广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试(一模)文科数学试题(附答案)
【高中资源】广东省广州市荔湾区2016届高三上学期调研测试(一)数学文试卷 Word版含答案
2015学年第一学期高三调研测试一数学（文科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若a 为实数，且12aii i+=-，则a = A .2- B .1 C .1- D .22.集合{}123456U =，，，，，，{}23A =，，{}2650B x Z x x =∈-+<，则()A B C U ⋂=A .{}156，，B .{}1456，，，C .{}234，，D .{}16，3.已知点()0,1A ，()2,1B ，向量()3,2AC =--uuu r ，则向量BC =u u u rA .()5,2B .()5,2--C .()1,2-D .()1,24.设:4p x <，:04q x <<，则p 是q 成立的A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5.已知抛物线22x ay =（a 为常数）的准线经过点(11)-，，则抛物线的焦点坐标为A .(10)-，B .(10)，C .(01)-，D .(01)，6.已知等比数列{}n a 的前n 项和1126n n S a -=⋅+，则a 的值为 A .13- B .13 C .12- D .127.某单位为了了解办公楼用电量y (度)与气温x (o C)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程2y x a =-+，当气温为04C -时，预测用电量约为 A .68度B .52度C .12度D .28度8.下列程序框图中，输出的A 的值A .128 B .129 C .131 D .1349.已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2cos b a B =，1c =，则ABC ∆的面积等于A.4 B.2C.6 D.810.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .163B .203C .86π-D .83π- 11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象A .向右平移3π个长度单位 B .向左平移3π个长度单位C .向右平移6π个长度单位 D .向左平移6π个长度单位 12.已知函数232,31,()1ln ,13x x x f x x x ⎧-+--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()|()|g x ax f x =-的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是A .ln 31[,)3eB .1(0,)2eC .1(0,)eD .ln 31[,)32e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省广州市高三数学毕业班综合测试试卷(一)理(含解析)
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
广东省广州市普通高中2016届高三下学期综合测试(一)理数试题(解析版)
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（ ）（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 【答案】D 【解析】 试题分析：{}11A x x =-<<，{}01B x x ≤≤，{}01A B x x ∴=≤<，故选D.考点：集合的交集. （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()31124112i i z i i i ++==+-+12i =+，12z i ∴=-，即z 对应点在第四象限，故选D.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）【答案】C 【解析】试题分析： 第一循环2339,2x k =⨯+==；第二循环29321,4x k =⨯+==；第三循环221345,6x k =⨯+==；第四循环245393,8x k =⨯+==；第五循环2933189,10x k =⨯+==， 189100>结束循环，输出10k =，故选C.考点: 程序框图及循环结构. （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ） （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】 试题分析：函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，,626T ππωω∴===，故选B. 考点：三角函数的图象和周期.（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） （A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 【答案】C 【解析】 试题分析：271224a a a ++=，7324a ∴=，即78a =，∴()11313713131042a a S a +===，故选C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n + 【答案】A 【解析】 试题分析：24,12py x =∴=，由抛物线定义可知11221,2PF x P F x =+=+，⋅⋅⋅，1n n P F x =+，12n PF P F P F ∴++⋅⋅⋅()12n n x x x =+++⋅⋅⋅+10n =+，故选A. 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义及简单几何性质. （7）在梯形ABCD 中，ADBC ，已知4AD =，6BC =，若CD mBA nBC =+(),m n ∈R ，则mn=（ ） （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3 【答案】A 【解析】试题分析： 过A 作AE CD 交BG 于E ，则CD EA EB BA ==+13BC BA =-+，即1m =，13n =-，3mn=-，故选A.考点: 1、平面向量基本概念定理；2、向量的运算.（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（ ）（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）【答案】A 【解析】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，()()1,2,0.2A D --，由可行域知()22z x y =++的最大值是217AD =，最小值为D 到直线10x y --=的距离的平方为12，故选A.考点: 利用可行域求目标函数的最值.（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上， 则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，22215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，34=3R V R π=∴=球，故选D.考点: 1、棱柱的性质；2、球的体积公式. （10）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】试题分析：如果l 与α内无数条平行线垂直，则l 与α不一定垂直，所以1p 错误；()22x x f x -=-，()()22x x f x f x -∴-=-=-，故2p 正确；()1,f x =只有一个根0x =，0x ∴>时，()f x 1=无解，故3p 错误； 因为在ABC ∆中A B >一定有a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故4p 正确；故选B. 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表 面积为（ ）（A ）8++ （B ）8++（C ）2+（D ）12【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是以P 为顶点，以ABC ∆为底面，以PC 为高的三棱锥，如图.由三视图可知4,2PC BC ==，可求得AB PB AC ===AP =，所以ABC BC PAC S S S S ∆∆P ∆=++表PAB S ∆+8=+A.CP考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角 形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有 一个数，则这个数为（ ） （A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯【答案】B 【解析】试题分析：第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为()1312+⨯；第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为()2412+⨯；第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为，()3512+⨯…可猜想第一行为1、2、3…2016最后一行的数为()2014201420161220172+⨯=⨯，故选B.考点：归纳推理及不完全归纳法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号 依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3， 则在第5组中抽取的号码是 ． 【答案】43 【解析】试题分析：总体60个个体，依编号顺序分成6个小组，则间隔编号为60106=，所以在第5组中抽取的号码为310443+⨯=，故答案为43. 考点：系统抽样方法.（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【解析】 试题分析：0,BA BF AB BF =∴⊥，又BO AF ⊥，所以由射影定理知2OB OA OF =，即2b ac =22c a =-，210,e e e --==考点: 1、向量垂直与向量数量积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率. （15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x -- ()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C xx -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为 个．【答案】2考点: 函数的零点和图象交点的关系.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =. （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）5；【解析】试题分析：(Ⅰ)设AD x=()0x >，则2BD x =．因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯．因为cos cos ADC CDB ∠=-∠，即52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5；（Ⅱ）由(Ⅰ) 3AB x =15= ，所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠ 可得正确答案. 试题解析：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在BCD ∆中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x=．在ACD ∆中，因为AD x =，5CD =，AC =，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==． 所以cos BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=,所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=．考点：余弦定理及三角形面积公式. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率 分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区 间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）1.8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据比例设出质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75,[]75,85内的频率，再根据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =，根据独立重复试验概率公式求概率，根据二项分布期望公式求期望. 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ， 则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =. 所以区间[]75,85内的频率为0.05．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．因为X 的所有可能取值为0、1、2、3， 且033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 服从二项分布(),B n p ，所以X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的均值期望. （19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先证1A O BD ⊥，CO BD ⊥可得BD ⊥平面1A CO ，进而得平面11BB D D ⊥平面1ACO ；（Ⅱ）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．分别求出平面1OBB 的法向量，平面1OCB 的法向量 ，利用空间向量夹角公式即可求得二面角1B OB C -- 的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO ．因为BD ⊂平面11BB D D ， 所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．（Ⅱ）解 ：因为1A O ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．所以cos ,<>==n m 1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为．考点：1、线面及面面垂直的判定定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦. （20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭 圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -.【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．由点(2B 在椭圆C 上，得22421a b+=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=．由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛ ⎝．．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+=⎝2， 即224x y y +=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -． 考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义. （21）（本小题满分12分） 已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出()f x '，再令()0e 1mf '==，可解得m 的值；（Ⅱ）()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m x -+->，当1m ≥时，只需证明1e ln(1)20x x +-+->，设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+，利用()h x 的单调性，可以证明()h x 的最小值()0h x 为正，进而()3()f x g x x >-. 试题解析：（Ⅰ）因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增． 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x . 所以()()()0100=eln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.考点：1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单调性及 最值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.考点：1、三角形相似；2、切割线定理.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方 程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）32⎫⎪⎪⎭，.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一取得最小值，根据几何意义排除一个即可.试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）．（Ⅱ）解：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+．因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-． 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎭，． 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎭，． 考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化. （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()f x x =+ （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集；（Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）)+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论三种情况1x ≤-，10x -<<，0x ≥，最后找并集即可；（Ⅱ）不等式()f x b ≥的解集为空集，只需()max b f x >⎡⎤⎣⎦，利用基本不等式可得()f x ≤+，进而转化为maxb >，最后运用三角换元法或平方后结合基本不等式求出max .试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥． ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．因为 ()f x x =+x +，当且仅当x ≥()max f x ⎡⎤⎣⎦=．因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >, 令()g a =+所以()21ga =+2212≤++==，即12a =时等号成立．所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b 的取值范围为)+∞．考点：1、绝对值不等式的解法；2、利用基本不等式求最值.。
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
【选修 4-1：几何，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 与⊙O 相切于点 A，交 BC 的延长线于点 D，过点 D 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E． （I）求证：DE2=AE•BE； （Ⅱ）若直线 EF 与⊙O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长．
2．（5 分）（2016•广州一模）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复 数所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：∵复数===1+2i，复数 z 的共轭复数=1 2i 所对应的点在第四象 限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序
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平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 ． 14．（5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B （0，b），且，则双曲线 C 的离心率为 ． 15．（5 分）（x2 x 2）4 的展开式中，x3 16．（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x） =， 则 函的系数数g（为 x） =（2|用x|f数（字x）填写2 答的案零）点 个 数 为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD⊥BC，AC=5，CD=5， BD=2AD． （Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科综合试题
试卷类型:A 2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科综合2016.4注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和;第H卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
，.第I卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
中国在建造空间站的同时，将发送一个单独的"光学舱"，搭载一架在功能上类似"哈勃"的太空望远镜。
哈勃望远镜距离地面约547千米，挠地球一周耗时约97分钟。
运用所学知识，完成1-3题。
1.哈勃太空望远镜能够全天候观测星空，这是因为A.没有经历昼夜交替B.没有受大气影响C.没有绕太阳公转D.位于地球同步轨道上2.哈勃望远镜观测地球为一个美丽的"蓝色"星球，这是因为A.海洋水体为蓝色B.海水藻类呈蓝色C.大气散射太阳光D.望远镜镜头色散3.在下列四个波段的观测中，太空望远镜比地面望远镜更具优势的是A.红光B.黄光C.蓝光D.紫外光谢贝利河发源于高原山地，其上、中、下游分别流经山地、高原、平原，读下图完成4 -6题。
4.该河流的流量特点是A.自上游向下游增大B.自上游向下游减小C.中游最大，向上、下游减小D.中游最小，向上、下游增大5.该河流的补给水源最主要是A.雨水B.冰雪融水C.湖泊水D.季节性积雪融水6.该河流下游无支流，其最主要成因是A.干温季分明B.地形平坦C.地上河D.植被稀少某发达国家劳动力数量呈下降趋势。
读该国劳动力年龄结构变化示意图，完成7-9题。
2016年广州市一模试题及答案(理科数学)
2016年广州市一模试题及答案(理科数学) 2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2.回答第Ⅰ卷时，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一。
选择题：共12小题，每小题5分。
1.已知集合 $A=\{x|x<1\}$，$B=\{x|x-x\leq0\}$，则 $A\cap B$ 等于A) $x-1\leq x\leq1$ (B) $x\leq x\leq1$ (C) $x<x\leq1$ (D) $x\leq x<1$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{1-i}$，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 所对应的点在A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.执行如图所示的程序框图，如果输入 $x=3$，则输出$k$ 的值为开始输入 $x$是 $x>100$。
$k=k+2$，$x=2x+3$ 输出 $k$否结束A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 124.如果函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$ 的相邻两个零点之间的距离为 $6$，则 $\omega$ 的值为A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 245.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且$a_2+a_7+a_{12}=24$，则 $S_{13}$ 等于A) 52 (B) 78 (C) 104 (D) 2086.在直线 $y=4x$ 上的点，它们的横坐标依次为$x_1,x_2,\dots,x_n$，如果 $P$ 是抛物线 $C$ 的焦点，若$x_1+x_2+\dots+x_n=10$，则 $PF+P_2F+\dots+P_nF$ 等于A) $n+10$ (B) $n+20$ (C) $2n+10$ (D) $2n+20$7.在梯形$ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，已知$AD=4$，$BC=6$，若 $CD=mBA+n$，则 $m+n$ 等于A) $-3$ (B) $0$ (C) $3$ (D) $33$8.设实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $x+y-1\leq0$，则$x+(y+2)^2$ 的取值范围是A) $x\leq -1$，$y\leq -2$ (B) $x\leq -1$，$y\geq 1$ (C)$x\geq 0$，$y\leq -2$ (D) $x\geq 0$，$y\geq 1$9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上。
2016年模拟考试答案(文科数学)
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试文科数学答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）A（2）D （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A（8）D （9）B （10）B （11）C （12）A 二．填空题（13）(1,)-+∞（14）3 （15）2n （16）94三．解答题（17）解：（Ⅰ）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+，得()23cos 22cos B C A ++=．………………………………………………………………………1 分 即22cos 3cos 20A A +-=．………………………………………………………………………2分 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=． 解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．………………………………………………………………4分 因为0A <<π，所以A π=3． ………………………………………………………………………6 分（Ⅱ）由1sin 2S bc A ===20bc =． 因为5b =，所以4c =．………………………………………………………………………8 分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得212516220=212a =+-⨯⨯，故a =10 分 根据正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===， 得5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=．……………………………………………………………12 分（18）解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．……1分这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种． …………………………………………………………3 分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种．………………………………………………………………………5分 根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． …………………………………………6 分 （Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()21004515251560407030⨯-⨯⨯⨯⨯ ………………………………………8分 25 1.7914=≈． ………………………………………………………………………10 分 因为1.79 2.706<，………………………………………………………………………11 分所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． ……………………12 分（19）（Ⅰ）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC . ………………………………………………………………………1 分在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1B B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以AD ⊥1B B . ………………………………………………………………………2 分因为BC ∩1B B ＝B ，所以AD ⊥平面11B BCC . ………………………………………………………………………3 分因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥1B F . ………………………………………………………………………4 分在矩形11B BCC 中，因为11C F CD ==，112B C CF ==，所以Rt DCF ∆≌11Rt FC B ∆.所以∠CFD ＝∠11C B F .所以∠1=90B FD .（或通过计算1FD B F ==1B D =得到△1B FD 为直角三角形）所以1B F FD ⊥. ………………………………………………………………………5分因为AD ∩FD ＝D ，所以1B F ⊥平面ADF . ………………………………………………………………………6分（Ⅱ）解：因为1AD B DF ⊥平面，AD =因为D 是BC 的中点，所以1CD =. ………………………………………………………………7 分 在Rt △1B BD 中，1BD CD ==，13BB =，所以1B D == ………………………………………………………………8分因为1FD B D ⊥，所以Rt CDF ∆∽1Rt BB D ∆． 所以11DF CD B D BB =.所以133DF ==．………………………………………………………………………10 分所以11111332B ADF B DF V S AD -∆=⋅=⨯=.………………………………12 分（20）解：（Ⅰ）因为点F )在圆22:(16M x y +=内，所以圆N 内切于圆M . ………1 分 因为||NM +||4||NF FM =>， ………………………………………………………………………2 分 所以点N 的轨迹E是以()M ，F )为焦点的椭圆， ……………………………3 分且24,a c ==所以1b =． ………………………………………………………………………4分所以轨迹E 的方程为2214x y +=.………………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）（1）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =. …………………………………………………………………6 分 （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =， 联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ ………………………………………7 分 所以2||OA =2A x 2224(1)14Ak y k ++=+. ……………………………………………………………8 分由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4Ck x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+． ………………………………9分 2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=2=10分222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=， 所以85ABC S ∆…，当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立， 此时ABC △面积的最小值是85. …………………………………………………………………11 分 因为825>，所以ABC △面积的最小值为85， 此时直线AB 的方程为y x =或y x =-. …………………………………………………………12 分（21）解:（Ⅰ）因为()2mx f x x n=+， 所以2222222()2()()()m x n mx mx mn f x x n x n +--+'==++． …………………………………………………2 分 由()f x 在1x =处取到极值2，所以()10f '=，()12f =，即20(1) 2.1mn m n m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得4m =，1n =．经检验，此时()f x 在1=x 处取得极值. 所以24()1x f x x =+． ………………………………………………………………………4 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224(1)(1)()(1)x x f x x --+'=+，故()f x 在(1,1)-上单调递增， 由(1)2,(1)2f f =-=- 故()f x 的值域为[]2,2-. ………………………………………………5 分 从而173()22f x +≥． 所以总存在[]21,e x ∈，使得()()2172g x f x ≤+成立，只须3()2g x ≤最小值． …………6分 函数()ln a g x x x=+的定义域为()0,+∞，且221()a x a g x x x x -'=-=． ………………………7分 ① 当1a ≤时，()g x '＞0，函数()g x 在[]1,e 上单调递增， 其最小值为3(1)12g a =≤<，符合题意． …………………………………………………8分 ②当1e a <<时，在[)1,a 上有()0g x '<，函数()g x 单调递减，在(],e a 上有()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()ln 1g a a =+．由3ln 12a +≤，得0a <≤1a <≤. …………………………………10分 ③当e a ≥时，显然函数)(x g 在[]1,e 上单调递减， 其最小值为3(e)12e 2a g =+≥>，不合题意． ……………………………………………11 分综上所述，a 的取值范围为(-∞． ……………………………………………12 分 （22）解：（Ⅰ） 在ACB ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，所以2CD AD DB =⋅，……………………………………………………………………………2 分因为CD 是圆O 的切线，由切割线定理得2CD CE CB =⋅．，……………………………………………………………4 分所以CE CB AD DB ⋅=⋅． ，…………………………………………………………………5 分（Ⅱ）因为ON NF ⊥，所以NF ……………………………6分因为线段OF 的长为定值，即需求解线段ON 长度的最小值． ……………………7分弦中点到圆心的距离最短，此时N 为BE 的中点，点F 与点B 或E 重合． …………8分 因此max 122NF BE ==． ……………………………………………………………………10分（23）解：（Ⅰ）曲线1C ：112x t y t =+⎧⎨=-⎩，的直角坐标方程为32y x =-．………………………………1分 曲线1C 与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………2 分 曲线2C ：cos ,3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩的直角坐标方程为22219x y a +=． ……………………………………3 分 曲线2C 与x 轴交点为(,0),(,0)a a -．……………………………………………………………4 分 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，知32a =． …………………………5 分 （Ⅱ）当3a =时, 曲线2C ：3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩为圆229x y +=． …………………………6 分 圆心到直线32y x =-的距离d ==．…………………………………………8 分 所以,A B两点的距离5AB ===． ……………………10分（24）解：（Ⅰ）因为||||()x m x x m x m -+≥--=． …………………………………………2分要使不等式||||2x m x -+<有解，则||2m <，解得22m -<<． …………………………4分 因为*m ∈N ，所以1m =．………………………………………………………………………5 分 （Ⅱ）因为,1αβ≥，所以()()21214f f αβαβ+=-+-=，即3αβ+=．…………………………………………6 分 所以()411413αβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1453βααβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1533⎛≥+= ⎝．……………………………………………8分 （当且仅当4βααβ=时，即2α=，1β=等号成立） …………………………………………9分 故413αβ+≥．……………………………………10分。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
]
D．[
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9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
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2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合11Axx，220Bxxx，则AB （A）12xx （B）10xx （C）12xx （D）01xx 答案：D 解析：集合A＝11xx－，集合B＝2xx0，所以，AB01xx。
（2）已知复数3i1iz，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 答案：D 解析：(3)(1)22iizi－－，对应坐标为（2，－1），在第四象限。
（3）已知函数2,1,1,1,1xxxfxxx则2ff的值为 （A）12 （B）15 （C）15 （D）12 答案：C 解析：2f（－）＝4＋2＝6，11((2))(6)165fff，选C。
（4）设P是△ABC所在平面内的一点，且2CPPA，则△PAB与△PBC的面积之比是 （A）13 （B）12 （C）23 （D）34 答案：B 解析：依题意，得：CP＝2PA，设点P到AC之间的距离为h，则
△PAB与△PBC的面积之比为1212BPABCPPAhSSPCh=12
（5）如果函数cos4fxx0的相邻两个零点之间的距离为6，则的值为 （A）3 （B）6 （C）12 （D）24 答案：B 解析：依题意，得：周期T＝3，23，所以，＝6。 （6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x，则输出k的值为
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 答案：C 解析：第一步：x＝9，k＝2；第二步：x＝21，k＝4；第三步：x＝45，k＝6； 第四步：x＝93，k＝8；第五步：x＝189，k＝10；退出循环，故k＝10。 （7）在平面区域,0112xyxy，内随机投入一点P，则点P的坐标,xy满足2yx的概率为 （A）14 （B）12 （C）23 （D）34 答案：A 解析：画出平面区域，如图，阴影部分符合2yx，其面积为：14，正方形面积为1，故所求概率为：14
（8）已知sin6fxx，若3sin52，则12f （A）7210 （B）210 （C）210 （D）7210 答案：B 解析：因为3sin52，所以，4cos5，
12f
sin()sin()1264=22sincos22=210
（9）如果1P，2P，„，nP是抛物线C：24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，„，nx，
F是抛物线C的焦点，若1210nxxx，则12nPFPFPF
（A）10n （B）20n （C）210n （D）220n 答案：A 解析：由抛物线的焦点为（1,0），准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知11||1PFx，
22||1PFx，…，故12nPFPFPF10n
（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
（A） （B）2053 （C）5 （D）556 答案：D 解析：六棱柱的对角线长为：22215，球的体积为：V＝34532＝556 （11）已知下列四个命题： 1p：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；
2p：若22xxfx，则xR，fxfx；
3p：若11fxxx，则00,x，01fx；
4p：在△ABC中，若AB，则sinsinAB．
其中真命题的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：B 解析：p1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p2正确；p3错误，因为由111xx，得x＝0，故错误；p4正确，注意前提条件是在△ABC中。 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A）88246 （B）88226
（C）2226 （D）126224 答案：A 解析：该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝25，A1C＝161616＋＋＝43， 三角形EA1C的底边A1C上的高为：22， 表面积为：S＝1224＋1224＋12424＋122243＝88246 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数33fxxx的极小值为 ．
答案：－2 解析：求导，得：2'()330fxx，得1x，当x=1时，函数f(x)取得极小值－2。
（14）设实数x，y满足约束条件230,230,3xyxyx， 则23zxy的取值范围是 ． 答案：6,15 解析：画出不等式表示的平面区域，在点（3，0）处，23zxy取得最小值－6，在点（－3,3）处取得最大值15。
（15）已知双曲线C：22221xyab0,0ab的左顶点为A，右焦点为F，点0,Bb，且0BABF，则双曲线C的离心率为 ．
答案：512 解析：设F（c，0），又A（－a，0），由0BABF，得：（－a，－b）（c，－b）＝0，
所以，有：2bac，即22caac，化为210ccaa，可得离心率e＝512。 （16）在△ABC中，点D在边AB上，CDBC，53AC，5CD,2BDAD，则AD的长为 ． 答案：5 解析：因为BD＝2AD，设AD＝x，则BD＝2x，
因为CDBC，所以，BC＝2425x，
在三角形ACD中，cosA＝27525103xx，
在三角形ABC中，cosA＝22759(425)303xxx， 所以，27525103xx＝22759(425)303xxx，解得：x＝5，所以，AD＝5。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 已知数列na是等比数列，24a，32a是2a和4a的等差中项. （Ⅰ）求数列na的通项公式； （Ⅱ）设22log1nnba，求数列nnab的前n项和nT.
解析：解：（Ⅰ）设数列na的公比为q， 因为24a，所以34aq，244aq．„„„„„„„„„„„„„„„„1分 因为32a是2a和4a的等差中项，所以32422aaa．„„„„„„„„2分 即224244qq，化简得220qq． 因为公比0q，所以2q．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 所以222422nnnnaaq（*nN）．„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （Ⅱ）因为2nna，所以22log121nnban． 所以212nnnabn．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 则231123252232212nnnTnn， ① 23412123252232212nnnTnn
. ②„„„„„„9分
①－②得， 2312222222212nnnTn
„„„„„„„„„„„„„„10分
11142221262321212nnnnn
，
所以16232nnTn．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
（18）（本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65，65,75，75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间 75,85内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间45,75内抽 取一个容量为6的样本，将该样本看成一