一元二次不等式的实际应用
一元二次不等式的实际应用
探究（二）：成本与收益问题
【背景材料】
某摩托车生产企业，上年度投入的成本为 1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量 为1000辆.本年度为适应市场需要，计划提高 产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为
x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为
0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x. 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售 量.
＝0.1x＋0.01x2， ＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？
例2 一个车辆制造厂引进了一条摩 托车整车装配流水线，这条流水线生产 的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元) 之间有如下的关系: 若这家工厂希望在一个星期内，利用这 条流水线创收6000元以上，那么它在一 个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
思考3：为达到上述目的，应怎样确定t 的范围？
[3，5]
理论迁移
乙超速行驶应负主要责任.
例1 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车 后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这 段距离称为“刹车距离”，它是分析交通事 故的一个重要因素.在一个限速40km/h的弯道 上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对 同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略 超过10m，已知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
思考1：你能用含x的表达式分别表示投 入的成本、出厂价和年销售量吗?
成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)； 年销售量: 1000(1+0.6x) .
思考2：本年度的预期年利润y与投入成 本增加的比例x的函数关系如何？
思考3：如何用不等式表示“本年度的年 利润比上年有所增加”？
一元二次不等式的应用 课件
因为 x2－2x＋4<0 的解集是空集，
所以不存在实数 x，使函数 y＝x2＋2(a－2)x＋4 对任意 a∈[－3,1]，y<0 恒成
立．
不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0 的解集为 R，求 m 的取值范 围.
【精彩点拨】 分二次项系数 m2－2m－3＝0 和 m2－2m－3≠0 进行讨论．当 m2－2m－3≠0 时结合二次函数的图象求解．
【自主解答】 当 m2－2m－3＝0 时，m＝3 或 m＝－1.
若 m＝3，原不等式化为－1＜0，恒成立，
原不等式解集为 R.
若 m＝－1，原不等式化为 4x－1＜0，得 x＜14，原不等式的解集为xx＜14
，
不合题意，舍去．
当 m2－2m－3≠0 时，依题意有 m2－2m－3＜0， Δ＝m－32＋4m2－2m－3＜0，
不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最 优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式 应用题的关键．
不等式的恒成立问题
探究 1 若函数 f(x)＝ax2＋2x＋2 对一切 x∈R，f(x)>0 恒成立，如何求实数 a 的取值范围？
【提示】 若 a＝0，显然 f(x)>0 不能对一切 x∈R 都成立．所以 a≠0，此时
只有二次函数 f(x)＝ax2＋2x＋2 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开
口向上时，才满足题意，则aΔ＞＝04－8a<0，
解得
1 a>2.
探究 2 若函数 f(x)＝x2－ax－3 对 x∈[－3，－1]上恒有 f(x)<0 成立，如何求 a 的范围？
【提示】 要使 f(x)<0 在[－3，－1]上恒成立，则必使函数 f(x)＝x2－ax－3
一元二次不等式的解法和应用
一元二次不等式的解法和应用一元二次不等式是高中数学中一个重要的知识点，在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法和一元二次方程的解法有相似之处，都可以通过变形和解析法来求解。
下面将详细讲解两种解法。
1. 变形法对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，首先要将其变形为一个解析式，然后通过求解这个解析式的值域来确定不等式的解集。
步骤如下：a. 将不等式移项，使得一元二次不等式的右边为零。
b. 判断系数a的符号，若a > 0，则可将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集。
若a < 0，则需要将不等式的符号反转。
c. 根据解析式的值域，确定不等式的解集。
若解析式的取值范围大于零，则原不等式的解集为实数集；若解析式的取值范围等于零，则原不等式的解集为空集；若解析式的取值范围小于零，则原不等式的解集为空集。
2. 解析法解析法是一种通过图像和函数变化趋势来解决一元二次不等式的解法。
步骤如下：a. 将一元二次不等式化为对应的一元二次方程，然后求出方程的根。
b. 根据一元二次函数的图像和函数变化趋势，确定函数的非负区间和非正区间。
c. 根据函数的非负区间和非正区间，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 优化问题：通过建立一元二次不等式模型，可以求解最大值或最小值。
对于给定资源和约束条件的情况下，可以用一元二次不等式来描述并求解最优解。
2. 区间划分问题：通过一元二次不等式的解集，可以将数轴划分成若干个区间，从而对解集进行分类和讨论。
3. 几何问题：一元二次不等式可以用来解决几何相关的问题，如求解面积最大或最小、求解两条直线的位置关系等。
4. 经济问题：一元二次不等式在经济学中有着广泛的应用，如利润最大化、成本最小化等问题的求解。
湘教版高中数学必修第一册-2.3.2一元二次不等式的应用【课件】
方法归纳
解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才 能将实际问题转化为数学模型进行解答．
跟踪训练2 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万 元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作 社的电网．修建沼气发电池的费用(单位：万元)与沼气发电池的容积x(单位： 米3)成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电
能互补的供电模式用电．设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费 C(单位：万元)与修建的沼气发电池的容积x(单位：米3)之间的函数关系为 C(x)＝x+k50(x≥0，k为常数)．记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年 所消耗的电费之和为F(单位：万元)．
(1)解释C(0)的实际意义，并写出F关于x的函数关系； (2)该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小，并求出最 小值． (3)要使F不超过140万元，求x的取值范围．
即x2－750x≤0，又x>0，所以0<x≤750.
即最多调整出750名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10 a − x x万元，
125
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x) 1 + 1 x 万元，
250
则10
a− x
125
x≤10(1 000－x)
1+ 1 x
年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的
年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于 剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
解析：(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.4x%)≥10×1 000，
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
21一元二次不等式的实际应用
一元二次不等式的实际应用教学目标班级：_____ 姓名：____________1.掌握运用一元二次不等式解决实际问题的方法.2.体会数学建模的思想.教学过程运用一元二次不等式解决实际问题的一般方法：1.寻找已知条件，搞清量与量之间的关系.2.挖掘不等关系，建立一元二次不等式.3.解不等式，解决问题.例1：要在长为800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，其中四周中花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪（如图阴影部分所示），要求草坪的面积不少于总面积的一半，则花卉带宽度x的取值范围为______________.练习1：某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（征税率10个百分点），计划可收购a 万担.政策为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低)0( x x 个百分点，预测收购量可增加x 2个百分点.（1）写出降税后税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2％，试确定x 的取值范围.例2：汽车在行驶中，由于该惯性，刹车后还会继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事故现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：2，=s+01.01.0xx甲2.s+=x005.0x.005乙问：甲、乙两车有无超速现象？练习2：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知该商品每件售价提高1元，销售量就要减少10件.问（1）售价每件定为多少元时，才能使得每天的利润最大？（2）售价每件定为多少元时，才能保证每天的利润不少于300元？反思___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________。
2.3 第2课时 一元二次不等式的实际应用
解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},知x1=-3,x2=2是
方程x2+px+q=0的两根,由根与系数的关系,得p=1,q=-6.
答案:C
3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数
解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售
则只需
即
解得 0<a<2,
- < ,
< ,
故a的取值范围是{a|0<a<2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:当a=2时,y=-2,满足其图象在x轴下方,此时不能用根的判
别式.
正解:由题意知,y<0 恒成立,
当 a=2 时,y=-2,满足其图象在 x 轴下方;
零两种情况讨论.
2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型:
设y=ax2+bx+c(a≠0).
> ,
(1)当 x∈R 时,y>0 恒成立⇔
< ;
< ,
(2)当 x∈R 时,y<0 恒成立⇔
< .
【变式训练 2】 若式子
+ + 对一切
x∈R 恒有意义,则
数 m 的取值范围是(
解得x<3,不符合题意,应舍去.
当m+1≠0时,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,
+ < ,
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。
具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。
然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。
举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。
通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。
除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。
例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。
接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。
1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。
为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。
2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。
我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。
3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。
可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。
这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。
一元二次不等式的应用题
一元二次不等式的应用题一元二次不等式的应用题，听起来好像跟数学教室里的黑板有点沾边，其实它可是生活中的小秘密呢。
想象一下，有一天你要买水果，正好看中了一堆橙子。
老板说，每个橙子两块钱，买十个就给你打八折，哎呀，简直划算得让人心动。
不过，你的口袋里只有十五块钱，这可就要好好算一算了。
要是你只想买几个橙子，能不能既享受打折，又不超出预算呢？这可得用到一元二次不等式了，嘿，别急，让我们一起来算算。
设定变量，假设你想买x个橙子，那么价格就是2x块钱。
要是你买十个，就会是20块钱，打八折后就是16块，想想都让人流口水。
可是你得记住，手里只有15块，不能让小钱袋失望啊。
所以，就有了不等式：2x ≤ 15。
把这个不等式简化一下，得出x ≤ 7.5，哎，这可真是个有意思的结果，不能买半个橙子，那也就是说你最多只能买七个橙子，真是妙啊。
然后再来点儿实际的，看看如果你想买的橙子再多一些，比如你想买八个。
这时候，价钱就是2×8=16块，哎呀，超出预算了！这可不行，买八个橙子可不只是一点点超预算，简直就是让人心疼。
于是，不得不承认，买七个才是最理智的选择。
生活中就是这样，很多事情都得算计好，才能不让自己为难。
生活就像一道不等式，你得找到那个平衡点，太多了就出问题，太少了也不满足。
这让我想起小时候的家长们，总是告诉我们，要会过日子，不能贪心，不能一口吃个胖子。
买水果就像是理财，有时候你买得多了，结果只会让自己空着手回家，满心失落。
你看看那些精明的顾客，总是抓住最佳时机，选择对的数量，既省钱又开心，这可不是随便谁都能做到的。
说到这里，咱们再回过头，来看看这不等式到底有什么实用的地方。
就好比在生活中，许多问题都能转化成数学题。
想要实现某个目标，得先设定好条件，就像做菜前得准备好食材一样。
你在追求梦想的时候，心里也得有数。
要是你想考个好大学，就得明确目标和规划，怎么学习，怎么安排时间，这些都是一元二次不等式的变形，懂了吗？再比如，有些人想减肥，去健身房挥汗如雨。
一元二次不等式的实际应用
一元次不等式的实际应用
最大限速：40km/h. 例3：已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(m)与 速度(km/h)的平方及汽车总质量成正比，设某辆卡 车不装货物以59km/h的速度行驶时，从刹车到停 车走了20m。如果这辆卡车装着等于车重的货物行 驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离 障碍物5m以外处停车，最大限制速度应是多少（结 果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经 过1s）？ 分析：由已知得：滑行的距离 S=k×v2×m; 20 由已知得： 解得 km = 2 59 20=k×592×m 1000 5v ( m) 刹车1s行驶的距离为 s1 =v
一元二次不等式的实际应用
3600
由已知得20-s12
5 2 v 化简得 2 v 3 0 59 18
18
作业：
P87
B组 3、4题
一元二次不等式的实际应用
例1、甲乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇， 弯道限制车速在40km/h以内，又遇突发情况，两车 相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未 超过12m，，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又 知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有以下函数关系：
2 2
s甲 0.01x 0.1x， s乙 0.005x 0.05x，
谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。 试问：哪一辆车违章行驶？
例2、国家计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt。 按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元 （称作税率为8个百分点，即8％）。为了减轻农民负 担，制定积极的的收购政策。根据市场规律，税率降 低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低 于原计划的78％。 分析: 调整后税率：（8-x）％ 调整后收购量：m（1+2x％） 调整后纳税：2400m（1+2x％）x（8-x）％ 调整前纳税：2400mx8％ 依题意得： 调整后纳税≥调整前纳税x78％
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【背景材料】
思考1：你能用含x的表达式分别表示投 入的成本、出厂价和年销售量吗? 成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)；
年销售量: 1000(1+0.6x) . 思考2：本年度的预期年利润y与投入成 本增加的比例x的函数关系如何？
y 60x 20x 200 (0 x 1)
例2 一个车辆制造厂引进了一条摩 托车整车装配流水线，这条流水线生产 的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元) 2 之间有如下的关系: y 2x 220x 若这家工厂希望在一个星期内，利用这 条流水线创收6000元以上，那么它在一 个星期例3 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心30km以 内(30km)的地区为危险区. 城市B在A处 的正东方向40km处，那么城市B处于台 风危险区内的持续时间是几小时？ C
思考1：该省每年征收的耕地占用税为多 少万元？ t 4 (20 - 2.5t ) 创10 2.4 ? 100
思考2：为了既减少耕地损失，又保证该 项税收一年不少于9000万元，实数t应满 足的不等式是什么？ t 4 (20 - 2.5t ) 创10 2.4 闯 9000 100
思考3：为达到上述目的，应怎样确定t 的范围？ [3，5]
2.解一元二次不等式的基本思路如何？ 将原不等式化为一般式→分解因式→结 合图象写出解集.
3.一元二次不等式是一类基本不等式， 解一元二次不等式在许多实际问题中有 着广泛的应用，对此，我们将进行一些 实例分析.
探究（一）：上网费用问题
【背景材料】 某同学要把自己的计算机接入因特 网，现有甲、乙两家公司可供选择.甲公 司每小时收费1.5元(不足1小时按1小时 计算)；乙公司的收费原则为:上网的第 一小时内(含1小时，下同)收费1.7元， 第二小时内收费1.6元，以后每小时减少 0.1元(若用户一次上网超过17小时，按 17小时计算).
2
思考3：如何用不等式表示“本年度的年 利润比上年有所增加”？
60x 20x 200 (1.2 1) 1000 (0 x 1)
2
思考4:为使本年度的年利润比上年有所 增加，投入成本增加的比例x应在什么范 围内？ （0，1/3）
探究（三）：耕地税收问题
【背景材料】 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地 价格2.4万元，为了减少耕地损失，决定 按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样 每年的耕地损失可减少2.5t万亩.
一次上网时间在5小时以内，去甲公司上网； 超过5小时，去乙公司上网； 恰好5小时，去 两家公司均可.
探究（二）：成本与收益问题 某摩托车生产企业，上年度投入的成本为 1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量 为1000辆.本年度为适应市场需要，计划提高 产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x. 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售 量.
A
B
持续时间是1小时.
小结作业
1.解决一元二次不等式的应用性问题， 关键在于构造一元二次不等式模型.其基 本思路是：将题中的某个主变量设为x→ 用x表示其他相关变量→根据题中的不等 关系列出不等式→解不等式得结论.
2.解一元二次不等式的应用性问题时， 要注意结果必须有实际意义，并对问题 作出相应回答.
理论迁移
乙超速行驶应负主要责任.
例1 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车 后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这 段距离称为“刹车距离”，它是分析交通事 故的一个重要因素.在一个限速40km/h的弯道 上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对 同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略 超过10m，已知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系： S甲 ＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？
作业： P80习题3.2A组：5，6. B组: 4.
思考1：假设一次上网时间为x小时(不足 17小时)，则在甲、乙两家公司上网所收 取的费用分别为多少元？ 甲：1.5x元；
x(35 x) 乙: 20
元.
思考2：如何用不等式表示“选择甲公司 较合算”？ x (35 x) 1.5 x 20
思考3：如何根据上网时间选择到甲、乙 两家公司上网？
3.2
一元二次不等式及其解法 第二课时
问题提出
1.什么是一元二次不等式？其一般形式 如何？ 概念：只含有一个未知数，且未知数的 最高次数是2的不等式；
一般形式：
ax 2 + bx + c > 0
一般式:
ax bx c 0 或 2 ax bx c<0(a>0)
2
ax 2 + bx + c < 0