最新初三一元二次函数图象与性质知识点梳理和练习题
2023年中考数学-----一元二次方程之相关概念知识点总结及专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学-----一元二次方程之相关概念知识点总结及专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为：()002≠=++a c bx ax 。
其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 为常数项。
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
专项练习题1．（2022•广东）若x ＝1是方程x 2﹣2x +a ＝0的根，则a ＝ ．【分析】把x ＝1代入方程x 2﹣2x +a ＝0中，计算即可得出答案．【解答】解：把x ＝1代入方程x 2﹣2x +a ＝0中，得1﹣2+a ＝0，解得a ＝1．故答案为：1．2．（2022•连云港）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ﹣1＝0（m ≠0）的一个根是x ＝1，则m +n 的值是 ．【分析】把x ＝1代入方程mx 2+nx ﹣1＝0得到m +n ﹣1＝0，然后求得m +n 的值即可．【解答】解：把x ＝1代入方程mx 2+nx ﹣1＝0得m +n ﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．3．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．5．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．故答案为：15x（10﹣x）＝360．。
一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型清单)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册
一元二次方程知识归纳与题型突破（12类题型）一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高01 思维导图02 知识速记次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接开平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五、解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六、解一元二次方程-公式法（1）把a acbbx24 2-±-=（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八、由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．九、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程题型一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．212x x +=C ．221x x y +=+D ．()()22131x x +=+巩固训练1.（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=Bx=C ．21220x x++=D ．()22134m x x +-=2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．7x y -=B ．220x x ++=C ．120x x+=D ．()232x x x-=+3.（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①2210x x -+=；②20ax bx c ++=；③22350x x+-=；④20x -=；⑤()2212x y -+=；⑥()()22132x x x --=，一元二次方程的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型二 一元二次方程的一般形式例2. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程()()320x x +-=化为一元二次方程的一般形式是 ．巩固训练1．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程()()223243x x +=-化为一元二次方程的一般形式是 ．03 题型归纳2.（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程()()112x x x +-=化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．3.（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程2(21)(3)1x x x +-=-化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．题型三 利用一元二次方程的定义求参数例3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于x 的方程()211450m m x x +++-=是一元二次方程，则m的值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±巩固训练1.（2024八年级下·安徽·专题练习）关于x 的方程||(2)23m m x mx -++=是一元二次方程，则m 值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．0m ³且2m ¹2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若()22210mm x mx ---+=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于x 的方程22(2)430kk x x --+-=是一元二次方程，则k = ．例4. （2024·江苏镇江·二模）已知2x =是方程230x x c -+=的一个根，则实数c 的值是 ．巩固训练1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x 的一元二次方程2320x x m ++-=有一个根为0，则m 的值是（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2.（2024·山东济南·三模）关于x 的一元二次方程2420x x m -+=的一个根14x =，则m =．3.（2024·山东济南·二模）已知关于x 的一元二次方程2260x mx +-=的一个根是3，则m 的值是 ．题型五 一元二次方程的解求代数式的值例5. （2024·青海玉树·三模）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202493a b -+的值为 ．巩固训练1.（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x -=+的一个根，则(5)(1)m m +-的值为．2.（2024·江苏常州·二模）已知m 为方程 ²360x x --=的一个根，则代数式²36m m -+-的值是 ．3.（2024·福建·模拟预测）已知m 为方程2320240x x +-=的根，那么32220272024m m m +-+的值为题型六 一元二次方程的解的估算例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ¹）一个解x 的范围为（ ）x0.511.5232ax bx c++28181042-A ．0.51x ＜＜B ．1 1.5x ＜＜C ．1.52x ＜＜D ．23x ＜＜巩固训练1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知2310x x -+=，依据下表，它的一个解的范围是（ ）x2.52.6 2.7 2.8231x x -+0.25-0.04-0.190.44A ．2.5 2.6x <<B ．2.6 2.7x <<C ．2.7 2.8x <<D ．不确定2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程22 1.10x x --=的一个解的取值范围是．题型七 用配方法配一元二次方程例7.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程221x x -=，配方后得到的方程是（ ）A ．2(1)2x -=B ．()212x +=C ．2(1)0x +=D ．2(1)0x -=巩固训练1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（ ）A ．()2854x +=B ．()2854x -=C ．()246x +=D ．()246x -=2.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程22510x x --=，配方正确的是（ ）A ．2533416x æö-=ç÷èøB ．2541416x æö-=ç÷èøC ．252724x æö-=ç÷èøD ．252924x æö-=ç÷èø3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程23430x x --=，应把它先变形为（ ）A ．221339x æö-=ç÷èøB ．2203x æö-=ç÷èøC ．21839x æö-=ç÷èøD ．211039x æö-=ç÷èø题型八 解一元二次方程例8．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于x 的方程（因式分解方法）：(1)230x =；(2)7(3)39x x x -=-．巩固训练1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1) 2490x -=；(2)()221491x +-=．2.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：()()22325x x -=+3.（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．4.（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)2120x x --=；(2)22530x x +-=；(3)22770x x -+=．5.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)242x x +=； (2)27304x x --=；(3)2483x x -=-；(4)2441018x x x++=-题型九 解一元二次方程中错解复原问题例9：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程22530x x ++=的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．巩固训练1.（23-24八年级下·全国·2+=解：∵a =b =c =∴(2244320b ac D =-=-=>，∴2x ==，∴12x =，22x =-.请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.2.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程()()2366x x x -=-的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以()6x -得36x x =-，第2步：移项，得36x x =-，第3步：解得2x =-．小彤的解题过程：第1步：移项，得()()23660x x x ---=，第2步：提取公因式，得()()6360x x x ---=．第3步：则60x -=或360x x --=，第4步：解得16x =，22x =．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．题型十 根据判别式判断一元二次方程根的情况例10.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2550x x -+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定巩固训练1.（2024·河南周口·三模）关于x 的一元二次方程2220x mx +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根2.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．22x x =B ．2210x x -+=C ．260x x --=D ．224x x =-题型十一 利用一元二次方程根与系数的关系求值例11．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程2310x x --=的两根分别为a ，b ，则()ab a b += ．巩固训练1.（2024·江西吉安·一模）已知方程2430x x --=的两个根分别为1x ，2x ，则12x x 的值为 ．2.（2024·广东深圳·模拟预测）若1x ，2x 是方程2210x x --=的两个根，则121222x x x x +-的值为 ．3.（2024·江苏南京·三模）设12x x 、是方程2320210x x --=的两个根，则21122x x x -+= ．4.（2024·山东济宁·一模）设a ，b 是一元二次方程23170x x +-=的两个根，则252a a b ++=.题型十二 用一元二次方程解决与图形有关的问题例12：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个矩形蔬菜大棚长32m ，宽20m ，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的532．(1)小路的宽度是多少？(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？巩固训练1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形ABCD．设边AD的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．(1)求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；<，请求出此时AD的长．(2)若矩形ABCD的面积为54平方米，且AB AD2．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“312++”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m．。
九年级数学一元二次方程知识点及练习
知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；"(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如bax=+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，ax+是b的平方根，当0≥b时，bax±=+，bax±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法{配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa+=+±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
初中数学《二次函数》知识点归纳及相关练习题
九上数学二次函数知识点归纳及相关练习题(一)定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.【名师推荐你做】1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d =12n 2-32n ；（2）2y x =-；（3）y =1-x 2．2.判断①y =5x -4，②t =23x 2-6x ，③y =2x 3-8x 2+3，④y =38x 2-1，⑤y =2312x x-+是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项．3.已知2(1)31k ky k x x +=-++是关于x 的二次函数，求k 的值．【答案与解析】1.【解析】（1）d =12n 2-32n 是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为12、32-、0；（2）2y x =-是一次函数，不是二次函数；（3）y =1-x 2是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1．2.【解析】①y =5x -4，③y =2x 3-8x 2+3，⑤y =2312x x-+不符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x ，④y =38x 2-1符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为23、-6、0，④y =38x 2-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为38、0、-1.3.【答案】-2．【解析】∵函数2(1)31k ky k xx +=-++是关于x 的二次函数，∴2102k k k -≠⎧⎨+⎩=，解得k =-2．（二）二次函数y =ax 2的性质(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠0）.【名师推荐你做】1.观察函数y =3x 2与y =-3x 2的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．【解析】（1）抛物线y =3x 2的开口方向是向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐下降；二次函数y =-3x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴下方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐上升．（三）二次函数c bx ax y ++=2、k ax y +=2、()2h x a y -=、()kh x a y +-=2A.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.B.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k abh 4422-=-=，.C.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x -h )2；④y =a (x -h )2+k ；⑤y =ax 2+bx +c .【名师推荐你做】1.将抛物线y =-2x 2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y =-2(x -3)2-5B.y =-2(x +3)2-5C.y =-2(x +3)2+5D.y =-2(x-3)2+5【答案与解析】1.【答案】D【解析】由“左加右减”的原则将函数y =-2x 2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y =-2(x -3)2；由“上加下减”的原则将函数y =-2(x-3)2的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D.y =-2(x -3)2+5．所以选D.（四）抛物线A.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
初三数学二次函数知识点总结与习题
初三数学 二次函数 知识点总结——廖海平一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（_____）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口__，对称轴为_______，顶点坐标为___________．当2bx a<-时，y 随x 的_______；当2b x a >-时，y 随x 的________；当2b x a =-时，y 有最___值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口___，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当________时，y 随x 的增大而增大；当____________时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值__________． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：____________________（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：____________________（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式(交点式)：____________________（0a ≠，1x ，2x 是抛物线上_________的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线_____________，a 的正负决定开口___，a 的大小决定开口的_____． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c 决定抛物线与Y 轴交点位置⑴ 当0c >时，抛物线交于____________抛物线与y 轴交点的纵坐标为___ ⑵ 当0c =时，；抛物线交于____________抛物线与y 轴交点的纵坐标为____⑶ 当0c <时，抛物线交于___________即抛物线与y 轴交点的纵坐标为____总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选________；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用________；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用_________；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用______________．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式或者用公式求； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初中二次函数知识点总结与练习题
2. 顶点式： y a( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ） ； 3. 两根式： y a( x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式 的这三种形式可以互化.
a0
a0
向下
y轴
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ．
2. y ax 2 c 的性质： 上加下减。
a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标
c 0，
c 0，
对称轴
y轴
性质
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ．
y a x h 关于原点对称后，得到的解析式是 k y a x h k ；
2 2
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）
y a2 x bx 关于顶点对称后，得到的解析式是 c y ax 2 bx c
2 2
b2 ； 2a
y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k ．
b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a
初中资料一元二次函数知识点总结
一元二次函数知识点总结一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的比较高较低次数是2。
二次函数比较高次必须为二次，二次函数的图像是四条七条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
（一）顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y（小）值=k。
（二）交点式y=a(x-x₁)(x-x₂) [仅限于与x轴即y=0有交点时的椭圆，即b²-4ac＞0]函数与图像交于（x₁，0)和(x₂，0)（三）一般式y=aX²+bX+c=0（a≠0）（a、b、c是常数）（1）二次函数的图像是椭圆，抛物线是四边形图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a;0时，抛物线开口向上；当a;0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口其为；|a|越小，则椭圆的开口越大。
（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的左侧。
当a与b同号时（即ab;0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab;0），对称轴在y轴右侧。
（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c）（1）一元二次方程0=ax²+bx+c就是二次函数y=ax²+bx+c当函数y=0的情况。
（2）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。
当二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有交点时，方位角的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax²+bx+c=0的根。
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。
②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5. 抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。
②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。
二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。
一元二次函数初三练习题
一元二次函数初三练习题1. 解方程1) 解方程：x² + 3x + 2 = 0。
解答：首先，我们可以尝试因式分解来解这个方程。
将方程两边因式分解为：(x + 1)(x + 2) = 0。
因此，我们得到两个解：x + 1 = 0 或者 x + 2 = 0。
解得：x = -1 或者 x = -2。
2) 解方程：2x² - 5x + 3 = 0。
解答：使用求根公式来解这个方程。
首先，计算 b² - 4ac 的值：(-5)² - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1。
因此，我们可以得到两个解：x = (5 ± √1) / (2 * 2)。
化简得：x = (5 ± 1) / 4。
解得：x = 6/4 或 x = 4/4。
化简得：x = 3/2 或 x = 1。
2. 求顶点坐标和对称轴1) 求顶点坐标和对称轴方程：y = x² - 4x + 3 。
解答：对于一元二次函数 y = ax² + bx + c ，顶点的 x 坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
在这个方程中，a = 1，b = -4。
所以，我们可以计算出 x = -(-4) / (2 * 1) = 2。
将 x = 2 代入原来的方程，我们可以求得 y = 2² - 4(2) + 3 = -1。
因此，顶点坐标为 (2, -1)。
对称轴方程为 x = 2。
2) 求顶点坐标和对称轴方程：y = -2x² + 8x - 4。
解答：同样地，我们可以使用公式 x = -b / (2a) 来求顶点的 x 坐标。
在这个方程中，a = -2，b = 8。
计算得到 x = -8 / (2 * (-2)) = 2。
将 x = 2 代入原来的方程，我们可以求得 y = -2(2)² + 8(2) - 4 = 4。
因此，顶点坐标为 (2, 4)。
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一、选择题：
1、已知二次函数的图像与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（b，0），若a＞0，则函
数解析式为（ ）
A、axbay22 B、axbay22
C、axbay22 D、axbay22
2、形状与抛物线22xy相同，对称轴是2x，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A、342xxy B、342xxy
3、y=x2-1可由下列（ ）的图象向右平移1个单位，下平移2个单位得到
A、y=(x-1)2+1 B、y=(x+1)2+1 C、y=(x-1)2-3 D、y=(x+1)2+3
4、对y= 的叙述正确的是（ ）
A、当x=1时，y最大=2 B、当x=1时，y最大=8
C、当x= -1时，y最大=8 D、当x= -1时，y最大=2
C、342xxy D、342xxy或342xxy
5、函数y=2x2-x+3经过的象限是（ ）
A、一、二、三象限 B、一、二象限 C、三、四象限 D、一、二、四象限
6、函数y=-x2+4x+1图象顶点坐标是（ ）
A、（2，3） B、（-2，3） C、（2，1） D、（2，5）
7、已知二次函数y=(k2-1)x2+2kx-4与x轴的一个交点A(-2,0)，则k值为（ ）
A、2 B、-1 C、2或-1 D、任何实数
8、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )
A、一、二、三象限 B、一、二、四象限 C、一、三、四象限 D、一、二、三、四象限
9、与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A、y=1+21x2 B、y=(2x+1)2 C、y = (x-1)2 D、y=2x
2
10、y=mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ）
A、0，-3 B、0，3 C、0 D、-3
二、填空题：
1、已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC＝23，则这条抛物线的
解析式为 。
2、已知二次函数的图像交x轴于A、B两点，对称轴方程为2x，若AB＝6，且此二次函数
的最大值为5，则此二次函数的解析式为 。
3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面
4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度
为 。（精确到0.1米）
4、 矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为______。
6米
4
米
8米
题图
B
A
O
第3题图
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5、 抛物线y= x2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________。
6、 一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为____________。
7、 抛物线y= - x2-2x-1的顶点坐标是______________。
8、 二次函数y=2x2-x ,当x_______时y随x增大而增大，当x _________时,y随x增大而减小。
三、解答题
1、 当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= -3，x2=1时，且与y轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析
式
2、 抛物线y=3x-x2+4与x轴交点为A，B，顶点为C，求△ABC的面积。
3、 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。①求函数解析式②若图象与x轴交于A、B（A
在B左）与y轴交于C,顶点D，求四边形ABCD的面积。
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4、已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12，求证，不论m取何实数图象总与x轴有两个交点。