襄阳五中2015届高三11月联考文数试卷+答案

湖北省部分重点中学2014-1015学年度第一学期11月联考高三数学（文科）试卷命题学校：襄阳五中 命题人：谢伟 审题人：丁全华 段光荣 考试时间：2014年11月19日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全集{}0,4,3,2,1----=U ，集合{}0,2,1--=A ，{}0,4,3--=B ，则=⋂B A C U )(（ ） A ．{0} B ．{－3，－4} C ．{－1，－2} D ．φ 2．复数3(1)z i i =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ，b ，c 满足a ＜b ＜c 且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是（ ） A ．ab<ac B ．c (a ﹣b )>0 C ．ab 2<cb 2D ．(22)0a c ac -> 4．已知l ,,m n 是三条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ若则B ．,,m m αβαβ若则C ．,,αγβγαβ⊥⊥若则D ．,,m l n l m n ⊥⊥若则5．若双曲线22221x ya b-=的离心率为2，则其渐近线的斜率为（ ）A． B． C．3± D．5±6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y =（ ） A ．0.5 B ．1 C ．1- D ．27．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B ．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 8．定义式子运算为12142334a a a a a a a a =-，将函数cos ()sin wx f x wx=（其中0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g (x )的图象．若y=g(x )在[0,6π]上为增函数，则ω的最大值( )A ．6B ．4C ．3D ．29．如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知b a >，若函数()f x 在定义域内的一个区间[],a b 上函数值的取值范围恰好是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 是函数()f x的一个减半压缩区间，若函数()f x m 存在一个减半压缩区间[],a b ，（2b a >≥），则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0.5,1B ．(]0.5,1C ．(]0,0.5D ．()0,0.5 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填写在题中横线上．11．下列四个结论中，①命题“若x ≠1，则x 2-3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x +2=0，则x =1”；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x 0∈R ，使得20x +2x 0+3<0，则﹁p: ∀x ∈R,都有x 2+2x +3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a|·|b|”是“a 与b 共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是_____ _．12．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是 ． 13．已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数=a _________．14．若偶函数()y f x =（x ∈R 且0x ≠）在(),0-∞上的解析式为1()ln f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的图象在点()()2,2f 处的切线的斜率为_________．15．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不低于乙的平 均成绩的概率为________．16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第_________项；（Ⅱ）若n 为正偶数，则()11357211n n b b b b b ---+-++-=_________．（用n 表示）三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量()sin 2,1m x =-，向量()3cos 2,0.5n x =-，函数m n m x f ⋅+=)()(．（I ）求)(x f 的最小正周期T ；（II ）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，2a c =，且()f A 恰是()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．19．（本小题满分13分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （I ）推导{}n a 的前n 项和公式；（II ）设q≠1, 证明数列{2}n a +不是等比数列．20．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=,BAC CAD ∠=∠ 60=，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成角为45，2AB =．（I ）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（II ）若E 为PC 的中点，求证：平面ADE ⊥平面PCD ．DECA BP21．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C xy =，过焦点F 任作一条直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO相交于点D （O 为坐标原点）． （I ）证明：动点D 在定直线上；（II ）点P 为抛物线C 上的动点，直线l 为抛物线C 在P 点处的切线，求点Q （0，4）到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数()1xf x e x =--，x R ∈， 其中，e 是自然对数的底数．函数()1g x xsinx cosx =++，0x >．（I ）求()f x 的最小值；（II ）将()g x 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列{}n a ，求证：（1）(21)(21)22n n n a ππ-+<<，其中*n N ∈； （2）222212311112ln 1ln 1ln 1ln 13n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．高三联考数学文科参考答案1—5．B D D A B 6—10．A DC C B 11．①③ 12． 6 13．214． －0．5 15． 109 16． 30, 20 17． 5035, 225204n n +-18．解: （1）()21()sin 212cos 22f x m n m x x x =+⋅=++2分1cos 4114sin 42226x x x π-⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭， 4分 2.42T ππ∴== 6分 （2） 由（1）知：()sin(4)26f x x π=-+，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,54666x πππ-≤-≤ ∴当462x ππ-=时()f x 取得最大值3，此时6x π=．∴由3)(=A f 得.6A π=9分 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-∴222222cos6b b π=+-⨯，∴b = 12分19．答案：（I ）当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq--==--，当q=1时，1n S na =（2）略解析：(Ⅰ) 因为211111n n S a a q a q a q -=++++，231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得()()11111nnn q S a a q a q-=-=-，所以当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq--==--， 4分当q=1时，数列为常数列，1n S na = 6分 （II ）证明：假设数列{2}n a +是等比数列，则有()()()22111222a q a a q +=++ 9分整理得()21210a q -=，因为1a ≠0，所以q=1与已知q≠1矛盾，所以数列{2}n a +不是等比数列． 12分 20．解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ∴PAC ∠是直线PC 与平面ABCD 所成角，依题设，45PAC ∠=． 2分在Rt ABC ∆中，2AB =，060BAC ∠=，∴4BC AC ==．在Rt APC ∆中∵︒=∠=∠45APC ACP ∴PA=AC=4．在Rt ACD ∆中，4AC =，060CAD ∠=，CD = 4分∴1111242222ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=∴143V =⨯=． 6分 DECABP（2）∵ PA ABCD ⊥平面，∴PA CD ⊥，又AC CD ⊥，PAAC A =，∴CD PAC ⊥平面，∵AE PAC ⊂平面，∴CD AE ⊥ 9分在Rt APC ∆中∵PA=AC ，E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥ ∴PCD AE ⊥平面∵AE AED ⊥平面，∴AED PCD ⊥平面平面． 13分 21．（1）解：依题意，F （0，1），易知AB 的斜率存在，设AB 的方程为1y kx =+．代入24x y=得24(1)x kx =+，即2440x kx --=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x =-， 2分直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =；解得交点D 的坐标为1221(,)y xx x ， 4分 注意到124x x =-及2114x y =，则有212121211144y x x x x x y x x ====-， 因此，D 点在定直线1(0)y x =-≠上． 6分（II ）设2(,)4t P t 为曲线2:4C x y =上一点，因为12y x '=，所以的斜率为12t ，因此直线l 的方程为2()42t t y x t -=-，即2024t t x y --=． 8分则Q （0，4）点到的距离2|4|t d --=， 10分 所以()211612t d +==≥当t =O点到距离的最小值为 13分 22．解：（I ）()1x f x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>；所以，函数()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以min ()(0)0f x f ==， 综上所述，函数()f x 的最小值是0． 4分 （II ）证明：对()g x 求导得()()'sin cos cos 0g x x x x sinx x x x =+-=>，令()'0g x =可得*)(2)12(N k k x ∈-=π，当()32,222x k k k N ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，此时()'0g x <；当()2,2*22x k k k N ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，此时()'0g x >．所以，函数()f x 的单调递减区间为()32,222k k k N ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，单调递增区间为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,2*22k k k N ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 7分因为函数()g x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()02g =，所以12a π>．当*n N ∈时，因为()()()121(21)(21)(21)111102222n n n n n n g g ππππ-+⎛⎫--+⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+<⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，且函数()g x 的图像是连续不断的,所以()g x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，又()f x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭上是单调的，故(21)(21)22n n n a ππ-+<<． 9分 （2）证明：由（I ）知，10xe x --≥，则ln(1)x x +≤，因此，当*n N ∈时，记S=22221231111ln 1ln 1ln 1ln 1n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则S 22221231111na a a a ≤++++11分 由（1）知，S 2222241111135(21)n π⎛⎫<++++⎪-⎝⎭当1n =时，2423S π<<； 当2n ≥时，S 2411111335(23)(21)n n π⎛⎫<++++⎪⨯⨯--⎝⎭即，S 2241162112(21)3n ππ⎡⎤⎛⎫<+-<<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，证毕． 14分。