ABD ，根据//MN CD ，即可证得MN ⊥平面ABD .（2）以D 为原点，射线OB 为y 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AMN 和BMN 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）若选①：由AD =在Rt BCD 中，2BC =，1CD =，BD =，2AB =，可得222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，又由AB BC ⊥，且BC BD B = ，,BC BD ⊂平面CBD ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=，,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD .即直线MN 与平面ABD 所成角的大小为π2.若选②：由AC 为四面体ABDC 外接球的直径，则90ADC ∠=︒，可得CD AD ⊥，又由CD BD ⊥，且AD BD D = ，,AD BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD .即直线MN 与平面ABD 所成角的大小为π2.若选③：由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，因为AB BC ⊥，且AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=，,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD .即直线MN 与平面ABD 所成角的大小为π2.（2）以D 为原点，射线OB 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2A，()B ，()1,0,0C -，1,,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1,0,02MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,,12AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，0,2BN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AMN 的法向量为()111,,m x y z =，则1111020m MN x m AN z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取1y =1130,2x z ==-，所以32m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面BMN 的法向量为()222,,n x y z = ，则222102302n MN x n BN y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取2y 2230,2x z ==，所以32n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以9314cos ,9734m n m n m n -⋅===⋅+ ，故二面角A MN B --437=..19．(1)12K K <；(2)1.【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可.【详解】（1）由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''==⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <；（2）由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=，设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.20．(1)01P =，112P =，234P =，1211(2,3,,99)22n n n P P P n --=+= ,1009812P P =；(2)证明见解析；(3)10021(1)32-.【分析】（1）根据题意可直接求得0P 、1P 、2P ，然后讨论棋子跳到第()299n n ≤≤站，所包括两种情形，可得出n P 关于2n P -和1n P -的表达式；（2）计算得出112(1)2n n n n P P P P ----=--，结合等比数列的定义可证得结论成立；（3）求得11(2nn n P P --=-，利用累加法可求得99P ，即可得解．【详解】（1）棋子开始在第0站是必然事件，则01P =，棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，则112P =；棋子跳到第2站，包括两种情形：第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12；或前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为14，则2113244P =+=；棋子跳到第()299n n ≤≤站，包括两种情形：①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第n 1-站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -，则()12112,3,,9922n n n P P P n --=+= ，棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为9812P ，则1009812P P =．（2）由（1）知，当N ,299n n *∈≤≤时，121122n n n P P P --=+，因此()11212111222n n n n n n P P P P P P ------=-+=--，1012P P -=-，所以数列{}()11,2,,99n n P P n --= 为等比数列，且公比为12-．（3）由（2）知，当N ,99n n *∈≤时，11111((222n nn n P P ---=-⋅-=-，所以29999010219998111()()()1()(()222P P P P P P P P =+-+-++-=+-+-++- 10010011()212(1)13212--==-+，所以玩该游戏获胜的概率为10021(1)32-．【点睛】关键点点睛：本题求玩游戏获胜的概率，利用数列求通项的方法，即累加法，再利用等比数列求和是关键.21．(1)22184x y +=(2)为定值，且定值为1【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解,,a b c 的值，（2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明,,Q M R 三点共线，根据//NQ PM ，所以PQM PMN S S = ，进而可证明121S S =.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.依题意，22c e a ===，故2212b a =①.联立22221x y a bx c⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2b y a =±，故22b MN a ==②，联立①②，解得2a b ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()2,0.设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠.由()22228y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2222128880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222888,1212-+==++k k x x x x k k .因为MP x ⊥轴，所以()1,0P x .直线NP 的方程为()2121y y x x x x =--，所以()212144,y x R x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.因为NQ x ⊥轴，所以()2,0Q x .因为()()()211122124,4MQ RQ y x y k k x x x x x -==---，所以()()()()()()()()()2121121212122124242444RQ MQ y x k x x k x x y k k x x x x x x x x ---+---=-=-----()()()()()221212222122122248862168441212kkk k x x x x x x x x x x k k ⎛⎫-=⋅+--=⋅--⎡⎤ ⎪⎣⎦----++⎝⎭()()22222121631120412k k k k x x x k -+--=⋅=--+，所以,,Q M R 三点共线.因为//NQ PM ，所以PQM PMN S S = ，而PMR PMR S S = ，所以RMN 与RPQ 的面积相同，即121S S =，为定值..【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤.由韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.在处理共线问题是，要借助于向量以及两点斜率公式.22．(1)1C ：2sin ρθ=；2C ：22514sin ρθ=+(2)1【分析】（1）对1C 直接由极坐标转化公式可得；对于2C ，先由22sin cos 1αα+=进行消参，再由极坐标转化公式可得.（2）依题意将射线l ：θϕ=（0ρ≥）依次代入曲线1C ，2C 的极坐标方程可求出A ρ，2B ρ，再结合基本不等式即可求出22OA OB +的最小值.【详解】（1）因为曲线1C ：()2211x y +-=即2220x y y +-=，所以由222,sin x y y ρρθ=+=得曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρθ=，由曲线2C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数）消参得2215xy +=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==得曲线2C 的极坐标方程为：22514sin ρθ=+.（2）由题意将θϕ=（0ρ≥）代入1C ：2sin ρθ=得2sin A ρ=ϕ，代入2C ：22514sin ρθ=+得22514sin Bρ=+ϕ，所以当02πϕ<≤即(]sin 0,1ϕ∈时，()222222225514sin 12sin 14sin 14sin A B OA OB +=ρ+ρ=+=+ϕ+-ϕ+ϕ+ϕ11=≥，当且仅当22514sin 14sin +ϕ=+ϕ即sin ϕ=故22OA OB +的最小值为1.23．(1)m 的最大值为2(2)证明过程见解析【分析】（1）由于()0,1x ∈化简()f x 式子，变形后得到11mx -<，解出x 的解集后根据()0,1x ∈恒成立求出m 的取值范围即可得到结果；（2）因为m 的最大值为2，即可得到2a b +=，先对()()33a bab ++进行化简，再利用基本不等式进行求解即可证明出()()334a bab ++≥成立.【详解】（1）当()0,1x ∈，()11(1)1f x x mx x mx =+--=+--，()f x x > ，则()(1)1f x x mx x =+-->，11mx ∴-<，两边平方()211mx -<，即()20mx mx -<，当0m ≤，又()0,1x ∈，()20mx mx -≥不满足题意；0m ∴>，此时只需20mx -<，20x m∴<<；又()0,1x ∈时，不等式()f x x >恒成立，21m∴≥，所以02m <≤，综上，m 的最大值为2.（2）据题意，0a >，0b >且2a b +=；()()334433a b a b a b ab a b ++=+++ ()24422442222(1)2a b ab a b a b a b a b =+++≥++=+；222a b ab +≥Q ，则()()()22222222222()4a b a b a b ab a b a b +=+++≥++=+=，()222a b ∴+≥；()2224a b ∴+≥；当且仅当221a ba b =⎧⎨=⎩，即1a b ==时等号成立.∴()()334a bab ++≥得证.。
长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学第三次模拟考试数学试题(理).pdf
………13分
21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.
(1)求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
解:(1)由可得.
令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………5分
(2)由(1)可知,其中,故
①当时,,即在区间上单调递增；
②当时,,即在区间上单调递减；
③当时,,即在区间上单调递增.………9分
(3)由(2)可知在区间上的最小值为.
又由于,因此.又由可得,从而.
设,其中,
则.
由知:,,故,故在上单调递增.
所以,.
所以,实数的取值范围为.……………………………14分
成立.设,由(1)中各点的坐标有:
,故. ……7分
又因为点在椭圆上,所以有整理可得:
.
④
由③有:.所以
⑤又点在椭圆上,故有 .
⑥将⑤,⑥代入④可得:.
………11分
所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立.
.…………………………3分
∵,
同理:,,.
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:
0123
.………………7分
(2)∵,
.（或）.
∴.
∵,,
∴.……………10分
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获
(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)
结束
输出S
是
i=i+1
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
陕西省西安市交大附中中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R)（）A. B. C. D.参考答案：B2. 已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（?U A）∩B=( )A．? B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}参考答案：D考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简解答：解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D点评：本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力3. 复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4. 已知点B（1，0），P是函数y=e x图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．【解答】解：∵函数y=e x的导函数为y′=e x，∴y′|x=0=1，即线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直故△ABP一定是钝角三角形，当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；故①正确，②③错误故正确的结论有1个故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题．5. 已知函数，则f（1）的值是（）A．B．C．24 D．12参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，求解函数值即可．解答：解：函数，则f（1）=f（2）=f（3）==．故选：B．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6. 抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（l，0）D．（0，1）参考答案：D略7. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．8. 设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( )A． B．或 C．D．或参考答案：C9. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A10. 已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为▲．参考答案：略12. 已知圆C的圆心为（0,1），直线与圆C相交于A ，B 两点，且，则圆C的半径为.参考答案：圆心到直线的距离。
陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2014届高三第二次联合模拟考试 数学理
陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学五校2014届高三第二次联合模拟考试数学（理）试题注意事项：1． 本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。
2． 答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。
超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 命题:p x R ∈且满足sin 21x =.命题:q x R ∈且满足tan 1x =.则p 是q 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 抛物线22x y =的准线方程为（ ）A ．41-=yB ．81-=yC ．21=x D ．41-=x3. 直线b a ,异面， a ∥平面α，则对于下列论断正确的是（ ）①一定存在平面α使α⊥b ；②一定存在平面α使b ∥α；③一定存在平面α使α⊆b ；④一定存在无数个平面α与b 交于一定点.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ②③④ 4. 过(2,0)P 的直线l 被圆22(2)(3)9x y -+-=截得的线段长为2时，直线l 的斜率为（ ）A. 4±B.2± C.1±D. 3± 5. 已知,x y 满足不等式420,280,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩设y z x =，则z 的最大值与最小值的差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 16. 函数)1ln(+=x y 与xy 1=的图像交点的横坐标所在区间为（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）B ．3C ．D ．858.,4=为单位向量，当,的夹角为32π时，e a +在e a -上的投影为（ ） A.5 B.415C. 131315D.72159. 将1,2,…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420110. 函数)0(12log )(2>+=x x x x g ，关于方程032)()(2=+++m x g m x g 有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A. ),724()724,(+∞+⋃--∞B. )724,724(+-C. )32,43(--D. )34,23(--二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 定积分11(1)x dx --⎰的值为____________.12. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为__________. 13.函数4log )(2xx f =，等比数列{}n a 中，8852=⋅⋅a a a ， 则=+++)(...)()(921a f a f a f _______________.14. 已知ABC ∆面积S 和三边c b a ,,满足：8,)(22=+--=c b c b a S ，则ABC ∆面积S 的最大值为_______________ . 15.本小题有(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，请考生任选一题做答.如果多做，则按所做的前一题计分.(Ⅰ)选修4-1：几何证明选讲 如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点.PC 是⊙O 的一条割线，交⊙O 于C B ,两点，点Q 是弦BC 的中点.若圆心O 在APB ∠内部，则PAQ OPQ ∠+∠的度数为___________. （Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t tt e e y e e x 中当t 为参数时，化为普通方程为_______________. （Ⅲ）选修4-5：不等式选讲不等式248>---x x 的解集为__________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. 正四面体ABCD 边长为2.F E ,分别为BD AC ,中点. (Ⅰ)求证：⊥AC 平面EFD ；（Ⅱ）求二面角C FD E --的余弦值.17. 观察下面一组组合数等式：0111-⋅=⋅n n C n C ； 1112-⋅=⋅n n C n C ；2113-⋅=⋅n n C n C ；…… ……(Ⅰ) 由以上规律，请写出第)(*N k k ∈个等式并证明； （Ⅱ）随机变量),(~p n B X ，求证：np EX =.18. 向量),6cos ,23(),21,6(sinx k b x k a ππ== 0>k .函数b a x f ⋅=)(. (Ⅰ) 若12=k ，求函数)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移k2个单位得到函数)(x g ，如果函数)(x g 在]2014,0(∈x 上至少存在2014个最值点，求k 的最小值.19. 设数列{}n a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是*,211N n a S n n n ∈-+-=. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项；FEDCBA（Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T .20. 椭圆1C 以双曲线1164:222=-y x C 的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线x y C 12:23=交于B A ,两点.(Ⅰ) 求椭圆1C 的方程及线段AB 的长；（Ⅱ）在1C 与3C 图像的公共区域内，是否存在一点),(00y x P ，使得1C 的弦EF 与3C 的弦MN 相互垂直平分于点P ？若存在，求点P 坐标，若不存在，说明理由.21. 函数x x f sin )(=.(Ⅰ)令)(),()(),()(*'1'1N n x f x f x f x f n n ∈==+，求)(2014x f 的解析式； （Ⅱ）若x ax x f cos 1)(+≥+在[]π,0上恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：)12(4)1(23)12)1(( (122))12(++≥+++++++n n n n f n f n f πππ. 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2014届第二次模拟考试数学（理）答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. C2. B3. D4. A5. A6. B7. C8.D9. A 10. D二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.1- 12. 3 13. -9 14.176415. (Ⅰ)090（Ⅱ）122=-y x （Ⅲ）{}5<x x . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.解：（1）由已知得ED AC ⊥，连接AF 得EF AC ⊥，⊥∴AC 平面EFD .(2)方法1：过E A ,分别作底面垂线，垂足分别为，则23,33==GF OF ， 由FD GF ⊥，所以GFE ∠为二面角C FD E --的平面角，在EFC Rt ∆中，=EF 2，cos ∴GFE ∠=3632cos ==∠CFE . 方法2：空间向量法.底面中心为o ，以OA OD OC ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系。
陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学(五校)高三数学下学期第三次模拟考试试题
陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学（五校）2014届高三数学下学期第三次模拟考试试题 文（含解析）北师大版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) (A) 0或2 (B)2 (C)0 (D)1或22.已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R A B =ð( ) (A))1,2(-- (B)]1,2(-- (C))0,1(- (D))0,1[-3.等差数列{}n a 中，如果14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和为( )(A)297 (B)144 (C)99 (D)664.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) (A)45 (B)50 (C)55 (D)606.若下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )(A)7k = (B)6k ≤ (C)6k < (D)6k > 【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，11,9S k ==；第二次循环，20,8S k ==；第三次循环，28,7S k ==；第四次循环，35,6S k ==，结束循环，输出35S =，因此6k >考点：循环结构流程图7.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； ②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)48.已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且1OA OB ⋅=-，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为，则ABC ∆的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形 【答案】B 【解析】所以3CA CB ⋅=.在三角形AOB 中，由于1,120OA OB AOB ==∠=,所以由余弦定理得即226CA CB +=，ABC ∆的形状为等边三角形.考点：几何概型概率，余弦定理9.的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )10.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2(f xfx +=，当[0,2x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为( )(A)23t ≤≤ (B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤ (D)24t ≤≤ 【答案】B【解析】试题分析：因为当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，所以2min 1()42t f x t ≥-+.又当[4,3)x ∈--时，21111()(2)(4)[(4)(4)][,0]24416f x f x f x x x =+=+=+-+∈-；当[3,2)x ∈--时，3|4|211111()(2)(4)[()][,]24424x f x f x f x +-=+=+=-∈-；所以min 1()4f x =-，即211442t t -≥-+，解得13t ≤≤考点：不等式恒成立，分段函数解析式第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】43π【解析】试题分析：所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为23144111.433πππ⨯⨯+⨯⨯= 考点：三视图12.若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k的取值范围是 . 【答案】(4,2)- 【解析】试题分析：约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩表示一个三角形,((1,1),(0,2),(3,5))ABC A B C 及其内部.因此直线22k z y x =--的斜率在(,)AB AC k k 内，即(1,2),(4,2).2k k -∈-∈- 考点：线性规划 13.函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为 .则当n m <且,m n N ∈时，313232313333n n m m ++--++⋅⋅⋅++=.（最后结果用,m n 表示）【答案】22m n -【解析】试题分析：等式规律为： 711810162317221920,,3333333333+=++=+=+项数为2(),m n -所以22313232313131()().333333n n m mn m m nm n ++--+-++++=-+=- 考点：数列归纳15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） (A)（不等式选讲选做题）己知,(0,)x y ∈+∞k不等式可求得实数k 的取值范围是.(B)（几何证明选讲选做题）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 的长为 .【解析】试题分析：由切割线定理得213,AP PB PC AP =⋅=⨯=又1,OA OB ==所以60AOP ∠=,120,POQ ∠=2222cos1204127,PQ OP OQ OP OQ PQ =+-⋅⋅=++=考点：切割线定理(C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是 .【解析】试题分析：因为24cos()103πρρθ---=，所以22cos sin 10ρρθθ--=，即22210x y x +--=考点：极坐标化直角坐标三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，且11,2,()2a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.余弦定理进行边角转化，先根据()2f x =，求出角A,再根据一角三边关系，利用余弦定理求1bc =，最后考点：三角函数化简，余弦定理17.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率.【答案】（Ⅰ）7.5,合格（Ⅱ）157【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平均数计算公式得5.7)1098765(6=+++++，对照标准为合格.（Ⅱ）求古典概型概率关键在于正确表示事件所包含基本事件数.作为文科用枚举法进行列举：从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：)6,5(，)7,5(，)8,5(，)9,5(，)10,5(，)7,6(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4n n S a p =-，其中p 是不为零的常数． （Ⅰ）证明：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）当3p =时，数列{}n b 满足*1()n n n b b a n N +=+∈，12b =，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）1*43()1()3n n b n N -=-∈【解析】试题分析：（Ⅰ）先由n S 求n a ，需分段求解，即1n =时，114a a a =-，31pa =，当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，143n n a a -=，因此{}n a 是首项为3p ，公比为43的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得14()3n n a -=，因此由*1()n n n b b a n N +=+∈得：114()3n n n b b -+-=，即2221324314441,,(),,()333n n n b b b b b b b b ---=-=-=-=，将这1n -个式子叠加得2214441()()333n n b b --=++++，化简得1*43()1()3n n b n N -=-∈19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,,AB AA D E F =分别是11,,B A CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//DE 平面ABC ； （Ⅱ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅲ）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）3.16a【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.显然DE 与三角形ABC 三条边都不平行，因此需作辅助线.因为D,E 都是中点，所以取AB 中点O ，连接,CO DO ，可证得四边形DOCE 是平行四边形.因而有//DE CO ，再根据线面平行判定定理就可证得.（Ⅱ）要证明1B F ⊥平面AEF ，需证明1BF EF ⊥及1AF BF ⊥，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===.∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面ABC ⊥面11BB C C ，得AF ⊥面11BB C C ，再得1AF B F ⊥.（Ⅲ）求三棱锥D AEF-的体积关键在于求高.由（Ⅱ）得1B F ⊥平面AEF ，所以三棱锥D AEF -的高为1B F 的一半，因此三棱锥D AEF -的体积为2311316a =.（Ⅲ）∵点D 是线段1AB 的中点，∴点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面AEF 距离的12.而1B F ==，∴三棱锥D AEF -的高为a ；在Rt AEF ∆中，,EF AF ==，所以三棱锥D AEF -的底面面积为2，故三棱锥D AEF-的体积为2311316a a =. -----------------12分 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理，三棱锥体积20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t >在直线2a x c =（c 为半焦距）上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程； （Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ， 求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．【答案】（Ⅰ）2212x y +=，（Ⅱ）22(1)(2)5x y -+-= ，(Ⅲ【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法.由题意得22a c =及1b =，因此可解得1c =，a =（Ⅱ）圆的弦长问题，通常化为直角三角形，即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形. 圆心为(1,)2t,圆心到直线3450x y --=的距离2td ==，因此32552t t --=，4t =，所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=． (Ⅲ)涉及定值问题，一般通过计算，以算代证.本题有两种算法，一是利用射影定理，只需求出点F 在OM 上射影K 的坐标，即由两直线方程22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+，因此2224||(1)2244t ON t ==+⋅⋅=+.二是利用向量坐标表示，即设00(,)N x y ，根据两个垂直，消去参数t,确定22002x y +=.试题解析：（Ⅰ）由点(2,)M t 在直线2a x c =上，得22a c =，故212c c +=， ∴1c =．从而a = ……………2分所以椭圆方程为2212x y +=． ……………4分（Ⅱ）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=．即222(1)()124t t x y -+-=+． 其圆心为(1,)2t,半径r =6分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2，所以圆心到直线3450x y --=的距离2t d ==．所以32552t t--=，解得4t =．所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=．……9分 （Ⅲ）方法一：由平几知：2ON OK OM=，直线:OM 2t y x =，直线:FN 2(1)y x t =--，由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+．∴2224||(1)2244t ON t ==+⋅⋅=+．所以线段ON……………13分 方法二：设00(,)N x y ，则000000(1,),(2,),(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=． 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=．又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=．所以，ON x ==为定值． ……………13分考点：椭圆方程，圆的弦长，定值问题21.（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =-+++在(,0)-∞上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点，且1是其中一个零点． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求(2)f 的取值范围；（Ⅲ）设()1g x x =-，且()()f x g x >的解集为(,1)-∞，求实数a 的取值范围．解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围.本题由于已知1是其中一个零点，所以两个方法都简便.否则应利用变量分离求最值法. 试题解析：（Ⅰ）∵f （x ）=－x3+ax2+bx+c ，∴()232f x x ax b'=-++．------------------1分 ∵f （x ）在(,0)-∞上是减函数，在(0,1)上是增函数，∴当0x =时，()f x 取到极小值，即(0)0f '=．∴0b =．----------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()f x x ax c =++，个交点(1,0)时，()()f x g x >的解集为(,1)-∞．即方程组321,1y x y x ax a =-⎧⎨=-++-⎩①只有一组解：1,0.x y =⎧⎨=⎩-----------------11分由3211x axa x -++-=-，得()()()321110xa x x ---+-=．即()()()()()2111110x x x a x x x -++--++-=． 即()()()21120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦． ∴1x =或()()2120x a x a +-+-=． ----------------------12分由方程()()2120x a x a +-+-=②得()()2214227a a a a ∆=---=+-．∵32a >，当0∆<，即2270a a +-<，解得312a <<．----------------------13分此时方程②无实数解，方程组①只有一个解1,0.x y =⎧⎨=⎩。
2021年陕西省西安市交大附中学高三数学理联考试卷含解析
2021年陕西省西安市交大附中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C2. 先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是A. B. C. D.参考答案：C略3. 已知,则的值是 ( ）A．2 B．-2 C． D．-参考答案：C4. 已知函数，在其定义域内任取两个不等实数、，不等式恒成立，则实数a的取值范围为A.[2,+∞) B.(－∞,2] C. D.参考答案：A因为不等式恒成立，所以,a>0.由题得所以由于抛物线开口向上，定义域为故选A.5. 设为虚数单位，则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A6. 如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．7. 从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（）A． B．n C．［］ D．［］+1参考答案：C8. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）[学。
科A. B. C. D.参考答案：B略9. 如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 ( )A． B C．D．参考答案：D略10. 已知复数z = x+yi(x,y∈R)满足|z|≤1，则y≥x+1的概率为A．B．C．D．参考答案：C在单位圆上动，故概率为二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知关于的不等式有三个整数解,则实数的取值范围为．参考答案：12. 已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＜0}，B＝{x｜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是____________．参考答案：a≥213. 已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为________参考答案：2【分析】由题，先求得的值，再利用方差公式，将值带入求解即可.【详解】由题意知，又==2故答案为：2【点睛】本题考查了方差，熟悉平均数、方差的公式以及合理的运用是解题的关键，属于较为基础题.14. 等差数列中前项和为，已知，，则.参考答案：715. 若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．参考答案：3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+2y 得y=﹣x+z ， 平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即B （1，1），代入目标函数z=x+2y 得z=2×1+1=3 故答案为：3．16. 已知集合，，则▲ ．参考答案：略17. 执行如图所示的程序框图，输出的= ▲ ．参考答案：102 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第1题5分2019~2020学年广东云浮高二下学期期末第1题5分2019~2020学年广东高二下学期期末第1题5分已知复数z满足i z=1−i，则|z|=（）．A. 1B. √2C. 2D. 42、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第2题5分2019~2020学年浙江温州高一下学期期中（新力量联盟）第1题4分已知集合A={x|0<x⩽1}，B={y|y=sinx⋅cosx,x∈R}，则A∩B=（）．A. {x|−1<x⩽1}}B. {x|0<x<12}C. {x|0<x⩽12D. {x|−1<x⩽1}3、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第3题5分8名同学争夺3项冠军，获得冠军的所有可能的种数为（）．A. 83B. 38C. 11D. 244、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第4题5分2020~2021学年浙江杭州上城区杭州第四中学高一上学期期中第9题3分2020~2021学年江苏南通如皋市高一上学期期末第7题5分2020年高考真题全国卷III文科第4题5分2020年高考真题全国卷III理科第4题5分Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K，其中K为最大确1+e−0.23(t−53)诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）．（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 695、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第5题5分2019~2020学年山东烟台高一下学期期中第7题5分2020~2021学年山东青岛市北区青岛第十七中学高一下学期期中第7题5分《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（）．A. 17斛B. 25斛C. 41斛D. 58斛6、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第6题5分−α)的值为（）．已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y−3=0垂直，则cos(2019π2A. −√55B. −2√55C. −2D. −127、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第7题5分数列{a n}满足a1=0，11−an −11−a n−1=1(n⩾2,n∈N∗)，则a2020=（）．A. 12020B. 12019C. 20192020D. 201820198、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第8题5分2004年高考真题北京卷理科第7题5分从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则mn等于（）．A. 110B. 15C. 310D. 259、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第9题5分若x，y满足y=1−x 23x，x>0，则x+y的最小值是（）．A. √23B. 2√23C. √33D. 2√3310、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第10题5分△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos2B2=a+cc，则△ABC是（）．A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定11、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第11题5分2015~2016学年9月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考文科第12题5分已知函数f (x )={2−|x −2|,(0⩽x <4)2x−2−3,(4⩽x <6)，若存在x 1，x 2，当0⩽x 1<4⩽x 2⩽6，f (x 1)=f (x 2)，则x 1⋅f (x 2)的取值范围是（ ）．A. [0,1)B. [1,4]C. [1,6]D. [0,1]∪[3,8]12、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第12题5分2020年7月浙江合格性考试第18题3分如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2．E ，F 分别是侧面ACC 1A 1和侧面ABB 1A 1上的动点，满足二面角A −EF −A 1为直二面角．若点P 在线段EF 上，且AP ⊥EF ，则点P 的轨迹的面积是（ ）．A. π3B. 2π3C. 4π3D. 8π3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第13题5分已知α∈(0,π2)，√1+sin2α=13，则sinα= ．14、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第14题5分2018~2019学年广东惠州惠城区惠州实验中学高一上学期期中第14题2017~2018学年9月山东济宁微山县微山县第二中学高三上学期月考理科第13题4分2017~2018学年10月山东济宁微山县微山县第二中学高三上学期月考文科第13题4分幂函数y =f(x)的图象经过点(−2,−18)，则满足f(x)=27的x 的值是 ．15、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第15题5分设a →⋅b →=4，若向量a →在向量b →方向上的投影为2，且向量b →在向量a →方向上的投影为1，则向量a →与向量b →的夹角等于 ．16、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第16题5分已知关于x 的一元一次方程(|a |+1)x +b =k ，其中k 是整数，实数a 在区间[−1,3]上随机取值，实数b 在区间[−2,2]上随机取值．事件A 为：“该一元一次方程的解不大于1”，若事件A 发生的概率为P (A )=516，则k = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第17题10分 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．且a =3，bsinA +sinB =2√3．(1) 求角B ．(2) 求函数f(x)=cos2(x−B)−cos2x(x∈[0,π2])的值域．18、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第18题12分已知数列{a n}的前n项和为S n，{S nn }是首项为2，公差为32的等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a nb n=5−(3n+5)(12)n，求数列{b n}的前n项和T n．19、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第19题12分2019~2020学年4月高三下学期月考理科第18题12分如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC=60∘，AC=2，侧面CBB1C1为正方形，平面ACC1A1⊥平面ABC．点N为线段AC的中点，点M在线段AB上，且AMMB=2．(1) 证明：平面BB1C1C⊥平面ACC1A1．(2) 求直线BB1与平面B1MN所成角的正弦值．20、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第20题12分轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）统一一共收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1) X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)．(2) 现随机抽取该停车场内停放的3辆车，Y表示3辆车中停车费用大于18的车辆数，求P(Y⩾2)的概率．21、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第21题12分已知关于x的函数f(x)=e x−x−1，g(x)=lnx−x+1．(1) 分别求f(x)的最小值与g(x)的最大值；(2) 证明：∀n∈N∗，e12+e13+⋯+e1n+1>42+53+64+⋯+n+3n+1−ln(n+1)．22、【来源】 2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三二模理科第22题12分已知定点F1(−√5,0)，抛物线y2=4√5x的焦点为F2，动点P到F1，F2的距离之和为定值2a(a>√5)，且cos∠F1PF2的最小值为−19．(1) 求动点P的轨迹E的方程．(2) 已知点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)，设直线l:y=kx(k>0)与曲线E在第一象限的交点为P，且1与直线AB交于点Q，若|AQ||PQ|=5√24sin∠AOQ，其中O为坐标原点，求Q点坐标．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 B;13 、【答案】2√55;14 、【答案】13;15 、【答案】π3;16 、【答案】3;17 、【答案】 (1) B=π3．;(2) [−34,√32]．;18 、【答案】 (1) a n=3n−1．;(2) T n=2n+1−2．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2929．;14.65．;(2) 44125．;21 、【答案】 (1) 0；0．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) E:x29+y24=1．;(2) (5639,2239)或(43,23)．;。
西安交通大学附属中学2018-2019学年11月高考数学模拟题
西安交通大学附属中学2018-2019学年11月高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数}{n a 821=+n a a 8123=⋅-n a a }{n a n 121=n S n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.2． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若＝2，则||为（ ）AD → DB → CD →A ．1 B.43C. D ．2533． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． B ． C ． D ．16163π-32163π-1683π-3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．4． 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，63sin(2)(π+=x x f 4π)(x g 则的解析式为（ ）)(x g A ． B ．343sin(2)(--=πx x g 3)43sin(2)(++=πx x g C ．D ．3)123sin(2)(+-=πx x g 3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.5． 已知全集，，，则有（ ）U R ={|239}xA x =<≤1{|2}2B y y =<≤A ．B ．C ．D ．A ØB A B B = ()R A B ≠∅ ð()R A B R= ð二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）6． 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则P ABC -PA PB PC ==PA PB ⊥PA PC ⊥PBC △PC 与平面所成角的正弦值为______________.ABC【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．7． 要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.x 2064x ax ≤++≤a =【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为.S【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能n 力的综合考查，难度中等.9． 已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．22240C x y x y m +-++=：m 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.10．设，实数，满足，若，则实数的取值范围是___________．R m ∈x y 23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩182≤+y x m 【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共75分。
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第1页，共4页（理科）
交大附中2015～2016学年第一学期
高三第六次诊断考试数学（理科）试题
一 、选择题：四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分）
1. 复数111iiz，在复平面内z所对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2. 如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其
俯视图轮廓为正方形，则其体积是
（A）36 （B） 423
（C）433 （D）
8
3
3. 在△ABC中，若Babsin2，则A等于（ ）
（A）006030或 （B）006045或 （C）0060120或 （D）0015030或
4. 一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小角100°，则边数n等于
（A）8 （B）8或9 （C）9 （D） 6
5. 当变动时，满足22sincos1xy的点P（x,y）不可能．．．表示的曲线是
（A） 焦点在y轴上的椭圆 （B)抛物线
（C）焦点在x轴上的双曲线 （D） 圆
6. 定义行列式运算12212121bababbaa，将函数xxxfcos1sin3)(的图象向左平移
)0(tt
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为
（A）6 （B）3 （C）65 （D）32
7、设2(),1(1)2,2(1)4,fxaxbxff且以a为横坐标，b为纵坐标，用用线
性规划或其他的方法可以求出(2)f的取值范围是
俯视图
主视图
左视图
第4页，共4页（理科）
（A）[5,8] （B) [7,10] （C）[5,10] （D） [5,12]
8.若输入数据 1236,2,2.4,1.6,naaa4565.2,3.4,4.6aaa，
执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为
（A） 0.6 （B)
0.7 C 0.8 D 0.9
9.设,,为两两不重合的平面，,,lmn为两两不重合
的直线，给出下列四个命题：
①若,，则//；
②若//,//,,nmnm，则//；
③若//，l，则//l；
④若//,,,lnml，则nm//.
其中真命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10.已知函数6(3)3,7,(),7,xaxxfxax若数列{an }满足*()()nafnnN，且{an }是递
增数列，则实数a的取值范围是
（A） 9,34 （B) （94，3） （C）（2，3） （D）（1，3）
11. 已知三棱锥PABC的各顶点在同一球面上，平面PAC平面ABC，侧棱
2PAPC
，1ABBC，90ABC,则该球的表面积为
（A） 83 （B) 8627 （C） 163 （D） 32627
12. .数学家黎曼曾经定义过一个“奇怪”的函数（黎曼函数）：
1,,0()0,q
xpqpppfxx当为有理数时（为整数且互质，）
当为无理数时
是
结束
否
开始
输入12,,...nnaaa
S=0,i=1
i n
输出S
(1)iiSaSi
1ii
第8题图
第1页，共4页（理科）
例如63120(2)()0,(0.6)()(),(2)()1,(0)()1,105511fffffffff
71(1.75)(),44ff
等。则下列四个选项中，对黎曼函数的性质描述中，错误的是
（A） ()fx是偶函数，不是奇函数 （B) ()fx在任何连续的闭区间上都不具有单调性
（C）()fx的值域为区间[0,1]的子集 （D）()fx不是周期函数
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从5件产品（其中含2件次品）中任取3件，其中含有次品的抽法有 种（填数字）
14.若等比数列}{na的首项为32，且4 1 4)21(dxxa，则公比q等于 .
15. 一个物体受到三个力的作用，三个力的大小分别为1，2，3（单位：N），三个力两两之
间的夹角均为60°，则物体所受的合力大小为 （N）
16. 如图所示，一个圆柱形兵乓球筒，高为10厘米，底面半径为1厘米。
球桶的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切
（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）。一个平面与两个乒乓球均相切，则
此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆。此椭圆的离心率为
三．解答题：17. （本小题满分12分）
已知数列na的前n项和212nSnn
（1）数列na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nT。
18. （本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD，DE平面
ACD
，
△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点．
（1）求证：平面BCE平面
CDE
；
（2）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
19. （本小题满分12分） A、B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3
张写有2；B袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A袋中取1张卡片，
B
袋中取2张卡片，共3张卡片， 求：（1）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（2）取出的3
张卡片数字之积X的分布列和数字期望.
20. （本小题满分12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线
l
A
B
C D
E
F
第4页，共4页（理科）
a)x(f
|a-x||25-x|f(x)
与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上
；
(2)设FA→·FB→＝89，求∠DBK
的平分线与y轴的交点坐标．
21. （本小题满分12分） 已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是
自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，
使得g(x2)
选做题：从下列题中选一个做，多选按22题记分，共10分。
22.设函数 ,（1）求证：当21a时，不等式lnf(x)>1成立.
⑵关于x的不等式 在R上恒成立，求实数a的最大值.
23.如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB=31AC,作直线AF与圆E相
切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2，EBC =30.
(1)求AF的长.
⑵求证：
AD=3ED.
24.已知直线l的参数方程是)(242222是参数ttytx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos()4．（1）判断直线l与曲线
C
的位置关系；（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．